寒假作业10 二次函数与几何综合20大题型（巩固培优）九年级数学苏科版

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 限时练习：60min 完成时间： 月日 天气： 作业10二次函数与几何综合 积累运用 常见的解题思路 1.线段的最值问题： ①用两点间的距离公式表示出来，然后利用函数的性质求最值 ②当最求线段与x轴或y轴不平行时，化斜为直，然后利用几何关系求最值； 2.面积最值问题 ①先将所求面积表示出来，一般采用割补法或者铅锤法： ②利用函数性质求最值： 3.线段或面积的比值问题 ①将线段或者面积表示出来，再求比值； ②将线段比或面积比转化成相似三角形的相似比； 4.等腰三角形的存在性问题 ①两定一动型一两圆一中垂 ②一定两动型-一分三类进行讨论，两两相等 5.直角三角形的存在性问题 ①两定一动型一两垂直一圆 ②一定两动型--以哪个顶点为直角分3类讨论 ③求点坐标可构造一线三垂直或k1·k2=一1 6.等腰直角三角形的存在性问题 ①一定两动型-一共6中情况，按题日要求找出满足条件的即可； ②一定两动型-以哪个顶点为直角分3类讨论 ③构造一线三垂直全等型求点坐标； 7.45°角的存在性问题一参考等腰直角三角形 8.四边形的存在性问题 ①平行四边形：以其中两个顶点进行分类讨论一例如以A、B、C、D为顶点的平行四边形，按照AB为边或AB 1/306 命学科网·上好课 www,ZX×k.com 上好每一堂课 为对角线进行分类讨论；求点坐标可用平移法或点坐标法； ②矩形：在①的基础上，让邻边垂直，求点坐标可用平移法或构造一线三垂直相似型或k1·k2=一1 ③菱形：在①的基础上，让邻边相等，求点坐标可用平移法或两点间的距离公式 ④正方形：综合①②③ 9.相似三角形的存在性问题一先观察是否有相等角，再让角的两边对应成比例，注意分类讨论： 10.相等角的存在性问题一用①相等角的正切值相等；②角平分线定理；③平行线等求点坐标； 11.二倍角的存在性问题一会求二倍角的正切值，然后利用二倍角的正切值求点坐标： 培优训练 题型一线段/线段和/周长/面积最值问题 1.(2025秋·舒兰市期末)如图，直线y=-x+n与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经 过A,B两点，点E(m,0)是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点 D,交抛物线于点P,连接PB. (1)求抛物线解析式： (2)当线段PD的长度最大时，求点P的坐标： (3)若线段BD和PD为等腰三角形PBD的腰，求此时点E的坐标. B 0E4 【答案】(1)y=-x2+2x+3; (2) n (3)点E的坐标为(3-√2,0. 【分析】(1)由待定系数法即可求解： (2)由PD=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,即可求解； (3)PD2=(-m2+3m)2,BD2=m2+(-m+3-3)2=2m2,由PD=BD时，则√2m=-m2+3m,即可求解. 【解答】解：(1)直线y=-x+n与x轴交于点A3,0), 2/306 扇学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 0=-3+n, .n=3, .直线解析式为：y=-x+3, 当x=0时，y=3, 点B(0,3), 抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B,则 c=3 0=-9+3b+c’ [b=2 解得： c=3 .抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3; (2):ED⊥x轴， .∠PEA=90°， :LBDP=LADE<90°， 设点E(m,0),点P(m,-m2+2m+3),则点D(m,-m+3), 则PD=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m, 当m=-时，PD最大. 2 (3)由(2)得PD2=(-m2+3m)2,BD2=m2+(-m+3-3)2=2m2, :PD=BD时，则√2m=-m2+3m, 解得：m=0（舍去)或3-√2， .点E的坐标为(3-√2,0. 2.(2024秋·漳州期末)如图，二次函数y=ar2+bx+c的图象交x轴于点A、点B,交y轴于点C(0,),且a,b ,c满足a-b+c=0和9a+3b+c=0,连接BC. (1)求该抛物线的对称轴： (2)点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方（不与B,C重合），连接BP,CP. ①求△BCP面积的最大值； ②若L0CB=a，∠PBC=B,求tan(a-B)的取值范围. 3/306 命学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 y个 C AO B 【答案】(1)x=1; 2)①2 6: ②号<tan(a-B)<2, 【分析】(1)利用a-b+c=0和9a+3b+c=0,得到二次函数的图象经过点(-1,0)和点(3,0)，即可求出抛物线的 对称轴； (2)①先利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出直线BC的解析式，过点P作PR⊥x轴于点R,交BC于点 Q,设点P的坐标为（侧m2+m+月，则点Q的坐标为mm+月.由m=ao+50·再结合二次预数 1 1 3、 2 21 的性质即可解答： ②根据PR⊥x轴，PR/Iy轴，推出a-B=∠BQR-∠PBC=∠BPR,在Rt△BRP中，由 anla-B)=tam∠BPR=BS,即可得到答案。 PR 【解答】解：(1)二次函数y=ar2+br+c的图象交x轴于点A、点B,交y轴于点C(0,,且a,b,c满足 a-b+c=0和9a+3b+c=0, 3 .二次函数的图象经过点A(-1,0)和点B(3,0), :抛物线的对称轴为直线x=1+3=1: 2 (2)①.二次函数的图象经过点(-1,0)和点(3,0)， .二次函数的表达式可写为y=a(x+1)(x-3). ~点C0弓在抛物线上. 3 .a(0+1)0-3)= 2 解得a=子 二次函数的表达式为y=x+x-)=+x+ 3 2 设直线BC的表达式为y=x+n(k≠0)，把点B(3,0)和点C0,代入，得： 4/306 命学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 [3k+n=0 3 1 解得： k=2 3 n22 直线BC的表达式为y=-x+3: 2+2 过点P作PR⊥x轴于点R,交BC于点Q, AO R 1 13 股点P的坐标为元+m士马，则点0的坐标为m,m+款 +m+-(+》 Po=(-1m 3 13 2 、1 m+m. 3 2 .S.nCP =S.aPO+S.cPo -POR+PQ.OR 1 1 =。PQOB =x3(m2+m 1 2 3 .27 动点P在直线BC的上方（不与B,C重合）， 0<m<3. :当m=3时，△BCP面积取得最大值，最大值是2马 2 16 y◆P C A O 5/306 命学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 ②：PR⊥x轴，∠0CB=a,∠PBC=B, .PR/Iy轴， .∠BQR=∠OCB=a. .a-B=∠BQR-∠PBC=∠BPR. :8限=3-，R=+m中 在Rt△BRP中， tan(a-B)=tan ZBPR=BR=3-m 2 2m+m+ :0<m<3, 1 <tan(a-B)<2. 3.(2025·黑龙江模拟)综合与探究 如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A(x,O,B(x,,O两点（点A在点B的左侧)，其中x,x,是方程 x2-2x-3=0的两个根，抛物线与y轴相交于点C. (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)已知直线y=3x+9与x,y轴分别相交于点D,E. ①抛物线上是否存在点N,直线BC上是否存在点Q,使以D,N,E,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由. ②设直线BC与l相交于点F,问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得∠PBF=∠DFB？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线BC的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线MB,NC相交于点Q.连接QD, QE.求线段QD+QE的最小值. 6/306 命学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 E F D B B (备用图) 【答案】(1)y=-x2+2x+3; (2)O0或3或3+57或3-v57 2 ,@存在，m-号：图35. 【分析】(1)根据x,x是方程x2-2x-3=0的两个根求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可； (2)①分情况讨论：当DE为平行四边形的对角线、DQ为对角线、DN为对角线时，根据两条对角线的中点相同， 进行列方程组求解即可； ②求出角的之间的关系，再用三角函数求解即可； ③运用轴对称求两条线段和最短即可. 【解答】解：(1)：x,七是x2-2x-3=0的两个根， x=-1,x2=3, .A-1,0),B(3,0), .抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点， 「a-b+3=0 9a+3b+3=0 a=-1 解得 b=2, ∴.抛物线函数表达式为y=-x2+2x+3; 2》00或3或3+57或3-5，理由如下： 2 2 令y=0得：3x+9=0,解得x=-3, 令x=0得：y=3×0+9=9, 则点D(-3,0)、E(0,9), 7/306 命学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 抛物线与y轴相交于点C, 则点C(0,3), 设直线BC的解析式为y='x+b', 将点B(3,0)、C(0,3)代入y=k'x+b得： 「3k'+b'=0 b'=0 ,[k=-1 解得8=3' 则直线BC的解析式为y=-x+3, 设点N的坐标为(m,-n2+2n+3)、点Q的坐标为(g,-q+3), 当DE为平行四边形的对角线时， 0E的中点为多，号N0的中点为十9，”+2n+3-9+3. 2 2 n+q 3 则 2=2 -n2+2n+3-q+391 2 解得n=0或n=3, 令n=0时，q=-3,点N的坐标为(0,3)、点Q的坐标为(-3,6)， 令n=3时，q=6,点N的坐标为(3,0)、点Q的坐标为(6,9)： 当DQ为平行四边形的对角线时， 0的中点为(9,3. 92 WE的中点为（径，-”+2n+3+9 2 [-3+9=” 则22 -9+3_-n2+2n+3+9' 2 2 解得n=3±7 2: 当DN为平行四边形的对角线时， DN的中点为(3+n,-n2+2m+3, 2, 2 80的中点为号，”g*3, 8/306 命学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 -3+n=4 则 22 -n2+2n+3_9-q+3 2 2 整理得n2-3n+12=0, 判别式△=(-3)2-4×1×12=-39<0， 则没有实数解， 综上所述，点N的横坐标为0,3,3+57,3-57 2 2 ②作在，P(号，理由下： :直线y=3x+9与x、y轴分别交于点D、E, x=0时，y=9, 当y=0时，3x+9=0,x=-3, .点D(-3,0)、E(0,9), 0D=3,0E=9, tan∠OED=OD-1 OE3' 由抛物线可知：当x=0时，y=3, .C(0,3), 0B=0C=3, :∠0BC=∠0CB=45°， :∠FCE=L0CB=45°， :∠DFB是△CEF的外角， ∴∠DFB=LFCE+LFEC=45o+∠FEC, ∠DFB=∠PBF=∠CBO+∠PBQ=45°+∠PBQ, .∠PBQ=∠FEC, tan∠PBQ=P- 三一 BO 3 设P(m,-m2+2m+3),则BQ=3-m,PQ=m2-2m-3, 9/306 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y E D Q A B P m2-2m-31 3-m “m=3（舍去)或-4 g9 ③·过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N, 设M(x,y),N(x2,),设直线MN的解析式为：y=-x+n, 设直线BM的解析式为y=kx+m, 将B(3,0)代入y=kx+m得3k1+m=0, 解得m=-3k, ∴.直线BM的解析式为y=kx-3k, 设直线CN的解析式为y=k,x+m1, 将C(0,3)代入y=kx+m,得m=3, .直线CN的解析式为y=k2x+3; 联立方程组 y=-x+n y=-x2+2x+31 得x2-3x+n-3=0, x1+x2=3, 将M(x,)代入y=kx-3k,y=-x2+2x+3得： y=kx-3k 月=-x2+2x+3 10/306 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 二次函数与几何综合 常见的解题思路 1.线段的最值问题： ①用两点间的距离公式表示出来，然后利用函数的性质求最值 ②当最求线段与x轴或y轴不平行时，化斜为直，然后利用几何关系求最值； 2.面积最值问题 ①先将所求面积表示出来，一般采用割补法或者铅锤法； ②利用函数性质求最值； 3.线段或面积的比值问题 ①将线段或者面积表示出来，再求比值； ②将线段比或面积比转化成相似三角形的相似比； 4.等腰三角形的存在性问题 ①两定一动型--两圆一中垂 ②一定两动型--分三类进行讨论，两两相等 5.直角三角形的存在性问题 ①两定一动型--两垂直一圆 ②一定两动型--以哪个顶点为直角分3类讨论 ③求点坐标可构造一线三垂直或 6.等腰直角三角形的存在性问题 ①一定两动型--一共6中情况，按题目要求找出满足条件的即可； ②一定两动型--以哪个顶点为直角分3类讨论 ③构造一线三垂直全等型求点坐标； 7.45°角的存在性问题--参考等腰直角三角形 8.四边形的存在性问题 ①平行四边形：以其中两个顶点进行分类讨论--例如以A、B、C、D为顶点的平行四边形，按照AB为边或AB为对角线进行分类讨论；求点坐标可用平移法或点坐标法； ②矩形：在①的基础上，让邻边垂直，求点坐标可用平移法或构造一线三垂直相似型或 ③菱形：在①的基础上，让邻边相等，求点坐标可用平移法或两点间的距离公式 ④正方形：综合①②③ 9.相似三角形的存在性问题--先观察是否有相等角，再让角的两边对应成比例，注意分类讨论； 10.相等角的存在性问题--用①相等角的正切值相等；②角平分线定理；③平行线等求点坐标； 11.二倍角的存在性问题--会求二倍角的正切值，然后利用二倍角的正切值求点坐标； 题型一 线段/线段和/周长/面积最值问题 1．（2025秋•舒兰市期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，连接． （1）求抛物线解析式； （2）当线段的长度最大时，求点的坐标； （3）若线段和为等腰三角形的腰，求此时点的坐标． 2．（2024秋•漳州期末）如图，二次函数的图象交轴于点、点，交轴于点，且，，满足和，连接． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与，重合），连接，． ①求△面积的最大值； ②若，，求的取值范围． 3．（2025•黑龙江模拟）综合与探究 如图，抛物线与轴相交于，，，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知直线与，轴分别相交于点，． ①抛物线上是否存在点，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 4．（2025秋•昌都市期末）如图1，二次函数的图象与轴交于点、点，点是该函数与轴的交点，且，连接、． （1）求二次函数的表达式； （2）判断△的形状并说明理由； （3）若是此二次函数图象上第一象限内的点（如图，设点横坐标为，记△的面积为，写出关于的函数关系式，有没有最大值？如果有，求出的最大值． 5．（2025秋•银川期末）如图所示，抛物线的解析式为． （1）若抛物线经过点，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），若将直线绕点按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点，求点的坐标； （3）如图1所示，若直线与抛物线相交于、两点在的左侧）为坐标系原点，直接写出的最小值． 6．（2025•天津）已知抛物线，，为常数，，． （Ⅰ）当，，时，求该抛物线顶点的坐标； （Ⅱ）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，，求点的坐标； ②若点，，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 7．（2025•德阳）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点作与抛物线相交于另一点． ①求点的坐标； ②如图3，点，为线段上两个动点（点在点的右侧），且，连接，．求的最小值． 8．（2025秋•江津区期末）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）点为直线下方抛物线上一点，连接，，当△面积最大时，求此时点的坐标和△面积的最大值； （3）点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当△面积最大时，求的最小值． 9．（2025•东河区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，并将△沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值． 10．（2024秋•平舆县校级期末）如图，抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点．点的坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为线段上一点（点不与点、重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．若点在点左边，当矩形的周长最大时，求△的面积； 11．（2024秋•大荔县期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，点的坐标为，与轴交于点，直线经过、两点． （1）求抛物线的解析式与顶点坐标； （2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以、为边作矩形，设矩形的周长为，求当点在何位置时，周长有最大值，并求出最大值． 题型二 线段/面积比值问题 12．（2025•莘县二模）如图，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点为抛物线的顶点，求四边形的面积； （3）当的值最大时，求点的坐标． 13．（2025•东昌府区二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线，经过，两点，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的表达式； （2）若点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的表达式，当取最大值时，求出点的坐标； （3）若点为抛物线上轴右侧的一点，连接，，，是否存在点使得，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，说明理由． 14．（2024秋•牡丹江期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交点． （1）求二次函数的解析式； （2）若是直线上方抛物线上的一点，过点作轴于点，交于点，当是中点时，求的值； （3）点在轴上，在线段上是否存点，使以，，为顶点的三角形与△相似？若存在，直接写出满足条件的△的个数并写出其中两个点的坐标；若不存在，说明理由． 15．（2025•吴中区校级二模）二次函数的图象过点，连接，点是抛物线上一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； （3）如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接．若，直接写出点的坐标． 题型三 等腰三角形的存在性问题 16．（2025•宿迁模拟）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点，对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线的对称轴上求作一点，使△的周长最小，并求出点的坐标和周长的最小值； （3）如图2，点是轴上动点，过点作轴的垂线分别交抛物线和直线于点、．设点的横坐标为，是否存在点，使△是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 17．（2025•无锡）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． （1）若该函数图象经过点，求点的横坐标； （2）若，点和在该函数图象上，证明：； （3）若△是等腰三角形，求的值． 18．（2024•南京模拟）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于，直线经过点，与抛物线的另一交点为点，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线解析式并求出点的坐标； （2）连接，的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当是等腰三角形时，请直接写出的值． 19．（2023秋•梁溪区期末）如图1，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． （1）① 　　，②顶点的坐标为 　　； （2）如图2，抛物线的对称轴交轴于点，点是线段上的一个动点（不与点重合），连接，作交轴于点，求的取值范围； （3）如图3，连接、，点、分别在线段、上（均含端点），且，若△是等腰三角形，求点的坐标． 题型四 直角三角形的存在性问题 20．（2025秋•潮南区期末）抛物线经过和两点，与轴交于点．连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点为在第三象限的抛物线上一点，且平分交，求点坐标； （3）如图2，若为第三象限抛物线上的动点，，，若与相交于点．是否存在点，使△为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 21．（2025秋•扶余市期末）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为． （1）直接写出坐标：点 ，点　　 ； （2）当点与点关于抛物线对称轴对称时，求的值； （3）若抛物线上点与点之间（包含点和点的部分的图象记为图象，图象的最高点和最低点纵坐标的差记为． ①当和时，分别求的值； ②当时，直接写出的取值范围； （4）点是线段上异于、的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点，当△为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 22．（2025秋•琼海校级期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当△的面积为10时，求点的横坐标； （3）若为抛物线对称轴上一动点，使得△为直角三角形，请求出点的坐标． 题型五 等腰直角三角形的存在性问题 23．（2025秋•淄川区期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是对称轴上的一个动点．点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在第一象限内，连接，，当△的面积最大时，求点的坐标及最大面积； （3）在抛物线上是否存在点，使△是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2025秋•嘉祥县校级期末）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标； （3）点是抛物线对称轴上的一点且位于轴下方，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当△是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标． 24．（2025•新吴区一模）在平面直角坐标系中，抛物线，为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与轴的负半轴交于点． （1）此抛物线对应的函数表达式； （2）点是抛物线上的一点，当△的面积为某一值时，符合该值的点恰好有三个，求对应点的横坐标； （3）点为抛物线对称轴上一点，点为抛物线上一点，若△是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点的坐标． 题型六 平行四边形的存在性问题 25．（2025秋•盐城期末）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得△的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （4）若点在轴上，点在抛物线上．是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2025秋•海伦市期末）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型七 菱形的存在性问题 27．（2025秋•纳溪区期末）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求△面积的最大值． （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2025秋•兰州期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2025•如皋市校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，，直线与抛物线交于，两点，点是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点作，垂足为，轴，交轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当取得最大值时，求点的坐标和的最大值； （3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，为新抛物线对称轴上的一点，点是平面内一点．当（2）中最大时，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 30．（2024秋•游仙区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点为轴上的动点，点是第一象限抛物线上的动点，分别将点、绕点旋转得到、，顺次连接得到四边形． （1）若点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）在（1）条件下，当时，求四边形面积的最大值，并求此时点的坐标； （3）当点与抛物线的顶点重合时，探究满足什么条件时，存在点，使得四边形为菱形？请说明理由． 题型八 矩形的存在性问题 31．（2025•石嘴山一模）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点为直线上方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 32．（2025•惠山区一模）已知二次函数的图象与轴交于、两点，且点，其对称轴为过点且平行于轴的直线． （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴的平行线与二次函数图象交于点、，点为直线上一动点，点为二次函数图象上一动点不与重合），连结、、，将△沿直线翻折得到△． ①当点在对称轴左侧，点与点重合时，求点的坐标． ②当以点、、、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点的坐标． 33．（2025•梁溪区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分（含、两点）记为图象． ①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为4时，求的值； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 34．（2025•滨湖区二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与轴分别相交于点、（点位于点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．点关于的对称点为，连接．点为该函数图象上一点，平分． （1）①线段的长为　 　 ． ②求点的坐标；①、②中的结论均用含的代数式表示） （2）设是该函数图象上一点，点在上．探索：是否存在点．使得以、、、为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由． 题型九 正方形的存在性问题 35．（2025•钟楼区一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围是，求的值； （3）若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点，，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 36．（2024•无锡）已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点，、，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围； （3）若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点、，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 37．（2025•扬州模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，点，为抛物线的对称轴上的动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当最小时，求此时点的坐标； （3）若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，，，使得以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十 相似三角形的存在性问题 38．（2025秋•汝阳县期末）如图，在直角坐标系中有一直角三角形，为坐标原点，，，将此三角形绕原点逆时针旋转，得到△，抛物线经过点、、． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是第二象限内抛物线上的动点（非抛物线顶点），其横坐标为，设抛物线对称轴与轴交于一点，连接，交于，求出当△与△相似时，点的坐标． 39．（2025•厦门模拟）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中且． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）为直线上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，求的最大值； （3）如图2，直线为抛物线的对称轴，交直线于点，交抛物线于点，为射线上一点，为对称轴右侧抛物线上一点，是否存在△与△相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 40．（2024秋•牡丹江期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交点． （1）求二次函数的解析式； （2）若是直线上方抛物线上的一点，过点作轴于点，交于点，当是中点时，求的值； （3）点在轴上，在线段上是否存点，使以，，为顶点的三角形与△相似？若存在，直接写出满足条件的△的个数并写出其中两个点的坐标；若不存在，说明理由． 41．（2025秋•德惠市期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，直线经过、两点． （1）求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点，当△的面积最大时，求点的坐标； （3）连接，点在轴上，是否存在以点、、为顶点的三角形与△相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十一 抛物线与圆综合 42．（2025•商河县一模）已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若连接，，，那么与是否相等？请说明理由； （3）如图2，若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿着向点运动，到达点时停止，轴于点，直线交抛物线于点，以为直径的圆与线段交于点，当运动时间为何值时△的周长最大，并求出此时点的坐标及△周长． 43．（2024秋•沛县校级期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． （1）求点坐标及抛物线的解析式． （2）是直线下方抛物线上的一个动点，作于点，求的最大值． （3）以点为圆心，1为半径作圆，过点作的切线切点为点，求切点的坐标． 44．（2025•滨海县二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于，两点（点在点的左侧）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． （3）如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 45．（2025•徐州校级模拟）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． （1）求此二次函数的解析式和点的坐标； （2）如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与抛物线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使△与△全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 46．（2024秋•宿豫区期末）二次函数的图象与轴分别交于点、，与轴交于点，点是这个函数图象的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，当点在直线下方时，过点作，垂足为，求的最大值； （3）如图2，当点在轴上方时，连接、，直线是二次函数图象的对称轴，过点作，垂足为，以点为圆心作圆，与相切，切点为．若以的长为边长的正方形的面积与△的面积相等，试说明的半径是常量． 题型十二 相等角及倍角问题 47．（2025秋•长春期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，，点、是该抛物线与轴的交点在的左侧），点是该抛物线上一点，横坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）连结、，当时，求证：； （3）设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为4，求的取值范围； （4）连结、、，当时，直接写出的值． 48．（2024秋•虹口区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． （1）求的值和点的坐标； （2）点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，联结，如果，求点的坐标． 49．（2024秋•凉州区校级期末）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形的面积为，求的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点，当时，求点的坐标． 50．（2024秋•吴江区期末）已知二次函数过点，点，且对称轴为直线，顶点为，如图． （1）求二次函数的表达式． （2）直线上有一点，二次函数上有一点，连接，若轴，设的长度为，若轴上有一点，记点到点的距离为，求随着点的运动将如何变化？写出具体的变化过程． （3）另一抛物线，方程有两根，，且，，求的取值范围． （4）在二次函数的对称轴上有一点，令，若，直接写出所有满足条件的点的坐标． 题型十三 45°角的存在性问题 51．（2024秋•响水县期末）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，轴上存在一点，使经过，两点，求点的坐标； （3）如图3，连结，点（不与，，三点重合）为抛物线上一动点，连结，在点运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 52．（2025秋•永吉县期末）如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）①顶点的坐标为 ； ②当时，二次函数的最大值为　　 ，最小值为　　 ； ③直线的解析式为　　 ． （3）如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （4）如图3，连接、，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 53．（2025秋•西丰县期末）（1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：△△； （2）如图2，点在反比例函数图象上，连接，将绕点逆时针旋转到，若反比例函数经过点． ①求点的坐标； ②求反比例函数的解析式． （3）如图3，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标． 54．（2025秋•庄河市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点（点在点左侧），点坐标是，抛物线与轴交于点，抛物线顶点为点，连接． （1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标． （2）直线与抛物线的对称轴交于点，点为直线上一动点．当△的面积等于△的面积的2倍时，求点的坐标； （3）若点为抛物线上一动点，横坐标为，设抛物线在点和点之间的部分（包括点和点的最高点纵坐标为，最低点的纵坐标为，且，求与的函数关系式． （4）在（2）的条件下，当点在轴上方的直线上时，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出此时点的坐标． 55．（2025•槐荫区二模）二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过点作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出点坐标； （3）如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，在轴上有一点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标． 题型十四 其他角度问题 56．（2025秋•阿城区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点坐标，点坐标． （1）求，的值； （2）如图1，点在第一象限对称轴右侧的抛物线上，连接、，设点的横坐标为，△的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点为抛物线顶点，轴于点，过点作轴于点，与、分别交于点、，过点作于点，连接，点在的延长线上，连接分别交、抛物线于点、，若，，求点的横坐标． 57．（2025•锡山区校级二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象分别交轴于、两点且（点在点左侧），与轴交于点，直线经过点且平行于轴，为直线上的动点． （1）求该抛物线的表达式； （2）过点作平行于轴的直线交抛物线于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，连接、， ①若时，求点的横坐标； ②是否存在某一位置的点，使得最大？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十五 抛物线与图形交点问题 58．（2025秋•公主岭市期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，点在轴上，纵坐标为．当点和点的纵坐标不相等时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结、、． （1）该抛物线对应的函数表达式为 ； （2）证明：； （3）若点在对称轴左侧，当直线与抛物线是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为、（点在点左侧）． ①请直接写出点、点的坐标（用含的代数式表示）； ②点在线段上，当此抛物线在△内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为1时，求的值． 59．（2024秋•闵行区期末）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 60．（2025秋•中山区期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．点为抛物线上任意一点，连接，点的横坐标为． （1）求，的值； （2）如图1，若点在第一象限，与线段交于点，若，求的值； （3）延长至点，使，当点不在坐标轴上时，过点，点分别作轴，轴的垂线交于点． ①如图2，当线段与抛物线只有一个交点时，设交点为，若，求的值； ②当抛物线在△内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 61．（2025秋•宽城区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，连结．点是抛物线上的一点（点不与点重合），设点的横坐标为． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）过点作轴的平行线交线段于点，当线段的长为2时，求的值； （3）当时，抛物线上、两点之间（含、两点）的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式； （4）过点作轴的垂线交直线于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．设抛物线在△内部的图象（含交点）为，当图象上最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出的值． 62．（2025秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，抛物线、是常数）的顶点坐标为．点在抛物线上，且点的横坐标为，点、为抛物线与轴的交点（点在点的左侧）． （1）求、的值． （2）当的面积为1时，求点的坐标； （3）当时，，则的取值范围为 　 　； （4）过点作轴的垂线，过点作于点，点在直线上，且点的纵坐标为，以、为边作矩形，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，或者随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 63．（2025秋•松原期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线，点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）连接，当轴时，求点的坐标； （3）若线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，求的值； （4）连接，以、为邻边作平行四边形，当抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 64．（2025•滨海县二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1）求这条抛物线的解析式． （2）当时，求的最大值和最小值． （3）点为这条抛物线上的一个动点，点的横坐标为，以点为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 65．（2025秋•鞍山期末）如图1，二次函数与轴交于点，二次函数经过点． （1）求函数的解析式； （2）直线与函数，有三个交点，求出的取值范围； （3）如图2，将函数向右平移8个单位得到函数，且函数与函数交于，两点，直线与 交于点； ①若直线与，的交点的最大值与最小值均不随的变化而变化，求的取值范围； ②若点位于，两点之间的封闭曲线内，求的取值范围． 题型十六 过定点问题 66．（2024秋•岳阳期末）在平面直角坐标系内，抛物线与轴的交点分别为、，如图． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当自变量满足时，对应的函数值的最大值为，求的值； （3）动点在第一象限的抛物线上．动点在第四象限的抛物线上，如图，连结、，分别与轴交于点、点．且点、在运动过程中、总是满足，探究直线能否经过某个定点，若能，请求出该定点的坐标；若不能，请说明理由． 67．（2025春•雨花区校级期末）已知抛物线与轴交于，两点，轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，为直线下方抛物线上一点，于点，当长度最大时，求点的坐标； （3）如图2，过点分别作直线交抛物线于点、，直线，且交抛物线于点、，点、分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 题型十七 定值问题 68．（2025•福州模拟）抛物线与轴交于点，（点在的左侧），与轴交于点，点为该抛物线在第三象限内的一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点作轴，交于点，直线交轴于点，连接，求证：轴； （3）如图2，直线为该抛物线的对称轴，于点，直线，分别交直线于点，．在点运动的过程中，当恒成立时，求的值． 69．（2025秋•甘井子区期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，点为抛物线上一点（不与点，，重合），其横坐标为． （1）求点，，的坐标； （2）如图2，连接，，当时，求证：点为抛物线的顶点； （3）已知，对称轴与轴的交点为，连接并延长交的延长线于点，交对称轴于点，连接并延长交对称轴于点． ①设，求关于的函数表达式及其最大值； ②猜想是否是一个定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 70．（2024秋•官渡区期末）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，该抛物线的对称轴为直线，如图1．已知，，直线上方的抛物线上有一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，直线与直线交于点，轴交直线于点，若点，，构成的三角形是直角三角形，求点的横坐标； （3）如图3，直线，分别交直线于点，点，点为直线与轴的交点，在点运动的过程中，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 71．（2024秋•湖北期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）如图1，． ①直接写出、、三点的坐标． ②若抛物线上有一点，，求点的坐标． （2）如图2，过点作一直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，求证：是一个定值． 72．（2025•大庆三模）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； （3）如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在抛物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：△的面积为定值，并求出该定值． 题型十八 抛物线分面积问题 73．（2025秋•昌邑区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求该抛物线与直线的解析式． （2）点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作轴交抛物线于点，以，为边作矩形．设点的横坐标为． ①求矩形的周长的最大值． ②当直线将矩形分成面积比为的两个部分时，直接写出的值． 74．（2025•淮安区模拟）已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上，且点的横坐标为． （1）直接写出该抛物线的顶点坐标 　 （用含有的代数式表示）． （2）当时，若， ①当时，求的取值范围； ②抛物线、之间的最大值与最小值的差为1，直接写出的取值范围 　　 ． （3）当点坐标为，点关于坐标原点的对称点为，以为对角线作矩形，且矩形的边平行于坐标轴．当抛物线与矩形的边有且只有两个公共点，且经过这两个公共点的直线将矩形分成面积比为的两部分时，求的值． 75．（2024秋•谷城县期末）直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，且与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图（2），已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作平行于轴交直线于点，连接、、，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标． 76．（2025秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点、是该抛物线上的点（点不与点重合），其横坐标分别为、，过点作直线轴交该抛物线于点（点不与点重合），直线与轴交于点，以、为邻边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当时，求点的坐标； （3）当该抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，直接写出的取值范围； （4）设的边与该抛物线的交点为点，点不与的顶点重合，作直线．当的面积被直线分成两部分时，直接写出的值． 77．（2024秋•扬州期末）如图抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线是抛物线的对称轴，交轴于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的函数解析式及对称轴； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上运动时，连接，，，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大，求四边形的面积最大值； （3）如图2，过点作轴的平行线交直线于点，过点、作轴的平行线交抛物线的对称轴于点、，过点作的平行线交轴于点，当四边形在直线、之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 题型十九 新定义问题 78．（2025•溧阳市一模）对于平面直角坐标系中的点，若，满足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． （1）下列是平衡点的是 　 　 ；（填序号） ①，②，③，④． （2）已知一次函数为常数）图象上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数为常数）图象上另一个“平衡点”的坐标； （3）已知二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出的取值范围． 79．（2024•赣榆区三模）小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下： 【理解应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形是垂等四边形，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【规律初探】 （2）如图2，正方形的边长为，点在边上，点在边上，点在边上，点在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积的取值范围； 【综合探究】 （3）如图3，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，，两点在该抛物线上．若以，，，为顶点的四边形是垂等四边形且．设点的横坐标为，点的横坐标为，且，求的值． 80．（2024•宿迁二模）中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻两军对垒的分界线，数学中为了对两个图形进行分界，在平面直角坐标系中，对“楚河汉界线”给出如下定义：点，是图形上的任意一点，点，是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则称直线是图形与的“楚河汉界线”． 例如：如图1，直线是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”． （1）在直线①，②，③，④中，是图1函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有 　 　（填序号）； （2）如图2，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，，与的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式； （3）正方形的一边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围． 81．（2025秋•南通期末）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数的对折函数为． （1）求函数的对折函数； （2）若点在函数的对折函数的图象上，求的值； （3）当函数的对折函数与轴有两个不同的交点时，直接写出的取值范围为 ． 82．（2025秋•苏州期末）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 　 　；（填序号） ①； ②； ③． （2）已知抛物线，均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线，是常数，的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 83．（2025•宿迁）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． （1）下列函数图象上存在“1阶近轴点”的是 　　 ； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； （3）特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图象上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 84．（2024•淮阴区一模）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，将函数图象位于直线上的点及直线右侧的部分（用表示）沿翻折，再向左平移个单位得到新的函数图象，我们称这种变换为轴移变换，记作：，．由与组成的新的图象对应的函数叫做“距美函数”．例如：图1是反比例函数的图象，经过，得到的“距美函数”的图象如图2所示． （1）填空： ①在图2的“距美函数”中，当函数值时，的值为 　 ； ②直线经过，得到的“距美函数”的表达式为：； （2）抛物线经过，得到“距美函数”．对于该“距美函数”，当时，，求的值； （3）如图3，点，在轴上，以为一边在轴上方画矩形，使．抛物线经过，得到的“距美函数”的图象与矩形的边恰好有4个交点，直接写出的取值范围 　　 ． 85．（2025秋•天祝县校级期末）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．例如点是函数的图象的“相反点”． （1）基础求解 请直接写出函数图象上的“相反点”的坐标． （2）综合分析 若抛物线上有两个“相反点”，分别为点和，过点作轴的平行线与抛物线交于点（不与点重合），当△面积为12时，求点的坐标． （3）拓展探究 若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有3个“相反点”时，求的值． 86．（2025秋•沈河区期末）定义：已知是关于自变量的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点 “关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数” 的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点 “关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数” 的图象上． （1）求函数的 “倍差函数” 的函数表达式； （2）如图1，点在函数的图象土，当点 “关于的倍差点” 的纵坐标为时，求点的坐标； （3）点在函数的图象上，点 “关于的倍差点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②当时，过点作轴的平行线，与函数的“倍差函数” 的图象交于点，连接，设的和为，求关于的函数表达式，并写出自变量取值范围； ③在②的条件下，当直线与函数的图象有3个交点时，从左到右依次记为点，，，横坐标分别为，，，当时，求的值． 题型二十 其他综合问题 87．（2025•高新区校级三模）如图，抛物线与轴交于，两点，抛物线上点的横坐标为5，点坐标为，连接，，点为平面内任意一点，将绕点旋转得到对应的△（点，，的对应点分别为点，，，若△中恰有两个点落在抛物线上，则此时点的坐标为 　或，　（点不与点重合）． 88．（2025秋•绿园区期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线、为常数）与轴交于点，其对称轴为直线．点是该抛物线上一点，且点在轴右侧，其横坐标为；点是该抛物线上异于点的一点，且点不与点重合，其横坐标为．连结，以为边、点为对称中心作． （1）求该抛物线对应的函数解析式． （2）当点与抛物线的顶点重合时，直接写出点的坐标． （3）当的一条边与轴平行时，求的值． （4）当的顶点、恰好落在同一象限内时，直接写出的取值范围． 89．（2025秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过点，点、在该抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点在该抛物线上时，求的值及点的坐标； （3）用含的代数式表示点、的坐标分别为， 、，　　，的值为　　 ； （4）以、为边构造平行四边形．连结、、、，若△与△面积的和等于面积的一半，直接写出的取值范围． 90．（2025秋•朝阳区校级期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点在这条抛物线上，点的横坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）若，则的取值范围是 ； （3）当抛物线上、两点之间部分最大值和最小值的差为时，求的值； （4）当点在第一象限时，连结、，以、为邻边构造平行四边形，当对称轴把平行四边形分成的两部分图形面积比为时，直接写出的值． 91．（2025秋•九台区期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． （1）求抛物线的解析式及点的坐标． （2）当时，的取值范围是 ． （3）当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为4？ （4）当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 92．（2025•河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点，．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． （1）求，的值及点的坐标． （2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 93．（2025•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． （1）求点的坐标及，的值． （2）直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． （3）二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 94．（2025•湖北）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）定义：抛物线上两点，之间的部分叫做抛物线弧（含端点和．过，分别作轴的垂线，，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，，直线，，与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形，若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 95．（2023秋•无锡期末）在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上． （1）如果四个点，，，中恰有三个点在二次函数为常数，且的图象上． ①　 　 ②如图1，已知菱形的顶点、、在该二次函数的图象上，且轴，求点的坐标； ③如图2，已知正方形的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的同侧，且点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形的顶点、在二次函数为常数，且的图象上，点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式． 96．（2023•扬州）在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上． （1）如果四个点、、、中恰有三个点在二次函数为常数，且的图象上． ①　　 ； ②如图1，已知菱形的顶点、、在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的同侧，且点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形的顶点、在二次函数为常数，且的图象上，点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式． 1 / 342 学科网（北京）股份有限公司 $