28.2.1 解直角三角形课件2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”，通过复习直角三角形三边关系、锐角互余及边角关系导入，结合合作探究（已知∠A=75°和斜边求边，已知直角边和斜边求角），构建从旧知到新知的学习支架，明确解直角三角形的定义。 其亮点在于以探究式问题驱动，通过例4分类讨论锐角/钝角三角形、例3方程思想、例8一题多解，培养学生抽象能力、推理意识与模型意识。课堂小结梳理依据与解法，随堂练习巩固应用，助力学生系统掌握知识，教师教学更具针对性。

第二十八章　锐角三角函数 人教版 九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 A C B c b a (1) 三边之间的关系:a2+b2=_____； (2) 锐角之间的关系： ∠A+∠B=_____； (3) 边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____， tanA=_____. 如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C=90°. c2 90° 复习引入 在图中的Rt△ABC中， (1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 合作探究 75° 探究新知 (2) 根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 探究新知 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. 探究新知 A B C 解： 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形. 例 题 6 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A C B b 20 c a 35° 解： 例 题 例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ， BC = 5， 试求AB的长. A C B 解： 设 在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解. 例 题 A C B ∴ AB的长为 例 题 图① 提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论. 例4 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，求BC的长. 解：∵cos∠B = ，∴∠B=45°， 当△ABC为钝角三角形时，如图①， ∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5 ∴BC=BD-CD=12-5=7； 例 题 图② 当△ABC为锐角三角形时，如图②， BC=BD+CD=12+5=17. ∴ BC的长为7或17. 例 题 解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝ ，则 ∠B＝（　B　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° B 随堂练习 2. （教材P73例1变式）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A， ∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝5，c＝5 ，解 这个直角三角形. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝5 ， ∴ sin A＝ ＝ ＝ ， ∴∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°. ∵∠B＝∠A，∴b＝a＝5. 3. 在△ABC中，∠C＝90°， cos A＝ ，AC＝6，则AB的长 为（　B　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 B 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AB＝10，则直 角边BC的长是（　B　） A. 10 sin 40° B. 10 cos 40° C. 10tan 40° D. B 5. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中点，BC＝ 4，tan∠CAB＝ ，则AD的长为 ⁠. 4　 6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形. （1）∠B＝60°，BC＝4； 解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°. ∵tan B＝ ，∴AC＝BC·tan B＝4tan 60°＝4 . ∵ cos B＝ ，∴AB＝ ＝ ＝8. （2）∠B＝55°，AC＝4.（tan 55°≈1.43， sin 55°≈0.82， cos 55°≈0.57，结果保留小数点后一位） 解：∠A＝90°－∠B＝90°－55°＝35°. ∵tan B＝ ，∴BC＝ ＝ ≈2.8. ∵ sin B＝ ，∴AB＝ ＝ ≈4.9. 6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形. 7. 在△ABC中，AB＝8，AC＝5，∠B＝30°，则BC的长 为 ⁠. 4 ＋3或4 －3　 8. 【一题多解】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是 边AB上的中线，CE⊥AB于点E. 若AC＝2BC，则 cos ∠DCE的值为（　D　） A. B. C. D. D 【解析】 解法1 （三角函数法）：设BC＝x，则AC＝2x， ∴AB＝ ＝ x. 由条件可知， sin A＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴CE＝ AC＝ . 由条件可知，AD＝CD＝ AB＝ x， ∴ cos ∠DCE＝ ＝ ＝ . 解法2 （面积法）：∵CE为△ABC斜边上的高， ∴利用面积公式可得，CE＝ . 同解法1可得 cos ∠DCE的值. 9. （2025·芜湖一模）如图，在等边三角形ABC中，AB＝ 2 ，点D在边AC上，tan∠ABD＝ ，则CD的长为 （　B　） A. B. C. 2 D. B 10. 已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行线间的距离相等， 将一个含45°角的直角三角尺按如图所示的方式放置，使其三 个顶点分别在三条平行线上，则 sin α的值是（　A　） A. B. C. D. A 11. 将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，点C在FD的延 长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A ＝60°，AC＝5，试求CD的长. 解：如图，过点B作BM⊥FD于点M. 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝5， ∴∠ABC＝30°，BC＝AC·tan 60°＝5 . ∵AB∥CF，∴∠BCM＝30°， ∴BM＝BC· sin 30°＝5 × ＝ ， CM＝BC· cos 30°＝5 × ＝ . 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝ ， ∴CD＝CM－MD＝ － ＝ . 12. （教材P85复习题T12变式）[探究] 如图1，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α＜90°）.若AB＝c， AC＝b，试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积. [应用] 如图2，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交形成的锐角为α. 若AC＝a，BD＝b，试用含a，b，α的式子表示▱ABCD的 面积. 解：[探究]如图1，过点B作BD⊥AC，垂足为D. ∵AB＝c，∠A＝α， ∴BD＝c sin α， ∴S△ABC＝ AC·BD＝ bc sin α. [应用]如图2，过点C作CE⊥DO于点E， 则 sin α＝ . ∵在▱ABCD中，AC＝a，BD＝b， ∴CO＝ a，DO＝ b， ∴CE＝ a sin α， ∴S△BCD＝ CE·BD＝ × a sin α·b＝ ab sin α， ∴S▱ABCD＝2S△BCD＝ ab sin α. $