28.1 锐角三角函数 第1课时课件2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十八章　锐角三角函数 人教版 九年级下册 28.1 锐角三角函数 第1课时 正弦 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？ 30° 情景引入 从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ A B C 30° 35m ? 合作探究 探究新知 A B C 30° 35m 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB. 根据“在直角三角形中，30°角所对的 边等于斜边的一半”. 即 可得 AB = 2BC =70 (m). 也就是说， 需要准备 70 m 长的水管. 如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？ 探究新知 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于 . 归纳： 探究新知 Rt△ABC 中，如果∠C=90°，∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？ 因为∠A=45°，则AC=BC，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2. 思考： 所以 因此 探究新知 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与 斜边的比都等于 . 归纳： 当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 探究新知 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ A B C A' B' C' 探究新知 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值． 探究新知 9 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 归纳： ∠A的对边 斜边 sin A = 探究新知 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和 sinB 的值. A B C 4 3 图① ？ A B C 13 5 图② ？ 例 题 解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 因此 如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得 因此 例 题 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA . A (0，3) 在△APO中，由勾股定理得 因此 α 例 题 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积. A B C 提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 BC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积. 例 题 解：∵ ∴ ∴ AB = 3BC =3×3=9. ∴ ∴ ∴ 例 题 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，AB = c，则 BC = ck， AC = ch. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，BC=a，则 AB = AC = 归纳： 例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ，求这个三角形的周长． 解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾 股定理得 即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. 所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm). 方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题. 例 题 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 ∠A的对边 斜边 sin A = 课堂小结 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4BC，则 sin A＝ （　B　） A. B. C. D. B 随堂练习 2. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP， 则OP与x轴的正方向所夹的锐角α的正弦值是（　D　） A. B. C. D. D 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.如果将三角形各边的长度都扩 大为原来的3倍，那么∠A的正弦值（　D　） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的9倍 D. 不变 D 4. 如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中，点A， B，C都在格点（网格线的交点）上，则 sin B＝ ⁠. 　 5. （教材P63例1变式）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC＝2，BC＝3.求： （1）AB的长； 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3， ∴AB＝ ＝ . （2） sin A的值. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝ ， ∴ sin A＝ ＝ . 6. 已知在△ABC中，∠ABC＝90°.若AC＝100， sin A＝ ， 则BC的长是（　C　） A. B. C. 60 D. 80 [变式] 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24， sin A＝ ，则BC＝ ⁠. C 10　 7. 如图，一座钢结构桥梁的框架形如△ABC，水平横梁BC的 长为18米，中柱AD的高为6米，其中D是BC的中点，且 AD⊥BC. 求 sin B的值. 解：∵D是BC的中点，∴BD＝ BC＝9米. 在Rt△ABD中，BD＝9米，AD＝6米， ∴AB＝ ＝ ＝3 （米）， ∴ sin B＝ ＝ ＝ . 8. （教材P69习题T6变式）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，CD⊥AB于点D，则下列比值不等于 sin ∠BCD的是 （　C　） A. B. C. D. C 9. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O的直径.若☉O的 半径为4， sin B＝ ，则线段AC的长为（　A　） A. 2 B. 4 C. 8 D. A 10. 如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠ABC的正弦值是 ⁠. 　 11. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E是边AC的中 点，BC＝14，AD＝12， sin B＝ ，求： （1）线段DC的长； 解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC， ∴ sin B＝ ＝ . ∵AD＝12，∴AB＝15. 在Rt△ABD中，BD＝ ＝ ＝9， ∴DC＝BC－BD＝14－9＝5. （2） sin ∠EDC的值. 解：（2）在Rt△ADC中，AD＝12，DC＝5， ∴AC＝ ＝ ＝13. ∵E是边AC的中点，∴DE＝EC， ∴∠EDC＝∠C，∴ sin ∠EDC＝ sin C＝ ＝ . 11. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E是边AC的中 点，BC＝14，AD＝12， sin B＝ ，求： 12. 【新考法·新定义】学习过三角函数后，我们知道在直角三 角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定.因 此，边长与角的大小之间可以相互转化. 类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定 义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如 图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作 sad A，这时sad A＝ ＝ .容易知道一个角的 大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据角的正对的定义，解答下列问题： （1）sad 60°的值为（　B　） A. B. 1 C. D. 2 （2）当0°＜∠A＜180°时，∠A的正对值sad A的取值范围 是 ⁠. B 0＜sad A＜2　 （3）已知 sin α＝ ，其中α为锐角，试求sad α的值. 解：（3）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α， sin α＝ . 令CH＝3k，则AC＝5k， ∴AH＝ ＝4k， ∴BH＝AB－AH＝AC－AH＝k， ∴BC＝ ＝ k， ∴sad α＝ ＝ ＝ . $