上海市虹口区2025-2026学年高一上学期期终学生学习能力诊断测试数学试题

虹口区2025学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试 高一数学试卷 2026.1 考生注意： 1.本试卷共4页，20道试题，满分100分，考试时间90分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸 上，在试卷上作答一律不得分， 一、填空题（本大题满分30分）本大题共有10题，每题3分、清在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 1.已知集合A={4,12,},则A∩z= 2.指数函数y=5的反函数的表达式为 3.不等式+4 x+1 0的解集为 4.函数y= x, x之0的值域为 -x3,x<0 5.若log)a+log3b=2,则a+4b的最小值为 6.已知y=∫(x)是定义域为R的奇函数，当x≤0时，f(x)=x2+2x,则x>0时，∫(x)= 7.（A组题)关于x的不等式4+1og2x≤4的解集为 (B组题)关于x的不等式log2(2x+1)s2的解集为 8.(A组题)若对任意的xeR,不等式x-a-k<3恒成立，则实数a的取值范围为 (B组题)若关于x的不等式x+3到+x-<a的解集为⑦，则实数a的取值范围为 9.（A组题)已知∫(x)=32+2,g(x)=x2-2x+a,若对任意的x∈[0，，都存在x2e[2,4],使得 ∫(x)2g(x),则实数a的取值范围为 (B组题)已知f(x)=32+2,若对任意的x∈[0，，都存在x2e[0,],使得f()+f(x)=a成 立，则实数a的值为 10.(A组题)用max{a,b}表示实数a、b中较大的数，min{a,b}表示实数a、b中较小的数.已知函数 y=f(x)满足：对任意的实数m、n,都有∫(m+m)=max{f(m),n+min{(n),m},则f(40)-f(5) 的值为 虹口区高一年级数学本试卷共4页第1页 (B组题)已知函数y=(x)满足：对任意的实数m、n,都有∫(m+n)=∫(m)+∫()，且∫()=2， 则∫(40)-∫(5)的值为_ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有5题，每题4分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的 相应编号上将代表答案的小方格涂黑， 11.“+2x-=3x-1”是“xs0”的 (A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 12.函数y= 父的图像大致是 (A) (B) 13.已知实数a、b、c,则下列结论不正确的是 (A)若ac2>bc2,则a>b (B)若a<b<0,则a2>ab (c)若a>b>1,则a-1>b-1 (D)若a>b,则a3+b>ab2+a2b b 14.(A组题)已知定义在R上的函数y=∫(x)满足：函数y=f(x)的签点集合为有限集，且对任意的 xeR,都有f((x)+x)=0.则函数y=f(x)的袋点个数的最大值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (B组题)已知∫(x)=x2-1,则函数y=(f(x)的零点个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 15.已知定义域为R的函数y=∫(x)满足：∫(4)=0，且对任意的a、b∈R,都有 f(a)-f(b)=f(a-b)+2(a-b)b 成立.现有如下的两个结论： (A组题)①：“函数y=(x)是偶函数”： @.“对在意的4、R,都有飞)/≥之威立”。 (B组题) ①：“对任意的x∈R,都有∫(x)+(-x)20成立”： ②：“函数y=∫(x)是偶函数”· 虹口区高一年级数学本试卷共4页第2页 则以下说法正确的是 (A)结论①、②均正确 (B)结论①正确，结论②错误 （C)结论①错误，结论②正确 (D)结论①、②均错误 三、解答题（本大题满分50分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出 必要的步繇。 16.(本题满分6分，第1小题3分，第2小题3分) 已知=2r+分 (1)求函数y=f(x)的最小值. (2)判断函数y=f(x)的奇偶性，并证明你的结论， 17.（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分) 已知幂函数y=(x)在(0，+∞)上是严格减函数，其中∫(x)=(m2-m-)x三. (1)求m的值： (2)求关于x的不等式∫(x2+2x<f(x+6)的解集 18.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分) 已知a为实数，集合A={xx2-4x+3=0},集合B={xx2+2(a+1)x+a2-7=0,xeR} (1)若B={x,x},且满足立+立=-14，求实数a的值： X2 X (2)若AUB=A,求实数a的取值范围. 19.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分) 某大型体育赛事期间，为保障主场馆周边地铁站的安全运营，交通部门建立了智能客流预酱系统. 系统通过实时监测站内客流密度d(单位：人平方米)，计算得到压力指数P(d),并自动触发相应级 别的管控措施，即： 三级（蓝色)预警：9≤P(d)<18,加强广播提示： 二级（黄色)预警：18≤P(d)<32,增派工作人员进行安全引导： 一级（红色）预警：P(d)232,实施站外限流. 虹口区高一年级数学本试卷共4页第3页 基于监测数据及经验，当客流密度d达到一定数量后，客流压力指数P(d)会随着d的增加而加速 上升，P(d)可分段表示为 (d),0sd<3, P(d)= U(d),d23. 其中{(d),5(d)}={9og,(d+1),2d}. (A组题)(1)试确定(d)、(d),并作出函数P=P(d)的图像： (2)某站厅面积为S=1000m2,当客流压力指数P()=24.5时，估算此时站内总人数N: (3)若某时段内，客流从零开始以每分钟0.05人平方米的速度匀速增加，试问在触发三级（蓝 色)预蝥后多久将会触发一级（红色)预管？ (B组题)(1)当d=3时，求P(d)的值，并说明此时预警系统会触发几级预警？ (2)试确定(d)、(d),并作出函数P=P(d)的图像： (3)某站厅面积为S=1000m2，当客流压力指数P(d)-24.5时，估算此时站内总人数N. 20。（本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分. 若函数y=∫(x)和函数y=g(x)定义域均为R,且对任意的x∈R,都有(g(x)=g(J(x)成 立，则称y=∫(x)与y=g(x)为“友谊函数对” (1)已知∫(x)=-2x,8(x)=3x,判断函数y=∫(x)与y=g(x)是否互为“友谊函数对”，并说 明理由： (2)已知y=(x)与y=g(x)为“友谊函数对”，函数y=g(x)是R上的严格减函数，求证：存 在x∈R，使得f(x)sx: （A组题)(3)已知函数y=∫(x)与y=g(x)为“友谊函数对”，函数y=∫()是R上的严格增函 数，若函数y=∫(x)-g(x)的零点个数为2026，证明：函数y=g(x)-x的零点个数不大于2026. (B组题)(3)是否存在一次函数y=f(x)和二次函数y=g(x),其中∫()=：+m(k*0), g(x)=ax2+bx+c(a≠0)，使得y=∫(x)与y=g(x)为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样 的y=∫(x)和y=g(x)的表达式：若不存在，请说明理由. 虹口区高一年级数学本试卷共4页第4页参考答案 一，填空题 1.{-4,1} 2.y=logsx 3.(-4,-1) 4.[0,+o∞) 5.12 6.-x2+2x (A组题) 7.(0,1] 8.(-3,3) 9.a≤5 10.35 (B组题) 8.(-0,4] 9.13 10.70 二.选择题 11.B 12.A 13.D (A组题) 14.C 15.C (B组题) 14.C 15.B 三.解答题 16.(1)f0m)=2°+1 2:≥22*=21分)当x=0时取到等号(2分 因此函数y=f(x)的最小值为2(3分) (2)函数y=f(x)的定义域为R,对任意的x∈R,-x∈R(1分) 且八0=2+是=+2=网2分)因能y=f树为偶商数3分) 17.(1)由已知可得m2-m-1=1(1分)，即m2-m-2=(m+1)(m-2)=0, 则m=-1或m=2（2分) 当m=-1,则y=x2在(0，+o)上严格减，符合条件，(3分) 当m=2,则y=x在(0，+o)上严格增，不符合条件，(4分) 综上所述，m=-1. x2+2x>0 (2)由(1)及不等式，有{x+6>0 ,（2分) x2+2x>x+6 x(x+2)>0 可得{x>-6 ,解得-6<x<-3或x>2. (x+3)(x-2)>0 故所求解集为(-6，-3)U(2,+0).(4分) 如果没有考虑定义域只考虑了单调性扣2分. 18.（1)由已知可得x,x,是关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-7=0的两个不等实数根， 则△=4(a+1)2-4(a2-7>0,(1分)，即a>-4(2分) 由韦达定理可得x+x2=-2(a+1),xx2=a2-7(3分) 所以5+5=+发-（色+-2适-4(a+-2=-14. X2 X xX2 X X2 a2-7 解得a=2或a=-号，均满足a>-4.因此a=2或a=-5(5分). 5 2 (2)由AUB=A得B∈A.(1分) 当B=⑦时，△<0，此时a<-4;（2分) 当B≠☑时，B中有一个元素或两个元素， 【若B中有一个元素时，△=0，解得a=-4,此时B={3},满足条件；(3分) Ⅱ若B中有两个元素时，A=B,即1、3是关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-7=0的两个 根，由(1)得a>4,且1+3=2a+,没有满足条件的a. 13=a2-7. 综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤-4}(5分) 19.(A组题)(1)(d)=91og2(d+1),f(d)=2d2(2分)（作图2分） (2)P(d)=24.5时，f(d)=2d=24.5,解得d=3.5,(2分) 此时N=Sd=3500人(3分)，因此站内总人数的估计值为N=3500人(4分) (3)若触发三级预警，则P(d)=(d)=9og2(d+1)=9时，得d,=1(1分) 若触发三级预警，则P(d2)=f(d2)=2d=32时，得d2=4(2分) 则△d=4-1=3,所需时间为05=60分钟，(3分) 即60分钟后会触发一级（红色预警)(4分) (B组题)(1)d=3时，P(d)=18(2分)，预警系统会触发二级预警(4分) (2)f(d)=9log2(d+1),3(d)=2d2(2分)（作图2分） (2)P(d)=24.5时，f(d)=2d2=24.5,解得d=3.5,(2分) 此时N=Sd=3500人(3分)因此站内总人数的估计值为N=3500人(4分) 20.(1)因为f(g(x)=-2(3x)=-6x,g(f(x)=3(-2x)=6x，(2分) 所以f(g(x)=g(f(x),所以y=f(x)与y=g(x)“友谊函数对”(4分) (2)若结论不成立，则对任意得x∈R,f(x)>x,(2分) 于是f(g(x)>g(x),又由函数y=g(x)严格减得g(f(x)<g(x), 于是g(x)<f(g(x)》=g(f(x)<g(x),矛盾.综上所述，命题得证. (A组题) (3)记G(x)=g(x)-x,设y=G(x)有M个零点分别为x,x2,,xM(x<x2<…<xM), 则g(x)=x,i=1,2,M.则由f(x)=f（g(x)=gf(x)月，i=1,2,,M, 得f(x)=g(f(x).(2分) 所以f(x)也是y=G(x)的零点，因此f(x)∈{x,x2,,xM}(3分) 又因为y=f(x)为增函数，且x<x2<…<xM,所以f(x)<f(x2)<…<f(xM), 又因为f(x),f(x),、f(xw)是{x,x2,…,xw}中M个不同元素， 所以f(x)=,f(x)=x,f(xw)=xM,(5分) 所以f(x)-g(x)=x,-x=0,即每个y=G(x)的零点都是y=f(x)-g(x)的零点， 所以M≤2026，即函数y=G(x)=g(x)-x的零点个数不大于2026(6分) (B组题) (3)设f(x)=c+m,g(x)=ax2+bx+c,其中a≠0，k≠0 则f(g(x)=kax2+kbx+kc+m,(1分) 8(f(x))=a(kx+m)2+b(kx+m)+c=ak'x2+(2akm+bk)x+am2+bm+c (2) ka=ak2, 若f(x)=g(x)恒成立，则{kh=2ak+bk, (3分) am2+bm+c=kc+m 由ka=ak2得k=1(4分)，再由kb=2akm+bk得m=0(5分) 此时am2+bm+c=kc+m对任意的实数a恒成立. 因此存在这样的一次函数y=f(x)和二次函数y=g(), 所有满足条件的f(x)=x,g(x)=ax2+bx+c(a≠0).(6分)