精品解析：天津市第五十五中学2025-2026学年高一上学期第二次质量调查数学试卷

2025-2026学年高一上学期第二次质量调查数学学科 一､选择题 1. 下列命题中正确的个数是（ ） ①是第三象限角 ②若，则为第一象限角 ③命题p：的否定是 ④若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､填空题 10. __________. 11. 已知全集，集合，函数的定义域为，则__________. 12. 幂函数在上单调递增，则且的图象过定点__________. 13. 已知，且，则__________. 14. 已知函数，，的零点分别为，则的大小关系为__________. 15. 已知函数若函数有7个零点，则实数的取值范围为________． 三､解答题 16. 计算： （1）（式中字母均为正数） （2）. 17. 已知. （1）化简； （2）若，求的值. 18. 已知，且. （1）求的值； （2）求角； （3）求的值. 19. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且. （1）判断并用定义证明函数在上的单调性； （2）若函数在上有零点，求实数的最小值； （3）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数（其中均为常数，且）的图象经过点与点. （1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； （2）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数，则关于的方程有四个不同实数根，且满足；求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期第二次质量调查数学学科 一､选择题 1. 下列命题中正确的个数是（ ） ①是第三象限角 ②若，则为第一象限角 ③命题p：的否定是 ④若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】对①，利用终边相同角的定义判断；对②，根据象限角的三角函数值符号判断；对③，根据全称命题的否定是特称命题判断；对④，利用扇形的弧长和面积公式计算判断. 【详解】对于①，因为，所以与终边相同，终边在第三象限， 所以是第三象限角，故①正确； 对于②，若，则是第一或第三象限角，故②错误； 对于③，命题的否定为，故③正确； 对于④，设扇形的半径为，则，所以，则扇形的面积为，故④正确. 综上，命题正确的有①③④. 故选：D. 2. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知： 故选：B 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合临界值0、1，即可得解. 【详解】因为在上单调递减， 所以， 因为在上单调递减，且恒成立， 所以， 因为在上单调递减，所以， 综上：. 故选：A. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案. 【详解】的定义域为， ，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除BD选项. ，排除A选项. 所以正确的为C选项. 故选：C 5. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义及单调性的判断方法即可判断. 【详解】对于A，二次函数关于轴对称，所以函数为偶函数， 在上单调递减，故A错误； 对于B，函数的定义域为， ，，所以函数为偶函数， 函数在上单调递增，当时，， 函数在上单调递增， 根据复合函数的单调性，函数在上单调递增，故B正确； 对于C，函数的定义域为， ，， 即，所以函数为奇函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为， ，， 所以函数为奇函数，故D错误. 故选：B. 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的平方关系求，注意根据的范围判断符号. 【详解】由，而， ∴， ∴. 故选：C. 8. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数运算可得，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由，可得，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 9. 已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，分析可知函数为偶函数，且函数在上为减函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，结合对数函数的单调性可解出的取值范围，即为所求. 【详解】、，当时，都有， 不妨设，则，所以，即， 令，则，即函数在上为减函数， 又因为定义在上的函数满足，则函数的定义域为， 且，故函数为偶函数， 因为，则， 由可得，即， 所以，所以，所以或，解得或， 因此不等式的解集为. 故选：D. 二､填空题 10. __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】原式 . 故答案为：. 11. 已知全集，集合，函数的定义域为，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分别求解集合和集合，再求，最后计算. 【详解】由，得，即， 函数的定义域需满足：，即， 所以， 全集，则或， 则或. 故答案为：或. 12. 幂函数在上单调递增，则且的图象过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义及单调性求出的值，再代入的表达式，利用指数函数的性质求其图象过的定点. 【详解】因为幂函数在上单调递增，所以， 解得，所以且， 令，得，所以， 所以且的图象过定点. 故答案为： 13. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系即可求解. 【详解】由题意得， 所以， 因为，所以，所以， ， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，，的零点分别为，则的大小关系为__________. 【答案】 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，，的图像，即可求解． 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，，的图像， 如图所示： 由图像可知：. 故答案为： 15. 已知函数若函数有7个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意作出函数图像，再分析解的情况，再结合函数有7个零点，可知方程有两根，一个在内，另一个在内，结合二次函数零点分布即可求解 【详解】根据题意函数图像如下： 令，则，无解；时，有2个解； 当时，有4个解；当时，有3个解； 当时，有2个解；当时，有1个解； 由函数有7个零点， 所以方程有两个根，且一个在内，另一个在内， 当是方程的根时，，解得， 当时，方程为，即，解得， 即函数只有2个零点，不符合题意， 则方程的两根，一个在内，另一个在内， ，解得， 则实数的取值范围为． 故答案为：． 三､解答题 16. 计算： （1）（式中字母均为正数） （2）. 【答案】（1）-8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据同底幂的乘法法则和除法法则进行计算； （2）根据对数的运算法则分别化简各项，再进行计算. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 17. 已知. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的商的关系化简即可. （2）利用齐次式法计算即可 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ，， ，即， . 18. 已知，且. （1）求的值； （2）求角； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出的值，再根据两角差的余弦公式求出； （2）根据已知条件求出的值，再根据两角和的公式求出，进一步求出； （3）根据二倍角公式求出和的值，再根据两角和的正弦公式求出. 【小问1详解】 因为，，则， 所以. 【小问2详解】 由(1)可得，，，则， 因为，所以，解得， 又因为，所以. 【小问3详解】 因为，，， 所以， ，， 所以. 19. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且. （1）判断并用定义证明函数在上的单调性； （2）若函数在上有零点，求实数的最小值； （3）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递增，证明如下： 因为①，则， 又为上的偶函数，为上的奇函数，则有②， 由①②得到，所以 由①②得到，所以. 函数在上单调递增. 证明如下： 取任意，且， 则 ； 当时，，，， 所以，即； 因此在上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性，构造方程组求出函数解析式，再由函数单调性的定义证明即可； （2）转化为方程在有解，换元后求出最小值即可； （3）利用的奇偶性、单调性转化不等式，再分离参数后，求最小值得解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， 由可得， 所以在上有零点可转化为 在上有解， 令，由（1）知，在上为增函数，所以， 则可得， 因为的对称轴为，所以当时，， 所以. 【小问3详解】 因为为上的奇函数， 所以由可得， 因为为减函数，所以在上为减函数， 所以，即在上恒成立. 由对勾函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. 20. 已知函数（其中均为常数，且）的图象经过点与点. （1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； （2）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数，则关于的方程有四个不同实数根，且满足；求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出的解析式，利用复合函数的单调性判断求解； （2）先求出和的值域，再根据的值域是值域的子集，列式求解； （3）化简，令，则，问题转化为需要有4个不同的实数根，数形结合得，即方程和各有两个不同的根，解方程求得根，运算得解. 【小问1详解】 由的图象经过点和，得， 解得，所以. 所以，令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减且恒正， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1），，在上单调递增，故， 又，令，由，即，所以， 所以，，对称轴为， 则，，即， 由题意，可得的值域是值域的子集， ，解得. 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 ， 令，则， 故方程，即需要有4个不同的实数根， 由图可得，所以方程和各有两个不同的根， 其中方程的两根为，方程的两根为， 所以，，，，且， 由，则对应的，故，，，， ， ， 令，则， 函数，令，且在R上单调递增，而在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故， 所以， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $