寒假作业05 图形的轴对称（巩固培优）八年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 图形的轴对称 【知识点1 轴对称图形与对称轴】 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，也说这个图形关于这条直线对称． 【知识点2 两个图形成轴对称】 1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 2. 两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3. 轴对称的性质 （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 【知识点3 轴对称变换】 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 【知识点4 作轴对称图形】 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 【知识点5 关于坐标轴对称的点的坐标的特点】 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 【知识点6 线段垂直平分线的定义及其性质】 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 【知识点7 线段垂直平分线性质定理的逆定理】 1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 轴对称图形的判断】 1．下列图形：线段、角、长方形、直角三角形、平行四边形、等边三角形、圆，其中一定是轴对称图形的有　 　 个． 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：根据轴对称图形是定义可知， 线段，角，长方形，等边三角形和圆一定是轴对称图形； 直角三角形和平行四边形不一定是轴对称图形， 所以一定是轴对称图形有5个． 故答案为：5． 2．如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它格点上，且A、B、C、P为轴对称图形，则共有　 　 个这样的点P符合愿意． 【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可． 【解答】解：如图所示：A、B、C、P为轴对称图形，共有4个这样的点P． 故答案为：4． 3．正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有 　 　 种． 【分析】利用轴对称图形定义进行补图即可． 【解答】解：如图所示： ， 共4种， 故答案为：4． 【题型2 轴对称的性质】 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为 　 　 ． 【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣50°＝40°， ∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称， ∴∠AB′D＝∠B＝50°， ∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′， ∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°， 故答案为10°． 5．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若DE＝5，CF＝1，∠BAC＝75°，∠EAC＝60°． （1）求BF的长度； （2）求∠CAD的度数． 【分析】（1）利用轴对称的性质求出BC，CF，可得结论； （2）证明∠DAC＝∠BAE，利用角的和差定义求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，DE＝5，CF＝1， ∴BC＝DE＝5， ∴BF＝BC﹣CF＝4； （2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝75°，∠EAC＝60°， ∴∠EAD＝∠BAC＝75°， ∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝75°﹣60°＝15°． 6．如图①，点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N． （1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长； （2）若∠C＝21°，∠D＝28°，求∠MPN的度数． （3）如图②，连接OC、OD，若∠AOB＝40°，求∠OCD的度数． 【分析】（1）直接利用轴对称的性质得出对应线段关系即可； （2）由轴对称的性质得出对应角的关系即可； （3）由轴对称的性质得出对应角的关系即可． 【解答】解：（1）∵点P关于OA，OB轴对称的对称点分别为C，D， ∴PM＝CM，ND＝NP， ∵CD＝18， ∴PM+MN+PN＝CM+MN+ND＝CD＝18， ∴△PMN的周长为18cm； （2）∵点P关于OA，OB轴对称的对称点分别为C，D， ∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD， ∴CM＝PM，PN＝DN， ∴∠C＝∠MPC，∠D＝∠NPD， ∵∠PRM＝∠PTN＝90°， ∴∠CPD+∠O＝180°， ∵∠D+∠C+∠CPD＝180°， ∴∠C+∠D＝∠O＝21°+28°＝49°， ∴∠MPN＝180°﹣49°×2＝82°； （3）如图，连接OP， ∵点P关于OA，OB轴对称的对称点分别为C，D， ∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD， ∴∠COA＝∠POA，∠POB＝∠DOB，OC＝OP，OD＝OP， ∵∠AOB＝40°， ∴∠POA+∠POB＝40°， ∴∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝40°+40°＝80°， ∴∠COD＝80°， ∵OC＝OP．OD＝OP， ∴OD＝OC， ∴． 7．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于直线OA对称，点P关于直线OB的对称点是点D，连接CD交OA于点M，交OB于点N． （1）若∠AOB＝α，求∠COD的度数； （2）若CD＝4，△PMN的周长为　 　 ． 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数； （2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长． 【解答】解：（1）∵点C和点P关于OA对称， ∴∠AOC＝∠AOP， ∵点P关于OB对称点是D， ∴∠BOD＝∠BOP， ∵∠AOB＝α， ＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD ＝2（∠AOP+∠BOP） ＝2∠AOB ＝2α； （2）∵点C和点P关于OA对称， ∴CM＝PM， ∵点P关于OB对称点是D， ∴DN＝PN， ∵CD＝4， ∴CM+MN+DN＝4， ∴PM+MN+PN＝4， 即△PMN的周长为4． 故答案为：4． 【题型3 关于坐标轴对称】 8．若A（a﹣1，b+1）和B（﹣2，a+3）两点关于y轴对称，则a﹣b的值是　 　 ． 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【解答】解：∵A（a﹣1，b+1）和B（﹣2，a+3）两点关于y轴对称， ∴a﹣1＝2，b+1＝a+3， 解得a＝3，b＝5， ∴a﹣b＝3﹣5＝﹣2． 故答案为：﹣2． 9．在平面直角坐标系中，如果点A（a﹣1，b+2）和B（﹣3，a﹣3）关于x轴对称，则2a+b＝　 　 ． 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b，然后代入计算2a+b的值． 【解答】解：由条件可知横坐标相等：a﹣1＝﹣3，纵坐标互为相反数：b+2＝﹣（a﹣3）， 解得a＝﹣2，b＝3， ∴2a+b＝2×（﹣2）+3＝﹣4+3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 10．将点A（m，﹣2）向上平移k个单位后得点B（3，n+1），若点A，B关于x轴对称，则m+k﹣n的值为　　 ． 【分析】根据平移性质，点向上平移时横坐标不变，纵坐标增加；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数．利用这些关系列方程求解． 【解答】解：由题意得，m＝3，且﹣2+k＝n+1． 又∵点A与点B关于x轴对称， ∴﹣2＝﹣（n+1）， 解得n＝1． ∴﹣2+k＝1+1， ∴k＝4， ∴m+k﹣n＝3+4﹣1＝6． 故答案为：6． 【题型4 作图—轴对称变换】 11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（2，2），（1，﹣3），（4，﹣2）．△ABC与△EFG关于x轴对称，点A，B，C的对称点分别为E，F，G． （1）请在图中画出△EFG，并写出点E，F，G的坐标； （2）若点M（m+2，n﹣2）是△ABC内的一点，其关于x轴的对称点为M′（3﹣n，2m），求m，n的值． 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征先分别找出点A、B、C关于x轴对称的对应点E、F、G，然后顺次连接E、F、G即可得到答案； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于m、n的二元一次方程组，由此求解即可． 【解答】解：（1）△ABC关于x轴对称的△EFG，如图即为所求； 由图可知，点E（2，﹣2），F（1，3），G（4，2）； （2）由题意得：， 解得：． 12．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点为网格线的交点）△ABC，l是过网格线的一条直线． （1）作△ABC关于直线l对称的图形△A′B′C′； （2）在边BC上找一点D，连接AD，使得∠BAD＝∠ABD． 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于直线l的对称点，然后顺次连接各对应点即可； （2）利用网格特点得到∠ABD＝45°，所以AB的垂直平分线与BC的交点为D点． 【解答】解：（1）如图1，△A′B′C′即为所求． （2）如图2，点D为所作． 13．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出△ABC向上平移4个单位长度所得到的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）画出△DEF关于x轴对称后所得到的△D1E1F1，并写出点E1的坐标； （3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴． 【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）根据轴对称图形的性质作图即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，A1（3，2）． （2）如图，△D1E1F1即为所求． 由图可得，E1（﹣2，﹣3）． （3）如图，直线l和直线l′均满足题意． 14．如图，E平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标）分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2），直线l与x轴平行且经过点（0，﹣1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2； （3）已知P（a，b）是△ABC内部一点，写出P关于直线l的对称点P1的坐标． 【分析】（1）先确定出点A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）关于y轴的对称点，然后连线即可得△A1B1C1； （2）先确定出点A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）关于直线l的对称点，然后连线即可得△A2B2C2； （3）根据轴对称的性质，可得点P（a，b）与点P1的对称点横坐标相同，再由轴对称的性质可得点的对称点纵坐标． 【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图1即为所求； （2）△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2，如图2即为所求； （3）∵点P（a，b）关于直线l对称点的横坐标为a，纵坐标为2×（﹣1）﹣b＝﹣2﹣b， ∴点P（a，b）关于直线l的对称点P1的坐标是（a，﹣2﹣b）． 【题型5 线段的垂直平分线的性质应用】 15．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数（　　） A．60° B．50° C．40° D．70° 【分析】首先根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE、AN＝CN，根据等边对等角可证∠EAB＝∠EBA、∠NAC＝∠NCA，所以可证∠ABC+∠ACB＝70°+∠NAE，根据三角形内角和定理可以求出∠NAE＝40°． 【解答】解：如图所示， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE（线段垂直平分线的性质）， ∴∠BAE＝∠EBA（等边对等角）， ∵MN是AC的垂直平分线， ∴AN＝CN， ∴∠CAN＝∠NCA（等边对等角）， ∵∠BAE+∠CAN＝∠BAN+∠NAE+∠NAE+∠CAE， ∴∠BAE+∠CAN＝（∠BAN+∠NAE+∠CAE）+∠NAE＝70°+∠NAE， ∴∠ABC+∠ACB＝70°+∠NAE， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴70°+70°+∠NAE＝180°， ∴∠NAE＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故选：C． 16．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BMN+∠BNM，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MP，NC＝NP，根据等腰三角形的性质得到∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，计算即可． 【解答】解：∵∠ABC＝80°， ∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣80°＝100°， ∵M、N分别在PA、PC的中垂线上， ∴MA＝MP，NC＝NP， ∴∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP， ∴∠MPA+∠NPC（∠BMN+∠BNM）＝50°， ∴∠APC＝180°﹣50°＝130°， 故选：C． 17．如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．106° C．117° D．136° 【分析】由∠ABC＝54°，可得∠BMN+∠BNM＝126°，根据线段垂直平分线的性质可得：MA＝MP，NP＝NC，推出∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP，再结合三角形的外角性质可得∠MPA+∠NPC∠BMN∠BNM＝63°，最后根据∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC），即可求解． 【解答】解：由条件可知∠BMN+∠BNM＝180°﹣54°＝126°， ∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上， ∴MA＝MP，NP＝NC， ∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP， ∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP+∠NPC＝2∠NPC， ∴∠MPA+∠NPC∠BMN∠BNM126°＝63°， ∴∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC）＝180°﹣63°＝117°． 故选：C． 18．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E． （1）若BC＝12，求△ADE的周长； （2）若∠BAC＝110°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，再根据三角形周长公式计算得到答案； （2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，计算即可． 【解答】解：（1）∵DM是边AB的垂直平分线，EN是边AC的垂直平分线， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴△ADE的周长为：DA+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝12； （2）∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝110°﹣70°＝40°． 19．在△ABC中，边AB的垂直平分线l1交BC于点D，边AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为17． （Ⅰ）如图1，求线段BC的长； （Ⅱ）如图1，若∠BAC＝104°，求∠DAE的度数； （Ⅲ）如图2，连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为36，求线段OA的长（直接写出结果即可）． 【分析】（Ⅰ）先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，AE＝CE，再根据AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC，即可得出结论； （Ⅱ）先根据三角形的内角和求得∠ABC+∠ACB＝76°，再根据等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，进而计算即可； （Ⅲ）先根据线段垂直平分线的性质得出OA＝OC＝OB，再由△OBC的周长为36，求出OC的长，进而得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）∵直线DO、EO分别是线段AB、AC的垂直平分线， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC， ∵△ADE的周长为17， 即AD+DE+AE＝17， ∴BC＝17； （Ⅱ）∵∠BAC＝104°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝76°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC） ＝∠BAC﹣（∠ABC+∠ACB） ＝28°； （Ⅲ）∵AB边的垂直平分线I1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E， ∴OA＝OC＝OB， ∵△OBC的周长为36，即OC+OB+BC＝36， ∴OC+OB＝36﹣17＝19， ∴OC＝9.5， ∴OA＝OC＝OB＝9.5． 20．如图①，P为△ABC内一点，连接PA，PB． （1）证明：AP+BP＜AC+BC； （2）如图②，过点P的线段MN分别交AC、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PB的垂直平分线上．若∠ACB＝80°，求∠APB的度数． 【分析】（1）延长AP交BC于点D．根据三角形的三边关系证明； （2）根据三角形内角和定理求出∠CMN+∠CNM，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MP，NP＝NB，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】（1）证明：如图①，延长AP交BC于点D． 在△ACD中，AC+CD＞AD， ∵AD＝AP+PD， ∴AC+CD＞AP+PD①， 在△BPD中，PD+BD＞BP②， ①+②，得AC+CD+PD+BD＞AP+PD+BP， ∴AC+CD+BD＞AP+BP， ∵CD+BD＝BC， ∴AC+BC＞AP+BP，即AP+BP＜AC+BC； （2）解：∵∠ACB＝80°， ∴∠CMN+∠CNM＝180°﹣80°＝100°， ∵M、N分别在PA、PB的垂直平分线上， ∴MA＝MP，NP＝NB， ∴∠MAP＝∠MPA，∠NBP＝∠NPB， ∵∠CMN＝∠MAP+∠MPA，∠CNM＝∠NBP+∠NPB， ∴∠MPA+∠NPB（∠CMN+∠CNM）＝50°， ∴∠APB＝180°﹣50°＝130°． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的高，在AB上取一点E，作BE的中垂线交AB于点H，交AD于点F，连接EF，CF． （1）求证：EF＝CF； （2）若∠ABC＝70°，求∠EFC的度数． 【分析】（1）连接BF，根据线段垂直平分线的性质得到FE＝FB，FB＝FC，即可得出结论； （2）连接BF并延长交AC于G，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】（1）证明：连接BF， ∵FH是BE的垂直平分线， ∴EF＝FB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴FD是BC的垂直平分线， ∴FB＝CF， ∴EF＝CF； （2）解：连接BF并延长交AC于G， ∵FH是BE的垂直平分线， ∴FE＝FB， ∴∠FEB＝∠FBE， ∴∠GFE＝2∠FBE， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴FD是BC的垂直平分线， ∴FB＝FC， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴∠GFC＝2∠FBC， ∵∠ABC＝70°， ∴∠EFC＝∠GFE+∠GFC＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝140°． 【题型6 线段垂直平分线的判定】 22．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P． （1）求∠FAN的度数； （2）求证：点P在线段BC的垂直平分线上． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，NA＝NC，根据等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，计算即可； （2）连接PA、PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PA，PC＝PA，等量代换得到PB＝PC，根据线段垂直平分线的判定证明． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝130°， ∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°， ∵EF是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线， ∴FA＝FB，NA＝NC， ∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝50°， ∴∠FAN＝130°﹣50°＝80°； （2）证明：如图，连接PA、PB、PC， ∵EP是AB的垂直平分线，MP是AC的垂直平分线， ∴PB＝PA，PC＝PA， ∴PB＝PC， ∴点P在线段BC的垂直平分线上． 23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC＝40°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题； （2）只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝40°，AD平分∠BAC， ∴∠EAD∠BAC＝20°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， ∴∠EDA＝90°﹣20°＝70°． （2）证明：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°＝∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠DAC， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE＝AC， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥CE，AD平分线段EC， 即直线AD是线段CE的垂直平分线． 24．如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连接AD． （1）求证：点D在边AC的垂直平分线上； （2）连接BE，若BD⊥CD，求证：BE⊥AC． 【分析】（1）利用垂直平分线性质得DA＝DB，结合DB＝DC推出DA＝DC，进而证明D在AC的垂直平分线上． （2）连接AD得到DA＝DB＝DC，设角并结合BD⊥CD求出相关角度，得出∠BAE＝45°，再利用垂直平分线性质和角度关系证明BE⊥AC． 【解答】证明：（1）由线段的垂直平分线可知，DA＝DB， ∵DB＝DC， ∴DA＝DC． ∴点D在AC的垂直平分线上． （2）由（1）可知DA＝DB＝DC，由“等边对等角”， 设∠DAB＝∠DBA＝α，∠DCA＝∠DAC＝β， ∵BD⊥CD， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝90°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠DBC+∠DCB+α+α+β+β＝180°， 即90°+2（α+β）＝180°，则α+β＝45°， 即∠BAE＝45°， 由线段的垂直平分线上可知，AE＝BE， ∴∠EBA＝∠BAE＝45°， ∴∠AEB＝180°﹣∠EBA﹣∠EAB＝90°，则BE⊥AC． 25．如图，在△ABC中，直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点D，E，连接BD． （1）若AB＝8，△ABD的周长为19，则AC的长为　11　 ； （2）若∠ADB＝90°，求∠ACB的度数； （3）已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC，试判断点P是否在边AB的垂直平分线上，并说明理由． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到DB＝DC，得到AC＝AD+DC＝AD+DB，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）利用等边对等角即可求解； （3）根据垂直平分线的性质得到PA＝PB＝PC，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【解答】解：（1）∵直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点D，E， ∴DB＝DC， ∴AC＝AD+DC＝AD+DB， ∵△ABD的周长为19， ∴AB+AD+DB＝19， ∵AB＝8， ∴AD+DB＝19﹣AB＝19﹣8＝11， 即AC＝11， 所以AC的长为11， 故答案为：11； （2）∵∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°， 又∵DB＝DC， ∴∠ACB＝∠DBC＝45°（等边对等角）． 即∠ACB的度数为45°； （3）点P在边AB的垂直平分线上，理由如下： 连接PA、PB， ∵直线l垂直平分边BC，点P在直线l上， ∴PB＝PC， ∵点P在边AC的垂直平分线上， ∴PA＝PC， ∴PA＝PB（等量代换）， ∴点P在边AB的垂直平分线上． 【题型7 线段垂直平分线的判定】 26．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D． （1）过点P作PE⊥AC于点E，求证：BD＝CE； （2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长． 【分析】（1）连接PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据角平分线的性质得到PD＝PE，证明Rt△BPD≌Rt△CPE，根据全等三角形的性质证明； （2）证明Rt△ADP≌Rt△AEP，得到AD＝AE，根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：作PE⊥AC于点E，连接PB、PC， ∵PQ是BC边的垂直平分线， ∴PB＝PC， ∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC， ∴PD＝PE， 在Rt△BPD和Rt△CPE中， ， ∴Rt△BPD≌Rt△CPE， ∴BD＝CE； （2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中， ， ∴Rt△ADP≌Rt△AEP， ∴AD＝AE， ∴AD+6＝10﹣AD， 解得，AD＝2（cm）． 27．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接DE，AF． （1）判断DE与AC的位置关系，并证明你所得的结论； （2）求证：∠C＝∠EAF． 【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD，结合线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠EDA，进而可证得DE∥AC； （2）利用SSS证明△AEF≌△DEF可得∠EAF＝∠EDF，结合平行线的性质可证明结论． 【解答】（1）解：DE∥AC， 理由：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵EF垂直平分AD， ∴AE＝DE， ∴∠BAD＝∠EDA， ∴∠CAD＝∠EDA， ∴DE∥AC； （2）证明：∵EF垂直平分AD， ∴EA＝ED，FA＝FD， 在△AEF和△DEF中， ， ∴△AEF≌△DEF（SSS）， ∴∠EAF＝∠EDF， ∵DE∥AC， ∴∠C＝∠EDF， ∴∠C＝∠EAF． 28．在《全等三角形》和《轴对称》这两章的学习中，我们探究了两个重要结论： 结论1：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，当OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB时，垂足分别为D、E，则有：CD＝CE． 结论2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，当CO⊥AB，垂足为O，AO＝BO时，则有：CA＝CB． 请利用上述结论，解决下列问题： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，点P为线段BD上一动点． （1）试说明：PE＝PC；（2）若∠A＝α，点P为线段BC的垂直平分线与BD的交点，求∠CPE的度数（用含α的式子表示）． 【分析】（1）根据角平分线性质得DE＝DC，进而可依据“HL”判定Rt△BED和Rt△BCD全等得BE＝BC，再根据∠EBD＝∠CBD可依据“SAS”判定△EBP和△CBP全等，然后再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据平分线定义设∠EBD＝∠CBD＝β，则∠ABC＝2β，进而得2β＝90°﹣α，根据线段垂直平分线性质及（1）的结论得PB＝PC＝PE，由此得∠PCB＝∠CBD＝β，∠PEB＝∠EBD＝β，再根据三角形的外角性质得∠CPD＝2β，∠EPD＝2β，据此得∠CPE＝4β＝180°﹣2α． 【解答】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴DE＝DC，∠EBD＝∠CBD，∠BED＝∠ACB＝90°， ∴△BED和△BCD都是直角三角形， 在Rt△BED和Rt△BCD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）， ∴BE＝BC， 在△EBP和△CBP中， ， ∴△EBP≌△CBP（SAS）， ∴PE＝PC； （2）解：∵BD是∠ABC的平分线， ∴设∠EBD＝∠CBD＝β， ∴∠ABC＝2β， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α， ∴∠ABC＝90°﹣∠A， ∴2β＝90°﹣α， ∵点P在BC的垂直平分线上， ∴PB＝PC， 由（1）可知：PE＝PC， ∴PB＝PC＝PE， ∴△PBC和△PBE都是等腰三角形， ∴∠PCB＝∠CBD＝β，∠PEB＝∠EBD＝β， ∵∠CPD是△PBC的外角，∠EPD是△PBE的外角， ∴∠CPD＝∠PCB+∠CBD＝2β，∠EPD＝∠PEB+∠EBD＝2β， ∴∠CPE＝∠CPD+∠EPD＝4β＝180°﹣2α． 29．在平面直角坐标系xOy中，对于任意线段AB，我们给出如下定义：线段AB上各点到x轴距离的最大值称为线段AB的“好评距离”，记作HAB.例如：若A（4，6），B（﹣3，﹣2），则线段AB的“好评距离”HAB＝6． ①若点C（6，3），D（2，﹣5），则HCD＝　 　 ； ②若将经过点（0，3）且垂直于y轴的直线记作y＝3，点E（﹣1，m），F（2，m+3）关于直线y＝3的对称点分别为点G，H，连接EF和GH．当|HEF﹣HGH|为定值时，m的取值范围为 　 ． 【分析】（1）根据所给“好评距离”的定义即可解决问题； （2）结合图形即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为|3|＝3，|﹣5|＝5，且5＞3， 所以HCD＝5． 故答案为：5； （2）因为点E（﹣1，m），F（2，m+3）关于直线y＝3的对称点分别为点G，H， 则G（﹣1，6﹣m），H（2，3﹣m）． 如图所示， 当3﹣m≤﹣1.5，即m≥4.5时， |HEF﹣HGH|＝|m+3﹣（m﹣3）|＝6为定值； 如图所示， 当m≤﹣1.5时， |HEF﹣HGH|＝|﹣m﹣（6﹣m）|＝6为定值， 综上所述，m的取值范围是m≤﹣1.5或x≥4.5． 故答案为：m≤﹣1.5或x≥4.5． 30．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹） 【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置． 【解答】解：作出线段AB的垂直平分线，与∠COD的平分线交于P点，则P点为所求． 31．请你设计“线段的垂直平分线”的仪器． （1）材料：描述所需材料及要求； （2）请你设计“线段的垂直平分线”的仪器方案，方案包括画出“仪器”的平面几何图形，写出图形中条件的符号语言，再写出“仪器”的操作说明； （3）说明你设计方案的合理性． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质即可得到答案； （2）由垂直平分线的性质即可得到图形，从而确定AD＝AB，CD＝CB和操作步骤； （3）根据设计“线段的垂直平分线”的仪器，结合线段垂直平分线的判定即可得到答案． 【解答】解：（1）4根细木条，要求两两相等； （2）仪器的平面几何图形如图1， 其中AD＝AB，CD＝CB， 操作说明：如图2， 将仪器的点D和点B分别放置在一条线段的两个端点上，画直线AC；AC就是这条线段DB的垂直平分线； （3）合理性 ∵AD＝AB， ∴点A在线段DB的垂直平分线上， ∵CD＝CB， ∴点C在线段DB的垂直平分线上， ∵经过两点有且只有一条直线， ∴直线AC是线段DB的垂直平分线． 32．在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线，点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1；P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点P（﹣2，5）的一次反射点为P1（2，5），二次反射点为P2（5，2）．根据定义，回答下列问题： （1）点（3，2）的一次反射点为　（﹣3，2）　 ，二次反射点为　（2，﹣3）　 ； （2）当点A在第四象限时，点M（﹣4，1），N（3，﹣1），Q（﹣1，﹣5）中可以是点A的二次反射点的是Q ； （3）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，∠A1OA2＝50°，求射线OA与x轴所夹锐角的度数． 【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解； （2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断A2的位置即可； （3）根据点A在第二象限，可知点A1在第一象限，进而可知A2也在第一象限，由∠A1OA2＝50°，可得∠A1OH＝∠A2OH＝25°，进而求得∠AOU＝∠A1OU＝20°，据此求解可得结论． 【解答】解：（1）点（3，2）的一次反射点为（﹣3，2），二次反射点为（2，﹣3）； 故答案为：（﹣3，2），（2，﹣3）； （2）∵点A在第四象限时， ∴一次反射点在第三象限，二次反射点在第三象限， ∴点M（﹣4，1），N（3，﹣1），Q（﹣1，﹣5）中可以是点A的二次反射点的是Q（﹣1，﹣5）； 故答案为：Q； （3）如图， ∵∠A1OA2＝50°， ∴∠A1OH＝∠A2OH＝25°， ∴∠A1OU＝45°﹣25°＝20°， ∴∠AOU＝∠A1OU＝20°， ∴射线OA与x轴所夹锐角的度数为20°或70°． 33．我们生活在一个充满对称的世界中，而轴对称是一种重要的对称，同学们已经学习了在平面直角坐标系中图形的对称特征，请完成以下小题： （1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1并写出点B1的坐标． （2）在平面直角坐标系中，经过点M（0，m）且平行于x轴的直线记作直线y＝m． 给出定义：将点P（x，y）关于y轴的对称点记作点P1，再将点P1关于直线y＝m的对称点记作点P2，则称点P2为点P（x，y）关于y轴和直线y＝m的“双轴对称点”． 例如：点P（3，1）关于y轴和直线y＝3的“双轴对称点”为点P2（﹣3，5）． ①点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“双轴对称点”A2的坐标是　（﹣3，﹣2）　 ； ②点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“双轴对称点”B2的坐标是（﹣9，5），求m和n的值． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）①结合所给的定义以及轴对称的性质可得答案． ②根据点B（3m+n，m﹣n）关于y轴的对称点B1的坐标是（﹣3m﹣n，m﹣n），点B1（﹣3m﹣n，m﹣n）关于直线y＝m的对称点B2的坐标是（﹣3m﹣n，m+n），可得，求出m，n的值即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，点B1的坐标为（﹣1，2）． （2）①点A（3，4）关于y轴的对称点A1的坐标是（﹣3，4）， 点A1（﹣3，4）关于直线y＝1的对称点A2的坐标是（﹣3，2×1﹣4），即（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）． ②∵点B（3m+n，m﹣n）关于y轴的对称点B1的坐标是（﹣3m﹣n，m﹣n）， 点B1（﹣3m﹣n，m﹣n）关于直线y＝m的对称点B2的坐标是（﹣3m﹣n，2m﹣（m﹣n）），即（﹣3m﹣n，m+n）， ∴， 解得． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 图形的轴对称 【知识点1 轴对称图形与对称轴】 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，也说这个图形关于这条直线对称． 【知识点2 两个图形成轴对称】 1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 2. 两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3. 轴对称的性质 （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 【知识点3 轴对称变换】 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 【知识点4 作轴对称图形】 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 【知识点5 关于坐标轴对称的点的坐标的特点】 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 【知识点6 线段垂直平分线的定义及其性质】 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 【知识点7 线段垂直平分线性质定理的逆定理】 1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 轴对称图形的判断】 1．下列图形：线段、角、长方形、直角三角形、平行四边形、等边三角形、圆，其中一定是轴对称图形的有　 　 个． 2．如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它格点上，且A、B、C、P为轴对称图形，则共有　 　 个这样的点P符合愿意． 3．正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有 　 　 种． 【题型2 轴对称的性质】 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为 　 　 ． 5．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若DE＝5，CF＝1，∠BAC＝75°，∠EAC＝60°． （1）求BF的长度； （2）求∠CAD的度数． 6．如图①，点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N． （1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长； （2）若∠C＝21°，∠D＝28°，求∠MPN的度数． （3）如图②，连接OC、OD，若∠AOB＝40°，求∠OCD的度数． 7．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于直线OA对称，点P关于直线OB的对称点是点D，连接CD交OA于点M，交OB于点N． （1）若∠AOB＝α，求∠COD的度数； （2）若CD＝4，△PMN的周长为　 　 ． 【题型3 关于坐标轴对称】 8．若A（a﹣1，b+1）和B（﹣2，a+3）两点关于y轴对称，则a﹣b的值是　 　 ． 9．在平面直角坐标系中，如果点A（a﹣1，b+2）和B（﹣3，a﹣3）关于x轴对称，则2a+b＝　 　 ． 10．将点A（m，﹣2）向上平移k个单位后得点B（3，n+1），若点A，B关于x轴对称，则m+k﹣n的值为　　 ． 【题型4 作图—轴对称变换】 11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（2，2），（1，﹣3），（4，﹣2）．△ABC与△EFG关于x轴对称，点A，B，C的对称点分别为E，F，G． （1）请在图中画出△EFG，并写出点E，F，G的坐标； （2）若点M（m+2，n﹣2）是△ABC内的一点，其关于x轴的对称点为M′（3﹣n，2m），求m，n的值． 12．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点为网格线的交点）△ABC，l是过网格线的一条直线． （1）作△ABC关于直线l对称的图形△A′B′C′； （2）在边BC上找一点D，连接AD，使得∠BAD＝∠ABD． 13．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出△ABC向上平移4个单位长度所得到的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）画出△DEF关于x轴对称后所得到的△D1E1F1，并写出点E1的坐标； （3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴． 14．如图，E平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标）分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2），直线l与x轴平行且经过点（0，﹣1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2； （3）已知P（a，b）是△ABC内部一点，写出P关于直线l的对称点P1的坐标． 【题型5 线段的垂直平分线的性质应用】 15．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数（　　） A．60° B．50° C．40° D．70° 16．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 17．如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．106° C．117° D．136° 18．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E． （1）若BC＝12，求△ADE的周长； （2）若∠BAC＝110°，求∠DAE的度数． 19．在△ABC中，边AB的垂直平分线l1交BC于点D，边AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为17． （Ⅰ）如图1，求线段BC的长； （Ⅱ）如图1，若∠BAC＝104°，求∠DAE的度数； （Ⅲ）如图2，连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为36，求线段OA的长（直接写出结果即可）． 20．如图①，P为△ABC内一点，连接PA，PB． （1）证明：AP+BP＜AC+BC； （2）如图②，过点P的线段MN分别交AC、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PB的垂直平分线上．若∠ACB＝80°，求∠APB的度数． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的高，在AB上取一点E，作BE的中垂线交AB于点H，交AD于点F，连接EF，CF． （1）求证：EF＝CF； （2）若∠ABC＝70°，求∠EFC的度数． 【题型6 线段垂直平分线的判定】 22．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P． （1）求∠FAN的度数； （2）求证：点P在线段BC的垂直平分线上． 23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC＝40°，求∠EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 24．如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连接AD． （1）求证：点D在边AC的垂直平分线上； （2）连接BE，若BD⊥CD，求证：BE⊥AC． 25．如图，在△ABC中，直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点D，E，连接BD． （1）若AB＝8，△ABD的周长为19，则AC的长为　 　 ； （2）若∠ADB＝90°，求∠ACB的度数； （3）已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC，试判断点P是否在边AB的垂直平分线上，并说明理由． 【题型7 线段垂直平分线的判定】 26．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D． （1）过点P作PE⊥AC于点E，求证：BD＝CE； （2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长． 27．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接DE，AF． （1）判断DE与AC的位置关系，并证明你所得的结论； （2）求证：∠C＝∠EAF． 28．在《全等三角形》和《轴对称》这两章的学习中，我们探究了两个重要结论： 结论1：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，当OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB时，垂足分别为D、E，则有：CD＝CE． 结论2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，当CO⊥AB，垂足为O，AO＝BO时，则有：CA＝CB． 请利用上述结论，解决下列问题： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，点P为线段BD上一动点． （1）试说明：PE＝PC；（2）若∠A＝α，点P为线段BC的垂直平分线与BD的交点，求∠CPE的度数（用含α的式子表示）． 29．在平面直角坐标系xOy中，对于任意线段AB，我们给出如下定义：线段AB上各点到x轴距离的最大值称为线段AB的“好评距离”，记作HAB.例如：若A（4，6），B（﹣3，﹣2），则线段AB的“好评距离”HAB＝6． ①若点C（6，3），D（2，﹣5），则HCD＝　 　 ； ②若将经过点（0，3）且垂直于y轴的直线记作y＝3，点E（﹣1，m），F（2，m+3）关于直线y＝3的对称点分别为点G，H，连接EF和GH．当|HEF﹣HGH|为定值时，m的取值范围为 　 ． 30．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹） 31．请你设计“线段的垂直平分线”的仪器． （1）材料：描述所需材料及要求； （2）请你设计“线段的垂直平分线”的仪器方案，方案包括画出“仪器”的平面几何图形，写出图形中条件的符号语言，再写出“仪器”的操作说明； （3）说明你设计方案的合理性． 32．在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线，点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1；P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点P（﹣2，5）的一次反射点为P1（2，5），二次反射点为P2（5，2）．根据定义，回答下列问题： （1）点（3，2）的一次反射点为　 　 ，二次反射点为　 　 ； （2）当点A在第四象限时，点M（﹣4，1），N（3，﹣1），Q（﹣1，﹣5）中可以是点A的二次反射点的是Q ； （3）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，∠A1OA2＝50°，求射线OA与x轴所夹锐角的度数． 33．我们生活在一个充满对称的世界中，而轴对称是一种重要的对称，同学们已经学习了在平面直角坐标系中图形的对称特征，请完成以下小题： （1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1并写出点B1的坐标． （2）在平面直角坐标系中，经过点M（0，m）且平行于x轴的直线记作直线y＝m． 给出定义：将点P（x，y）关于y轴的对称点记作点P1，再将点P1关于直线y＝m的对称点记作点P2，则称点P2为点P（x，y）关于y轴和直线y＝m的“双轴对称点”． 例如：点P（3，1）关于y轴和直线y＝3的“双轴对称点”为点P2（﹣3，5）． ①点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“双轴对称点”A2的坐标是　 　 ； ②点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“双轴对称点”B2的坐标是（﹣9，5），求m和n的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $