28.1 锐角三角函数 第2课时课件2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数中的余弦和正切，通过复习锐角确定时正弦（对边与斜边的比）为定值，提问邻边与斜边、对边与邻边的比是否确定，搭建从正弦到余弦、正切的认知支架，衔接旧知与新知。 其亮点是以合作探究为主线，通过相似三角形推理证明比值为常数（推理能力），抽象出余弦、正切定义（抽象能力），结合例题、网格图等情境（应用意识）。如例1用勾股定理求边算函数值，练习含折叠问题，培养学生逻辑推理与应用能力，教师可借结构化探究与分层练习提升教学效率。

第二十八章　锐角三角函数 人教版 九年级下册 28.1 锐角三角函数 第2课时 余弦和正切 A B C 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 复习引入 合作探究 如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 探究新知 我们来试着证明前面的问题： ∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴ ∠B=∠E， 从而 sinB = sinE， 因此 A B C D E F 探究新知 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 归纳： A B C 斜边 邻边 ∠A的邻边 斜边 cos A = 探究新知 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有 cos α = sin (90°－α) 从而有 sin α = cos (90°－α) 探究新知 合作探究 如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 探究新知 ∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF. 即 BC · DF = AC · EF ， ∠A=∠D ，∠C =∠F = 90°， ∵ ∴ ∴ A B C D E F 探究新知 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 　　如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即 归纳： ∠A的对边 ∠A的邻边 tan A = A B C 邻边 对边 　　∠A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数. 探究新知 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 想一想： 探究新知 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值. A B C 10 6 解：由勾股定理得 因此 例 题 A B C 6 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， sinA = ，求 cosA、tanB 的值． 解：∵ 又 ∴ 在直角三角形中，如果已知一 边长及一个锐角的某个三角函 数值，即可求出其它的 所有锐角三角函数值 例 题 余弦函数和 正切函数 在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦 ∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关 在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切 余弦 正切 性质 课堂小结 1. （教材P65练习T1变式）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°. （1）若AB＝6，BC＝8，则∠C的余弦值为 ⁠； （2）若AB＝2，AC＝3，则∠C的余弦值为 ⁠. 　 　 随堂练习 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10， cos A＝ ， 则BC＝ ⁠. 6　 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么 ∠A的正切值为（　A　） A. B. C. D. A 4. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的正方形网 格中，点A，B，C均在格点（网格线的交点）上，则tan C的 值是（　B　） A. 2 B. C. 1 D. B 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，tan B＝2，则AC ＝ ⁠. 18　 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15， cos A＝ ， 求AC的长和tan B的值. 解：∵ cos A＝ ，∴ ＝ . ∵AB＝15，∴AC＝9， ∴BC＝ ＝12， ∴tan B＝ ＝ ＝ . 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，则（　B　） A. c＝b sin B B. b＝c sin B C. a＝btan B D. b＝ctan B B 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，求 sin A， cos A，tan A的值. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AB＝ ＝ ＝2 ， ∴ sin A＝ ＝ ＝ ， cos A＝ ＝ ＝ ，tan A＝ ＝ ＝ . 9. 在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则 cos A的值是 ⁠⁠. 或 　 10. 【一题多解】（2025·中科大附中期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝3，AB＝5，则 cos ∠ACD的值为（　B　） A. B. C. D. B 【解析】解法1（等角转化）： ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°，BC＝ ＝4. ∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B， ∴ cos ∠ACD＝ cos B＝ ＝ . 解法2（定义法）：利用勾股定理可求出BC的长，再利用面积 法可求出CD的长， cos ∠ACD＝ . 11. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在边AB 的中点C'处.若AB＝4，BC＝8，则tan∠BFC'的值为 ⁠. 　 12. 如图，在由边长均为1的小正方形构成的网格中，半径为1 的☉O的圆心在格点上，则∠BED的正切值为 ⁠. 　 13. 如图，在△ABC中，AB＝4 ，BC＝5，AC＝7，求∠A 的正切值. 解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D. 设AD＝x，则CD＝7－x. 根据题意，得（4 ）2－x2＝52－（7－x）2， 解得x＝4，∴AD＝4， ∴BD＝ ＝ ＝4， ∴tan A＝ ＝1. 14. 【新考法·过程性学习】根据图中提供的数据回答下列 问题： （1）在图1中， sin A＝ 　 　， cos A＝ 　 　， sin 2A＋ cos 2A＝ ⁠； 　 　 1　 在图2中， sin A1＝ 　 　， cos A1＝ 　 　， sin 2A1＋ cos 2A1 ＝ ⁠. 　 　 1　 通过以上两个特殊的例子，你发现了什么规律？用一个一般的 式子把你发现的规律表示出来，并加以证明. 证明：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. ∵ sin α＝ ， cos α＝ ，c2＝a2＋b2， ∴ sin 2α＋ cos 2α＝ ＝ ＝1. 解：（1）规律：对于任意锐角α，有 sin 2α＋ cos 2α＝1. （2）在图1中，tan A＝ 　 　， ＝ 　 　；在图2中，tan A1 ＝ 　 　， ＝ 　 　. 通过以上两个特殊的例子，你发现了什么规律？用一个一般的 式子把你发现的规律表示出来，并加以证明. 解：（2）规律：对于任意锐角α，有tan α＝ . 证明：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. ∵tan α＝ ， ＝ ＝ ，∴tan α＝ . 　 　 　 　 $