第02讲 等差数列（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

专题02 等差数列 【人教A版】 模块一 等差数列的概念 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*,m≠n)，则 an-am =(n-m)d 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为 λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【题型1 等差数列的基本量计算】 【例1】（25-26高二上·湖南·月考）已知等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由，利用通项公式列方程求解即可. 【解答过程】由题可知； 故选：B. 【变式1.1】（25-26高二上·江苏·期末）在等差数列中，则等于（    ） A． B．15 C．25 D． 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的通项公式，代入数据，即可求出值. 【解答过程】设等差数列的公差为，由题意得，解得. 故选：B. 【变式1.2】（25-26高二上·江苏·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案 【解答过程】因为，所以, 解得， 故选：B. 【变式1.3】（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知等差数列的前项和为，，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的相关概念，利用等差中项以及公差的计算，可得答案. 【解答过程】由数列为等差数列，则，解得， 可得公差，所以. 故选：B. 【题型2 等差数列的判定与证明】 【例2】（24-25高二下·广东茂名·月考）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的定义逐一判断即可. 【解答过程】依题意，对消去，得，等价于，所以， 所以是等差数列，故D正确，C错误；若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列， 与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为，故A错误． 故选：D． 【变式2.1】（2025·江苏淮安·模拟预测）已知：数列满足：对任意的，，，都有，：数列是等差数列.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据充分条件和必要条件的概念，结合等差数列的通项公式可得答案. 【解答过程】当成立时，对任意的正整数，对任意的，，都有，则， 所以当时，，对任意的，都成立，所以是等差数列，故. 当成立时，即数列是等差数列，设等差数列的公差为， 则，，， ∴， 即恒成立， ∴. 综上得，是的充要条件. 故选：C. 【变式2.2】（2025高二上·福建厦门·专题练习）已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）由给定的递推公式两边减去2，再取倒数并利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出数列的通项，进而求出数列的通项. 【解答过程】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 【变式2.3】（25-26高二上·广东清远·月考）已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【解题思路】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【解答过程】（1）因为， 所以， （2）因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 【题型3 等差数列的性质及应用】 【例3】（24-25高二下·辽宁·月考）在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【解题思路】借助等差数列等差中项的性质计算即可得. 【解答过程】等差数列中，解得， 则. 故选：D. 【变式3.1】（25-26高二上·河北衡水·月考）在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．6 【答案】D 【解题思路】利用等差数列的性质即可求解. 【解答过程】由等差数列的性质得，解得， 又因为，，解得. 故选：D. 【变式3.2】（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【解答过程】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 【变式3.3】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ） A．6 B．5 C．12 D．8 【答案】D 【解题思路】利用等差数列的性质求解. 【解答过程】为等差数列，，，， ，，，. 故选：D. 【题型4 等差数列的通项公式】 【例4】（25-26高二上·江苏·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据是等差数列，根据条件及公式，求出，代入公式，即可得答案. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 则. 故选：B. 【变式4.1】（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知关系，应用等差数列的通项公式求基本量，再写出通项公式. 【解答过程】若数列公差为，因为，所以， 又，解得，所以. 故选：C. 【变式4.2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件列出首项和公差的方程组，求解出结果即可求的通项公式； （2）根据求解出的范围，则结果可求. 【解答过程】（1）设的首项为，公差为， 因为， 所以，解得， 所以. （2）令，所以， 所以，所以项数有项， 所以中有项在到之间. 【变式4.3】（24-25高二下·四川广安·期中）等差数列中，，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由已知结合等差数列的性质列出方程组求解即可； （2）根据裂项相消法求和即可． 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， ，，， 解得，，， ，． （2）， ． 模块二 等差数列的前n项和公式 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 (公式一)，(公式二) (公式二). 2．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【题型5 等差数列前n项和的性质】 【例5】（25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的前项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可. 【解答过程】由题可知：成等差数列 所以， 又，所以 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二上·河北沧州·月考）已知为等差数列的前项和，若常数且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解题思路】由等差数列的性质可得为等差数列，则，即可求出. 【解答过程】由等差数列的性质可得为等差数列， 所以，则. 故选：B. 【变式5.2】（25-26高二上·河北邢台·月考）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的性质即可求解. 【解答过程】由等差数列性质得，且， ，所以. 故选：C. 【变式5.3】（24-25高二下·河南周口·期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的性质，以及前项和的性质，结合已知条件，计算即可. 【解答过程】因为，所以，所以， 即，所以，所以. 故选：D. 【题型6 求等差数列的前n项和】 【例6】（25-26高二上·江苏苏州·月考）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A． B．-16 C．-25 D．-36 【答案】C 【解题思路】根据等差数列前项和公式列出关于首项和公差的方程组，求出和即可求出. 【解答过程】设等差数列的公差为， 则由题意，得，解得， 所以. 故选：C. 【变式6.1】（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知等差数列的前项和为.若，则（    ） A．－12 B．－13 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的求和公式即可得到方程组，解出，最后利用等差数列前项和公式即可得到答案. 【解答过程】设该等差数列的公差为， 则由题意得，解得， 则. 故选：C. 【变式6.2】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，即可求出，的值，代入公式，即可得答案. （2）由（1）得，代入等差数列的求和公式，即可得答案. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d， 由题意得，解得， 所以. （2）由（1）得， 所以数列的前n项和. 【变式6.3】（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出和，即可得通项和前项和； （2）利用绝对值的性质，分和两类情况求和即得. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 【题型7 等差数列的前n项和的最值】 【例7】（25-26高二上·云南玉溪·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用等差数列性质与前n项和公式，推导关键项的符号，再分析数列项的正负变化，判断数列的增减性，最后结合前n项和的变化规律，确定最大值即可. 【解答过程】因为为等差数列， 由，根据性质得， 由，代入前项和公式： ，因此， 所以，所以等差数列是递减数列，前7项为正，从第8项开始为负， 所以时，的最大值为. 故选：C. 【变式7.1】（24-25高二下·四川成都·期末）已知等差数列的前n项和为，则取最大值时n的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【解题思路】由已知得到的关系，然后代入等差数列的前项和公式，转化为二次函数问题求解即可． 【解答过程】因为，所以，整理得， 所以， 因为，所以当时，取得最大值， 故选：B． 【变式7.2】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）设为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)求，并求的最大值及此时的值. 【答案】(1). (2)，当且仅当时，的最大值为. 【解题思路】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，通过已知条件求出公差，进而得到通项公式和前项和公式； （2）根据前项和公式的函数特点求出其最大值. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，解得，所以的通项公式是. （2）， 当且仅当时，的最大值为. 【变式7.3】（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知是等差数列的前n项和，且 (1)求数列的通项公式. (2)判断是否为等差数列. (3)为何值时，取得最大值并求其最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)为4时，取得最大值，最大值28． 【解题思路】（1）利用公式，进行求解； （2）应用等差数列的定义判断； （3）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值. 【解答过程】（1）由题意可知：，当时，， 当时，， 当时，显然成立，∴数列的通项公式； （2）因为，所以， 所以是以为公差的等差数列； （3）， 由，则时，取得最大值28， ∴当为4时，取得最大值，最大值28． 【题型8 等差数列的简单应用】 【例8】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【答案】D 【解题思路】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，由等差数列前项和公式计算可得公差的值，由此能求出第30天织布数量． 【解答过程】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为， 则， 解得， 所以第30天织布（尺）． 故选：D． 【变式8.1】（25-26高三上·山西·月考）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的求和公式与通项公式解决实际问题. 【解答过程】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则 首项为 ，公差 ，项数 ，， 根据等差数列前 项和公式： ， ， 计算化简：即， 所以根据等差数列通项公式： ，代入 、、， . 故选：C. 【变式8.2】（24-25高二下·河南·月考）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【解题思路】根据题意，设每排的座位数构成等差数列，其中且，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 【变式8.3】（24-25高二下·四川眉山·期中）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，列式求出等差数列的公差，进而求出目标值. 【解答过程】设等差数列的公差为，为5人出钱数依次为， 依题意，，解得， 所以公士出钱数为34钱. 故选：D. 【题型9 等差数列与不等式综合】 【例9】（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知等差数列的前n项和为，，，则使不等式成立的最大的的值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的性质判断数列的增减性，再利用等差数列的前项和公式即可. 【解答过程】因数列是等差数列，则， 又，则，故公差，则数列是递增数列， 故当时递减，当时递增， 又，， 故使不等式成立的最大的的值为. 故选：C. 【变式9.1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）数列是等差数列，且，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的通项公式求得，进而得到，再利用裂项相消法求，解对应的不等式即可得解. 【解答过程】因为为等差数列，且，则， 所以其公差为，， 所以，则， 所以， 则， 又，解得，即n的最小值为. 故选：C. 【变式9.2】（2025·四川达州·一模）已知为等差数列，前项和为，且． (1)求； (2)设，数列的前项和为，若对任意，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而求出. （2）先求出，然后求出并化简，进而求解不等式即可. 【解答过程】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为. 所以，解得. 所以. （2）. 所以. 因为不等式对任意恒成立，则有对任意恒成立， 又，所以. 【变式9.3】（2025·湖南岳阳·二模）已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式； （2）由（1）计算，判断数列的单调性，令的最大值小于即可求解. 【解答过程】（1）由得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， ∴，即 ∴当时，， 又不满足上式，所以. （2）由（1）知， ∴ ∴当时，； 当时，，即 所以的最大值为， 依题意，即，解得或. 所以实数的取值范围是：. 一、单选题 1．（25-26高二上·河北邢台·月考）在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的性质求得正确答案. 【解答过程】由等差数列的性质可知， 则，故. 故选：D. 2．（25-26高二上·天津河北·月考）等差数列中，若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的通项公式计算即可. 【解答过程】由，解得. 故选：D. 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A． B．-16 C．-25 D．-36 【答案】C 【解题思路】根据等差数列前项和公式列出关于首项和公差的方程组，求出和即可求出. 【解答过程】设等差数列的公差为， 则由题意，得，解得， 所以. 故选：C. 4．（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用赋值思想，结合等差数列的定义及通项公式来表达并加以判断即可. 【解答过程】令，则，因为， 所以，即为等差数列，故充分性成立. 反之，若为等差数列，设公差为， 则， 当时，，故必要性不成立. 故选：A. 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【解答过程】因为数列为等差数列， 因为 所以 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 6．（24-25高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【解题思路】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【解答过程】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为. 故选：D. 7．（2026高三·全国·专题练习）设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（   ） A．1 B．0 C．100 D．10 000 【答案】C 【解题思路】设数列，的公差分别为，根据等差数列的通项公式列式求解即可. 【解答过程】因为数列，是项数相同的等差数列，设公差分别为， 则， 所以数列是公差为的等差数列， 又，，，所以， 所以数列是常数列， 所以数列的第100项， 故选：C. 8．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【解题思路】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【解答过程】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽·月考）记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列定义及性质逐项分析判断. 【解答过程】等差数列的公差为，， 对于A，，A正确； 对于B，的符号无法确定，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，，则，D正确. 故选：AD. 10．（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据等差数列的定义，通过作差法，逐一判断数列是否为等差数列，得出正确结果即可. 【解答过程】设， 对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确； 对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误； 对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确； 对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确； 故选：ACD. 11．（24-25高二下·辽宁·月考）设等差数列的公差为为其前项和，若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．与是的最大值 D．使成立的的最大值为18 【答案】ACD 【解题思路】根据等差数列的性质，结合已知条件，分析公差的正负、的最值以及使成立的的最大值. 【解答过程】A、由，得，A项正确； B、，B项错误； C、由A项知，数列是递减的等差数列，前9项都为正，第10项为0，从第11项起为负，因此与是的最大值，C项正确； D、因为，所以，， 可得，， ，所以成立的的最大值为18，D项正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高二上·安徽池州·月考）在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为 ． 【答案】14 【解题思路】由等差中项定义和等差数列的下标和性质可得. 【解答过程】设该等差数列为，已知，， 第2项与第6项的等差中项为，而， 所以. 故答案为：14. 13．（25-26高二上·宁夏·月考）已知等差数列的前项和，，，则 ． 【答案】24 【解题思路】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【解答过程】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：24. 14．（25-26高二上·河北秦皇岛·月考）已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 【答案】 【解题思路】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质先求出及，再根据即可求出 【解答过程】设等差数列的公差为， 由等差数列的性质可知， 由可得，所以公差， 所以数列的通项公式. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·安徽安庆·月考）在等差数列中，，． (1)求数列的第10项； (2)112是数列的第几项？ 【答案】(1) (2)第39项 【解题思路】（1）借助等差数列性质可得，从而得，即可求出公差，可得解； （2）根据等差数列通项公式求解. 【解答过程】（1）设等差数列公差为，， 则，又，则， 即，则，即； （2）根据（1）， 令，即，即112是数列的第39项． 16．（2025高二上·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【解题思路】（1）依次将代入递推式即可求解； （2）由及条件可推出，根据等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求结论. 【解答过程】（1）由题可得，即， 所以，即， 又数列为正项数列，所以， 所以， 所以由，得； （2）因为，所以由（1）当时，， 当时， ， 整理化简得，又， 所以，即， 所以数列是以为公差，1为首项的等差数列， 所以. 17．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求公差； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2) ． 【解题思路】（1）根据等差数列前项和公式求解即可. （2）求出等差数列前项和，结合二次函数的性质即可求出最小值. 【解答过程】（1）设的公差为，由题意得，即， 又，所以，故数列的公差． （2）由（1）得． 所以当时，取得最小值，最小值为． 因此，最小值为. 18．（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式代入化简可得，进而可得，代入即可解得，进而可得； （2）构造数列，则，判断数列单调性，分为奇数和为偶数两种情况讨论数列的最小项，即可得解. 【解答过程】（1）由数列为等差数列，且， 则，则， 所以， 则， 又， 即， 解得或， 又，则， 所以； （2）由（1）得， 又， 设，则， 又，所以恒成立， 则数列为单调递增数列； 当为奇数时，恒成立，即； 当为偶数时，恒成立，即，； 综上所述. 19．（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)， (3) 【解题思路】（1）由等差数列通项公式基本量计算即可求解； （2）根据等差数列求和公式可得，结合二次函数性质即可求解； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列 【人教A版】 模块一 等差数列的概念 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*,m≠n)，则 an-am =(n-m)d 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为 λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【题型1 等差数列的基本量计算】 【例1】（25-26高二上·湖南·月考）已知等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.1】（25-26高二上·江苏·期末）在等差数列中，则等于（    ） A． B．15 C．25 D． 【变式1.2】（25-26高二上·江苏·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式1.3】（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知等差数列的前项和为，，，则（   ） A．0 B． C． D． 【题型2 等差数列的判定与证明】 【例2】（24-25高二下·广东茂名·月考）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2025·江苏淮安·模拟预测）已知：数列满足：对任意的，，，都有，：数列是等差数列.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.2】（2025高二上·福建厦门·专题练习）已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【变式2.3】（25-26高二上·广东清远·月考）已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【题型3 等差数列的性质及应用】 【例3】（24-25高二下·辽宁·月考）在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 【变式3.1】（25-26高二上·河北衡水·月考）在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．6 【变式3.2】（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式3.3】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ） A．6 B．5 C．12 D．8 【题型4 等差数列的通项公式】 【例4】（25-26高二上·江苏·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 【变式4.3】（24-25高二下·四川广安·期中）等差数列中，，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 模块二 等差数列的前n项和公式 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 (公式一)，(公式二) (公式二). 2．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【题型5 等差数列前n项和的性质】 【例5】（25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 【变式5.1】（24-25高二上·河北沧州·月考）已知为等差数列的前项和，若常数且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式5.2】（25-26高二上·河北邢台·月考）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高二下·河南周口·期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型6 求等差数列的前n项和】 【例6】（25-26高二上·江苏苏州·月考）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A． B．-16 C．-25 D．-36 【变式6.1】（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知等差数列的前项和为.若，则（    ） A．－12 B．－13 C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式6.3】（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【题型7 等差数列的前n项和的最值】 【例7】（25-26高二上·云南玉溪·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二下·四川成都·期末）已知等差数列的前n项和为，则取最大值时n的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．18 【变式7.2】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）设为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)求，并求的最大值及此时的值. 【变式7.3】（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知是等差数列的前n项和，且 (1)求数列的通项公式. (2)判断是否为等差数列. (3)为何值时，取得最大值并求其最大值． 【题型8 等差数列的简单应用】 【例8】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【变式8.1】（25-26高三上·山西·月考）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 【变式8.2】（24-25高二下·河南·月考）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【变式8.3】（24-25高二下·四川眉山·期中）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 【题型9 等差数列与不等式综合】 【例9】（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知等差数列的前n项和为，，，则使不等式成立的最大的的值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式9.1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）数列是等差数列，且，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式9.2】（2025·四川达州·一模）已知为等差数列，前项和为，且． (1)求； (2)设，数列的前项和为，若对任意，不等式成立，求实数的取值范围． 【变式9.3】（2025·湖南岳阳·二模）已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（25-26高二上·河北邢台·月考）在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（25-26高二上·天津河北·月考）等差数列中，若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A． B．-16 C．-25 D．-36 4．（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 7．（2026高三·全国·专题练习）设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（   ） A．1 B．0 C．100 D．10 000 8．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽·月考）记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·辽宁·月考）设等差数列的公差为为其前项和，若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．与是的最大值 D．使成立的的最大值为18 三、填空题 12．（25-26高二上·安徽池州·月考）在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为 ． 13．（25-26高二上·宁夏·月考）已知等差数列的前项和，，，则 ． 14．（25-26高二上·河北秦皇岛·月考）已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 四、解答题 15．（25-26高二上·安徽安庆·月考）在等差数列中，，． (1)求数列的第10项； (2)112是数列的第几项？ 16．（2025高二上·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 17．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求公差； (2)求，并求的最小值． 18．（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 19．（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $