寒假作业07 等边三角形（巩固培优）八年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 等边三角形 【知识点1 等边三角形概念及其性质】 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【知识点2 等边三角形的判定】 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点3 含30°角的直角三角形的性质】 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 等边三角形的性质】 1．在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，点E是AB边上一点，若△BDE为等腰三角形，则∠EDA＝　 　 ． 【分析】先利用等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，BA＝BC，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ABD＝30°，∠ADB＝90°，然后分两种情况：当BE＝BD时；当EB＝ED时，从而分别进行计算即可解答． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，BA＝BC， ∵BD是AC边上的中线， ∴∠ABD∠ABC＝30°，∠ADB＝90°， 分两种情况： 当BE＝BD时，如图： ∴∠BED＝∠BDE75°， ∴∠EDA＝∠ADB﹣∠BDE＝15°； 当EB＝ED时，如图： ∴∠ABD＝∠EDB＝30°， ∴∠EDA＝∠ADB﹣∠BDE＝60°； 综上所述，∠EDA＝15°或60°， 故答案为：15°或60°． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝60°，D是线段BC上一点，连接AD，在线段AD上分别取两点E，F，连接CE，BF，若∠BAD＝∠ACE，∠BFD＝60°，CE＝5，则AF的长为　 　 ． 【分析】由题意易得△ABC为等边三角形，再证明△BAF≌△ACE，则AF＝CE＝5． 【解答】解：∵AB＝AC，∠ACB＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°， ∴∠ABF＝∠CAE， ， ∴△BAF≌△ACE（ASA）， ∴AF＝CE＝5． 故答案为：5． 3．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为 　 　 ． 【分析】根据△ABC和△DEF都是等边三角形，推出∠AFD＝∠BDE，DF＝ED，证明△AFD≌△BDE（AAS），得到BD＝AF＝2，BE＝AD，由△ABC的周长为15且△ABC是等边三角形得出AB＝5，根据AD＝AB﹣BD＝5﹣2＝3解答即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴∠ADF+∠AFD＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠FDE＝60°，DF＝ED ∴∠ADF+∠BDE＝120°， ∴∠AFD＝∠BDE， 在△AFD和△BDE中， ， ∴△AFD≌△BDE（AAS）， ∴BD＝AF＝2，BE＝AD， ∵△ABC的周长为15且△ABC是等边三角形， ∴AB＝5， ∴AD＝AB﹣BD＝5﹣2＝3， ∴BE＝3， 故答案为：3． 4．如图，等边三角形ABC中，BC＝6，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，且与AB，AC相交于点M，N，MN∥BC，则MN＝ 　 　 ． 【分析】连接AO，延长AO交BC于D，由等边三角形的性质推出∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝6，由角平分线定义得到∠OBC＝∠OCB＝30°，推出OB＝OC，因此点O、A在BC的垂直平分线上，由等边三角形的性质得到∠MAO∠BAC＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到OMAM，判定OM＝BM，得到OM＝MBAB＝2，同理：ONAC＝2，即可求出MN的长． 【解答】解：连接AO，延长AO交BC于D， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝6， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴OB＝OC， ∴点O、A在BC的垂直平分线上， ∴AD⊥BC， ∴∠MAO∠BAC＝30°， ∵MN∥BC， ∴AO⊥MN， ∴∠AOM＝90°， ∴OMAM， ∵BO平分∠ABC， ∴∠MBO＝∠OBD， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBD， ∴∠MBO＝∠MOB， ∴OM＝BM， ∴BMAM， ∴OM＝MBAB＝2， 同理：ONAC＝2， ∴MN＝OM+ON＝4． 故答案为：4． 5．如图，在锐角三角形ABC外作等边三角形ACD和等边三角形ABE，则∠α的大小为　 　 ． 【分析】根据等边三角形的性质得到AE＝AB，AD＝AC，∠EAB＝∠DAC＝60°，则∠BAD＝∠EAC，再根据三角形全等的判定方法可证得△ACE≌△ADB，根据全等的性质得出∠AEC＝∠ABD，然后根据三角形的外角性质解答即可． 【解答】解：根据等边三角形的性质可知BE＝AE＝AB，AD＝AC，∠ABE＝∠EAB＝∠DAC＝60°， ∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠CAB， ∴∠BAD＝∠EAC， ∴△ACE≌△ADB（SAS）， ∴∠AEC＝∠ABD， ∴∠α＝∠BOC ＝∠BEC+∠EBO ＝∠BEO+∠EBA+∠AEC ＝∠AEB+∠ABE ＝60°+60° ＝120°， 故答案为：120°． 6．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为　 　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝32，据此得出答案． 【解答】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝2， ∴A2B1＝2， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32， ∴A6B6＝32B1A2＝64， 故答案为：64． 【题型2 等边三角形的判定】 7．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（　　） ①有两个角是60°的三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形 ③腰上的高也是中线的等腰三角形 ④三个外角都相等的三角形 ⑤有一个角为60°的等腰三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形． 【解答】解：①有两个角是60°的三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形； ③腰上的高也是中线的等腰三角形是等边三角形； ④三个外角都相等的三角形是等边三角形； ⑤有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； 故选：C． 8．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，∠DAC＝∠B，且∠BAD＝60°，求证：△AEF是等边三角形． 【分析】根据角平分线定义得出∠ACE＝∠BCE，根据三角形外角性质推出∠AEF＝∠AFE，则AE＝AF，结合∠BAD＝60°，即可判定△AEF是等边三角形． 【解答】证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵∠AEF＝∠BCE+∠B，∠AFE＝∠DAC+∠ACE，∠DAC＝∠B， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵∠BAD＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN． （1）证明：AB＝BC； （2）若∠CAB＝30°，证明：△AMN是等边三角形． 【分析】（1）根据平行线的性质、角平分线定义求出∠BCA＝∠BAC，再根据等腰三角形的判定定理即可得证； （2）根据直角三角形的性质求出∠MAC＝60°，，ANAC，则AN＝AM，再根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得证． 【解答】证明：（1）在四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD． ∵CA平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠ACD， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC． （2）∵∠CAB＝30°， ∴∠BCA＝∠ACD＝∠CAB＝30°， ∵AM⊥CD于点M， ∴∠MAC+∠ACD＝90°，， ∴∠MAC＝60°， ∵AB＝BC，BN⊥AC于点N， ∴， ∴AN＝AM， ∴△AMN是等边三角形． 10．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）如图1，求证：AC垂直平分BD； （2）如图2，在图1的基础上，过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，如果AB＝AF，求证：△BCD是等边三角形． 【分析】（1）根据等角对等边可求AB＝AD，CB＝CD，再运用垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线即可证明AC垂直平分BD． （2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质可知∠BAC＝2∠F，再通过平行线性质和直角三角形性质可求∠BAC＝2∠ACB，利用三角形内角和求∠BCD＝60°，最后通过等边三角形的判定定理即可求证． 【解答】证明：（1）∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB， ∴A在BD的垂直平分线上，∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴C在BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD； （2）证明：设∠F＝a， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F＝a（等边对等角）， ∵∠BAC是△ABF的外角， ∴∠BAC＝∠F+∠ABF＝2a（三角形外角的性质）， 由（1）得AC⊥BD，CB＝CD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵BF∥CD， ∴∠F＝∠DCE（两直线平行，内错角相等）， ∴∠F＝∠BCE＝a， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠BAC＝90°， 即a+2a＝90°， 解得a＝30°， ∴∠DCB＝2∠BCE＝2×30°＝60°， 又∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形． 11．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于点D，E是BC上一点，连接AE，与BD相交于点O，连接OC，DE，且OB＝OC． （1）求证：AE垂直平分BC； （2）若∠OED＝∠ODE，求证：CO平分∠ACB； （3）若∠BAC＝60°，求证：△CDE是等边三角形． 【分析】（1）证出AB＝AC，由线段垂直平分线的判定可得出结论； （2）由角平分线的判定可得出结论； （3）证出AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．由（1）知AE垂直平分BC，则ECBC，由等边三角形的判定可得出结论． 【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC． ∵OB＝OC，点A，O在AE上， ∴AE垂直平分BC； （2）∵∠OED＝∠ODE， ∴OD＝OE． 又∵BD⊥AC，AE⊥BC， 即OD⊥AC，OE⊥BC， ∴CO平分∠ACB； （3）由（1）知AB＝AC． ∵∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°． 由（1）知AE垂直平分BC， ∴E是BC的中点， ∴ECBC， ∵BD⊥AC， ∴， ∴EC＝CD， ∴△CDE是等边三角形． 【题型3 含30度角的直角三角形】 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD为△ABC的角平分线，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若DE＝2，则BE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠DCB，结合角平分线得出∠ABD＝∠DBC＝∠DCB，求出∠ABD＝30°，∠DAE＝30°，从而得出BD＝2AD＝4DE，即可求解． 【解答】解：∵BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB（等边对等角）， ∵BD 为△ABC的角平分线， ∴∠DBC＝∠ABD（角平分线的定义）， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠DCB， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝30°，∠ADE＝60°， ∵DE＝2， ∴AD＝2DE＝2×2＝4， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE＝30°， ∴BD＝2AD＝4DE＝8， ∴BE＝8﹣2＝6． 故选：B． 13．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若AB＝10，则BE+CF为（　　） A．4 B．5 C．6 D．3 【分析】设BD＝x，则CD＝10﹣x，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：设BD＝x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AB＝10， ∴CD＝10﹣x， ∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． ∴∠BDE＝∠CDF＝30°，CD＝10﹣x， ∴BEBDx，CFCD（10﹣x）， ∴BE+CFx（10﹣x）＝5． 故选：B． 14．如图，两个完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1．现将两个三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上．当B1C＝2时，则此时AB的长是（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【分析】连接CC1，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠A1CC1＝90°，再根据含30°角的直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：如图，连接CC1， 由题意可知：A1M＝C1M＝CM， ∴∠MC1C＝∠MCC1，∠MA1C＝∠MCA1， ∴∠MCC1+∠MCA1＝∠MC1C+∠MA1C＝90°， ∴∠A1CC1＝90°， ∵∠A1＝30°， ∴∠B1＝60°， ∴∠B1C1C＝30°， ∴B1C1＝2B1C＝4， ∴A1B1＝2B1C1＝8， ∴AB＝A1B1＝8， 故选：B． 15．如图，在等边△ABC中，AB＝8，E是BA延长线上一点，且EA＝3，D是BC上一点，且DE＝EC，则BD的长为 　 　 ． 【分析】过点E作EF⊥BC于F，先根据含30°的直角三角形的性质求出BF，再根据等腰三角形的三线合一性质求出DF，即可得出BD． 【解答】解：过点E作EF⊥BC于F；如图所示： 则∠BFE＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，BC＝AB＝8， ∴∠FEB＝90°﹣60°＝30°， ∵BE＝AB+AE＝8+3＝11， ∴， ∴CF＝BC﹣BF＝2.5， ∵ED＝EC，EF⊥BC， ∴DF＝CF＝2.5， ∴BD＝BF﹣DF＝3； 故答案为：3． 16．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD＝5，BE＝8，则AB的长为 　 　 ． 【分析】过点D作DH⊥AB于点H，证明△DHE和△DCF全等得HE＝CD＝5，则HB＝13，AB＝13+AH，在Rt△ADH中，根据∠A＝60°，DE∠ADH＝30°，则AD＝2AH，AC＝5+2AH，然后再根据AB＝2AC得AH＝1，由此可得AB的长． 【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图所示： 则∠DHE＝∠C＝90°， 在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠A＝60°，AB＝2AC， ∴∠2+∠ADE＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠1+∠ADE＝120°， ∴∠2＝∠1， 在△DHE和△FCD中， ， ∴△DHE≌△FCD（AAS）， ∴HE＝CD＝5， ∴HB＝HE+BE＝5+8＝13， ∴AB＝BH+AH＝13+AH， 在Rt△ADH中，∠A＝60°， ∴∠ADH＝30°， ∴AD＝2AH， ∴AC＝CD+AD＝5+2AH， ∵AB＝2AC， ∴13+AH＝2（5+2AH）， ∴AH＝1， ∴AB＝13+AH＝14． 故答案为：14． 【题型4 等边三角形的判定与性质】 17．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E．△ODE恰为等边三角形． （1）试判定△ABC的形状，并说明你的理由； （2）若△ODE的周长为6，求BC的长． 【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可证明∠BOD＝∠OBD，再由等边三角形的性质得到∠ODE＝60°，则由三角形外角的性质可得∠BOD＝∠OBD＝30°，则∠ABC＝60°，同理可得∠ACB＝60°，据此可得结论； （2）可证明BD＝OD，同理可得CE＝OE，由三角形周长计算公式可得OD+DE+OE＝6，据此可得答案． 【解答】解：（1）△ABC是等边三角形，理由如下： ∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠ABC＝2∠OBD＝2∠OBA，∠ACB＝2∠OCB＝2∠OCA， ∵OD∥AB， ∴∠BOD＝∠OBA（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BOD＝∠OBD（等量代换）， ∵△ODE是等边三角形， ∴∠ODE＝60°（等边三角形的性质）， ∵∠ODE＝∠BOD+∠OBD＝60°， ∴∠BOD＝∠OBD＝30°， ∴∠ABC＝60°， 同理可得∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）由（1）可得∠BOD＝∠OBD， ∴BD＝OD（等角对等边）， 同理可得CE＝OE， ∵△ODE的周长为6， ∴OD+DE+OE＝6， ∴BC＝BD+DE+CE＝OD+DE+OE＝6， 则BC的长为6． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＞60°，在AC边上取点D，连接BD，使BD＝BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB＝2∠BAC． （1）求∠BDE的度数； （2）点F在AB上，连接DF，DF＝BD，请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由． 【分析】（1）结合等边三角形的性质求出∠BAC＝20°，根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB＝∠BDC＝80°，再根据平角定义求解即可； （2）结合（1）求出∠FBD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°，再根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”求解即可． 【解答】解：（1）在等边△ADE中，∠EAC＝∠ADE＝60°， ∵∠EAB＝2∠BAC， ∴∠BAC＝20°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝80°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠ACB＝80°， ∴∠BDE＝180°﹣∠BDC﹣∠ADE＝40°； （2）△BDF是等边三角形．理由如下： 由（1）可得∠BDC＝∠ACB＝80°， ∴∠CBD＝180°﹣∠BDC﹣∠ACB＝20°， ∵∠ABC＝80°， ∴∠FBD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°， ∵DF＝BD， ∴△BDF 是等边三角形． 19．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证； （2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 20．如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论； （2）根据AB＝AD，CB＝CD，推出直线AC是线段BD的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解． 【解答】（1）解：△DEF是等边三角形，理由如下； ∵AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE， ∴△DEF是等边三角形； （2）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD， ∵AB＝AD， ∴AC平分∠DAB； （3）解：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴AE＝CE＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4． 【题型5 等边三角形中的动点问题】 21．如图1所示，在边长为6cm的等边△ABC中，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（s），t＞0．当t＝ 　 　 时，△PAC是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以1cm/s的速度同时出发．那么当t＝ 　 　 时，△PAQ是直角三角形． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据等边三角形性质得AB＝AC＝6cm，∠A＝60°，AD＝BDAB＝3cm，由此得当点P与点D重合时，△PAC是直角三角形，此时点P运动的路程为3cm，由此可得点P的运动t；依题意得AP＝tcm，CQ＝tcm，则AQ＝AC﹣CQ＝（6﹣t）cm，根据∠A＝60°得当△PAQ是直角三角形时，有以下两种情况：①当∠APQ＝90°时，在Rt△PAQ中，根据∠AQP＝90°﹣∠A＝30°得APAQ，则t（6﹣t），由此解得t＝2（s）；②当∠AQP＝90°时，在Rt△PAQ中，根据∠APQ＝90°﹣∠A＝30°得AQAP，则6﹣tt，由此解得t＝4（s），综上所述即可得出答案． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图1所示： ∵△ABC是等边三角形，且边长为6cm， ∴AB＝AC＝6cm，∠A＝∠ACB＝60°， ∵点P在AB边上运动， ∴∠ACP＜∠ACB＝60° ∴当△PAC是直角三角形时，只能是∠APC＝90°； ∵CD⊥AB于点D， ∴AD＝BDAB＝3cm，∠ADC＝90°， ∴当点P与点D重合时，△PAC是直角三角形， 此时点P运动的路程为：3cm， 又∵点P运动的速度为1cm/s， ∴此时点P运动的时间t＝3÷1＝3（s）； ∵动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动， ∴AP＝tcm， 又∵动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿线段CA向点A运动， ∴CQ＝tcm， ∴AQ＝AC﹣CQ＝（6﹣t）cm， ∵∠A＝60°， ∴当△PAQ是直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠APQ＝90°时，如图2所示： 在Rt△PAQ中，∠AQP＝90°﹣∠A＝30°， ∴APAQ， ∴t（6﹣t）， 解得：t＝2（s）； ②当∠AQP＝90°时，如图3所示： 在Rt△PAQ中，∠APQ＝90°﹣∠A＝30°， ∵AQAP， ∴6﹣tt， 解得：t＝4（s）， 综上所述：当t＝2（s）或4（s）时，△PAQ是直角三角形． 故答案为：3（s）；2（s）或4（s）． 22．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D． （1）若设AP＝x，则PC＝ 　 ；（用含x的式子表示） （2）当∠BQD＝30°时，求CQ＝ 　 　 ； （3）在运动过程中，线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由 　 　 ． 【分析】（1）根据等边三角形性质得AB＝AC＝BC＝6，∠A＝∠C＝60°，再根据AP＝x即可得出PC的长； （2）依题意得设AP＝BQ＝a，则PC＝6﹣a，CQ＝6+a，由三角形内角和定理得∠CPQ＝180°﹣（∠C+∠BQD）＝90°，则△CPQ是直角三角形，进而得CQ＝2PC，则6+a＝2（6﹣a），由此解出a＝2，继而可得CQ的长； （3）过点P作PH∥BC，交AB于点H，则∠APH＝∠C＝60°，∠HPD＝∠BQD，∠PHD＝∠QBD，由此得△APH是等边三角形，则AP＝PH＝BQ，AH＝2HE，由此证明△PHD和△QBD全等得HD＝DB，则BH＝2HD，然后根据AB＝AH+BH＝2HE+2HD＝6得DE＝HE+HD＝3． 【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝6，∠A＝∠C＝60°， ∵AP＝x， ∴PC＝AC﹣AP＝6﹣x， 故答案为：6﹣x； （2）依题意得：AP＝BQ， 当∠BQD＝30°时，设AP＝BQ＝a， ∴PC＝AC﹣AP＝6﹣a，CQ＝BC+BQ＝6+a， 在△CPQ中，∠CPQ＝180°﹣（∠C+∠BQD）＝180°﹣（60°+30°）＝90°， ∴△CPQ是直角三角形， ∴CQ＝2PC， ∴6+a＝2（6﹣a）， 解得：a＝2， ∴CQ＝6+a＝8， 故答案为：8； （3）线段DE的长不发生变化，始终等于3，理由如下： 过点P作PH∥BC，交AB于点H，如图所示： ∴∠APH＝∠C＝60°，∠HPD＝∠BQD，∠PHD＝∠QBD， ∴∠APH＝∠A＝60°， ∴△APH是等边三角形， ∴AP＝PH， ∵PE⊥AB于点E， ∴AE＝HE， ∴AH＝AE+HE＝2HE， 又AP＝BQ， ∴PH＝BQ， 在△PHD和△QBD中， ， ∴△PHD≌△QBD（ASA）， ∴HD＝DB， ∴BH＝HD+DB＝2HD， ∵AB＝AH+BH＝2HE+2HD＝6， ∴HE+HD＝3， 即DE＝HE+HD＝3， 故答案为：线段DE的长不发生变化，始终等于3． 23．如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 t 厘米，BP的长为 　 　 厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 【分析】（1）根据题意、结合图形解答； （2）分∠PQB＝90°、∠BPQ＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可； （3）证明△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质、等边三角形的内角是60°解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，BQ＝t，BP＝6﹣t， 故答案为：t；（6﹣t）； （2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝5﹣t， ①当∠PQB＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BPQ＝30°， ∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t， 解得，t＝2， ②当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t）， 解得，t＝4， ∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形； （3）∠CMQ不变，理由如下： 在△ABQ与△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°， ∴∠CMQ不会变化． 【题型6 等边三角形中的多结论问题】 24．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD，可判断①正确； 利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，利用8字形可得∠AGB＝∠ACB＝60°，可判断②正确； 证明△BCF≌△ACH，得BF＝AH，可判断③正确； 由CF＝CH和∠ACH＝60°，根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形，可判断④正确． 【解答】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CE＝CD， ∴∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确； ∵△BCE≌△ACD， ∴∠CBF＝∠CAH． ∵∠BFC＝∠AFG， ∴∠AGB＝∠ACB＝60°，故②正确； 在△BCF和△ACH中， ， ∴△BCF≌△ACH（ASA）， ∴CF＝CH，BF＝AH；故③正确； ∵CF＝CH，∠ACH＝60°， ∴△CFH是等边三角形；故④正确． 故选：D． 25．如图，已知∠AOB＝120°，点D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF＝60°，下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；③当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；①当DE∥OB时，∠DFB＝60°，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①过D作DM⊥OA交于M，DN⊥OB交于N，由平行线的性质得DM＝DN，由ASA可判定△EDM≌△FDN，由全等三角形的性质得DE＝DF，由等边三角形的判定方法，即可判断；②由全等三角形的性质得S△EDM＝S△FDN，点D是∠AOB的平分线上的一个定点得S四边形DMEN是定值，即可判断；③由垂线段最短得当DE⊥OA时，DE的值最小，即可判断；④由平行线的性质即可判断． 【解答】解：①过D作DM⊥OA交于M，DN⊥OB交于N， ∴∠DME＝∠DNF＝90°， 由条件可知DM＝DN， ∴∠MDN＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， ∴∠EDM+∠EDN＝60°， ∵∠EDF＝60°， ∴∠FDN+∠EDN＝60°， ∴∠EDM＝∠FDN， 在△EDM和△FDN中， ， ∴△EDM≌△FDN（ASA）， ∴DE＝DF， ∴△DEF是等边三角形； 故此项正确； ②由①得， S△EDM＝S△FDN， 由条件可知S四边形DEOF＝S四边形DEON+S△EDM＝S四边形DMEN， ∴S四边形DMEN是定值， ∴四边形DEOF的面积是一个定值； 故此项正确； ③如图， 当DE⊥OA时， DE的值最小， 由条件可知△DEF的周长为3DE， ∴△DEF的周长最小； 故此项正确； ④如图， 由条件可知∠DFB＝∠EDF＝60°， 故此项正确； 故选：D． 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，E是线段AD上一点，F是边AB上一点，且满足CE＝EF，G是BF的中点，连接EG．则下列四个结论①BD＝DC；②∠CEF＝120°；③∠ACE＝∠BFE；④当∠AEF＝15°时，∠BEC＝150°．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质可以判断①③正确，根据三角形的内角和是180°，结合角之间的关系判断②④即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AD⊥BC， ∴BD＝DC， 故结论①正确，符合题意； 如图，AD⊥BC，BD＝DC，连接BE， ∴DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∴∠CBE＝∠BCE， ∵CE＝EF， ∴BE＝EF， 在△BCE中，∠BEC+∠CBE+∠BCE＝180°， ∴∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣2∠CBE， 在△BFE中，∠BEF+∠FBE+∠BFE＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠FBE﹣∠BFE＝180°﹣2∠FBE， ∴∠BEC+∠BEF＝180°﹣2∠CBE+180°﹣2∠FBE＝360°﹣2（∠CBE+∠FBE）， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠CBE+∠FBE＝60°， ∴∠BEC+∠BEF＝360°﹣2×60°＝240°， ∵∠CEF＝360°﹣∠BEC﹣∠BEF， ∴∠CEF＝360°﹣（∠BEC+∠BEF）＝360°﹣240°＝120°， 故结论②正确，符合题意； ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠CBE＝∠BCE， ∴∠ABC﹣∠CBE＝∠ACB﹣∠BCE，即∠FBE＝∠ACE， ∵∠FBE＝∠BFE， ∴∠ACE＝∠BFE， 故结论③正确，符合题意； 当∠AEF＝15°时，∠EFG＝∠AEF+∠BAD＝15°+30°＝45°， ∵BE＝EF， ∴∠FBE＝∠BFE＝45°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠CBE＝60°﹣45°＝15°， ∴∠BCE＝15°， ∴∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣15°﹣15°＝150°， 故结论④正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D． 【题型7 等边三角形中构造辅助线】 27．【模型感知】 （1）如图①，△ABD和△AEC都是等边三角形，求证：BE＝DC； 【模型应用】 （2）已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边在直线BC上方作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D．如图②，若点F在点B右侧，求证：AB+BF＝2BD． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的角和边，证明△ABE≌△ADC即可得出结论； （2）在射线BC上截取GB＝AB，连接AG，得出△ABG是等边三角形，证明△ABE≌△AGF，得出对应角相等，再根据含30°角的直角三角形的性质进行求解即可． 【解答】（1）证明：∵△ABD和△AEC都是等边三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°， ∴∠BAE＝∠DAC＝60°+∠BAC， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE＝DC（全等三角形对应边相等）； （2）如图，在射线BC上截取GB＝AB，连接AG， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABG是等边三角形， ∴AB＝AG＝BG，∠BAG＝∠AGF＝60°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF，∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠GAF＝60°+∠BAF， 在△ABE和△AGF中， ， ∴△ABE≌△AGF（SAS）， ∴BE＝GF（全等三角形对应边相等），∠ABE＝∠AGF＝60°（全等三角形对应角相等）， ∵AB+BF＝GB+BF＝GF， ∴AB+BF＝BE． ∵ED⊥AB， ∴∠BDE＝90°， ∴∠BED＝90°﹣60°＝30°， ∴，即BE＝2BD， ∴AB+BF＝2BD． 28．某数学社团的同学在研究三角形问题时发现：等边三角形的三个内角都相等，反过来，三个内角都相等或者三条边都相等的三角形均为等边三角形．小明同学画了一个等边△ABC，并在AC边上取了一定点E（不与顶点重合），现请你和他一起运用相关知识共同解决以下问题： 【问题发现】 （1）请在图1中画一个等边三角形CEF（点F在BC边上）； 【问题探究】 （2）如图2，点D为BC边上任一个点，连接DE，以DE为边在其右侧作等边△DEF，连接CF，试探究线段CF、CD、CE之间的数量关系； 【问题解决】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（点O）北偏西30°的点E处，舰艇乙在指挥中心正东方向的点D处，两舰艇同时监测到敌舰在点F处，且D、E、F三点恰好构成一个等边三角形，若甲、乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里，求此时敌舰距指挥中心的距离． 【分析】（1）在CB上截取CF＝CE，连接EF，则三角形CEF为等边三角形； （2）如图2，在CD上截取CH＝CE，连结EH，运用等边三角形性质即可证明△CEF≌△HED（SAS），再利用全等三角形性质即可得出结论； （3）连接OF，先证点E、O、D、F在同一个圆上，可得∠DOF＝∠DEF＝60°，在OF上截取OG＝OD，连接GD，可得△DOG是等边三角形，再证△ODE≌△GDF（SAS），可求出答案． 【解答】解：（1）如图1所示，等边三角形CEF即为所求作； （2）CD＝CE+CF． 如图2，在CD上截取CH＝CE，连结EH， ∵等边△ABC， ∴∠ACB＝60°， ∴△ECH为等边三角形， ∴EC＝EH＝CH，∠CEH＝60°， ∵以DE为边在其右侧作等边△DEF， ∴EF＝ED，∠FED＝60°， ∴∠CEH＝∠FED＝60°， ∴∠CEH﹣∠FEH＝∠FED﹣∠FEH，即∠CEF＝∠HED， ∴△CEF≌△HED（SAS）， ∴CF＝HD， ∵CD＝CH+HD，CH＝CE， ∴CD＝CE+CF； （3）如图，连接OF， ∵∠AOE＝30°，∠AOD＝90°， ∴∠EOD＝90°+30°＝120°， ∵三角形DEF是等边三角形， ∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°，EF＝DE＝DF， ∴∠EOD+∠EFD＝180°， ∴点E、O、D、F在同一个圆上， ∴∠DOF＝∠DEF＝60°， 在OF上截取OG＝OD，连接GD， ∵∠DOG＝60°， ∴△DOG是等边三角形， ∴OD＝OG＝DG，∠DOG＝∠OGD＝60°， ∴∠EDF＝∠ODG＝60°， ∴∠ODG+∠EDG＝∠GOF+∠EDG＝60°， ∴∠ODE＝∠GDF， ∵OD＝GD，ED＝FD， ∴△ODE≌△GDF（SAS）， ∴EO＝FG， ∵甲、乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里， ∴OD+OE＝180海里， 由（2）的结论得FO＝OG+FG＝OD+OE＝180（海里）， ∴此时敌舰距指挥中心的距离为180海里． 方法2：由题意得∠FDO＝90°，∠GOE＝30°， ∴∠EOH＝90°﹣30°＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠FDE＝60°， ∴∠EDO＝90°﹣60°＝30°， ∴∠OED＝∠EOH﹣∠EDO＝60°﹣30°＝30°， ∴OD＝OE， ∴∠DOF＝∠EOF（180°﹣∠EOH）＝60°， ∵甲、乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里， ∴OD+OE＝180， 由（2）的结论得FO＝OE+OD＝180， ∴此时敌舰距指挥中心的距离为180海里． 29．如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN． （1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由． （2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长． 【分析】（1）延长AC至E，使得CE＝BM并连接DE，构造全等三角形，找到MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN＝BM+NC； （2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答． 【解答】解：（1）MN＝BM+NC．理由如下： 延长AC至E，使得CE＝BM，连接DE，如图所示： ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， ∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°， 又∵BD＝DC，且∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°， ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 在△MBD与△ECD中， ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE， 又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°， ∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°， ∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°， ∴∠MDN＝∠NDE＝60°， 在△DMN与△DEN中， ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN＝EN， 又∵NE＝NC+CE，BM＝CE， ∴MN＝BM+NC； （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝2， 利用（1）中的结论得出：BM＝CE，MN＝EN， △AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+NE+AN＝AM+AN+NC+CE＝AM+AN+NC+BM ＝（AM+BM）+（NC+AN） ＝AB+AC＝2+2＝4． 30．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α﹣β＝60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC＝ 　 　 ． 【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：△ABD是“斜等边三角形”，BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， （1）2∠A﹣∠ABD＝60°，即∠ABD＝60°﹣2∠A， ∵∠A+∠ABD＝90°， ∴∠A+60°﹣2∠A＝90°， 解得∠A＝50°，∠ABD＝40°； （2）2∠A﹣∠ADB＝60°， 解得∠A＝75°，∠ABD＝15°； （3）2∠ABD﹣∠A＝60°， ∵∠A+∠ABD＝90°， 解得∠A＝40°，∠ABD＝50°； （4）2∠ABD﹣∠ADB＝60°， 解得∠ABD＝75°，∠A＝15°； △BCD是“斜等边三角形”， ①2∠C﹣∠CBD＝60°， ∵∠C+∠CBD＝90°， 解得：∠C＝50°，∠CBD＝40°； ②2∠C﹣∠CDB＝60°， 解得∠C＝75°，∠CBD＝15°； ③2∠CBD﹣∠C＝60°，即∠C＝2∠CBD﹣60°， ∵∠C+∠CBD＝90°， ∴2∠CBD﹣60°+∠CBD＝90°， 解得∠C＝40°，∠CBD＝50°； ④2∠CBD﹣∠CDB＝60°， 解得∠CBD＝75°，∠C＝15°； 当（1）①成立时，∠A＝50°，∠ABD＝40°，∠C＝50°，∠CBD＝40°， ∴∠CBA＝40°+40°＝80°， ∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意； 当（1）②成立时，∠A＝50°，∠ABD＝40°，∠C＝75°，∠CBD＝15°， ∴∠CBA＝40°+15°＝55°， ∵2∠CBA﹣∠A＝60°， ∴△ABC是“斜等边三角形”，符合题意； 同理得：符合题意的只有∠ABC＝55°， 故答案为：55°． 31．如图，对于△ABC，若存在点D，E，F分别在AB，BC，AC上，使得∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，则称△DEF为△ABC的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，正确的是 　 　 ． ①若△ABC的“反射三角形”存在，则△ABC必为锐角三角形 ②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形 ③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形 ④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形 【分析】根据反射三角形的定义及三角形内角和定理求出∠1＝∠2＝∠C，∠3＝∠4＝∠B，∠5＝∠6＝∠A，再逐个判断即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6， ∴∠3＝∠4＝180°﹣∠A﹣∠1， ∴∠5＝∠6＝180°﹣∠B﹣∠1， ∵∠4+∠5+∠C＝180°， ∴180°﹣∠B﹣∠1+180°﹣∠A﹣∠1+∠C＝180°， ∴∠C＝∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4＝180°﹣∠A﹣∠C＝∠B， ∴∠5＝∠6＝180°﹣∠B﹣∠C＝∠A， ∵∠5+∠6+∠DEF＝180°， ∴∠DEF＝180°﹣2∠A， 当∠A＞90°时，∠DEF＝180°﹣2∠A＜0°， ∴钝角三角形不存在反射三角形， ∴只有锐角三角形存在反射三角形， 故①正确，符合题意； 当△ABC是等边三角形时，∠C＝∠5＝∠6＝60°，∠1＝∠3＝∠A＝60°， ∴∠DEF＝∠EDF＝∠DFE＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形， 故②正确，符合题意； 当∠A＝90°时，∠DEF＝180°﹣2∠A＝0°， ∴直角三角形不存在反射三角形， 故③错误，不符合题意； 当△ABC是等腰三角形时，假设AB＝AC，∠B＝∠C， ∵∠5＝∠6， ∴∠2＝∠4， ∴∠1＝∠3， ∴AD＝AF， ∴BD＝CF， ∴△EDB≌△FEC（AAS）， ∴DE＝DF， ∴等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 32．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为120°的等腰三角形 　 　 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出等腰三角形的两个底角，然后根据“准等边三角形”的定义，即可解答； （2）分两种情况：当∠C﹣∠A＝60°时；当∠C﹣∠B＝60°时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为， ∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”； 故答案为：不是； （2）∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°， ∴分两种情况： 当∠C﹣∠A＝60°时， ∴∠C＝∠A+60°＝95°， ∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°； 当∠C﹣∠B＝60°时， ∵∠A＝35°， ∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°， ∴2∠B＝85°， ∴∠B＝42.5°； 综上所述：∠B的度数为50°或42.5°． 33．新定义：共顶点的两个△ABC，△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，且∠BAC+∠DAE＝180°，我们称△ABC与△ADE互为“顶补三角形”．已知AF是△ABC的中线． （1）如图1，若△ADE为等边三角形时，求证：DE＝2AF； （2）如图2，若△ADE为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【分析】（1）由等边三角形的性质可得AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°，由互为“顶补三角形”定义可得AB＝AD＝AE＝AC＝DE，∠BAC＝120°，由等腰三角形和直角三角形的性质可求AB＝DE＝2AF； （2）延长AF到G，使AF＝FG，连接BG，CG，由题意可证四边形ABGC是平行四边形，可得BG＝AC，AC∥BG，得出∠BAC+∠ABG＝180°，由互为“顶补三角形”定义可得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，可证△ABG≌△DAE（SAS），即DE＝AG＝2AF． 【解答】（1）证明：∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°， ∵△ABC与△ADE互为“顶补三角形”， ∴AB＝AD＝AE＝AC＝DE，∠BAC＝120°， ∵AB＝AC，AF是中线，∠BAC＝120°， ∴AF⊥BC，∠B＝30°， ∴AB＝2AF， ∴DE＝2AF（等量代换）； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长AF到G，使AF＝FG，连接BG，CG， ∵AF＝FG，BF＝FC， ∴四边形ABGC是平行四边形， ∴BG＝AC，AC∥BG， ∴∠BAC+∠ABG＝180°， ∵△ABC与△ADE互为“顶补三角形”， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°， ∴AE＝AC＝BG，∠DAE＝∠ABG，且AB＝AD， 在△ABG和△DAE（SAS）中， ， ∴△ABG≌△DAE（SAS）， ∴DE＝AG＝2AF． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 等边三角形 【知识点1 等边三角形概念及其性质】 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【知识点2 等边三角形的判定】 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点3 含30°角的直角三角形的性质】 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 等边三角形的性质】 1．在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，点E是AB边上一点，若△BDE为等腰三角形，则∠EDA＝　 　 ． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝60°，D是线段BC上一点，连接AD，在线段AD上分别取两点E，F，连接CE，BF，若∠BAD＝∠ACE，∠BFD＝60°，CE＝5，则AF的长为　 　 ． 3．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为 　 　 ． 4．如图，等边三角形ABC中，BC＝6，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，且与AB，AC相交于点M，N，MN∥BC，则MN＝ 　 　 ． 5．如图，在锐角三角形ABC外作等边三角形ACD和等边三角形ABE，则∠α的大小为　 　 ． 6．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为　 　 ． 【题型2 等边三角形的判定】 7．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（　　） ①有两个角是60°的三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形 ③腰上的高也是中线的等腰三角形 ④三个外角都相等的三角形 ⑤有一个角为60°的等腰三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，∠DAC＝∠B，且∠BAD＝60°，求证：△AEF是等边三角形． 9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN． （1）证明：AB＝BC； （2）若∠CAB＝30°，证明：△AMN是等边三角形． 10．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）如图1，求证：AC垂直平分BD； （2）如图2，在图1的基础上，过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，如果AB＝AF，求证：△BCD是等边三角形． 11．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于点D，E是BC上一点，连接AE，与BD相交于点O，连接OC，DE，且OB＝OC． （1）求证：AE垂直平分BC； （2）若∠OED＝∠ODE，求证：CO平分∠ACB； （3）若∠BAC＝60°，求证：△CDE是等边三角形． 【题型3 含30度角的直角三角形】 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD为△ABC的角平分线，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若DE＝2，则BE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 13．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若AB＝10，则BE+CF为（　　） A．4 B．5 C．6 D．3 14．如图，两个完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1．现将两个三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上．当B1C＝2时，则此时AB的长是（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 15．如图，在等边△ABC中，AB＝8，E是BA延长线上一点，且EA＝3，D是BC上一点，且DE＝EC，则BD的长为 　 　 ． 16．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD＝5，BE＝8，则AB的长为 　 　 ． 【题型4 等边三角形的判定与性质】 17．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E．△ODE恰为等边三角形． （1）试判定△ABC的形状，并说明你的理由； （2）若△ODE的周长为6，求BC的长． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＞60°，在AC边上取点D，连接BD，使BD＝BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB＝2∠BAC． （1）求∠BDE的度数； （2）点F在AB上，连接DF，DF＝BD，请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由． 19．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 20．如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 【题型5 等边三角形中的动点问题】 21．如图1所示，在边长为6cm的等边△ABC中，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（s），t＞0．当t＝ 　 　 时，△PAC是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以1cm/s的速度同时出发．那么当t＝ 　 　 时，△PAQ是直角三角形． 22．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D． （1）若设AP＝x，则PC＝ 　 ；（用含x的式子表示） （2）当∠BQD＝30°时，求CQ＝ 　 　 ； （3）在运动过程中，线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由 　 　 ． 23．如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 t 厘米，BP的长为 　 　 厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 【题型6 等边三角形中的多结论问题】 24．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 25．如图，已知∠AOB＝120°，点D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF＝60°，下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；③当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；①当DE∥OB时，∠DFB＝60°，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，E是线段AD上一点，F是边AB上一点，且满足CE＝EF，G是BF的中点，连接EG．则下列四个结论①BD＝DC；②∠CEF＝120°；③∠ACE＝∠BFE；④当∠AEF＝15°时，∠BEC＝150°．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【题型7 等边三角形中构造辅助线】 27．【模型感知】 （1）如图①，△ABD和△AEC都是等边三角形，求证：BE＝DC； 【模型应用】 （2）已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边在直线BC上方作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D．如图②，若点F在点B右侧，求证：AB+BF＝2BD． 28．某数学社团的同学在研究三角形问题时发现：等边三角形的三个内角都相等，反过来，三个内角都相等或者三条边都相等的三角形均为等边三角形．小明同学画了一个等边△ABC，并在AC边上取了一定点E（不与顶点重合），现请你和他一起运用相关知识共同解决以下问题： 【问题发现】 （1）请在图1中画一个等边三角形CEF（点F在BC边上）； 【问题探究】 （2）如图2，点D为BC边上任一个点，连接DE，以DE为边在其右侧作等边△DEF，连接CF，试探究线段CF、CD、CE之间的数量关系； 【问题解决】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（点O）北偏西30°的点E处，舰艇乙在指挥中心正东方向的点D处，两舰艇同时监测到敌舰在点F处，且D、E、F三点恰好构成一个等边三角形，若甲、乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里，求此时敌舰距指挥中心的距离． 29．如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN． （1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由． （2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长． 30．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α﹣β＝60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC＝ 　 　 ． 31．如图，对于△ABC，若存在点D，E，F分别在AB，BC，AC上，使得∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，则称△DEF为△ABC的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，正确的是 　 　 ． ①若△ABC的“反射三角形”存在，则△ABC必为锐角三角形 ②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形 ③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形 ④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形 32．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为120°的等腰三角形 　 　 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数． 33．新定义：共顶点的两个△ABC，△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，且∠BAC+∠DAE＝180°，我们称△ABC与△ADE互为“顶补三角形”．已知AF是△ABC的中线． （1）如图1，若△ADE为等边三角形时，求证：DE＝2AF； （2）如图2，若△ADE为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $