精品解析：吉林省长春市十一高中2025-2026学年高一上学期第三学程考试（期末考试）数学试卷

吉林省长春市十一高中2025-2026学年高一上学期 第三学程考试（期末考试）数学试卷 第Ⅰ卷（共 58 分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.注：第7题是选做题，B组题、A组题选择一道作答即可，不论选择哪个组别，均在答题卡第7题位置进行填涂. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则的最小值是（　　） A. 5 B. 25 C. 36 D. 64 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 对任意，函数满足，若方程的根为，，，，则.（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 为使在区间上至少出现100次最大值，则的最小值为（ ）． A 198 B. 199 C. 200 D. 201 9. 已知定义在上的单调函数满足.若对，使成立，则n的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.注：第10题是选做题，B组题、A组题选择一道作答即可，不论选择哪个组别，均在答题卡第10题位置进行填涂. 10. （多选）以下四个命题中，是真命题有（ ） A. ∀x∈R，x2－x＋1>0 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题：，，则否定为：， D. 若，则 11. 设函数，若关于的方程有四个实数解，，，，且，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数若，且，则的可能取值是（ ） A. 1 B. C. D. 13. 已知函数，其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 第Ⅱ卷（共 92 分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 14. 如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是___________． 15. 若方程的解所在区间为，，则k的值为_______． 16. 已知锐角，，满足，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.注：第19题是选做题，B组题、A组题选择一道作答即可，不论选择哪个组别，均在答题卡第19题位置进行作答. 17. 已知角终边上的一点，（）. （1）求值； （2）求的值. 18. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的值和函数的对称轴方程； （2）当时，求的值域； （3）若，求的值. 20. 大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设． （1）试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）当时，求加温带的长； （3）为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用． 21. 已知函数部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 22. 已知函数，其中． （1）判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）； （2）当时，比较与的大小； （3）若函数有三个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市十一高中2025-2026学年高一上学期 第三学程考试（期末考试）数学试卷 第Ⅰ卷（共 58 分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.注：第7题是选做题，B组题、A组题选择一道作答即可，不论选择哪个组别，均在答题卡第7题位置进行填涂. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程得到集合，由集合的并集运算得到结果. 【详解】，，，又，． 故选：D. 2 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式、两角和的正弦公式求得. 【详解】 . 故选：A 3. 已知，且，则的最小值是（　　） A. 5 B. 25 C. 36 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求得，再由，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 所以， 故选：A 5. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可得出函数的最小正周期，求出的值，代值计算可得的值. 【详解】由题意可知，函数最小正周期为，解得，则， 故. 故选：A. 6. 对任意，函数满足，若方程的根为，，，，则.（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数f(x)的对称轴方程为x=1，再利用函数的对称性求解. 【详解】因为函数满足， 所以函数f(x)的对称轴方程为x=1. 因为方程的根为，，，， 设+++=S，则S=+++, 因为函数f(x)的对称轴方程为x=1， 所以， 所以2S=2n. 所以S=n. 所以+++=n. 故选B 【点睛】本题主要考查函数的对称性及其应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 7. 若函数有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定当时的零点个数，再利用正弦函数的性质对于的情况进行分析，建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】当时，由题意得单调递增， 令，解得，此时具有唯一零点， 又因为有个根，所以当时，有个零点， 因为，所以， 所以有，解得，即. 故选：B． 8. 为使在区间上至少出现100次最大值，则最小值为（ ）． A. 198 B. 199 C. 200 D. 201 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再结合的最大值点求出的范围即可. 【详解】因为，所以， 在区间上至少出现100次最大值，需要最少有个周期， 所以，所以所以， 又，所以． 则的最小值为199. 故选：B. 9. 已知定义在上的单调函数满足.若对，使成立，则n的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的单调性求出的表达式,再分别求出在上的最大值 在上的最大值,最后根据已知条件求出的最小值. 【详解】设,t为常数,则.且在上单调，由已知可知, 即即,解得且在上单调递增.所以在上的最大值为. 在上的最大值. ∵对,，，…，,使得成立,只需 ,即,即. 故选:B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.注：第10题是选做题，B组题、A组题选择一道作答即可，不论选择哪个组别，均在答题卡第10题位置进行填涂. 10. （多选）以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. ∀x∈R，x2－x＋1>0 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若命题：，，则的否定为：， D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A配方即可；B根据集合的包含关系判断；C根据特称命题的否定的定义判断；D作差法判断. 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为假命题； 对于C：由特称命题的否定可知，C选项为真命题； 对于选项D：若，则，即，故D选项为假命题. 故选：AC 11. 设函数，若关于的方程有四个实数解，，，，且，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】画出函数图象，通过平移水平直线找到与，与的关系，再利用单调性求得范围. 【详解】的图象如图所示： 因为关于的方程有四个实数解，，，， 且，由图可知. 因为的图象的对称轴为，所以. 由可知，，即，即， 所以，即.又因为，所以. 则，而为上的减函数， 所以，则A，B，C正确. 故选：ABC. 12. 已知函数若，且，则的可能取值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数图像可以得出的关系，可求得的范围，将转化为的函数，求出其值域即可判断. 【详解】可画出函数的图像（如图）， 由，且， 可知，，所以， 令，则， 设，则， 于是，当且仅当时等号成立. 当或时，，所以， 即的取值范围是， 所以的可能取值是：1，，. 故选：ABC. 13. 已知函数，其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角函数的图像性质求，由此确定函数解析式并判断AC，解方程判断B，再结合函数的周期判断D. 【详解】由题意，过点作轴垂线，垂足为， 中，， ，， 解得，，的最大值为，故A错误； 根据，解得的周期，所以， ，结合， 即，，又属于函数的递减区间， 解得，所以，故C正确； 令，则或， 解得或，，所以，故B正确； 根据是周期为4的函数，可得是周期为12的周期函数， 所以， 结合，，， ，，，， 可得，故D错误. 故选：BC 第Ⅱ卷（共 92 分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 14. 如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】运用扇环的定义，两个同心扇形（圆心相同）的面积差利用扇形面积公式求解两个扇形的面积差. 【详解】由题意知， 因为， 由扇形面积公式得: 所以． 故答案为：. 15. 若方程的解所在区间为，，则k的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】令，则零点所在区间为，利用零点存在定理及函数的单调性判断即可． 【详解】令，则在上连续，且单调递增， 因为， ， 所以的零点在内， 即方程的解所在区间为， 所以k的值为3． 故答案为： 16. 已知锐角，，满足，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，提取公因式，利用两角和差的正弦公式对函数进行整理，得到，从式子中解出，代入函数中，利用诱导公式和二倍角的正弦公式得到，由求出的范围，由恒成立，得到，从而得到实数k的取值范围. 【详解】设， ， ，， ， ，，，， ， 恒成立， 恒成立，恒成立，， ，，实数k的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.注：第19题是选做题，B组题、A组题选择一道作答即可，不论选择哪个组别，均在答题卡第19题位置进行作答. 17. 已知角终边上的一点，（）. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求得的值，再根据诱导公式、同角三角函数关系齐次转化化简求值即可； （2）利用平方关系与商数关系进行齐次转化化简求值即可. 【小问1详解】 已知角终边上的一点，且， 所以， 则 ； 【小问2详解】 . 18. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由是偶函数，求解的值； （2），，转化为任意的，，进而求解λ的取值范围. 【小问1详解】 因为恒成立， 所以． 【小问2详解】 由题意可得，， 令， 则， 即对任意的，， 所以在恒成立， 则， 故λ取值范围为． 19. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的值和函数的对称轴方程； （2）当时，求的值域； （3）若，求的值. 【答案】（1）；函数的对称轴方程为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据最小正周期得出，再用正弦函数的对称轴方程计算函数对称轴； （2）由的范围求得的范围，可得在的值域； （3）先化简，再利用诱导公式结合同角三角函数关系计算即可. 【小问1详解】 ∵函数最小正周期，∴， 令，则， ∴函数的对称轴方程为. 【小问2详解】 当时，， ∴，∴. 【小问3详解】 ，∴， . 20. 大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设． （1）试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）当时，求加温带的长； （3）为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用． 【答案】（1），； （2）． （3）当米时，照明装置费用最低，最低费用为元． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形边角关系列式求出函数关系及定义域. （2）由（1）的结论，利用正余弦齐次式法计算得解. （3）确定费用最低的条件，并设，利用辅助角公式及和和角的正弦公式求出的范围，再借助函数单调性求出最小值. 【小问1详解】 在中，由，得，， 又中，由勾股定理得， 因此， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. 【小问2详解】 由（1）知， 因此， 于是. 【小问3详解】 依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得， 设，则，， ，由，得， ，于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元． 21. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象的特殊点，结合周期的性质和公式、代入法进行求解即可； （2）不等式化简为，再根据余弦函数的性质，结合特殊角的余弦值进行求解即可； （3）根据诱导公式以及同角三角函数基本关系化简方程得，， 再令，则，根据与的对应关系可知， 在上有两个不相等的实数根，再参变分离， 转化为，换元后，再利用方程的根与图象交点个数关系求解即可. 【小问1详解】 由图可知，周期，故， 此时，代入，可得， 故，解得， 由于，故取，，； 【小问2详解】 由， 则有，解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由可得 ， 该方程在上有四个不同的实数根， 令，则，， 则，， 令，则， 如图，要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根， 故， 由于时，无解，故， 则，令，则且， 故， 由于在上单调递减， 此时至多一个实数根，不符合题意，故， 如图：当时， ， ，当且仅当时，取等号， 故． 22. 已知函数，其中． （1）判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）； （2）当时，比较与的大小； （3）若函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况，结合函数奇偶性的定义，即可求解； （2）根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，分别得到，即可判断； （3）设，问题可转化为函数有三个大于0的零点，分，和，三种情况讨论，转化为在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 当时，，其定义域为，且， 所以函数为偶函数； 当时，函数，， 可得且， 所以函数既不是奇函数又不是偶函数， 综上可得当时为偶函数，当时既不是奇函数又不是偶函数. 【小问2详解】 由函数， 可得， 当时，因为，，所以； 当时，； 当时，， 综上可得，当时，. 【小问3详解】 设， 因为是关于的单调增函数，问题可转化为函数有三个大于的零点， 当时，，所以只有一个零点为，不符合题意； 当时，，所以无零点，不符合题意； 当时，， 因为的图象的对称轴为，所以在上递增， 所以在上至多有个零点； 又因为的图象对称轴为，所以在上至多有个零点， 问题等价于在有且仅有个零点，在上有且仅有个零点， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第3问解决的关键是先分析得，再分类讨论去掉绝对值，结合二次函数的性质与根的分布即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $