寒假作业13 七年级上册压轴题专项训练（巩固培优）七年级数学新教材人教版

完成时间： 月 日 天气： 作业13 七年级上册压轴题专项训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 模块1、有理数及相关运算 1．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）已知一个两位数，交换十位数字和个位数字后得到新数，新数比原数大45，若关于x的方程的所有整数解分别为，，…，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．12 D．2 2．（25-26七年级上·广东韶关·月考）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到．以此类推，得出下列说法中，正确的有（   ）个 ①，，，；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级上·福建泉州·月考）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 4．（25-26七年级上·绵阳市·期中）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是的中点，如果，则原点O的大致位置在（    ） A．A的左边 B．A与C之间 C．C与B之间 D．B的右边 5．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，数轴上原点为，，是数轴上的两点，点对应的数是，点对应的数是，且，满足，动点，同时从，出发，分别以 个单位秒和 个单位秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)、两点间的距离是 ；动点对应的数是 （用含的代数式表示）；动点对应的数是 ；（用含的代数式表示）；(2)几秒后，线段与线段恰好满足？(3)若，开始运动的同时，从 出发以 个单位秒的速度沿着数轴正方向运动，当与不重合时，求的值． 7．（25-26七年级上·广西钦州·期中）【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】（1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． 计算：① ； ② ．（计算出最终结果） 模块2、代数式与整式加减 1．（25-26七年级上·重庆·月考）已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2025个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（25-26八年级上·重庆·月考）已知整式，其中n，为正整数，，，…，，每个数只能取1，0，中的一个，且． 下列说法：①当时，满足条件的整式M有：，，；②当时，满足条件的整式M共有8种；③若，且当时，；则．其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形是由4块小长方形拼成，其中②③两长方形的形状与大小完全相同，且长与宽的差为3，则小长方形④与小长方形①的周长的差是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为 ． 5．（25-26七年级上·重庆·月考）一数学兴趣小组在进行综合实践中发现一个有趣的数学规律，在这个正整数中，任取两数之积为偶数的取法种数进行了探究，发现：当时，满足条件，；当时，有，两种取法，；当时，有，，，，五种取法，；当时，有七种取法，……以此类推，当时， ；对于任意的（，是偶数），所得两数之积为偶数的取法种数 ．（用含有的式子表示） 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）在2025年成都教科院附属学校“数学嘉年华”活动中，数学老师设计寻找“芙蓉智慧数”的活动．判断一个数m是否是“芙蓉智慧数”，可以用m的末四位数减去末四位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是19的倍数，称m为“芙蓉智慧数”．比如：数字12345678，这个数末四位是5678，末四位以前是1234，则，因为（不是整数），所以12345678不是“芙蓉智慧数”；再比如：数字678，这个数末四位是0678，末四位以前是0，则，因为（不是整数），所以678不是“芙蓉智慧数”；又比如：数字1026，这个数末四位是1026，末四位以前是0，则，因为，所以1026是“芙蓉智慧数”．若整数（其中，且n为整数）是“芙蓉智慧数”，则 ；若p为“芙蓉智慧数”，且，（，且x，y均为整数），则的最大值为 ． 7．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）【问题情境】课本196页有这样一个数学探究《鸡蛋饼的分割》，小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题：鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题． 【数学问题】分割线的条数、分割线的最多交点数、分割出的最多区域数之间存在什么样的数量关系？ 【问题探究】为了解决这个问题，我们利用图1、图2、图3借助表格探索圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数 n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的一般规律．       m n t 图1 1 0 2 图2 2 1 4 图3 3 3 7 图4 4 x y （1）请在图4中用四条分割线将圆面分割出最多的区域，并画出分割后的图形； 【问题解决】（2）将表格中的数据补充完整， ； ；（3）猜想：圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n，圆面被分割出的最多平面区域数t之间的数量关系为： ； 【实际应用】（4）早餐摊师傅准备用8刀分鸡蛋饼，最多能将鸡蛋饼分成 块； （5）七年级1班有44名同学，在元旦晚会上，班级买了一个长方体大蛋糕．小明给大家提了这样一个问题：最少切 刀分蛋糕（大小不限，只能竖直或平行于蛋糕面切），使每位同学都能分到一块？ 模块3、一元一次方程与实际应用 1．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在如图所示的三阶幻方中，每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等，则的值为 ． 2．（25-26七年级上·重庆·开学考试）A地、B地、C地、D地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A地、B地、C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；如乙追上丙后再行50米，三人同时到达D地．已知乙出发时的速度是每分钟60米，A，D两地间的路程是 米． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）①若，则；②若，且，则；③若关于x的方程有无数解，则的值为8；④若无论k为何值，关于x的方程的解总是，则代数式；⑤关于x的绝对值方程有三个不相同的解，则．正确的序号是： ． 4．（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）10月23日，以“菊开江南秀，新韵生态城”为主题的宜昌第35届菊花展在点军区江南开幕，组委会匠心设置了A，B两种园艺造型共16个．已知A，B两种造型的个数之比为，且搭配一个A种园艺造型所需甲种菊花盆数是乙种菊花盆数的4倍，搭配一个A种园艺造型所需甲种菊花盆数是搭配一个B种园艺造型所需甲种菊花盆数的倍；搭配一个B种园艺造型需要乙种菊花的盆数是搭配一个A种园艺造型所需乙种菊花盆数的2倍多10盆，搭配一个B种园艺造型共需甲、乙两种菊花270盆．(1)求A种造型有多少个？(2)求搭配一个A种园艺造型、一个B种园艺造型各需甲、乙两种菊花各多少盆？ 5．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，则称三点是“均衡点”． (1)点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是三点______（填“是”或“不是”）“均衡点”；(2)在（1）的条件下，点表示的数是，且三点是“均衡点”，求则的值； (3)点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧，线段（为正整数），线段，若三点是“均衡点”，且关于的一元一次方程的解为整数，直接写出所求的值． 模块4、几何图形初步 1．（25-26七年级上·辽宁营口·期末）如图，已知长方形纸片，点、、分别为线段、、上的一点，将纸片沿着、折叠，使得点落在点处，点落在点处，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北保定·月考）规定：如果折线上有个点，且满足，那么就叫这条折线的“折中点”．嘉嘉和淇淇在去某企业参加社会实践活动中，对一款形如折线的机械臂产生了浓厚的兴趣，并作出了如下的几何图形，是折线的“折中点”，为线段的中点．嘉嘉测出的长度，淇淇利用的长度直接计算得出图中某条线段的长度，你认为淇淇计算出长度的线段是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）远光某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】（1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）． 【制作纸盒】（2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子（图⑦为无盖的长方体纸盒，图⑧为有盖的长方体纸盒） 【问题1】根据图⑦方式制作一个无盖的长方体盒子方法：先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则无盖长方体纸盒的体积为______； 【问题2】根据图⑧方式制作一个有盖的长方体纸盒方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则有盖长方体纸盒的体积为______； 【拓展探究】（3）若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．①请直接写出你剪开_______条棱； ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长．请你画出外围周长最小时该长方体形盒子表面展开图并标上相应的数据． 5．（25-26七年级上·陕西西安·月考）小明在学习线段和角的知识时，发现它们之间有许多相似之处．例如，线段有中点，角有平分线；线段可以度量长度，角可以度量大小；线段之间可以进行和差倍分的运算，角之间也可以．他尝试运用“类比”的方法，将线段问题的解决方法迁移到角的问题中，解决了一系列有趣的问题． (1)问题类比：①如图①，已知线段，点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，运动时间为秒，若点是的中点，则___________（用含的代数式表示）； ②如图②，已知，射线从位置开始绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，运动时间为秒，若射线平分，则___________（用含的代数式表示）； (2)问题解决：如图③，已知，平分．若射线从位置绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．设运动时间为秒． ①在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ②若在旋转过程中，到达后立即以原速度逆时针向方向旋转，到达后立即以原速度顺时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．是否存在某一时刻，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，，，，，…，记，比如，，，…，下列说法正确的个数是（    ） ； ，； ；若，则的最小值为16． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级上·河南焦作·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 3．（23-24七年级上·重庆垫江·期末）已知，从y、z、m、n中随机取两个字母作差，记为A，将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对进行化简运算，称此为“差和操作”，例如：为一次“差和操作”，为“差和操作”的一种运算结果，下列说法：①存在两种“差和操作”运算结果的和为； ②不存在两种“差和操作”运算结果的差为； ③所有的“差和操作”共有4种不同运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）古人在研究天文，历法时，也曾经采用七进制，十二进制，六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期7天，一年12个月，一小时60分钟的计时方法．某校七年级课外实践小组在对进位制的认识与探究活动中，李老师给小组出了一个问题：“的计算结果是多少？”，此题的正确结果是 ．（结果用七进制表示） 5.（2026·浙江·模拟预测）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为 ． 6．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是 ．（保留幂的形式） 7．（25-26七年级上·广东深圳·月考）某中学把WIFI密码按照如图规律设置，根据提供的信息可以推断出该中学的WIFI密码是 ． 8．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)判断与3是否互为“友好数”，并说明理由；(2)若有理数a与b互为“友好数”，求代数式的值．(3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值为______． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期中）（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么________，________； ②为了求的值，可以这么做： 令，则， 因此，所以，即． 仿照以上推理：（2）计算的值． （3）计算． 10．（25-26七年级上·山东日照·月考）新定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”．例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程” (1)下列方程中：①；②；③ _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值6方程”（填写序号）． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 1．（25-26七年级上·重庆万州·月考）已知三个数，，c，任取其中两个数相减后取其绝对值再加上第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，．以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是7； ②若，，，且，，中最小值为0，则或； ③若，则第n次操作的结果为，，．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知三个数a、、，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，以此类推，下列说法：①若，，，则，，三个数中最大的数是10；②若，，，则的最小值为14；③若，则存在某一次操作的结果为，，；其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级上·重庆·期中）在同一平面内探索“直线相交时可以把平面最多分成多少个区域”的问题时，研究者发现k条直线分成的区域中三角形的个数存在某种规律，将条直线相交最多组成的三角形的个数记为，通过画图可得，当时，，则当时， ；在此基础上继续探究，若，则 ． 4．（25-26七年级上·四川成都·期中）有一个数字游戏：对一个两位数作“变换”，先把的十位数字加2，将和的个位数作为新数的十位数字，再把的个位数字加7，将和的个位数作为新数的个位数字，记这个新的两位数为；将按同样的“变换”方式得到；将按同样的“变换”方式得到……． （1）若，则 ； （2）在（1）的条件下，将作“变换”依次得到了，，，…，，再从这2025个数中依次规律地抽取出，，，，…，，其中与值相等的数有 个． 5．（25-26七年级上·四川成都·月考）已知a，b，c是整数，满足，，则m的值为 ． 6．（25-26七年级上·四川·期末）已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C．(1)则 ， ．(2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值． 7．（25-26七年级上·福建龙岩·月考）数轴是一种工具，结合数轴与绝对值知识可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算有紧密联系，借助数轴可以实现它们之间解法的迁移． （1）若点表示的数是，点表示的数是，，求的值． （2）如图1，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点A，B表示的数互为相反数．动点P，Q分别同时从点A，C出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，点以每秒2个单位长度的速度向终点移动，点表示的数为．当点P，Q之间的距离为2时，求此时的值． 【迁移】受此启发，小明制作出一种“异形数轴”用来解决角度问题．如图2：标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位角度．若射线表示，射线表示，则： 【应用】（3）如图3所示，已知，，，射线，同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒 ．当为何值时，？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 七年级上册压轴题专项训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 模块1、有理数及相关运算 1．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）已知一个两位数，交换十位数字和个位数字后得到新数，新数比原数大45，若关于x的方程的所有整数解分别为，，…，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．12 D．2 【答案】A 【详解】∵原数=，新数=，∴，即，∴， ∵a为1至9的整数，b为0至9的整数，∴a可取1，2，3，4，对应，7，8，9． 方程，代入，得，∴， 当时，；时，；时，不是整数；时，． ∴整数解为，，，即．∴． 当y取2时，和最小为．∴最小值为5．故选：A． 2．（25-26七年级上·广东韶关·月考）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到．以此类推，得出下列说法中，正确的有（   ）个 ①，，，；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：①根据题意得，， ，故①正确； ②，∴是经过506次操作所得， ，∴操作结果的序列以3为周期循环， ∵，∴的值为循环中的第3个数，∴，故②错误； ③， ，……则每3次操作，相应的数会重复出现， ∵， ∵，∴，故③错误； 综上，正确选项为：①，故选：B． 3．（25-26七年级上·福建泉州·月考）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∴，∴， ∴点表示的数为，点表示的数为5， ∴运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点在点右侧时，， 则：； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化，∴，∴； 当点在点左侧时，， 则：； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴，∴；综上：或；故选A． 4．（25-26七年级上·绵阳市·期中）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是的中点，如果，则原点O的大致位置在（    ） A．A的左边 B．A与C之间 C．C与B之间 D．B的右边 【答案】B 【详解】解：∵C是的中点，∴， ∴ ， ∵，∴，∴， ∴与异号，且，∴原点O的大致位置在A与C之间，故选： B． 5．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上两点的距离为，∴点表示的数为， 表示的数为，表示的数为，表示的数为， 表示的数为，，表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为，表示的数为，的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为：， 故选：A． 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，数轴上原点为，，是数轴上的两点，点对应的数是，点对应的数是，且，满足，动点，同时从，出发，分别以 个单位秒和 个单位秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)、两点间的距离是 ；动点对应的数是 （用含的代数式表示）；动点对应的数是 ；（用含的代数式表示）；(2)几秒后，线段与线段恰好满足？(3)若，开始运动的同时，从 出发以 个单位秒的速度沿着数轴正方向运动，当与不重合时，求的值． 【答案】(1)；；．(2)秒或秒(3) 【详解】（1）解： 满足，，， 点 对应的数是 ，点 对应的数是 ，． 当运动时间为秒时，动点对应的数是，动点对应的数是．故答案为：；；． （2）解：由（1）中所对应的数可得，，， ，，①，解得； ②，解得； 综上，秒或秒后，线段 与线段 恰好满足． （3）由题意得，动点所对的数为， 当与不重合时，即， ， 当时，，当时，，综上所述，的值为 7．（25-26七年级上·广西钦州·期中）【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】（1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 【答案】（1）改写成二进制数是（2）八进制数表示的十进制数为【迁移拓展】密码为 【详解】解：（1）， 答：改写成二进制数是； （2）八进制数表示的十进制数为： ； 答：八进制数表示的十进制数为； 【迁移拓展】二进制数转成十进制数为： ， ∵365为奇数，∴密码为：． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②8432 【详解】解：（1）由题意可得，，故答案为：； （2）由题意可得， （3）①由题意可得，，故答案为：； ②由题意可得， ． 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． 计算：① ； ② ．（计算出最终结果） 【答案】 【详解】解：（1）由所给图形得：；；⋯； 所以，； （2） ．故答案为：；． 模块2、代数式与整式加减 1．（25-26七年级上·重庆·月考）已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2025个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵ ，， ，， ， ， ， ， ， ，则①当，则，说法正确； ②，说法正确； ③前2025项中，除第一项外，系数按偶数、奇数、奇数，三个一组进行循环， ， 系数为偶数的代数式有个，说法中为674个，错误； ④ ，说法错误． ∴正确说法有①和②，共2个．故选：B． 2.（25-26八年级上·重庆·月考）已知整式，其中n，为正整数，，，…，，每个数只能取1，0，中的一个，且． 下列说法：①当时，满足条件的整式M有：，，；②当时，满足条件的整式M共有8种；③若，且当时，；则．其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：当时，整式， ∵，∴，即， 又∵为正整数，每个数只能取1，0，中的一个， ∴符合题意的有：；；， ∴满足条件的整式有：，，；故①正确； 当时，整式，∵，∴，即， ∵为正整数，且，每个数只能取1，0，中的一个， ∴符合题意的有：；；；；；；；， ∴符合题意的整式M共有8种，故②正确； ∵，时，，∴，即 又∵，，…，，每个数只能取1，0，中的一个， ∴，故③错误；综上，正确的说法有2个．故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形是由4块小长方形拼成，其中②③两长方形的形状与大小完全相同，且长与宽的差为3，则小长方形④与小长方形①的周长的差是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】解：∵②③两长方形的形状与大小完全相同，且长与宽的差为3， ∴设它们的宽为x，则长为：，∴， 设，如图，则， ∴长方形①的宽为x，长为，长方形④的宽为，长为， ∴长方形④与长方形①的周长差为 ．故选：D． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为 ． 【答案】 【详解】解：第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为，第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，∴， ∴ ，故答案为：． 5．（25-26七年级上·重庆·月考）一数学兴趣小组在进行综合实践中发现一个有趣的数学规律，在这个正整数中，任取两数之积为偶数的取法种数进行了探究，发现：当时，满足条件，；当时，有，两种取法，；当时，有，，，，五种取法，；当时，有七种取法，……以此类推，当时， ；对于任意的（，是偶数），所得两数之积为偶数的取法种数 ．（用含有的式子表示） 【答案】 22 【详解】解：当时，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，满足条件，共22个，∴； 当时，，当时，， 当时，，，，，，，，，，，，满足条件，共12个，∴， 当时，，…… ∴对于任意的（，是偶数），所得两数之积为偶数的取法种数，故答案为22；． 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）在2025年成都教科院附属学校“数学嘉年华”活动中，数学老师设计寻找“芙蓉智慧数”的活动．判断一个数m是否是“芙蓉智慧数”，可以用m的末四位数减去末四位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是19的倍数，称m为“芙蓉智慧数”．比如：数字12345678，这个数末四位是5678，末四位以前是1234，则，因为（不是整数），所以12345678不是“芙蓉智慧数”；再比如：数字678，这个数末四位是0678，末四位以前是0，则，因为（不是整数），所以678不是“芙蓉智慧数”；又比如：数字1026，这个数末四位是1026，末四位以前是0，则，因为，所以1026是“芙蓉智慧数”．若整数（其中，且n为整数）是“芙蓉智慧数”，则 ；若p为“芙蓉智慧数”，且，（，且x，y均为整数），则的最大值为 ． 【答案】 209 2774 【详解】解：（，n 为整数），由于， 故，需是19的倍数， 当时，不是19的倍数； 当时，，成立； 由（）， 末四位数，所以， 由需是 19 的倍数，即是 19 的倍数， 当时，y取之间的数时，，，不是19的倍数，无解； 当时，y取之间的数时，不是19的倍数，无解； 当时，y取之间的数时，不是19的倍数，无解； 当时，时，，； y取之间的数时，不是19的倍数，无解； 当时，y取之间的数时，不是19的倍数，无解； 当时，，； y取之间的数时，不是19的倍数，无解； 当时，y取之间的数时，不是19的倍数，无解； 当时，，； y取之间的数时，不是19的倍数，无解． 所以的最大值为2774．故答案为：209，2774． 7．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）【问题情境】课本196页有这样一个数学探究《鸡蛋饼的分割》，小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题：鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题． 【数学问题】分割线的条数、分割线的最多交点数、分割出的最多区域数之间存在什么样的数量关系？ 【问题探究】为了解决这个问题，我们利用图1、图2、图3借助表格探索圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数 n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的一般规律．       m n t 图1 1 0 2 图2 2 1 4 图3 3 3 7 图4 4 x y （1）请在图4中用四条分割线将圆面分割出最多的区域，并画出分割后的图形； 【问题解决】（2）将表格中的数据补充完整， ； ；（3）猜想：圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n，圆面被分割出的最多平面区域数t之间的数量关系为： ； 【实际应用】（4）早餐摊师傅准备用8刀分鸡蛋饼，最多能将鸡蛋饼分成 块； （5）七年级1班有44名同学，在元旦晚会上，班级买了一个长方体大蛋糕．小明给大家提了这样一个问题：最少切 刀分蛋糕（大小不限，只能竖直或平行于蛋糕面切），使每位同学都能分到一块？ 【答案】（1）见解析；（2）6，11；（3）；（4）37；（5）7 【详解】解：（1）如图， （2）由（1）中图可得分割线是4条、分割线的最多交点数6个、分割出的最多区域数是11个， 所以，，故答案为：6，11； （3）根据表格中数据可得，，答案为：； （4）当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，将代入，得， 所以最多能将鸡蛋饼分成37块，故答案为：37； （5）分割方案：先竖直于蛋糕面切4刀，再平行于蛋糕面切3刀，理由： ，切1刀最多2块，切2刀最多4块，切3刀最多7块，切4刀最多11块， 将一个长方体大蛋糕竖直方向切4刀，最多可切割成11块，然后再平行于桌面切3刀得四层蛋糕，每层有11块，共切成蛋糕有块．故答案为：7． 模块3、一元一次方程与实际应用 1．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在如图所示的三阶幻方中，每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等，则的值为 ． 【答案】9 【详解】解：如图：由第二行可得：， 则第一行第一列的空格为：； 第一行第三列的空格为：； 第三行第二列的空格为：； ∴，解得：；，解得：； ，即，解得：． ．故答案为9． 2．（25-26七年级上·重庆·开学考试）A地、B地、C地、D地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A地、B地、C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；如乙追上丙后再行50米，三人同时到达D地．已知乙出发时的速度是每分钟60米，A，D两地间的路程是 米． 【答案】1880 【详解】解：由题意知，乙遇到丙后速度变为：（米/分）， 甲在追上乙后追上丙之前速度为：（米/分）， 甲出发时的速度为：（米/分）， 甲在C地追上乙，设在此时起追上丙花了x分钟， ， ∴的距离为：（米）， ∵甲从C地花了9分钟追上丙， ∴此时丙到C地的距离为：（米）， 当甲从A地到C地时，丙走了：（分钟）， ∴两地的距离为：（米）， ∴两地的距离为：（米）．故答案为：1880． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）①若，则；②若，且，则；③若关于x的方程有无数解，则的值为8；④若无论k为何值，关于x的方程的解总是，则代数式；⑤关于x的绝对值方程有三个不相同的解，则．正确的序号是： ． 【答案】②④⑤ 【详解】解：①当时，满足，但无意义，原说法错误； ②∵，且，∴，∴，∴，原说法正确； ③∵，∴，∵关于x的方程有无数解， ∴，∴，∴，原说法错误； ④∵，∴， ∵关于x的方程的解总是， ∴，∴， ∵方程的解总是，与k的取值无关，∴， ∴，∴，原说法正确； ⑤∵，∴，∴或， 当时，，此时方程和方程都无解，不符合题意； 当时，方程无解，方程有1个解或2个解，不符合题意； 当时，方程的解为或，方程的解为，符合题意； 当时，方程的解为或，方程的解为或，此时原方程有4个不同的解，不符合题意；综上所述，，原说法正确；故答案为：②④⑤． 4．（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）10月23日，以“菊开江南秀，新韵生态城”为主题的宜昌第35届菊花展在点军区江南开幕，组委会匠心设置了A，B两种园艺造型共16个．已知A，B两种造型的个数之比为，且搭配一个A种园艺造型所需甲种菊花盆数是乙种菊花盆数的4倍，搭配一个A种园艺造型所需甲种菊花盆数是搭配一个B种园艺造型所需甲种菊花盆数的倍；搭配一个B种园艺造型需要乙种菊花的盆数是搭配一个A种园艺造型所需乙种菊花盆数的2倍多10盆，搭配一个B种园艺造型共需甲、乙两种菊花270盆．(1)求A种造型有多少个？(2)求搭配一个A种园艺造型、一个B种园艺造型各需甲、乙两种菊花各多少盆？ 【答案】(1)A种造型有4个(2)搭配一个A种造型：甲种菊花盆，乙种菊花80盆；搭配一个B种造型：甲种菊花盆，乙种菊花盆 【详解】（1）解：设A种造型有x个，则B种造型有个． 由，解得．答：A种造型有4个． （2）解：设搭配一个A种造型需乙种菊花y盆，则需甲种菊花盆． 搭配一个B种造型需乙种菊花盆，需甲种菊花盆． 已知搭配一个B种造型共需甲、乙两种菊花270盆， ，解得：． 则搭配一个A种造型：甲种菊花（盆），乙种菊花80盆；搭配一个B种造型：甲种菊花（盆），乙种菊花（盆）． 5．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，则称三点是“均衡点”． (1)点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是三点______（填“是”或“不是”）“均衡点”；(2)在（1）的条件下，点表示的数是，且三点是“均衡点”，求则的值； (3)点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧，线段（为正整数），线段，若三点是“均衡点”，且关于的一元一次方程的解为整数，直接写出所求的值． 【答案】(1)不是(2)或或(3)或或或或 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ， ，三点不是“均衡点”，故答案为：不是； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，，， 三点是“均衡点”，分情况讨论： ①当时，，则或，解得或（与点重合，舍去）； ②当时，，则或，解得（与点重合，舍去）或； ③当时，，则或，解得； 综上所述：的值为或或，故答案为：或或； （3）解：∵三点是“均衡点”， 点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧， ，，中有两条线段相等， 关于的一元一次方程的解为整数，， ①当时，如图所示： 则，∴，则，为正整数，，即， 为整数，也为整数，分正与负或负与正讨论，可得取， 又，当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，则；当时，，符合要求，则； ，， 当时，；当时，；即此种情况下，的值为或； ②当时，如图所示： 则，∴，则，为正整数，，即， 为整数，也为整数，分正与负或负与正讨论，可得取， 又，当时，，符合要求，则； ，， 当时，；即此种情况下，的值为； ③当时，如图所示： 则，∴，则，为正整数，，即， 为整数，也为整数，分正与负或负与正讨论，可得取， 又，当时，，不符合要求，舍去； 当时，，不符合要求，舍去；当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，则；当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，则；当时，，符合要求，则； ，，当时，； 当时，；当时，； 即此种情况下，的值为或或；综上所述：的值为或或或或． 模块4、几何图形初步 1．（25-26七年级上·辽宁营口·期末）如图，已知长方形纸片，点、、分别为线段、、上的一点，将纸片沿着、折叠，使得点落在点处，点落在点处，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵沿着、折叠，使点A落在处，点B落在处， ∴，， ∵，∴， ∴，故选C． 2．（25-26七年级上·河北保定·月考）规定：如果折线上有个点，且满足，那么就叫这条折线的“折中点”．嘉嘉和淇淇在去某企业参加社会实践活动中，对一款形如折线的机械臂产生了浓厚的兴趣，并作出了如下的几何图形，是折线的“折中点”，为线段的中点．嘉嘉测出的长度，淇淇利用的长度直接计算得出图中某条线段的长度，你认为淇淇计算出长度的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得，，， ∴，∴， ∴利用的长度可以直接计算出线段的长度．故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【详解】解：∵是的中点，是的中点，∴，， ∴，同理，，， 归纳得，， ∴，设， 两边同乘以得，， 将得，，即．故答案为：． 4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）远光某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】（1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）． 【制作纸盒】（2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子（图⑦为无盖的长方体纸盒，图⑧为有盖的长方体纸盒） 【问题1】根据图⑦方式制作一个无盖的长方体盒子方法：先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则无盖长方体纸盒的体积为______； 【问题2】根据图⑧方式制作一个有盖的长方体纸盒方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则有盖长方体纸盒的体积为______； 【拓展探究】（3）若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．①请直接写出你剪开_______条棱； ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长．请你画出外围周长最小时该长方体形盒子表面展开图并标上相应的数据． 【答案】（1）①⑤⑥；（2）问题1：；问题2：．（3）7，25，画图见解析 【详解】解：（1）②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故②错误； ③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合， ④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故④错误；故答案为：①⑤⑥； （2）问题1：无盖盒子的体积为：；故答案为：； 问题2：有盖盒子的长：，宽为：，高为：， 有盖盒子的体积为：．故答案为：． （3）①如图，长方体共有12条棱，展开后还有5条棱没有剪开，所以剪开了7条棱，故答案为：7． ②设长方体长为a，宽为b，高为c，则长方体形盒子展开图的周长， 想要周长最小，只需要b最大，c最小，此时，则最小周长为25． 画出外围周长最小时该长方体形盒子表面展开图并标上相应的数据如下： 5．（25-26七年级上·陕西西安·月考）小明在学习线段和角的知识时，发现它们之间有许多相似之处．例如，线段有中点，角有平分线；线段可以度量长度，角可以度量大小；线段之间可以进行和差倍分的运算，角之间也可以．他尝试运用“类比”的方法，将线段问题的解决方法迁移到角的问题中，解决了一系列有趣的问题． (1)问题类比：①如图①，已知线段，点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，运动时间为秒，若点是的中点，则___________（用含的代数式表示）； ②如图②，已知，射线从位置开始绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，运动时间为秒，若射线平分，则___________（用含的代数式表示）； (2)问题解决：如图③，已知，平分．若射线从位置绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．设运动时间为秒． ①在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ②若在旋转过程中，到达后立即以原速度逆时针向方向旋转，到达后立即以原速度顺时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．是否存在某一时刻，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①；(2)①；②或或 【详解】（1）解：①根据题意得，，， ∵点是的中点，∴，∴，故答案为：； ②根据题意得，，， ∵射线平分，∴， ∴，故答案为：； （2）解：①∵，平分， ∴，根据题意得，，          当射线与重合时，，此时，即，解得； 当在内部，在内部时，此时，，若，则，不合题意； 当在内部，在内部时，此时，，若，则，不合题意； 综上所述，当时，； ②由①得当时，与第一次相遇； 当射线到达时，，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时，； 当射线到达时，，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时，； 当和第二次相遇时，，解得； 当时，与第一次相遇之前， ， 由得，解得； 当时，与第一次相遇之后，到达之前， ， 由得，解得； 当时，到达之后原速返回，到达之前，此时，，   ， 由得，解得； 当时，到达之后原速返回，到达之后原速返回，第二次相遇之前，此时，，   ， 由得，解得； 当时，到达之后原速返回，到达之后原速返回，第二次相遇之后，直到旋转至时，、均停止转动．此时，，   ， 由得，解得，不合题意， 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或或． 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，，，，，…，记，比如，，，…，下列说法正确的个数是（    ） ； ，； ；若，则的最小值为16． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，；，； ，；，，故正确； 对于任意k，，当时，， 由和的递推关系相减：， ，故正确； 对于偶数，时，， ，故错误； ：当n为偶数时，，令，得，时，满足条件； 当n为奇数时，，不满足条件； 故n的最小值为14，不是16，错误．综上，正确说法为，共2个．故选：B． 2．（25-26七年级上·河南焦作·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 【答案】B 【详解】解：，， 竖线上的四个数字为，横线上的四个数字为， ，内圈左边的数字为，为或2， 当时，，当时，， 故的值为或1．故选：B． 3．（23-24七年级上·重庆垫江·期末）已知，从y、z、m、n中随机取两个字母作差，记为A，将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对进行化简运算，称此为“差和操作”，例如：为一次“差和操作”，为“差和操作”的一种运算结果，下列说法：①存在两种“差和操作”运算结果的和为； ②不存在两种“差和操作”运算结果的差为； ③所有的“差和操作”共有4种不同运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：从y、z、m、n中选两个作差记为A，剩下两个作差取绝对值记为B，计算，共有12种情况，化简后得到5种不同结果： ∵ ，，， ，， 对于说法①：取和，∵，∴说法正确； 对于说法②：计算任意两结果差，均无， 例如等，∴说法正确； 对于说法③：有5种不同结果，非4种，∴说法错误； 综上，正确说法有2个．故选：C． 4．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）古人在研究天文，历法时，也曾经采用七进制，十二进制，六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期7天，一年12个月，一小时60分钟的计时方法．某校七年级课外实践小组在对进位制的认识与探究活动中，李老师给小组出了一个问题：“的计算结果是多少？”，此题的正确结果是 ．（结果用七进制表示） 【答案】 【详解】计算过程如下： 个位：，写0进位1；十位：，余1，写1进位1；百位：，写4． 故答案为：． 5.（2026·浙江·模拟预测）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为 ． 【答案】228 【详解】解：根据“天元式”规定的意义，图2表示的多项式是：， ∴一次项系数为228，故答案为：228． 6．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是 ．（保留幂的形式） 【答案】 【详解】解：由图可知，； ； ； ； ， ； ， ∴．故答案为：． 7．（25-26七年级上·广东深圳·月考）某中学把WIFI密码按照如图规律设置，根据提供的信息可以推断出该中学的WIFI密码是 ． 【答案】451055 【详解】解：根据已知条件： ∴的结果，前两个数可表示为，中间两个数可表示为，最后两个数可表示为， ，故答案是：451055． 8．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)判断与3是否互为“友好数”，并说明理由；(2)若有理数a与b互为“友好数”，求代数式的值．(3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值为______． 【答案】(1)是，见解析(2)(3) 【详解】（1）解：与3互为“友好数”，理由如下： ，，，与3互为“友好数”； （2）解：与互为“友好数”，； ∴； （3）解：当时，由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：；由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：；由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：．观察得：数列以为周期循环，周期为6． ，．故答案为：． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期中）（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么________，________； ②为了求的值，可以这么做： 令，则， 因此，所以，即． 仿照以上推理：（2）计算的值． （3）计算． 【答案】（1）2；；；（2）；（3） 【详解】解：（1）由题意得：， ∵ ∴，；故答案为： 2；；； （2）令 则 得：，； （3）令 则 ： ∴ ∴ ． 10．（25-26七年级上·山东日照·月考）新定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”．例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程” (1)下列方程中：①；②；③ _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值6方程”（填写序号）． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【答案】(1)①和②，①和③(2)或 【详解】（1）解：方程①：，解得； 方程②：，解得；方程③：，解得， ∵，，∴①和②为“值1方程”，①和③为“值6方程”， 故答案为：①和②，①和③． （2）解：由方程，解得，由方程，解得， 由题意得，即，当时，，解得； 当时，，解得，综上所述，或． 1．（25-26七年级上·重庆万州·月考）已知三个数，，c，任取其中两个数相减后取其绝对值再加上第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，．以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是7； ②若，，，且，，中最小值为0，则或； ③若，则第n次操作的结果为，，．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①∵，，， ∴，，，∴ 最大数为7，故①正确； ②∵，，，即，，， ∴，，， ∵最小值为0，若，则，解得或； 若 ，则，无解；若 ，则，解得， 当时，，，，当时，，，， 当时，，，，均满足最小值为0，故或， 故②正确； ③∵，且，第一次操作: ，，， 第2次操作：，，； 第3次操作：，，． ⋯⋯， 类似的，第n次操作后有两个数为，，，故③正确．综上，①②③均正确．故选：D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知三个数a、、，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是10； ②若，，，则的最小值为14； ③若，则存在某一次操作的结果为，，； 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：∵初始三个数为，， ∴操作得，，∴最大数为，说法①正确． ∵初始三个数为，，∴操作得，，， 需求的最小值,分段讨论： 当时，表达式为； 当时，表达式为，在时取最小值； 当时，表达式为； 当时，表达式为∴最小值为，说法②正确． ∵给定，则初始数为、、 模拟操作序列：第1次操作：得、、；第2次操作：得、、； 第3次操作：得、、；第4次操作：得、、； 第5次操作：得、、；第6次操作：得、、 ∴存在某次操作结果为、、，说法③正确．综上，三个说法均正确，故选：． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）在同一平面内探索“直线相交时可以把平面最多分成多少个区域”的问题时，研究者发现k条直线分成的区域中三角形的个数存在某种规律，将条直线相交最多组成的三角形的个数记为，通过画图可得，当时，，则当时， ；在此基础上继续探究，若，则 ． 【答案】 4 25 【详解】解：由题意得，当时，此时三角形的个数为4个，即，故答案为：4； 当时，此时三角形的个数为个，即； 当时，此时三角形的个数为个，即； 当时，此时三角形的个数为个，即； ∴条直线相交最多组成的三角形的个数为， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ，∴，故答案为：25． 4．（25-26七年级上·四川成都·期中）有一个数字游戏：对一个两位数作“变换”，先把的十位数字加2，将和的个位数作为新数的十位数字，再把的个位数字加7，将和的个位数作为新数的个位数字，记这个新的两位数为；将按同样的“变换”方式得到；将按同样的“变换”方式得到……． （1）若，则 ； （2）在（1）的条件下，将作“变换”依次得到了，，，…，，再从这2025个数中依次规律地抽取出，，，，…，，其中与值相等的数有 个． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由，十位数字为1，个位数字为 3 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，取个位数，故 ； 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，故； 计算：十位数字加2得 ，个位数字加7得，取个位数4，故 ； 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，取个位数1，故 ； 计算：十位数字加2得，取个位数1，个位数字加7得，故 ；故答案为18． （2）由（1）我们已经计算到， 继续往下计算：计算：十位数字加2得，个位数字加7得，取个位数5，故 ； 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，取个位数2，故 ； 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，故； 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，取个位数6，故 ； 计算：十位数字加2得，取个位数1，个位数字加7得，取个位数3，故； 我们发现，所以周期为10，抽取下标为 3 的倍数的项：， 由于要满足每10个数为一个周期，抽取的下标也要满足是10的倍数，和的最小公倍数为30， 即在到之间的倍数的个数： 需取整数．故答案为． 5．（25-26七年级上·四川成都·月考）已知a，b，c是整数，满足，，则m的值为 ． 【答案】、、 【详解】解：设，，因、、是整数，故、为整数．原方程化为： （）①； ②． 情况1：，， ∵，∴， 代入②得，即，解得，故或． ∵，∴： 当时，或（均大于0，舍去）； 当时，或（均小于0，保留）． 情况2：， ∵，∴，代入②得，即． 若，设（），则： 当时，，解得，故； 当时，（舍去）． 若，设（），则，即，解得，故 汇总符合条件的．综合两种情况，的值为、、．故答案为：、、． 6．（25-26七年级上·四川·期末）已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则 ， ．(2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值． 【答案】(1)10，18；(2)的值不会随着时间t的变化而改变，为； (3)当，15时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位 【详解】（1）解：已知， ，，．故答案为：10，18； （2）解：由（1）可知，，设运动时间为t秒， 则，， ∴的值不会随着时间t的变化而改变，为； （3）解：由（1）可知，，，，， 设点P运动的路程为y， 当时，，此时点P表示的数为， 当时，，此时点P表示的数为， 设点Q运动的路程为， 当时，，此时点Q表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位，即， 情况1：，，，则，即， ∴或，解得，（舍去）； 情况2：，，，则，即， 解得或，即（符合），（舍去）； 情况3：，，，则，即， 解得或，即（舍去），（舍去）； 情况4：，，，则，即， ∴或，即（舍去），（符合）， 综上，当，15时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位． 7．（25-26七年级上·福建龙岩·月考）数轴是一种工具，结合数轴与绝对值知识可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算有紧密联系，借助数轴可以实现它们之间解法的迁移． （1）若点表示的数是，点表示的数是，，求的值． （2）如图1，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点A，B表示的数互为相反数．动点P，Q分别同时从点A，C出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，点以每秒2个单位长度的速度向终点移动，点表示的数为．当点P，Q之间的距离为2时，求此时的值． 【迁移】受此启发，小明制作出一种“异形数轴”用来解决角度问题．如图2：标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位角度．若射线表示，射线表示，则： 【应用】（3）如图3所示，已知，，，射线，同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒 ．当为何值时，？ 【答案】（1）7或；（2）或0；（3）或5 【详解】（1）∵点表示的数是，点表示的数是，， ，或，或，答：的值为7或； （2）∵点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点A，B表示的数互为相反数， ，，，，， 点表示的数为，点表示的数为，，解得或， 当时，；当时，；的值为或0， 答：当点P，Q之间的距离为2时，此时的值为或0； （3）由题意得，， ①、重合前，， ，，； ②、重合后，， ，，； ∴当为或5时，， 答：当为或5时，． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $