寒假作业06 等腰三角形（巩固培优）八年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 等腰三角形 【知识点1 等腰三角形的定义】 有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形. 【知识点2 等腰三角形的性质】 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【知识点3 等腰三角形的判定】 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 等腰三角形的性质（等边对等角）】 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，若AD＝BD＝BC，则∠A的度数是　 　 ． 【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD＝BC＝AD， ∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC， 设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C， 可得2x， 解得：x＝36°， 则∠A＝36°， 故答案为：36°． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，点E在边AB上，且AE＝AD，连结DE，若∠BDE＝15°，则∠CAD的大小为　 　 度． 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是边BC上的中线， ∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAD， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BDE＝15°， ∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝75°， ∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝75°， ∴∠BAD＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝30°， ∴∠CAD＝30°． 故答案为：30． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为　 　 ． 【分析】根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，分两种情况讨论，①如图1，当一腰上的高在三角形内部时，即∠ABD＝50°时，②如图2，当一腰上的高在三角形外部时，即∠ABD＝50°时；根据等腰三角形的性质，解答出即可． 【解答】解：①如图1， ∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°， ∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴∠C＝∠ABC70°； ②如图2， ∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°， ∴在直角△ABD中，∠BAD＝90°﹣50°＝40°， 又∵∠BAD＝∠ABC+∠C，∠ABC＝∠C， ∴∠C＝∠ABC∠BAD40°＝20°．　 故答案为：70°或20°． 4．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠MEF＝90°，则∠A的度数为 　 　 ． 【分析】设∠A＝x，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到5x＝90°，求出x＝18°，即可得到∠A的度数． 【解答】解：设∠A＝x， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB＝x， ∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝2x， ∵BC＝CD， ∴∠CDB＝∠CBD＝2x， ∴DCE＝∠A+∠CDB＝3x， ∵CD＝DE， ∴∠DEC＝∠DCE＝3x， ∴∠EDF＝∠A+∠DEC＝4x， ∵DE＝EF， ∴∠EFD＝∠EDF＝4x， ∴∠MEF＝∠A+∠EFD＝5x＝90°， ∴x＝18°， ∴∠A＝18°． 故答案为：18°． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AD＝DE＝EC．求∠C、∠ADE的度数． 【分析】设∠C＝x，利用等腰三角形的性质可得∠EDC＝∠C＝x，从而利用三角形的外角性质可得∠DEA＝2x，再利用等腰三角形的性质可得∠DAE＝∠DEA＝2x，从而利用三角形的外角性质可得∠ADB＝3x，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝3x，然后利用三角形内角和定理可得∠B+∠C＝80°，从而可得3x+x＝80°，进而求出x＝20°，最后可得∠C＝∠EDC＝20°，∠DAC＝40°，∠ADB＝60°，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【解答】解：设∠C＝x， ∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠C＝x， ∴∠DEA＝∠C+∠EDC＝2x， ∵DA＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA＝2x， ∴∠ADB＝∠C+∠DAE＝3x， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝3x， ∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°， ∴3x+x＝80°， ∴x＝20°， ∴∠C＝∠EDC＝20°，∠DAC＝2x＝40°，∠ADB＝3x＝60°， ∴∠ADE＝180°﹣∠EDC﹣∠ADB＝100°， ∴∠C的度数为20°，∠ADE的度数为100°． 6．如图，在△ABC中，AD＝BD＝CD，BA平分∠DBE，EF⊥CA交CA的延长线点F． （1）求证：AB∥EF． （2）若∠E＝150°，求∠ADB的度数． 【分析】（1）根据等边对等角得∠ABD＝∠BAD，∠CAD＝∠ACD，再证明∠F＝90°，进而可证AB∥EF； （2）由平行线的性质得∠ABE＝180°﹣∠E＝30°，由角平分线的定义得∠ABD＝∠ABE＝30°，鸡儿可出∠ADB的度数． 【解答】（1）证明：∵AD＝BD＝CD， ∴∠ABD＝∠BAD，∠CAD＝∠ACD， ∵∠ABD+∠BAC+∠ACD＝180°， ∴∠ABD+∠BAD+∠CAD+∠ACD＝180°， ∴2∠BAD+2∠CAD＝180°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， 即∠BAC＝90°， ∵EF⊥CF， ∴∠F＝90°， ∴∠BAC＝∠F＝90°， ∴AB∥EF； （2）解：∵AB∥EF， ∴∠E+∠ABE＝180°， ∵∠E＝150°， ∴∠ABE＝180°﹣∠E＝30°， ∵BA平分∠DBE， ∴∠ABD＝∠ABE＝30°， ∴∠BAD＝∠ABD＝30°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 【题型2 等腰三角形的性质（三线合一）】 7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM＝ 　 　cm． 【分析】过P作PD⊥OB于点D，先利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠OPD＝30°，从而利用含30度直角三角形的性质OD＝4cm，然后利用等腰三角形的性质可得MD＝1cm，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过P作PD⊥OB于点D， 在Rt△OPD中，∠ODP＝90°，∠POD＝60°， ∴∠OPD＝90°﹣∠POD＝30°， ∴ODOP8＝4（cm）， ∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2cm， ∴MD＝NDMN＝1（cm）， ∴OM＝OD﹣DM＝4﹣1＝3（cm）， 故答案为：3． 8．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为 　 　． 【分析】过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F， ∵AB＝AC，BC＝6， ∴BH＝HC＝3， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACH+∠ECF＝90°， ∵∠CAH+∠ACH＝90°， ∴∠ECF＝∠CAH， 在△ACH与△CEF中， ， ∴△ACH≌△CEF（AAS）， ∴EF＝CH＝3， ∴△BCE的面积9． 故答案为：9． 9．如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，EB＝EF．若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　 　． 【分析】过点E作EH⊥BC于点H，根据△ABC是等边三角形，DE∥BC，得到△ADE是等边三角形，已知EB＝EF，得到，结合BD＝4，得到EC＝BD＝4，在△EHC中，求得，表示出BC＝BH+HC＝6，根据AC＝BC＝6＝EC+EA＝4+AE即可求得线段AE＝2的长，继而得到DE的长． 【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝CA， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AE＝AD， ∴AC﹣AE＝AB﹣AD， ∴CE＝BD， ∵BD＝4， ∴CE＝4， ∵EB＝EF，EH⊥BC，BF＝8， ∴，∠HEC＝30°， ∴， ∴BC＝BH+HC＝6， ∴AC＝BC＝6＝EC+EA＝4+AE， ∴AE＝2， ∴DE＝2． 故答案为：2． 10．如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等腰，可得，由题意知，，则，根据，计算求解即可； （2）如图，作于，则，证明，则，进而可得． 【详解】（1）解：∵以为底边向上作等腰， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F． （1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C； （2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数． 【分析】（1）连接CD，根据AC＝BC，点D是AB的中点，证得CD⊥AB，，进而证得∠BCD+∠B＝90°，根据DE⊥BC证得∠B+∠BDE＝90°，从而证得∠BCD＝∠BDE得出结论； （2）先求出∠B的度数，再根据AC＝BC求出∠A，再根据垂直的定义求出∠AFE＝90°，再利用四边形的内角和为360°解答． 【解答】（1）证明：连接CD， ∵AC＝BC，点D是AB的中点， ∴CD⊥AB，， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BDE＝90° ∴∠BCD＝∠BDE． ∴； （2）解：∵∠ADE＝160° ∴∠BDE＝20°， ∵DE⊥BC，EF⊥AC， ∴∠DEB＝∠AFE＝90°， 在Rt△BDE中，∠DEB＝90°， ∴B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣20°＝70°， ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠A＝70°， ∴∠DEF＝360°﹣∠A﹣∠ADE﹣∠AFE＝360°﹣70°﹣160°﹣90°＝40°． 【题型3 等腰三角形的判定】 12．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解． 【解答】解：如图，分情况讨论： ①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故选：C． 13．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（　　） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 【分析】根据∠APQ＝∠AQP，可以得到AP＝AQ，然后再根据点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，可以表示出AP和AQ，然后即可得到当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间，本题得以解决． 【解答】解：∵∠A＝90°， ∴当APQ为等腰三角形时，只有∠APQ＝∠AQP． 设当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为t秒， ∵∠APQ＝∠AQP， ∴AP＝AQ， ∴20﹣3t＝2t， 解得t＝4， 即当△APQ是等腰三角形时运动时间为4秒， 故选：D． 15．平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（1，1），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】依题意有以下两种情况：（1）当点C在x轴上时，又有以下三种情况：①以点A为圆心，以AB为半径画弧交x轴于点C，C′，则点C和点C′为满足条件的点；②以点B为圆心，以BA的长为半径画弧交x轴于点C，则点C为满足条件的点；③作AB的垂直平分线交x轴于C，连接BC，则点C为满足条件的点，综上所述：当点C在x轴上时，满足条件的点共有4个；（2）当点C在y轴上时，又有以下两种情况：①以点A为圆心，以AB为半径画弧交y轴于点C，C′，则点C和点C′为满足条件的点；②以点B为圆心，以BA为半径画弧交y轴于点C，C′，则点C和点C′为满足条件的点，综上所述：当点C在y轴上时，满足条件点共有4个．由此即可得出满足条件点的个数共有8个，据此可得出答案． 【解答】解：∵在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，∴有以下两种情况： （1）当点C在x轴上时，又有以下三种情况： ①以点A为圆心，以AB为半径画弧交x轴于点C，C′，如图1所示： 此时AB＝AC，AB＝AC′， ∴△ABC和△ABC′均为等腰三角形， ∴点C和点C′为满足条件的点； ②以点B为圆心，以BA的长为半径画弧交x轴于点C，如图2所示： 此时BA＝BC， ∴△ABC为等腰三角形， ∴点C为满足条件的点； ③作AB的垂直平分线交x轴于C，连接BC，如图3所示： 此时AC＝BC， ∴△ABC为等腰三角形， ∴点C为满足条件的点， 综上所述：当点C在x轴上时，满足条件的点共有4个； （2）当点C在y轴上时，又有以下两种情况： ①以点A为圆心，以AB为半径画弧交y轴于点C，C′，如图4所示： 此时AB＝AC，AB＝AC′， ∴△ABC和△ABC′均为等腰三角形， ∴点C和点C′为满足条件的点； ②以点B为圆心，以BA为半径画弧交y轴于点C，C′，如图5所示： 此时BC＝BA，BC'＝BA， ∴△ABC和△ABC′均为等腰三角形， ∴点C和点C′为满足条件的点， 综上所述：当点C在y轴上时，满足条件点共有4个． ∴在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件点的个数共有8个． 故选：C． 【题型4 等腰三角形的判定与性质】 16．如图，在△ABC中，CF垂直平分AB于点F，DE是边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB． （1）求证：△OBC为等腰三角形； （2）若∠ACF＝25°，求∠BOE的度数． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得OC＝OA，OB＝OA，从而得出OB＝OC，即可得证； （2）由线段垂直平分线的性质可得AC＝BC，点F是AB的中点，得出CF为∠ACB的平分线．求出∠ACB＝50°，∠DEC＝40°，由等腰三角形的性质可得∠CBO＝∠BCF＝25°，即可得解． 【解答】（1）证明：∵DE为线段AC的垂直平分线， ∴OC＝OA． ∵CF为线段AB的垂直平分线． ∴OB＝OA． ∴OB＝OC． ∴△OBC为等腰三角形； （2）解：∵CF垂直平分AB于点F， ∴AC＝BC，点F是AB的中点， ∴CF为∠ACB的平分线， ∴． ∴∠ACB＝2∠ACF＝50°， ∵DE是边AC的垂直平分线， ∴∠EDC＝90°， ∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝180°﹣90°﹣50°＝40°． ∵△OBC为等腰三角形， ∴∠CBO＝∠BCF＝25°． ∴∠BOE＝∠DEC﹣∠CBO＝15°． 17．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB、AC分别相交于点M、N，且MN∥BC． （1）若∠A＝50°，求∠BOC的度数； （2）已知AB＝9，AC＝8，求△AMN的周长． 【分析】（1）由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，进而由角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由角平分线的定义的∠MBO＝∠CBO，∠NCO＝∠BCO，由平行线的性质得∠MOB＝∠CBO，∠NOC＝∠BCO，即得∠MBO＝∠MOB，∠NCO＝∠NOC，得到MO＝MB，NO＝NC，进而得到△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC，据此即可求解． 【解答】解：（1）∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°（三角形内角和定理）， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴，（角平分线的定义）， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°； （2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠MBO＝∠CBO，∠NCO＝∠BCO（角平分线的定义）， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠CBO，∠NOC＝∠BCO（两直线平行，内错角相等）， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NCO＝∠NOC（等量代换）， ∴MO＝MB，NO＝NC（等角对等边）， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+MO+NO+AN ＝AM+MB+NC+AN ＝AB+AC ＝9+8 ＝17． 18．如图，在△ABC中，D是AB边上的一个动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，且DE平分∠ADC，在BC边上取点F，使∠DFC＝45°． （1）求证：△BCD为等腰三角形； （2）过点D作DM⊥BC于点M，若BC＝12，BF＝2，求DM的长． 【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）利用等腰三角形的性质求得BM＝MC＝6，FM＝4，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， 又∵DE∥BC， ∴∠CDE＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），∠ADE＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∴∠DCB＝∠B（等量代换）， ∴△BCD为等腰三角形； （2）解：∵△BCD为等腰三角形，DM⊥BC，BC＝12，BF＝2， ∴， ∴FM＝BM﹣BF＝6﹣2＝4， 在Rt△DFM中，∠DFM＝45°， ∴△DMF是等腰直角三角形， ∴DM＝FM＝4， 则DM的长为4． 19．（1）已知：如图（1），在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点M，过点M的直线DE∥BC，DE分别与AB，AC交于点D，E．求证：BD+CE＝DE． （2）将（1）题条件“∠ABC的平分线”改为“∠ABC的外角平分线”，如图（2）所示，你能推断出BD，CE，DE存在的数量关系式吗？请证明你的推断． 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证△DBM和△EMC是等腰三角形，从而可得DB＝DM，EM＝EC，然后利用线段的和差关系以及等量关系即可解答； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可证△DBM和△EMC是等腰三角形，从而可得DB＝DM，EM＝EC，然后利用线段的和差关系以及等量关系即可解答． 【解答】（1）证明：∵∠ABC，∠ACB的平分线BM、CM交于点M， ∴∠DBM＝∠CBM，∠ECM＝∠BCM（角平分线的定义）． ∵DE∥BC， ∴∠DMB＝∠CBM，∠EMC＝∠BCM（两直线平行，内错角相等）． ∴∠DBM＝∠DMB，∠ECM＝∠EMC． ∴DB＝DM，ME＝EC（等角对等边）． ∴BD+CE＝MD＝ME． ∵DE＝MD+ME， ∴BD+CE＝DE； （2）解：能，CE﹣BD＝DE， 理由如下：∵∠ABF，∠ACB的平分线BM、CM交于点M， ∴∠FBM＝∠DBM，∠BCM＝∠ECM． ∵DE∥BC， ∴∠FBM＝∠BME，∠BCM＝∠EMC（两直线平行，内错角相等）． ∴∠DBM＝∠BME，∠ECM＝∠EMC（等量代换）． ∴MD＝BD，ME＝CE（等角对等边）． ∴CE﹣BD＝ME﹣MD． ∵DE＝ME﹣MD， ∴CE﹣BD＝DE． 【题型5 等腰三角形中的分类讨论思想】 20．如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为 　 　 ． 【分析】设∠ADB＝x，则∠C＝2x，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质表示∠EAB＝x，∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝45°x，△ADG为等腰三角形时，存在三种情况：①当AD＝DG时，②当AD＝AG时，③当AG＝DG时，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理列方程可得结论． 【解答】解：设∠ADB＝x，则∠C＝2x， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA90°﹣x， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＝x， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF∠ABC＝45°x， ∴∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°x＝45°x， △ADG为等腰三角形时，存在三种情况： ①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA， 即x+45°x+45°x＝180°， ∴x＝45°， ∴∠C＝90°； ②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD， x＝45°x， ∴x＝90°， ∴∠C＝180°（不符合题意，舍去）， ③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x， 2x+45°x＝180°， ∴x＝54°， ∴∠C＝108°， 综上，∠C的度数为90°或108°． 故答案为：90°或108°． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为　 　 ． 【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD＝AE时，②EA＝ ED时，③DA＝DE时，分别求解即可． 【解答】解：AB＝ AC，∠B ＝50°， ∴∠C＝∠B＝50°， ∴∠BAC＝80°， ∵∠ADE ＝ 50°，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD ＝ AE时，∠AED ＝∠ADE ＝ 50°， ∴∠DAE＝80°，此时D点与B点重合，不符合题意；②EA＝ ED时，∠EAD＝∠ADE ＝50°， ∴∠BAD＝80﹣50°＝ 30°；③DA＝ DE时，∠DAE＝∠DEA＝65°， ∴∠BAD＝80°﹣65°＝ 15°， 综上，∠BAD的度数为30°或15°． 故答案为：30°或15°． 22．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　 　 ． 【分析】本分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可． 【解答】解：∵△PCD是等腰三角形，∠PCD＝150°﹣α，∠CPD＝30°， ①当PC＝PD时， ∴，即150°﹣α＝75°， ∴α＝75°； ②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即150°﹣α＝30°， ∴α＝120°； ③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，即150°﹣α＝120°， ∴α＝30°，此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α＝30°或75°或120°． 故答案为：30°或75°或120°． 23．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答； （2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【题型6 角平分线遇平行线构等腰】 24．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝5，ED＝8，则EB+DC的值为 　 　 ． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBG和△DFC是等腰三角形，从而可得EB＝EG，DC＝DF，然后利用等量代换以及线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB， ∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠ABG＝∠GBC，∠ACF＝∠FCB， ∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF， ∴EB＝EG，DC＝DF， ∵FG＝5，ED＝8， ∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝5+8＝13， 故答案为：13． 25．如图所示，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D交AC于E，延长BC至M，试说明BD，CE，DE之间的数量关系． 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可以证明△BDF和△CEF是等腰三角形，从而证得BD＝DF＝DE+EF和CE＝EF，进而求得BD，CE，DE之间的数量关系． 【解答】解：∵BF是∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠FBC， ∵DF∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC， ∴∠ABF＝∠DFB， ∴△BDF是等腰三角形， ∴BD＝DF＝DE+EF． ∵CF是∠ACM的平分线， ∴∠ACF＝∠FCM， ∵DF∥BC， ∴∠EFC＝∠FCM， ∴∠ACF＝∠EFC， ∴△CEF是等腰三角形， ∴CE＝EF， ∴BD＝CE+DE． 26．（1）如图1，AE∥BC，AE平分∠DAC，则△ABC的形状是 　 三角形． （2）如图2，BC平分∠ABD，AC∥BD，AC＝3，则AB＝　 　 ． （3）如图3，有△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于点D．若DE＝7，AD＝5，则AB＝　 　 ． （4）如图4，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AB＝12，AC＝18，BC＝24，则△ADE的周长为 　 　 ． （5）如图5，在△ABC中，BC＝5cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 　 ． 【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的判定即可解决问题． （2）根据角平分线的定义及平行线的性质即可解决问题． （3）根据角平分线的定义及平行线的性质即可解决问题． （4）根据角平分线的定义得出∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，再利用平行线的性质得出∠FBC＝∠DFB，∠FCB＝∠EFC，进而得出∠ABF＝∠DFB，∠ACF＝∠EFC，进一步得出DB＝DF，EC＝EF，最终将△ADE的周长转化为AB+AC即可解决问题． （5）根据角平分线的定义及平行线的性质得出DP＝DB，EP＝EC，进而将△PDE的周长转化为BC的长即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AE∥BC， ∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠EAC， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC＝∠CBD． ∵AC∥BD， ∴∠C＝∠CBD， ∴∠C＝∠ABC， ∴AB＝AC． ∵AC＝3， ∴AB＝3． 故答案为：3． （3）∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC． ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴∠DEB＝∠ABE， ∴DB＝DE． ∵DE＝7，AD＝5， ∴AB＝AD+DB＝AD+DE＝12． 故答案为：12． （4）∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBC， ∵DE∥BC， ∴∠FBC＝∠DFB， ∴∠ABF＝∠DFB， ∴DB＝DF． 同理可得，CE＝EF． ∵AB＝12，AC＝18， ∴C△ADE＝AD+DE+AE ＝AD+DF+EF+AE ＝AD+DB+CE+AE ＝AB+AC ＝12+18 ＝30． 故答案为：30． （5）∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC， ∵PD∥AB， ∴∠ABP＝∠BPD， ∴∠PBC＝∠BPD， ∴DP＝DB． 同理可得，EP＝EC． ∵BC＝5cm， ∴C△PDE＝PD+DE+EP＝BD+DE+EC＝BC＝5（cm）． 故答案为：5cm． 【题型7 作腰或底的平行线构等腰】 27．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BA延长线上一点，E为BC上一点，DC＝DE．（1）求证：∠BDE＝∠ACD； （2）若DE是△DBC的中线，交AC于点F，求证：DF＝EF． 【分析】（1）由DC＝DE，得∠DEC＝∠DCE，因为∠DEC＝∠BDE+∠B，∠DCE＝∠ACB+∠ACD，所以∠BDE+∠B＝∠ACB+∠ACD，由AB＝AC，得∠B＝∠ACB，所以∠BDE＝∠ACD； （2）作EG∥CD交CA的延长线于点G，则∠CEG+∠DCE＝180°，而∠BDE+∠DEC＝180°，且∠DCE＝∠DEC，所以∠CEG＝∠BED，可证明△CEG≌△BED，得GE＝DE，所以DC＝GE，再证明△CFD≌△GFE，得DF＝EF． 【解答】证明：（1）∵DC＝DE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵∠DEC＝∠BDE+∠B，∠DCE＝∠ACB+∠ACD， ∴∠BDE+∠B＝∠ACB+∠ACD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠BDE＝∠ACD． （2）作EG∥CD交CA的延长线于点G，则∠CEG+∠DCE＝180°，∠FCD＝∠G， ∵∠BED+∠DEC＝180°，且∠DCE＝∠DEC， ∴∠CEG＝∠BED， ∵DE是△DBC的中线， ∴CE＝BE， 在△CEG和△BED中， ， ∴△CEG≌△BED（ASA）， ∴GE＝DE， ∴DC＝GE， 在△CFD和△GFE中， ， ∴△CFD≌△GFE（AAS）， ∴DF＝EF． 28．在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F． （1）当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF＝EF． （2）过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC＝4，CF＝1，求BH的长是多少？ 【分析】（1）过点D作DG∥AC，交BC于点G，利用平行线的性质和等边对等角证明∠DGB＝∠B，得到BD＝GD，进而推出GD＝CE，再证明△DGF≌△ECF，即可证明DF＝EF； （2）分当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O，当点D在BA的延长线上时，过点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O，先证明△DHB≌△EOC，得到BH＝CO，进而求出HO＝4，再证明△DHF≌△EOF，得到HF＝OF＝2，再根据线段之间的关系求出BH的长即可． 【解答】（1）证明：过点D作DG∥AC，交BC于点G． ∴∠DGB＝∠ACB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠DGB＝∠B， ∴BD＝GD， ∵BD＝CE， ∴GD＝CE， ∵DG∥AC， ∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF， 在△DGF和△ECF中 ， ∴△DGF≌△ECF（ASA）， ∴DF＝EF； （2）解：如图所示，当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠OCE， 又∵∠DHB＝∠EOC＝90°，BD＝CE， ∴△DHB≌△EOC（AAS）， ∴BH＝CO， ∴HO＝HC+CO＝HC+HB＝BC＝4， ∵∠DHF＝∠EOF＝90°，∠DFH＝∠EFO，DF＝EF（由第一小问已经证明）， ∴△DHF≌△EOF（AAS）， ∴， ∵CF＝1， ∴BH＝CO＝OF﹣CF＝2﹣1＝1； 当点D在BA的延长线上时，过点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O， 同理可证△DHB≌△EOC，△DHF≌△EOF， ∴HO＝HC+CO＝HC+HB＝BC＝4， ∴， ∵CF＝1， ∴BH＝CO＝OF+CF＝2+1＝3； 综上所述，BH的长为1或3． 【题型8 等腰直角三角形】 29．如图，△BAD和△CAE是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：∠ABF＝∠ADC； （2）判断AF和CE的位置关系，并说明理由； （3）求证：CD＝2BF+DE． 【分析】（1）先根据等角的余角相等证得∠BAC＝∠DAE，再根据全等三角形的判定证明即可得出∠ABC＝∠ADE，根据邻补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得∠BCA＝∠E＝45°，再根据直角三角形的两锐角互余求得∠CAF＝45°即可得出∠FAE＝135°，进而证明AF∥CE，即可得出结论； （3）延长BF到G，使得FG＝FB，根据全等三角形的判定与性质证明△AFB≌△AFG（SAS），△CGA≌△CDA（AAS）得到CG＝CD即可证得结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（SAS）； ∴∠ABC＝∠ADE， ∵∠ABC+∠ABF＝∠ADE+∠ADC＝180°， ∴∠ABF＝∠ADC； （2）解：AF∥CE，理由如下， ∵AC＝AE，∠CAE＝90°， ∴∠E＝∠ACE＝45°， 由（1）知△BAC≌△DAE， ∴∠BCA＝∠E＝45°， ∵AF⊥BC， ∴∠CFA＝90°， ∴∠CAF＝45°， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝135°； 又∵∠E＝45°， ∴∠FAE+∠E＝180°， ∴AF∥CE， （3）证明：延长BF到G，使得FG＝FB， ∵AF⊥BG， ∴∠AFB＝∠AFG＝90°， 在△AFB和△AFG中， ， ∴△AFB≌△AFG（SAS）， ∴∠ABF＝∠G，AB＝AG， ∵△BAC≌△DAE， ∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED， ∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA， ∴∠CGA＝∠CDA， ∵∠GCA＝∠DCA＝45°， ∴在△CGA和△CDA中， ， ∴△CGA≌△CDA（AAS）， ∴CG＝CD， ∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF， ∴CD＝2BF+DE． 30．如图1，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE． （1）①求证：AD＝BE； ②求∠AEB的度数； （2）如图2，若CM为△DCE中DE边上的高，BE＝4，CM＝3，请直接写出四边形ABEC的面积． 【分析】（1）①利用SAS证明△ACD≌△BCE，即可证明结论； ②由全等三角形的性质得到∠ADC＝∠BEC，由等腰直角三角形的性质得到∠CDE＝∠CED＝45°，则由平角的定义得到∠ADC＝∠BEC＝135°，利用角的和差求出答案； （2）由△ACD≌△BCE得出AD＝BE，然后判定出DM＝CM，再得出AE＝AD+DE＝BE+2CM＝10，再根据四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积，通过计算即可解答． 【解答】（1）①证明：∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴CA＝CB，CD＝CE， ∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； ②解：由（1）知：△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵△DCE均为等腰直角三角形，点A，D，E在同一直线上， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°； （2）解：四边形ABEC的面积为35．理由如下： 由（1）知：AD＝BE， ∵CD＝CE，CM⊥DE， 在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM＝45°， ∴∠DCM＝∠CDM＝45°， ∴DM＝ME＝CM， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM， ∵BE＝4，CM＝3， ∴AE＝10； 由（1）得∠AEB＝90°， ∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积 ＝35． 31．在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，过点B作射线AD的垂线，垂足为点E，过点C作射线AD的垂线，垂足为点F． （1）如图1，求证：△ABE≌△CAF； （2）如图2，在射线EB上取点G，使EG＝AE，连接AG，CG，CG与AD交于点H．若∠AGC＝90°，AE＝4，求线段BG的长． 【分析】（1）由余角的性质可得∠ABE＝∠CAF，再加上AB＝AC以及直角即可证明△ABE≌△CAF； （2）过点C作射线AD的垂线，垂足为点F，由（1）可得△ABE≌△CAF，即可得到 EG＝AE＝CF，BE＝AF，进一步可证明△EHG≌△FHC，得到EH＝FH；由∠AGC＝90°可得∠EGH＝45°，得到EH＝FH＝EG＝AE＝CF，得到 BE＝3AE，BG＝2AE，即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°， ∴AB＝AC， ∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴∠BAC＝∠F＝∠AEB＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAF＝90°， ∴∠ABE＝∠CAF， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）； （2）解：如图2，由（1）可得△ABE≌△CAF， ∴AE＝CF，BE＝AF， ∵EG＝AE， ∴EG＝AE＝CF，∠BEF＝∠F＝90°，∠EHG＝∠FHC， 在△EHG和△FHC中， ， ∴△EHG≌△FHC（AAS）， ∴EH＝FH； ∵EG＝AE，BE⊥AD， ∵∠AGE＝45°， ∴∠EGH＝45°， ∴EH＝EG， ∴EH＝FH＝EG＝CF＝AE＝CF， ∴BE＝3AE，BG＝2AE， ∵AE＝4， ∴BG＝8． 32．定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为2cm，底边长为3cm，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k为　　 ． 【分析】由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长和底边长都有可能是5cm，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【解答】解：当等腰三角形的腰长是5cm时， ∵等腰△ABC的周长为13cm， ∴此等腰三角形的底边长是13﹣5×2＝3（cm）， 5+3＞5，满足三角形三边关系定理， ∴此时这个等腰三角形的“优美比”k为； 当等腰三角形的底边长是5cm时， ∵等腰△ABC的周长为13cm， ∴此等腰三角形的腰长是（13﹣5）＝4（cm）， 4+4＞5，满足三角形三边关系定理， ∴此时这个等腰三角形的“优美比”k为， ∴等腰△ABC的“优美比”k为或． 故答案为：或． 33．定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上． （1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”； （2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； （3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 　 　 ． 【分析】（1）由等边对等角得到∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，则∠ABC＝∠BDC，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到∠A＝180°﹣2∠C，再由外角性质得到∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当∠DBC＝∠BAC时，由三线合一得到AE⊥BC，BE＝CE，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x，可得AE垂直平分BC，则∠DBC＝∠FCB＝2x，然后根据外角性质表示出∠DFC＝∠DCF＝4x再由三角形内角和定理得到∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°；当∠ABD＝∠BAC时，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x，则∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x，由△ABF≌△ACF（SAS），以及等腰三角形性质得到∠DFC＝∠DCF＝2x，在△DFC中由三角形内角和定理建立方程求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C， ∴∠ABC＝∠BDC， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABD， ∴∠A＝∠DBC， ∴BD是△ABC的“等角分割线”； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣2∠C， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°，∠BDA＝90°， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BDA＝∠DBC+∠C， ∴∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C， ∵BD是△ABC的“等角分割线”， ∴①∠A＝∠ABD，180°﹣2∠C＝2∠C﹣90°， 解得：∠C＝67.5°； ②∠A＝∠DBC，180°﹣2∠C＝90°﹣∠C， 解得：∠C＝90°（舍去）， 综上：∠C＝67.5°； （3）解：记∠BAC的平分线与BC交于点E， ①当∠DBC＝∠BAC时， ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BE＝CE（等腰三角形三线合一）， 设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x ∵AE⊥BC，BE＝CE， ∴AE垂直平分BC， ∴FB＝FC， ∴∠DBC＝∠FCB＝2x， ∴∠DFC＝∠FBC+∠FCB＝2x+2x＝4x， ∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝4x， ∴∠ACE＝∠DCF+∠FCB＝4x+2x＝6x， ∵AE⊥BC， ∴∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°， ∴x+6x+90°＝180°， 解得：， ∴； ②当∠ABD＝∠BAC时， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE（角平分线的定义）， 设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x， ∴∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x， 在△ABF和△ACF中， ， ∴△ABF≌△ACF（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD＝2x， ∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝2x， ∵∠FDC+∠DFC+∠DCF＝180°， ∴4x+2x+2x＝180°， 解得：x＝22.5°， ∴∠BAC＝2×22.5°＝45°， 综上：∠BAC的度数为45°或， 故答案为：45°或． 34．【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． （1）【理解】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对等角三角形．　 ；　 　 ； （2）【尝试】如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝60°，∠B＝40°．求证：CD为△ABC的等角分割线； （3）【应用】在△ABC中，∠A＝54°，CD是△ABC的等角分割线，请直接写出∠ABC的度数． 【分析】（1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠DCB＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠DCB， 同理∠B＝∠ACD， ∵∠ACB＝∠ADC＝∠CDB， ∴△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是等角三角形， 故答案为：△ABC与△ACD，△ABC与△BCD（答案不唯一）； （2）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80° ∵CD为角平分线， ∴， ∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A， ∴CD＝DA， ∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B， ∴CD为△ABC的等角分割线； （3）解：当△ACD是等腰三角形， 如图，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝54°， ∴∠ACB＝∠BDC＝54°+54°＝108°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣54°﹣108°＝18°； 当△ACD是等腰三角形， 如图，DA＝AC时，， ∠BCD＝∠A＝54°， ∴∠ACB＝63°+54°＝117°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣54°﹣（63°+54°）＝9°； 当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在， 当△BCD是等腰三角形， 如图，DC＝BD时， ， 当△BCD是等腰三角形， 如图，DB＝BC时， ∠BDC＝∠BCD， 设∠BDC＝∠BCD＝x， 则∠B＝180°﹣2x， 则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x， ∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD ∴180°﹣2x+54°＝x， ∴x＝78°， ∴∠B＝180°﹣2x＝24°， 当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在， ∴∠ABC的度数为9°或24°或42°或18°． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 等腰三角形 【知识点1 等腰三角形的定义】 有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形. 【知识点2 等腰三角形的性质】 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【知识点3 等腰三角形的判定】 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 等腰三角形的性质（等边对等角）】 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，若AD＝BD＝BC，则∠A的度数是　 　 ． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，点E在边AB上，且AE＝AD，连结DE，若∠BDE＝15°，则∠CAD的大小为　 　 度． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为　 　 ． 4．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠MEF＝90°，则∠A的度数为 　 　 ． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AD＝DE＝EC．求∠C、∠ADE的度数． 6．如图，在△ABC中，AD＝BD＝CD，BA平分∠DBE，EF⊥CA交CA的延长线点F． （1）求证：AB∥EF． （2）若∠E＝150°，求∠ADB的度数． 【题型2 等腰三角形的性质（三线合一）】 7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM＝ 　 　cm． 8．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为 　 　． 9．如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，EB＝EF．若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　 　． 10．如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 11．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F． （1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C； （2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数． 【题型3 等腰三角形的判定】 12．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 13．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（　　） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 15．平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（1，1），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型4 等腰三角形的判定与性质】 16．如图，在△ABC中，CF垂直平分AB于点F，DE是边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB． （1）求证：△OBC为等腰三角形； （2）若∠ACF＝25°，求∠BOE的度数． 17．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB、AC分别相交于点M、N，且MN∥BC． （1）若∠A＝50°，求∠BOC的度数； （2）已知AB＝9，AC＝8，求△AMN的周长． 18．如图，在△ABC中，D是AB边上的一个动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，且DE平分∠ADC，在BC边上取点F，使∠DFC＝45°． （1）求证：△BCD为等腰三角形； （2）过点D作DM⊥BC于点M，若BC＝12，BF＝2，求DM的长． 19．（1）已知：如图（1），在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点M，过点M的直线DE∥BC，DE分别与AB，AC交于点D，E．求证：BD+CE＝DE． （2）将（1）题条件“∠ABC的平分线”改为“∠ABC的外角平分线”，如图（2）所示，你能推断出BD，CE，DE存在的数量关系式吗？请证明你的推断． 【题型5 等腰三角形中的分类讨论思想】 20．如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为 　 　 ． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为　 　 ． 22．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　 　 ． 23．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【题型6 角平分线遇平行线构等腰】 24．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝5，ED＝8，则EB+DC的值为 　 　 ． 25．如图所示，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D交AC于E，延长BC至M，试说明BD，CE，DE之间的数量关系． 26．（1）如图1，AE∥BC，AE平分∠DAC，则△ABC的形状是 　 三角形． （2）如图2，BC平分∠ABD，AC∥BD，AC＝3，则AB＝　 　 ． （3）如图3，有△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于点D．若DE＝7，AD＝5，则AB＝　 　 ． （4）如图4，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AB＝12，AC＝18，BC＝24，则△ADE的周长为 　 　 ． （5）如图5，在△ABC中，BC＝5cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 　 ． 【题型7 作腰或底的平行线构等腰】 27．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BA延长线上一点，E为BC上一点，DC＝DE．（1）求证：∠BDE＝∠ACD； （2）若DE是△DBC的中线，交AC于点F，求证：DF＝EF． 28．在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F． （1）当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF＝EF． （2）过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC＝4，CF＝1，求BH的长是多少？ 【题型8 等腰直角三角形】 29．如图，△BAD和△CAE是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：∠ABF＝∠ADC； （2）判断AF和CE的位置关系，并说明理由； （3）求证：CD＝2BF+DE． 30．如图1，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE． （1）①求证：AD＝BE； ②求∠AEB的度数； （2）如图2，若CM为△DCE中DE边上的高，BE＝4，CM＝3，请直接写出四边形ABEC的面积． 31．在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，过点B作射线AD的垂线，垂足为点E，过点C作射线AD的垂线，垂足为点F． （1）如图1，求证：△ABE≌△CAF； （2）如图2，在射线EB上取点G，使EG＝AE，连接AG，CG，CG与AD交于点H．若∠AGC＝90°，AE＝4，求线段BG的长． 32．定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为2cm，底边长为3cm，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k为　　 ． 33．定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上． （1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”； （2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； （3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 　 　 ． 34．【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． （1）【理解】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对等角三角形．　 ；　 　 ； （2）【尝试】如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝60°，∠B＝40°．求证：CD为△ABC的等角分割线； （3）【应用】在△ABC中，∠A＝54°，CD是△ABC的等角分割线，请直接写出∠ABC的度数． 第 1 页 共 3 页 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