独立性检验导学案+课件-2026届高三数学一轮复习

2026 独立性检验 1 3 两种变量: 数值变量:体重、身高、温度、考试成绩等等 分类变量:性别、是否吸烟、是否患肺癌、宗教信仰、国籍等等 我们常常关心分类变量之间是否有关系: 如：吸烟是否写患肺癌有关系? 性别是否对喜欢数学课有影响? 研究两个变量的相关关系: 数值变量——回归分析(画散点图、相关系数r、决定系数、残差分析) 分类变量——独立性检验 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课堂小结 知识层面： 回顾独立性检验的基本思想、2×2列联表的结构、χ²统计量的计算公式与意义、临界值的作用， 梳理了“提出假设→构建列联表→计算χ²→确定临界值→得出结论”的完整解题步骤。 方法层面： 数据归类的准确性、运算的规范性、结论表述的严谨性等关键要点。 核心思想层面： “假设检验思想”，明确独立性检验是统计推断的重要方法，结论具有概率性，而非确定性。 易错点提醒： 列联表数据归类错误、χ²运算失误、省略提出假设的步骤、结论表述不规范（未提及显著性水平或把握程度）、混淆“统计推断”与“确定性证明”。 $※课堂导学提纲 (高三数学) 时间：2026-1-15 组编：火龙部数学组 独立性检验 【学习目标】 1.能准确理解独立性检验的基本思想、2×2列联表的结构、²统计量的意义及临界值的作用。 2.熟练掌握2×2列联表的构建方法，能准确计算²统计量的值。 3.能规范完成独立性检验的完整步骤，并得出合理结论。 4.能运用独立性检验解决基础题和实际背景下的综合题，具备解读独立性检验结论实际意义的能力。 【重点难点】 重点: 1. 独立性检验的核心概念（列联表、²统计量）。 2. 独立性检验的完整解题步骤（列联表构建、计算、临界值判断、结论表述）。 难点:1. 对独立性检验基本思想（假设检验思想）的理解。 2. 实际问题中分类变量的梳理与列联表的准确构建，²统计量计算过程中的数据处理与运算准确性。 3. 独立性检验结论的规范表述与实际意义解读。 【问题导入】 情境问题：“某高中为研究学生‘选科偏好’与‘性别’是否有关联，随机抽取了100名学生，其中男生52人，女生48人；男生中偏好理科的有40人，女生中偏好理科的有25人。”要判断‘选科偏好’与‘性别’是否有关联，我们不能仅凭直观感受，需要用科学的统计方法来验证。这种判断两个分类变量是否关联的问题，应该用什么统计方法解决？” 【导学流程】 （一）知识链接 一、列联表 列联表：一般地，假设两个分类变量和，它们的取值为，其样本频数列联表(也称为列联表)为 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数。 二、独立性检验 1、²计算公式:，其中. 2、独立性检验：核心思想：独立性检验的本质是“假设检验思想”，即先假设两个分类变量无关联（原假设H₀），通过计算²统计量的值，判断该统计量的值是否超出临界值，若超出则拒绝原假设，认为两个分类变量有关联；否则接受原假设，认为无充分证据表明有关联。 ：分类变量X和Y相互独立（无关），通常称为零假设或原假设. 基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量和相互独立. 这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为²独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 3、核心解题流程（四步走） （1） 第一步：明确问题，提出零假设，假设H0：两个分类变量无关联 （2） 第二步：构建/整理2×2列联表，计算统计量的观测值 关键动作：根据题目情境，确定两个分类变量（如“接种疫苗”与“是否感染”），明确行、列对应的变量取值，准确填写或核对列联表中的核心数据 （3.）第三步：对比临界值 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 若≥6.635，则犯错误概率不超过1%（即有99%的把握认为“两个变量有关联”）； 若≥3.841，则犯错误概率不超过5%（即有95%的把握认为“两个变量有关联”）； 若≥2.706，则犯错误概率不超过10%（即有90%的把握认为“两个变量有关联”）； 若<2.706，则犯错误概率超过10%，没有充分的证据推断不成立，因此我们需接受零假设H0，认定零假设成立，（即没有足够把握认为“两个变量有关联”）。 判断逻辑：将计算出的观测值与临界值对比，确定对应的把握度，不可夸大或缩小结论。 （4）第四步：规范书写结论 四步骤：“零假设→计算结果→临界值对比→最终结论”。 示例：假设H0：‘性别’与‘是否喜欢运动’无关联（独立）。 由列联表数据计算得的观测值=4.521。 因为4.521>3.841， 根据小概率值的独立性检验（推断不成立犯错误概率不超过5%），即有认为‘性别’与‘是否喜欢运动’有关联。 （即有95%的把握拒绝零假设H0，即有95%的把握认为‘性别’与‘是否喜欢运动’有关联。”） 三、等高堆积条形图 借助等高堆积条形图来判断两个分类变量是否相关是判断变量是否相关的常见方法； 在等高堆积条形图中：与相差越大，两个分类变量关联度越强； 即高度差越大，两分类变量关联度越强。 （2） 基础感知 题型01：等高堆积条形图的应用 1.用等高堆积条形图粗略估计两个分类变量是否相关.观察下列各图，其中两个分类变量相关关系最强的是（ ） A． B．C． D． （三）探究未知 题型02：独立性检验与回归方程的综合 2．为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数（百万）与第个月的数据： （月份） （人数） (1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； (2)该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 请依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关． 参考公式：，，其中． 题型03：独立性检验与频率分布直方图综合 3．某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图． 强化训练 是否优秀 合计 优秀 非优秀 强化训练前 强化训练后 合计 (1)根据图中数据，估计强化训练后的成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”．将表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？ 附：． 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 （四）课堂检测 题型04：独立性检验与相关系数综合 4．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 女性村民 50 合计 (1)求出样本相关系数的大小，（精确到0.01） 并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 学科网（北京）股份有限公司 $※课堂导学提纲 (高三数学) 时间：2026-1-15 组编：火龙部数学组 独立性检验 【学习目标】 1.能准确理解独立性检验的基本思想、2×2列联表的结构、²统计量的意义及临界值的作用。 2.熟练掌握2×2列联表的构建方法，能准确计算²统计量的值。 3.能规范完成独立性检验的完整步骤，并得出合理结论。 4.能运用独立性检验解决基础题和实际背景下的综合题，具备解读独立性检验结论实际意义的能力。 【重点难点】 重点: 1. 独立性检验的核心概念（列联表、²统计量）。 2. 独立性检验的完整解题步骤（列联表构建、计算、临界值判断、结论表述）。 难点:1. 对独立性检验基本思想（假设检验思想）的理解。 2. 实际问题中分类变量的梳理与列联表的准确构建，²统计量计算过程中的数据处理与运算准确性。 3. 独立性检验结论的规范表述与实际意义解读。 【问题导入】 情境问题：“某高中为研究学生‘选科偏好’与‘性别’是否有关联，随机抽取了100名学生，其中男生52人，女生48人；男生中偏好理科的有40人，女生中偏好理科的有25人。”要判断‘选科偏好’与‘性别’是否有关联，我们不能仅凭直观感受，需要用科学的统计方法来验证。这种判断两个分类变量是否关联的问题，应该用什么统计方法解决？” 【导学流程】 （一）知识链接 一、列联表 列联表：一般地，假设两个分类变量和，它们的取值为，其样本频数列联表(也称为列联表)为 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数。 二、独立性检验 1、²计算公式:，其中. 2、独立性检验：核心思想：独立性检验的本质是“假设检验思想”，即先假设两个分类变量无关联（原假设H₀），通过计算²统计量的值，判断该统计量的值是否超出临界值，若超出则拒绝原假设，认为两个分类变量有关联；否则接受原假设，认为无充分证据表明有关联。 ：分类变量X和Y相互独立（无关），通常称为零假设或原假设. 基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量和相互独立. 这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为²独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 3、核心解题流程 （1） 第一步：明确问题，提出零假设，假设H0：两个分类变量无关联 （2） 第二步：构建/整理2×2列联表，计算统计量的观测值 关键动作：根据题目情境，确定两个分类变量（如“接种疫苗”与“是否感染”），明确行、列对应的变量取值，准确填写或核对列联表中的核心数据 （3.）第三步：对比临界值 ²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 若≥6.635，则犯错误概率不超过1%（即有99%的把握认为“两个变量有关联”）； 若≥3.841，则犯错误概率不超过5%（即有95%的把握认为“两个变量有关联”）； 若≥2.706，则犯错误概率不超过10%（即有90%的把握认为“两个变量有关联”）； 若<2.706，则犯错误概率超过10%，没有充分的证据推断不成立，因此我们需接受零假设H0，认定零假设成立，（即没有足够把握认为“两个变量有关联”）。 判断逻辑：将计算出的观测值与临界值对比，确定对应的把握度，不可夸大或缩小结论。 （4）第四步：规范书写结论 四步骤：“零假设→计算结果→临界值对比→最终结论”。 示例：假设H0：‘性别’与‘是否喜欢运动’无关联（独立）。 由列联表数据计算得的观测值=4.521。 因为4.521>3.841， 根据小概率值的独立性检验（推断不成立犯错误概率不超过5%），即有认为‘性别’与‘是否喜欢运动’有关联。 （即有95%的把握拒绝零假设H0，即有95%的把握认为‘性别’与‘是否喜欢运动’有关联。”） 三、等高堆积条形图 借助等高堆积条形图来判断两个分类变量是否相关是判断变量是否相关的常见方法； 在等高堆积条形图中：与相差越大，两个分类变量关联度越强； 即高度差越大，两分类变量关联度越强。 （2） 基础感知 题型01：等高堆积条形图的应用 1.用等高堆积条形图粗略估计两个分类变量是否相关.观察下列各图，其中两个分类变量相关关系最强的是（ ） A． B．C． D． 【答案】D【解析】在等高堆积条形图中，深色条的高度相差越大，相关性越强.故选：D （三）探究未知 题型02：独立性检验与回归方程的综合 2．为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数（百万）与第个月的数据： （月份） （人数） (1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； (2)该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 请依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关． 参考公式：，，其中． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）求出、的值，结合最小二乘法公式求出、，即可得出线性回归方程； （2）零假设关注“苏超”赛事与性别无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【详解】（1）由表格中的数据可得，， 所以， ， 故关于的线性回归方程为. （2）零假设关注“苏超”赛事与性别无关， 由表格中的数据可得， 依据小概率值的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关. 题型03：独立性检验与频率分布直方图综合 3．某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图． 强化训练 是否优秀 合计 优秀 非优秀 强化训练前 强化训练后 合计 (1)根据图中数据，估计强化训练后的成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”．将表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？ 附：． 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)83.125；81.4 (2)表格见解析，认为跳水运动员是否优秀与强化训练无关． 【详解】（1）因为，，所以中位数在之间， 设中位数为，则，解得. 平均数. （2）零假设：跳水运动员是否优秀与强化训练无关，补充完整的表格为 优秀人数 非优秀人数 合计 强化训练前 40 60 100 强化训练后 60 40 100 合计 100 100 200 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此我们认定零假设成立， 所以认为跳水运动员是否优秀与强化训练无关． （四）课堂检测 题型04：独立性检验与相关系数综合 4．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 女性村民 50 合计 (1)求出样本相关系数的大小，（精确到0.01）并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 【答案】(1)0.93，管理时间与土地使用面积线性相关．(2)有关 【分析】（1）根据条件，直接利用公式即可求解； （2）根据条件，计算出值，即可求解； 【详解】（1）由题知，，， ， ，， 则 故管理时间与土地使用面积线性相关． （2）依题意，列联表如下： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关． 计算可得． 依据的独立性检验，推断不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关． （五）课堂小结 知识层面： 回顾独立性检验的基本思想、2×2列联表的结构、χ²统计量的计算公式与意义、临界值的作用， 梳理了“提出假设→构建列联表→计算χ²→确定临界值→得出结论”的完整解题步骤。 方法层面： 数据归类的准确性、运算的规范性、结论表述的严谨性等关键要点。 核心思想层面： “假设检验思想”，明确独立性检验是统计推断的重要方法，结论具有概率性，而非确定性。 易错点提醒： 列联表数据归类错误、χ²运算失误、省略提出假设的步骤、结论表述不规范（未提及显著性水平或把握程度）、混淆“统计推断”与“确定性证明”。 学科网（北京）股份有限公司 $