6.1 平面向量的概念-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第六章 平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 重点和难点 课标要求 重点：向量的概念，向量的几何表示，相 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际 等向量与共线向量的概念。 背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 难点：向量的概念和共线向量的概念 2.理解平面向量的几何表示和基本要素 必备知识梳理 I 基础梳理 知识点（①向量的相关概念 敲黑板) 1.数量与向量 1.向量的两个要素是判断 (向量不能比较大小) 在数学中，把既有大小又有方向的量叫作向量，而把只有大小 一个量是否为向量的主要依据， 没有方向的量称为数量.广（数量可以比较大小） 2.向量不同于数量，向量不 仅有大小，还有方向，大小是代 2.向量的两个要素 数特征，方向是几何特征.因为 向量由大小与方向两个要素组成.向量的大小是代数特征，方 方向没有大小之分，所以向量 向是几何特征。◆敲黑板) 不能比较大小.因为数量只有 3.数学中的向量与物理中的矢量的区别 大小，所以数量可以比较大 数学中的向量是指自由向量，即只有大小和方向，而无特定的 小，“大于”“小于”的概念对数 位置（即与起点位置无关），在平面内可自由移动.所以数学中的向 量是适用的 量与物理中的矢量是有区别的，如物理中的力，不仅有大小和方 向，而且还有作用点。 知识点（②向量的几何表示 1.有向线段 B(终点) (1)如图，在线段AB的两个端点中，规定一 敲黑板⊙ 个顺序，假设点A为起点，点B为终点，我们就A(起点) 有向线段与向量的 说线段AB具有方向，具有方向的线段叫作有向线段，通常在有向 区别和联系 线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点，B为终点的 1.区别：从定义上看，向量 有向线段记作AB.一（注意起点应写在终点的前面）◆敲黑板。 有大小、方向两个要素，而有向 (2)已知AB,线段AB的长度也叫作有向线段AB的长度，记 线段有起点、方向、长度三个要 素，因此，这是两个不同的量，在 作AB|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 空间中，有向线段是固定的线 2.向量的几何表示 段，而向量是可以自由平移的 知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定 潮重难点手册高中数学必修第二册RJA, 了.用有向线段表示向量的方法有： 2.联系：有向线段是向量的 (1)起点是A,终点是B的有向线段，对应的向量记作AB, 表示，并不是说向量就是有向线 段，而是每一条有向线段对应着 (2)用字母a,b,c,…表示向量 一个向量，但每一个向量对应着 (印刷用黑体a,书写用d) 无数条有向线段， (3)向量AB(或a)的大小，也就是向量AB(或a)的长度（或 (注意：向量不能比较大小，但向量的 模)，记作|AB(或a).长废可以比较大小) 3.零向量 提个醒回 长度为0的向量叫作零向量，记作0.规定零向量的方向是任 向量相关概念的关键点 意的. 1.定义中的零向量、单位向 4.单位向量 量都是只限制长度，不确定方向 2.当有向线段的起点A与 长度等于1个单位的向量叫作单位向量.与向量a同向且长度 终点B重合时，AB=0. 等于1个单位的向量，称为a方向上的单位向量，记作日.→国 3.要注意0与0的区别与 联系，0是一个实数，0是一个向 知识点3平行向量、共线向量与相等向量 量，且|0=0. 1.平行向量 4.在平面内，把所有单位向 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量.如果α，b,c是非 量的起点平移到同一点，则它们 零向量且方向相同或相反，则可记作abc. 的终点可构成一个半径为1 的圆。 规定：零向量与任意向量平行 2.共线向量 由于向量与起点无关，因此向量是可以自由移动的.也就是 说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也 叫作共线向量， 如图1，a,b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行 的直线l,在1上任取一点O,则可在l上分别作出OA=a,OB= b,OC=c,如图2. b、 C O B A L 图1 图2 [说明]表示共线（平行）向量的有向线段可以在同一条直线 上，也可以在平行的直线上. 3.相等向量 (1)长度相等且方向相同的向量叫作相等向量.若向量α与向 量b相等，可记作a=b.显然零向量与零向量相等，任意两个相等 的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起 点无关 2 第六章 平面向量及其应用 (2)只有当两个向量的模相等且方向相同时，才能说它们相 等.例如a=b,就意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.◆提个醒@ 提个醒回 重难拓展 向量相等具有传递性，即 a=b,b=c,则a=c.而向量的 重难点(1用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 平行不具有传递性，若a∥b, (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以 bc,未必有a∥c.因为零向量 证明线段平行且相等.一（需说明向量所在的直线无公共点） 平行于任意向量，那么当b=0 (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所 时，a,c可以是任意向量，所以 a与c不一定平行.但若b≠0， 在的直线无公共点 则必可由ab,bc推出a∥c. (3)利用向量可以判断图形的形状（如平行四边形、等腰三角 因此，解答问题时要看清题目中 形等)，证明多点共线等！ 是任意向量还是任意非零向量 例①(2025·浙江杭州二中单元检测)如图，点D在△ABC 的边BC上，且与点B,C不重合，点E,F分别在边AB,AC上， DF=EA.求证：△BDED△DCF. 证明DF=EA, ∴.DF∥EA且DF=EA, .四边形AEDF是平行四边形， .DE∥AF,∴.∠BDE=∠DCF 由DFEA得∠EBD=∠FDC...△BDE∽△DCF mmmm ☆关键能力提升 IIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII0 题型（①向量有关概念的辨析问题 解析 例2(2025·浙江嘉兴一中单元检测)有 序号正误 原因 下列命题： ① ABI=BA ①向量AB和向量BA的长度相等； 方向相同或相反的非零向量叫作平行向 ② + 量，零向量与任意向量平行，所以方向不 ②方向不同的两个向量一定不平行； 同的两个向量可能平行 ③向量BC是有向线段： 向量可以用有向线段来表示，但不能把 ③ 二者等同起来 ④向量AB大于向量CD: 向量不能比较大小，这是向量与数量的 ⑤若向量AB与向量CD是共线向量，则 ④ 显著区别 点A,B,C,D必在同一直线上； 向量共线只要求方向相同或相反，并不 ⑤ X 要求两个向量在同一直线上 ⑥单位向量相等； 单位向量的模均为1，但方向不一定相同 ⑦共线的向量，若起点不同，则终点一定 共线的向量，当起点不同时，终点可以 ⑦ 不同： 相同 其中正确的是 (填序号). 答案①. 3 用重难点手册高中数学必修第二册RJA。 方法总结 上，且|BC引=6，依据勾股定理可得，在坐标纸上，点C 与向量相关的概念比较多，为了避免混淆，应 距，点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3√3≈ 牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本 5.2,于是，点C的位置可以确定，画出向量BC,如图2所示 质.向量的核心为方向和长度，如：共线向量的核心 北 是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核 心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向 没有限制，但长度等于1个单位；零向量的核心是 方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量 共线。 图2 闲挖教材 题型（②向量的表示方法及其应用问题 作向量的思路 1.向量的作法 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定 例3[回归教材P5T1改编]在如图1所 方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终 示的坐标纸上（规定小方格的边长为1）画出下 ,点.必要时，需依据三角形的相关知识求出向量的 列向量： 方向或长度，选择合适的比例关系作出向量 2.利用向量的表示方法解决实际问题 例④中国象棋规定：马走“日”字.图1是 中国象棋的半个棋盘示意图，若马在A处，可 跳到A1处，也可跳到A2处，用向量AA1或 AA2表示马走了“一步”.试在图中画出马在 图1 B,C处走了“一步”的所有情况. (1)OA,使OA=4√2，点A在点O北偏 东45°方向上； (2)AB,使|AB|=4,点B在点A正东方 向上； 图1 (3)BC,使BC1=6,点C在点B北偏东 解析根据规定，画出符合要求的所有向量.马在 30方向上， B处走了“一步”的情况如图2所示，马在C处走了 解析(1)由于点A在，点O北偏东45°方向上，所 “一步”的情况如图3所示。 以在坐标纸上点A距，点O的横向小方格数与纵向小 方格数相等.又OA=4√2，小方格的边长为1，所以 点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4， 于是点A的位置可以确定，画出向量OA,如图2所 图2 图3 示.(2)由于点B在点A正东方向上，且AB|=4,所 题型(3 平面图形中的共线向量、相等 以在坐标纸上点B距，点A的横向小方格数为4，纵向 向量问题 小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量 1.在平面图形中寻求与给定向量共线的 AB,如图2所示.(3)由于点C在，点B北偏东30°方向： 向量个数 4 ,第六章平面向量及其应用 例5(2025·湖北宜昌一中月考)如图， ③模为V5的相等向量共有4对，AN=M记，NA 四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE =CM,MD=BN,DM=NB 是矩形.那么与向量AB共线的向量共有 综上，在以A,B,C,D,M,N为起点与终点的所有 个 非零向量中，相等的非零向量共有12十8十4=24对. (注意相等向量必须满足：方向相同，长度相等) 答案24. 方法总结 E 1.共线向量的寻求问题 解析由图可知，DC,ED,EC与AB方向相同， 在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做 BA,CD,DE,C正与AB方向相反（防道漏：找一个向量 到不重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量， 的共线向量时，切勿忽视与其方向相反的向量)，所以与向量 再找平行直线上的共线向量.要注意一条线段有一 AB共线的向量有BA,DC,CD,ED,DE,EC,CE,共 正一反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有 7个. 向线段又可以表示不同的共线向量， 答案7. 2.相等向量的寻求问题 2.在平面图形中寻求相等向量的对数 相等向量一定是共线向量，因此在找相等向量 例⑥(2025·浙江慈溪中学单元检测)如 时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相 同的共线向量即可， 图，在正方形ABCD中，M,N分别为AB和 CD的中点，在以A,B,C,D,M,N为起点与 题型（④平面向量基本概念的综合应用 终点的所有向量中，相等的非零向量共有 1.利用向量的概念判断平面图形的特征 对. 例7已知在四边形ABCD中，AB=DC, B 且|AB|=|ACI,tanD=√3，判断四边形ABCD 的形状. 解析如图，，在四边形ABCD中，AB=DC, D .'.AB ILDC. 解析不妨设AB=2, .四边形ABCD是平行四边形 MN=2,AM=MB=CN=ND=1. ⊙ 考查以A,B,C,D,M,N为起点与终点的非零 向量： ①模为1的相等向量共有12对，其中与AM同 向的有MB,DN,NC,这四个向量组成的相等向量有 6对，即AM=MB,AM=DN,AM=NC,M店= tanD=3,∠D∈(0，)，∠B=∠D= 3 DN,MB=NC,DN=NC. 又AB=AC, 同理，与AM反向的向量组成的相等向量也有 △ABC是等边三角形，AB=BC. 6对. 故四边形ABCD是菱形. ②模为2的相等向量共有8对，AB=DC,BA 2.利用向量的概念证明平面几何中的线 CD,AD-BC,DA-CB,AD-MN,DA-NM,BC 段平行或相等问题 -MN,CB-NM 例8(2025·浙江温州中学单元检测)如 5 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, 图，在四边形ABCD中，已知M,N分别是 !分条件，当AB=DC且A,B,C,D四点不共线时，四边形 BC,AD的中点，且AB=DC.求证：CNILMA. ABCD是平行四边形) 所以AD=BC 又因为M,N分别是BC,AD的中，点， D N 所以Ad=N=2AD,MC-BMi=BC, 证明因为AB=DC, 即AN=MC 所以AB=DC,且ABDC 所以AN=MC,且AN/MC. 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以四边形AMCN是平行四边形. (“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要不充 所以CN ILMA. ★ 核心素养聚焦 考向（①向量有关概念的辨析 等且方向相同，即a=c,故④正确. 答案②③④. 例⑨（经典·北京卷改编）给出下列命 题：①两个向量，当且仅当它们的起点相同、终 考查内容 核心素养 试题难度 点相同时才相等；②若将平面上所有单位向量 逻辑推理 考查平面向量的辨析问题 ★☆☆☆☆ 数学抽象 的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆 上；③在菱形ABCD中，一定有AB=DC;④若 考向(2相等向量或共线向量问题 a=b,b=c,则a=c. 例10（经典·上海卷改编）若D,E,F分 其中所有正确命题的序号为 别是△ABC的三边AB,BC,AC的中点，则与 解析两个向量相等，只要模相等且方向相同即 向量EF相等的向量为 可，与起点和终点的位置无关，故①不正确. 解析因为三角形的中位线平行于底边且等于底 单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在 边的一半， 同一点O时，终点都在以O为圆心、1为半径的圆上， 所以EF=}BA=BD=DA 故②正确. 在菱形ABCD中，AB1=|DC1,AB与D元方 答案BD,DA! 向相同，则AB=DC,故③正确. 考查内容 核心素养 试题难度 若a=b,则a=b|,且a与b方向相同；若b= 考查平面向量相等、共线的 直观想象 ★☆☆☆☆ c,则|b|=c|,且b与c方向相同.因此a与c长度相 概念 逻辑推理 6