精品解析：河南省濮阳市范县第一初级中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题

范县第一初级中学2025~2026学年上学期八年级第二次月考 数学试卷 2025年12月 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（    ） A. B. C. D. 4. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 6. 设点M（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则点M关于y轴的对称点的坐标是（　　） A. （2，3） B. （﹣2，3） C. （﹣3，2） D. （﹣3，﹣2） 7. 已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，．下面的结论：①；②是等边三角形；③；④；其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 8. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1； ②x3+x=x(x2+1)； ③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是_____． 12. 因式分解：___． 13. 在中，是边上的高，，，为的角平分线，则的度数为______________． 14. 如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为_____度． 15. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为______时，与有可能全等． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 用提公因式法将下列各式因式分解： （1）； （2）． （3）． 17. 计算： （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中，． 18. 作图题． 用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：点为线段外一点，求作直线，使． 19. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 20. 阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 21. 如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 22. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1． （1）计算，商式是________，余式是________； （2）计算，结果为________； （3）已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值． 23. 【教材呈现】如图，，把，剪下来，用它们拼图，使边与边重合，顶点A与顶点不重合，画出你拼出的图形，在你画出的图形中，连接，用测量、折纸等方法猜想，有什么关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 某数学小组对此问题进行了如下的研究： 【初步思考】进行分类探究：按点A与点在同侧或异侧两种情况进行分类． 【深入探究】第一种情况：点A与点在同侧． 如图，，边与重合，点A与点在同侧． 连接，与交于点O， 在和中，通过以及公共边，易证，依据的判定方法是______，从而证得； 又， ， ∴______． ∴． 第二种情况：点A与点在异侧． ①如图，，点B与点重合，点C与点重合，小组发现，此时与互相平分．小组成员对此结论展开了推理论证，请你写出证明过程． ②如图，，点B与点重合，点C与点重合，小组发现此时垂直平分．请你证明这个结论． 【拓展应用】如图，四边形为筝形，，，，，则筝形的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 范县第一初级中学2025~2026学年上学期八年级第二次月考 数学试卷 2025年12月 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A.， ，，不能构成三角形，不符合题意； B.， ，，不能构成三角形，不符合题意； C.， ，，不能构成三角形，不符合题意； D.， ，，能构成三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较短的两边的和是否大于第三边． 3. 某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线性质定理的逆定理．在角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上，由此即可判断． 【详解】解：由题意知平分在上， A、满足休息亭的位置要求，故A符合题意； B、不一定平分，故B不符合题意； C、不在上，故C不符合题意； D、垂直平分的直线交于，故D不符合题意， 故选：A． 4. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 5. 有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定方法，解题的关键掌握：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【详解】解：①两个角为，则第三个角也是，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ②有一个角等于的等腰三角形，此选项正确，故符合题意； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ④由题意知该线为腰的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，该等腰三角形的腰与底边长相等，故该等腰三角形为等边三角形，此选项正确，故符合题意， 故选：D． 6. 设点M（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则点M关于y轴的对称点的坐标是（　　） A. （2，3） B. （﹣2，3） C. （﹣3，2） D. （﹣3，﹣2） 【答案】A 【解析】 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，可得点，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案． 【详解】解：点在第二象限，且，，得 ，． 的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标， 故选：． 【点睛】本题考查了点的坐标特征和关于轴对称的点的坐标，熟悉相关性质是解题关键． 7. 已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，．下面的结论：①；②是等边三角形；③；④；其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】过点O作，垂足分别为M，N，过点O作于点H，利用等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形性质等知识解答即可． 【详解】解：过点O作，垂足分别为M，N，过点O作于点H， ∵，，于点D， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴． ∴， ∵ ∴, ∴①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 故②正确； ∵ ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵,， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴, 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 8. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法、积的乘方等运算法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A. ，故A选项错误，不符合题意； B. ，故B选项错误，不符合题意； C. ,故C选项错误，不符合题意； D. ,故D选项正确，符合题意． 故选：D． 9. 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1； ②x3+x=x(x2+1)； ③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解； ②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解； ③整式的乘法，故③不是因式分解； ④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解； 故选B 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键． 10. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，根据题意利用等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最后依据周长的最小值，求值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由同类项定义求出a，b的值，再求单项式的乘积即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，，即：， ∴单项式的积为 故答案为． 【点睛】本题考查同类项定义以及单项式乘单项式，关键是根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项，求出a，b的值． 12. 因式分解：___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 13. 在中，是边上的高，，，为的角平分线，则的度数为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，理解高，角平分线的定义，掌握角的和差计算是关键．根据高，角平分线的定义，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图所示，    ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或 ． 14. 如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为_____度． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得，，根据三角形内角和定理得到，根据平行线的性质得到，利用角的和差得出，则有，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 15. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为______时，与有可能全等． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 用提公因式法将下列各式因式分解： （1）； （2）． （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，合并同类项，解题的关键是掌握提公因式法． （1）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （2）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （3）先提取公因式，然后合并同类项，再提取公因式即可； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 17. 计算： （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2） （3），0 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握整式各种运算法则是解决此题的关键； （1）用多项式的每一项分别与单项式相除，再把商相加即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式解答即可； （3）利用平方差公式、完全平方公式、整式的运算法则进行化简，然后将，代入化简后的式子中计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 当，时， 原式 ． 18. 作图题． 用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：点为线段外一点，求作直线，使． 【答案】直线即为所求直线； 【解析】 【分析】如图所示，过点作直线交直线与点，作即可． 【详解】解：①如图所示，过点作直线交直线与点； ②以点为圆心，以任意长（这里定义了线段）为半径画弧交于点，交于点；以点为圆心，以线段为半径画弧交于点； ③连接，以点为圆心画弧交于点； ④过点，作直线； ∴在，中，，， ∴， ∴，则． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中， ，是角平分线， ∴，， ∴， ∴． 20. 阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 【答案】 解： 根据三角形三边关系： ，即； ，即； 所以：． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系以及不等式的性质，掌握因式分解是解本题的关键． 先对进行因式分解，得到，再利用三角形的三边关系判定其正负性即可． 【详解】略 21. 如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，根据条件可以得出，利用得出，得出，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 22. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1． （1）计算，商式是________，余式是________； （2）计算，结果为________； （3）已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式： （1）仿照题意利用短除法求解即可； （2）仿照题意利用短除法求解即可； （3）根据题意可得的余数为0，则有，据此可得答案． 【小问1详解】 解： ∴商式是，余式是， 故答案为：；； 【小问2详解】 解： ∴； 【小问3详解】 解：∵M是一个整式，m是常数，，， ∴的余数为0， ∴ ∴， ∴． 23. 【教材呈现】如图，，把，剪下来，用它们拼图，使边与边重合，顶点A与顶点不重合，画出你拼出的图形，在你画出的图形中，连接，用测量、折纸等方法猜想，有什么关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 某数学小组对此问题进行了如下的研究： 【初步思考】进行分类探究：按点A与点在同侧或异侧两种情况进行分类． 【深入探究】第一种情况：点A与点在同侧． 如图，，边与重合，点A与点在同侧． 连接，与交于点O， 在和中，通过以及公共边，易证，依据的判定方法是______，从而证得； 又， ， ∴______． ∴． 第二种情况：点A与点在异侧． ①如图，，点B与点重合，点C与点重合，小组发现，此时与互相平分．小组成员对此结论展开了推理论证，请你写出证明过程． ②如图，，点B与点重合，点C与点重合，小组发现此时垂直平分．请你证明这个结论． 【拓展应用】如图，四边形为筝形，，，，，则筝形的面积为______． 【答案】深入探究：第一种情况：，； 第二种情况： 证明：①如图1，连接，交于点O． ， ，． 在和中， ， ，， 即， 与互相平分， ②证明：如图2，连接，交于点O． ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 即， 垂直平分 拓展应用：24 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，垂直平分线的判定，筝形面积计算，熟练掌握相关知识是解决问题的关键； 深入探究： 第一种情况：由全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角度的和差即可解答； 第二种情况：①证即可解答； ②连接，交于点O，先证得，再证即可； 拓展应用：利用面积公式计算即可． 【详解】深入探究： 解：第一种情况： ， ，即， 结合公共边， 依据的判定方法是：， 由题意得， ， ， 故答案为：，； 第二种情况：略 拓展应用： 由②知，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $