专题1.2 等腰三角形（知识荟萃+16个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

专题1.2 等腰三角形 （知识荟萃+16个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：等腰三角形的概念与性质 2 知识点梳理02：等腰三角形的判定 2 知识点梳理03：等边三角形的概念与性质 2 知识点梳理04：等边三角形的判定 3 知识点梳理05：含有30°角的直角三角形 3 题型讲练 3 题型1：等边对等角 3 题型2：三线合一 6 题型3：等边三角形的性质 7 题型4：根据等角对等边证明等腰三角形 10 题型5：根据等角对等边证明边相等 12 题型6：根据等角对等边求边长 14 题型7：等腰三角形的性质和判定 15 题型8：格点图中画等腰三角形 17 题型9：找出图中的等腰三角形 19 题型10：直线上与已知两点组成等腰三角形的点 21 题型11：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 24 题型12：反证法证明中的假设 26 题型13：用反证法证明命题 27 题型14：等边三角形的判定 28 题型15：等边三角形的判定和性质 30 题型16：含30度角的直角三角形 33 中考真题 36 分层训练 40 基础夯实 40 培优拔高 47 知识点梳理01：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点梳理02：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 【易错点拨】 (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点梳理03：等边三角形的概念与性质 2. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 【易错点拨】 （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点梳理04：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点梳理05：含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 题型1：等边对等角 【典例精讲】（24-25八年级下·福建宁德·月考）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，例如：在中，，若存在过点的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，如图所示，当，时，是满足条件的一种情况，此时．求满足以上条件的其他情况时的度数为 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，能够正确分类讨论是解决本题的关键． 分类当，时，，时，，时，，时，结合等腰三角形的性质与三角形外角的性质计算求解． 【规范解答】解：当，时，如图所示， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 综上所述，的度数为或或或． 故答案为：或或． 【变式训练】（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）一个等腰三角形的一个内角等于，则这个三角形的顶角应该为 ． 【答案】/110度 【思路点拨】该题考查了等腰三角形和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，讨论是顶角或底角的情况． 【规范解答】解：设等腰三角形的顶角为，底角为，则． 若是顶角，即，则，，三角形角度为、、，符合条件． 若是底角，即，则，不成立． 因此，只能是顶角． 故答案为：． 题型2：三线合一 【典例精讲】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证，推出，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，进而根据即可求解． 【规范解答】解：∵，为边上的中线， ，， 在和中，，，， ， ∴，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，，是的中点，于点，若，则 ． 【答案】4 【思路点拨】此题主要考查了含直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握含直角三角形的性质是解决本问题的关键．在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半． 由中，，，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出，再由，且为的中点，利用三线合一得到垂直于，又垂直于，利用同角的余角相等得到，在直角三角形中，利用所对的直角边等于斜边的一半，根据的长，即可求出的长． 【规范解答】解：∵中，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 又， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：4． 题型3：等边三角形的性质 【典例精讲】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在等边中，于点D，F是直线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，利用等边三角形的性质得到，，，进而证明，得到，再求出线段的最小值，即可得出答案． 【规范解答】解：如图，连接， 由题意可得：，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴线段的最小值，即为线段的最小值， 又∵F为直线上一动点，， ∴点F与点D重合时，最小， ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 即线段的最小值为． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，根据性质得到边长与的关系是解题的关键．由是等边三角形可知，利用等边三角形以及三角形内角和可证，再根据等腰三角形的性质可知，进一步可证，同理可证，，，归纳可得，最后代入即可得解． 【规范解答】解：如图所示， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， 的边长为． 故选：C． 题型4：根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，，根据全等三角形的判定和性质定理以及角平分线的定义即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：连接，， 由作图知，，， 在与中，， ， ， 平分； （2）解：，， ， 平分； ， ， ， ， ， 的周长． 题型5：根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（25-26八年级下·山东淄博·月考）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)36海里 (2)没有危险 【思路点拨】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角．   （1）根据已知条件得到 ，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；   （2）过C作交的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）解：根据题意得  , ，（海里），   ∴ ， ∴ ，   ∴（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为36海里；   （2）解：没有触礁的危险，理由如下：   过C作交的延长线于点D，   ∵（海里），   ∴（海里），   ∵，   ∴若这条船继续由西向东航行没有触礁的危险． 【变式训练】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形是解题的关键．过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离，根据题意可求得，从而得到海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到海里，最后利用勾股定理求得，即可判断． 【规范解答】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下：过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离， 由题意可知，，海里， ， ， ， 海里， ，， 海里， 在中，由勾股定理得 ， 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 题型6：根据等角对等边求边长 【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，平分，交于点E，，则的周长是（　　） A．11 B．13 C．22 D．26 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边等知识，掌握它们是关键；由平行四边形的性质得，，进而求得及，再由角平分线的性质即可得，从而可求得结果． 【规范解答】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是：． 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·山西太原·月考）如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点P，与交于点Q，则的长度为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解答的关键是等腰三角形的判定． 先由平行的性质得，再由角平分线的性质得，进而得，即可得． 【规范解答】解：由题意可知，，， 两直线平行，内错角相等， 平分， ， ， ， 故答案为：． 题型7：等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，的延长线交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，由余角性质和等腰三角形的性质可得，进而得到，即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】证明：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）若等腰三角形的顶角为，腰长为，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】先通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形，利用等腰三角形性质求出底角和高的长度，再运用勾股定理计算底边一半的长度，最后得出底边长； 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵ 等腰三角形顶角为，腰长， ∴ 底角． 作高，则； 在中，， ∴（角邻边为斜边的）， ∴. 故选：B． 题型8：格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，正方形网格每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求画图，使得图形的顶点在格点上． (1)画，使为等腰直角三角形，并且的面积为； (2)的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了应用与设计作图，熟练掌握网格结构以及勾股定理，直角三角形，熟练掌握画图技巧是解题的关键． （1）根据勾股定理，直角边长取值为，画图即可； （2）利用勾股定理求出边长即可得出周长． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：当时，的面积为， 由勾股定理得，， ∴的周长为． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·月考）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标是整数的点称为整点，记三个顶点都是整点的三角形为整点三角形，如图，已知整点，，请在所给的网格区域（含边界）上按要求画整点三角形． (1)在图1中画一个等腰且的面积为3． (2)在图2、图3中各画一个（两个三角形不全等），并且使点P落在坐标轴上． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握以上知识点是关键． （1）如图所示，取整点P，则等腰即为所求； （2）如图所示，取整点P，则即为所求． 【规范解答】（1）解：如图1，所作等腰即为所求； ， ； （2）如图2，所作即为所求； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 如图3，所作即为所求； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 题型9：找出图中的等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在中，，则的长为（    ） A．4cm B．8cm C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理． 由角度比确定为等腰直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为，，． (1)若与关于x轴成轴对称，画出； (2)①判断的形状，并说明理由． ②计算的面积为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 【思路点拨】（1）按照画轴对称图形的方法作图即可； （2）①由勾股定理及其逆定理即可得出结论；②利用三角形的面积公式即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：①为等腰直角三角形，理由如下： 由勾股定理可得：，，， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； ②的面积， 故答案为：5． 题型10：直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点．若直线 与x轴、y轴分别交于点B、D，且与直线交于点C，点C的横坐标为2． (1)求直线的表达式； (2)直线 上是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；或 【思路点拨】本题考查了一次函数的交点问题，用待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质， （1）先求出 解析式得到，将代入，求解即可； （2）先求出，得到，，则是等腰直角三角形，得到，再分两种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：把代入得： ， 解得， ， 当时，， ∴， 将代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：当时，，解得， ∴， ∴，， 当时，，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； 分以下两种情况： ①过点A作x轴的垂线，交直线于点M， 在 中，令，则， ∴， 即此时是等腰直角三角形，； ②如图，取的中点N，过点N作x轴的垂线，交直线于点，由垂直平分线的性质可得， ∴， ∴， 即此时是等腰直角三角形， 由N为的中点，易得， 在 中，令，则， ∴． 综上，直线上存在点M，使为等腰直角三角形，点M的坐标为或． 【变式训练】（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线交x轴于点，将直线向下平移4个单位长度得到的直线分别交x轴、y轴于点．    (1)求a的值及点B的坐标； (2)点M为线段OA上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)） (2)点M的坐标为或 【思路点拨】（1）把的坐标代入即可求得，然后利用平移的规律求得平移后的直线解析式，由函数解析式，令求点坐标，求点坐标； （2）分两种情况讨论：若，即可求得，得到；若时，求得，得到，． 【规范解答】（1）解：直线交轴于点 ， 解得， ， 将直线向下平移4个单位长度，得到的直线， 令，则，解得， 令，则， ，； （2）解：若时， ， ， ，    若， ，， ， ， ，，    综上，的坐标为或，． 题型11：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【规范解答】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，为方格纸中格点上的两点，若以为边（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为 个．    【答案】 【思路点拨】根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解． 【规范解答】解：如图所示，为等腰三角形，，      ①当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴，， ∴点即为所求； ②当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴， ∴点即为所求； ③当时，作线段的垂直平分线交格点于点， ∴，，则，符合题意， ，，则，符合题意， ∴点即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为个， 故答案为：． 题型12：反证法证明中的假设 【典例精讲】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设（   ） A．不平行于 B．不平行于 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是反证法，解此题的关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【规范解答】解：用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设不平行于， 故选：． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）“证明：同位角不相等，两直线不平行”，用反证法证明这个结论时，应先假设 ． 【答案】两条直线平行 【思路点拨】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【规范解答】解：“证明：同位角不相等，两直线不平行”，用反证法证明这个结论时，应先假设两条直线平行． 故答案为：两条直线平行． 题型13：用反证法证明命题 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）用反证法证明：已知中，，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了反证法，三角形内角和定理，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【规范解答】证明：假设 ∵ ∴ ∵ 又因为：在一个三角形中，三个内角和为180度， ∴不可能有两个内角和大于或等于180度 ∴假设矛盾 ∴假设不成立 ． 【变式训练】（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 【规范解答】（1）解：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 题型14：等边三角形的判定 【典例精讲】（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，于，平分，交于，交于 (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理，等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等可得，，由角平分线的定义得到，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）由等边对等角，角平分线的定义和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质可得，据此可证明结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽宿州·月考）如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【思路点拨】此题考查了等边三角形的判定，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质推出，则，结合，即可判定是等边三角形． 【规范解答】证明：平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 题型15：等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在等边中，是边上的中线，点分别是上的两点，点是上一动点，若，则的最小值为（   ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题考查动点最值问题，涉及对称性、等边三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，熟练掌握动点最值问题-两点之间线段最短的解法是解决问题的关键． 作点关于的对称点，连接，如图所示，由对称性得到，，再由等边三角形性质求出，然后连接，如图所示，由等边三角形的判定得到是等边三角形，进而由等边三角形性质得到，再由，利用两点之间线段最短求解即可得到答案． 【规范解答】解：作点关于的对称点，连接，如图所示： 由对称性可知，， 在等边中，是边上的中线，则， ， ， ， ， 在等边中，，则，， ，， 即， 连接，如图所示： 是等边三角形， 则， ， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段长， 则的最小值为, 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，过作的平行线交于点，所以，又是等边三角形，得，，，然后证明，故有，因为，是等边三角形，所以，，设，则，，最后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过作的平行线交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 题型16：含30度角的直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵，， ∴和是直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接交于点F，连接、． (1)求证：是的平分线； (2)若平分，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【思路点拨】（1）先根据平行四边形的性质可得，则可得，，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后证出，则可得，最后根据平行四边形的判定即可得证； （3）先求出，再根据等腰三角形的三线合一可得平分，，则可得，然后求出平行四边形的面积为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 由（1）已证：， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∵， ∴平分，， ∴（题（2）已证）， ∴， ∴平行四边形的面积为 ． 1．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在平行四边形中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键，根据平行四边形的性质可得，，由此得出，再利用等边对等角和三角形的内角和定理可求出，最后利用平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：在平行四边形中， ，， ，， ， ， ， 又， ． 故选：C． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，是的高，平分，过点作交的延长线于点，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据，，根据直角三角形的性质即可求得的长，再根据角平分线的定义及平行线的性质推出，继而得到，可得结论． 【规范解答】解：∵是的高，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2024·河南信阳·中考真题）如图，在中，，点P是射线上一动点，连接，在它的左侧作，过点作交于点．若，则 ． 【答案】10 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质，根据已知求得，截取，证明，有和，过点A作于点K，作交的延长线于点H，即可证明，有，在的延长线上截取，连接，则，有和，进一步证明，则，那么即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 截取，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点K，作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在的延长线上截取，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故答案为：10． 4．（2024·全国·中考真题）如图①，在中，，动点从点出发，沿匀速运动至点后停止．设点运动的路程为，的面积为．若关于的函数图象如图②所示，则的最大值为 ．    【答案】 【思路点拨】根据图①可知，当点在段运动时，此时最大．结合图②可知，，过点作于点，根据勾股定理可求出，由此可求出的面积，即为的最大值． 【规范解答】解：设边上的高为，则，其中固定不变．当点在段运动时，随着的增大而增大，对应图②中的段；当点在段运动时，的值不变，对应图②中的段，此时最大．由图②可知，，． 如图，过点作于点．      在中，，， ， ， ， ． 5．（2024·上海·中考真题）如图，直线的函数解析式为，它与轴、轴分别交于，两点，其中点的坐标为． (1)求点的坐标． (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向轴负半轴运动．当为轴对称图形时，求点运动的时间． 【答案】(1)点的坐标为 (2)当为轴对称图形时，点运动的时间为或或或 【思路点拨】（1）先把代入解析式求出的值，再将代入解析式中即可求出点的坐标； （2）求为轴对称图形，实质是求动点，使为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论即可求出点的坐标． 【规范解答】（1）解：将代入，得， 直线的函数解析式为． 令，得， 点的坐标为． （2）解：当为轴对称图形时，为等腰三角形． ，， ． 当时，点的坐标为或， 此时点运动的时间为或； 当时，点的坐标为，此时点运动的时间为； 当时，设，则． 在中，，解得， 点的坐标为，此时点运动的时间为． 综上所述，当为轴对称图形时，点运动的时间为或或或． 基础夯实 1．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．先求出，根据，得，，则，然后根据即可得出答案． 【规范解答】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【规范解答】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，由是等边三角形，则，又，所以，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级下·福建宁德·月考）在中，，，，则 ． 【答案】3 【思路点拨】此题考查了等边三角形的判定与性质．掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 由和，可判定是等边三角形，从而． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴（等边对等角）， ， 是等边三角形（三个角都是的三角形是等边三角形）， ． 故答案为：3． 5．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）在如图所示的正方形网格中， ． 【答案】/135度 【思路点拨】本题考查了全等三角形的证明及性质，以及等腰三角形的性质，能够证得三角形全等是解题关键； 先证得，进而得到，然后再根据等腰三角形的性质得到，进而可求解． 【规范解答】解：如图，可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）某学校体育器材室侧面示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶离地面的高度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了轴对称图形的性质、等腰三角形的判定和性质和勾股定理的应用，作出辅助线是解决本题的关键． 过点作于，根据轴对称图形的性质即可得，从而利用勾股定理即可求得答案． 【规范解答】解：由图可得，， 过点作于，如下图， ∵学校体育器材室侧面示意图是一个轴对称图形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴房顶离地面的高度为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，在平行四边形中，，，于，则 度． 【答案】/20度 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的基本性质．由，可以得到，又由推得，而，由此可以求出． 【规范解答】解：，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图，是的外角，． (1)求作的角平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)请证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了基本作图－作已知角的平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的判定．注意：内错角相等，两直线平行． （1）利用基本作图作平分，即可； （2）利用平分得到，再根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形外角性质证明，从而可判断． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质可得的度数，再由三线合一定理即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：平分 ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，F是的中点， ． 10．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的判定等．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键．由等角对等边得到，利用“”判定，再得出对应相等的两边即可． 【规范解答】证明：， ． ，，， ． ． 培优拔高 11．（24-25八年级下·山东威海·期末）用直尺和圆规作已知角的平分线，下列作法中，射线是的平分线的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握好尺规作图的操作规范是解题关键． 根据尺规作图的痕迹判断线段和角之间的关系，结合全等三角形和等腰三角形的性质，逐一判断选项即可． 【规范解答】解：对于第一个图，由尺规作图的痕迹可知，射线是的平分线； 对于第二个图， 由尺规作图的痕迹可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的平分线； 对于第三个图，由尺规作图的痕迹可知，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴射线为的平分线； 对于第四个图， 由尺规作图的痕迹可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线是的平分线， 综上所述，射线是的平分线的有4个． 故选：D． 12．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可知，根据求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 13．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在 中，，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且是边的中点，，垂足为．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【思路点拨】由角平分线的性质得到，由平行线的性质得到，继而解得，证明，由全等三角形的对应边相等得到，再结合线段中点的性质解得，最后在中，根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵为的平分线， ∴， 在中，则，， ∴， ∴， ∴， 又F为的中点， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，则， ∴， 在中，． 故选：A． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，把等边三角形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，于点．若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据折叠得到，进而得到，从而得到的长. 【规范解答】解：是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ． ， ， ． 故答案为：. 15．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，于点，的平分线分别交于点为的中点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，由等腰直角三角形的性质得出，证明得出，证明得出垂直平分，从而得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：在中，，，于点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，即， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴ 故答案为：． 16．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，，点D为三角形内部一点且，点E为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【答案】或 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是通过构造全等三角形转化角和边的关系． 分两种情况讨论为直角三角形时的角度，利用全等三角形的性质和角度关系计算的度数． 【规范解答】解：①当时，如图，延长到点，使，连接， , , 在和中， ， , ， 点E为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中： , ， ， , ； ②当时，如图，延长到点，使，连接、， 同①理可得， ; 综上，的度数为或． 故答案为：或． 17．（23-24八年级下·河南郑州·月考）如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质． 根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【规范解答】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 18．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，．点D是边上一点，点E是直线上一动点（不与重合）连接，以为一边在的左侧作，，连接． 观察猜想：（1）如图1，当点D与点C重合，则与之间的位置关系是 ； 类比探究：（2）如图2，当点D不与点C重合，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 拓展迁移：（3）在（1）的条件下，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）垂直；（2）成立，理由见详解；（3）30或6 【思路点拨】（1）根据题意可得，即可证明，有，则有，那么，； （2）过点D作交于点N，则和，同理可证明，有，则有即可； （3）由（1）知，，，则，得到，由面积公式得到的面积为，分情况：当点E在延长线上，则；当点E在延长线上，则，分别计算即可； 【规范解答】证明：（1）垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故与之间的位置关系是垂直； （2）成立，理由如下： 如图，过点D作交于点N， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3）由（1）知，，，则， ∴， 则的面积为， 当点E在延长线上，如图， 则， ∵， ∴， 则的面积为； 当点E在延长线上，如图， 则， ∵， ∴， 则的面积为； 综上，的面积为30或6． 19．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当 时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)或或． 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得到，再根据等边三角形的判定定理证明即可；   （）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可；   （）分，，三种情况，再根据等腰三角形的判定定理计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 20．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． (1)如图1，平分，连接．求证：； (2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，证明见解析 【思路点拨】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据题意可证， 得到，由此即可求解； （2）①在上截取，连接，可证，得到，，则为等边三角形，由此即可求解； ②在上取点，使，连接，可证，由①知，为等边三角形，则，，，，所以，由即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②在上取点，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 由①知，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 等腰三角形 （知识荟萃+16个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：等腰三角形的概念与性质 2 知识点梳理02：等腰三角形的判定 2 知识点梳理03：等边三角形的概念与性质 2 知识点梳理04：等边三角形的判定 3 知识点梳理05：含有30°角的直角三角形 3 题型讲练 3 题型1：等边对等角 3 题型2：三线合一 4 题型3：等边三角形的性质 4 题型4：根据等角对等边证明等腰三角形 5 题型5：根据等角对等边证明边相等 5 题型6：根据等角对等边求边长 6 题型7：等腰三角形的性质和判定 7 题型8：格点图中画等腰三角形 7 题型9：找出图中的等腰三角形 8 题型10：直线上与已知两点组成等腰三角形的点 9 题型11：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 10 题型12：反证法证明中的假设 10 题型13：用反证法证明命题 10 题型14：等边三角形的判定 11 题型15：等边三角形的判定和性质 12 题型16：含30度角的直角三角形 12 中考真题 13 分层训练 14 基础夯实 14 培优拔高 17 知识点梳理01：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点梳理02：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 【易错点拨】 (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点梳理03：等边三角形的概念与性质 2. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 【易错点拨】 （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点梳理04：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点梳理05：含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 题型1：等边对等角 【典例精讲】（24-25八年级下·福建宁德·月考）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，例如：在中，，若存在过点的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，如图所示，当，时，是满足条件的一种情况，此时．求满足以上条件的其他情况时的度数为 ． 【变式训练】（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）一个等腰三角形的一个内角等于，则这个三角形的顶角应该为 ． 题型2：三线合一 【典例精讲】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 【变式训练】（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，，是的中点，于点，若，则 ． 题型3：等边三角形的性质 【典例精讲】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在等边中，于点D，F是直线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为 ． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A． B． C． D． 题型4：根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【变式训练】（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的周长． 题型5：根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（25-26八年级下·山东淄博·月考）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【变式训练】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 题型6：根据等角对等边求边长 【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，平分，交于点E，，则的周长是（　　） A．11 B．13 C．22 D．26 【变式训练】（24-25八年级下·山西太原·月考）如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点P，与交于点Q，则的长度为 ． 题型7：等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，的延长线交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）若等腰三角形的顶角为，腰长为，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C． D． 题型8：格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，正方形网格每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求画图，使得图形的顶点在格点上． (1)画，使为等腰直角三角形，并且的面积为； (2)的周长为______． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·月考）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标是整数的点称为整点，记三个顶点都是整点的三角形为整点三角形，如图，已知整点，，请在所给的网格区域（含边界）上按要求画整点三角形． (1)在图1中画一个等腰且的面积为3． (2)在图2、图3中各画一个（两个三角形不全等），并且使点P落在坐标轴上． 题型9：找出图中的等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在中，，则的长为（    ） A．4cm B．8cm C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为，，． (1)若与关于x轴成轴对称，画出； (2)①判断的形状，并说明理由． ②计算的面积为 ． 题型10：直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点．若直线 与x轴、y轴分别交于点B、D，且与直线交于点C，点C的横坐标为2． (1)求直线的表达式； (2)直线 上是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线交x轴于点，将直线向下平移4个单位长度得到的直线分别交x轴、y轴于点．    (1)求a的值及点B的坐标； (2)点M为线段OA上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点M的坐标． 题型11：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，为方格纸中格点上的两点，若以为边（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为 个．    题型12：反证法证明中的假设 【典例精讲】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设（   ） A．不平行于 B．不平行于 C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏苏州·月考）“证明：同位角不相等，两直线不平行”，用反证法证明这个结论时，应先假设 ． 题型13：用反证法证明命题 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）用反证法证明：已知中，，求证：． 【变式训练】（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 题型14：等边三角形的判定 【典例精讲】（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，于，平分，交于，交于 (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：是等边三角形． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽宿州·月考）如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 题型15：等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在等边中，是边上的中线，点分别是上的两点，点是上一动点，若，则的最小值为（   ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【变式训练】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 题型16：含30度角的直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接交于点F，连接、． (1)求证：是的平分线； (2)若平分，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 1．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在平行四边形中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，是的高，平分，过点作交的延长线于点，则的长是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·河南信阳·中考真题）如图，在中，，点P是射线上一动点，连接，在它的左侧作，过点作交于点．若，则 ． 4．（2024·全国·中考真题）如图①，在中，，动点从点出发，沿匀速运动至点后停止．设点运动的路程为，的面积为．若关于的函数图象如图②所示，则的最大值为 ．    5．（2024·上海·中考真题）如图，直线的函数解析式为，它与轴、轴分别交于，两点，其中点的坐标为． (1)求点的坐标． (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向轴负半轴运动．当为轴对称图形时，求点运动的时间． 基础夯实 1．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·福建宁德·月考）在中，，，，则 ． 5．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）在如图所示的正方形网格中， ． 6．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）某学校体育器材室侧面示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶离地面的高度为 ． 7．（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，在平行四边形中，，，于，则 度． 8．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图，是的外角，． (1)求作的角平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)请证明． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．（24-25八年级下·广东广州·开学考试）如图，，，求证：． 培优拔高 11．（24-25八年级下·山东威海·期末）用直尺和圆规作已知角的平分线，下列作法中，射线是的平分线的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 13．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在 中，，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且是边的中点，，垂足为．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．3 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，把等边三角形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，于点．若，则的长为 ． 15．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，于点，的平分线分别交于点为的中点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ． 16．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，，点D为三角形内部一点且，点E为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 17．（23-24八年级下·河南郑州·月考）如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 18．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，．点D是边上一点，点E是直线上一动点（不与重合）连接，以为一边在的左侧作，，连接． 观察猜想：（1）如图1，当点D与点C重合，则与之间的位置关系是 ； 类比探究：（2）如图2，当点D不与点C重合，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 拓展迁移：（3）在（1）的条件下，若，请直接写出的面积． 19．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当 时，是等腰三角形． 20．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． (1)如图1，平分，连接．求证：； (2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $