28.2.2 应用举例 第1课时 课件 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“与视角有关的解直角三角形”，通过探险者估算山峰水平距离的情景引入，先明确仰角俯角概念，再结合热气球测楼高、旗杆高度测量等例题，搭建从概念到实际应用的学习支架，衔接锐角三角函数知识。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过例题归纳四类基本模型发展数学思维，融入跨学科（地球纬线计算）和综合实践题提升数学语言表达。学生能掌握实际问题建模方法，教师可借助丰富例题与练习高效开展教学。

第二十八章　锐角三角函数 人教版 九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例 第1课时 与视角有关的解直角三角形 某探险者某天到达如 图所示的点A 处时，他准 备估算出离他的目的地， 海拔为3 500 m的山峰顶点 B处的水平距离.他能想出 一个可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相信你也行. ． A B ． ． 情景引入 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. 探究新知 例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. A B C D α β 仰角 水平线 俯角 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°，β=60°. Rt△ABD中，a =30°，AD＝ 120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度. 例 题 4 解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120． 答：这栋楼高约为277.1m. A B C D α β 例 题 例2 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）. A B C D 40m 54° 45° A B C D 40m 54° 45° 解：在等腰Rt△BCD中，∠ACD=90°， BC=DC=40m. 在Rt△ACD中 ， ∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m). 例 题 例3 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗? D′ A B′ B D C′ C 例 题 解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m. ∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设 AB′=x m. D′ A B′ B D C′ C 例 题 利用仰俯角解直角三角形 仰角、俯角的概念 运用解直角三角形解决仰角、俯角问题 课堂小结 模型一 模型二 模型三 模型四 仰角、俯角问题的常见基本模型： A D B E C 课堂小结 1. 一可调节弧形衣架的示意图如图所示，它可以近似看成一段 劣弧 ，其中螺母B的位置是该劣弧的中点，过点B作 BM⊥AC，垂足为M，其中AC＝29.6 cm，BM＝10.3 cm，则 ∠BAM的度数约为（参考数据： sin 44°≈0.7， cos 46°≈0.7，tan 35°≈0.7，tan 19°≈0.3）（　B　） A. 19° B. 35° C. 46° D. 44° B 随堂练习 2. （教材P74例3变式）若一飞船完成变轨后，就在离地球表面 400 km的圆形轨道上运行，如图，当飞船运行到地球表面上点 P正上方的点A处时，从飞船上能直接看到的地球表面最远的 点与点P相距约（参考数据：地球半径约为6 400 km，π≈3， sin 20°≈0.34， cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36）（　A　） A. 2 133 km B. 2 217 km C. 2 298 km D. 7 467 km A 3. 筒车（如图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB＝ 41.3°.若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于 AB），求点C到弦AB所在直线的距离. （结果保留两位小数，参考数据： sin 41.3°≈0.66， cos 41.3°≈0.75， tan 41.3°≈0.88） 解：如图，连接CO并延长，与AB交于点D， ∴CO＝AO. 由题意，得CD⊥AB，∴AD＝BD＝ AB＝3米. 在Rt△AOD中，∠OAD＝41.3°， ∴ cos 41.3°＝ ，即AO＝ ≈ ＝4（米）， tan 41.3°＝ ，即OD＝AD·tan 41.3°≈3×0.88＝2.64（米）， ∴CD＝CO＋OD＝AO＋OD≈4＋2.64＝6.64（米）. 答：点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. 4. 如图，小明站在泰山山顶A处看到山脚下B处的泰山天平湖 景区，俯角为α，此时小明所处位置的高度AC为1 540 m，则 B，C两点之间的距离为（　A　） A. m B. 1 540tan α m C. 1 540 sin α m D. 1 540 cos α m A 5. 如图，为测量一幢楼的高度，在A处测得楼顶B的仰角为 30°，向前走100 m到达C处，又测得楼顶B的仰角为60°，则 这幢大楼的高度BD为 m. 50 　 6. （2025·安徽）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的 楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图，甲楼和乙楼分别用与 水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作 人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为 36.9°.已知AB＝13.20 m，求AD的长.（结果精确到0.1 m， 参考数据： sin 23.8°≈0.40， cos 23.8°≈0.91， tan 23.8°≈0.44， sin 36.9°≈0.60， cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75） 解：如图，过点A作AE⊥CD，垂足为E. 由题意，得四边形ABCE为矩形， ∴CE＝AB＝13.20 m. 在Rt△ACE中，tan∠CAE＝ ， ∴AE＝ ＝ ≈ ＝30.0（m）. 在Rt△ADE中， cos ∠DAE＝ ， ∴AD＝ ≈ ≈ ＝37.5（m）. 答：AD的长约为37.5 m. 7. （2024·深圳改编）如图，为了测量某电子厂的高度，小明 用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明 的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为 53°，则电子厂AB的高度约为 m.（参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan 53°≈ ） 22.7　 8. 【新情境·跨学科】一个数学小组研究如何用某地的纬度 来计算该地所在纬线（圈）的长度.各成员查阅相关资料，得到 如下信息：①地球半径约等于6 400 km；②如图1，在地球仪表 面，与地轴垂直并环绕地球一周的圆圈 叫做纬线（圈）；③如图2，OA为地球 半径，弦BC∥OA，∠α的大小为点B所 在地纬线（圈）的纬度. 根据以上信息，北纬24°纬线（圈）的长度约为 ⁠km. （结果保留π，参考数据： sin 24°≈0.41， cos 24°≈0.91， tan 24°≈0.45） 11 648π 9. 【新考法·综合与实践】（2024·包头）如图，学校数学兴趣 小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动.教学楼周 围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪 （皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪 的功能是测量角的大小）. （1）请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出 测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离 用m，n等表示，测出的角用α，β等表示），并对设计进行 说明； 解：（1）如图，将测角仪放在点D处，CD为测角仪的高度，用皮尺测量出点D到AB的距离为m，用测角仪测出点A的仰角为α，测出点B的俯角为β.（设计方案不唯一，合理即可） （2）根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度（用字母表 示）. 解：（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E， 则四边形CDBE是矩形，∠ACE＝α，∠BCE＝β， ∴CE＝BD＝m，BE＝CD， ∴在Rt△BCE中，BE＝CE·tan∠BCE＝mtan β， 在Rt△ACE中，AE＝CE·tan∠ACE＝mtan α， ∴AB＝AE＋BE＝m（tan α＋tan β）. 答：教学楼AB的高度为m（tan α＋tan β）. $