精品解析：安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高一上学期期末调研数学试题

合肥一六八中学2024级高一第一学期期末调研数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解指数不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】不等式，集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确集合，根据交集的概念求． 【详解】时，不等式的解集为，即， 令，得，解得，故， 故． 故选：B 3. 要得到函数的图象，需（ ） A. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变） C. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度 D. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，故A错误； 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象，故B 错误； 将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象， 故C错误； D. 将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确. 故选：D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性比较大小. 【详解】，，故， 又，. 从而有. 故选：D 5. 函数的部分图象形状大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数解析式可判断函数为偶函数，再利用特殊值的符号通过排除法即可得出结果. 【详解】根据题意可知，定义域为， 而， 所以函数为偶函数，图像关于轴对称，可排除CD； 根据图象可利用可排除B. 故选：A 6. 已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合奇函数的性质，利用函数图象平移即可求得函数图象恒过的定点. 【详解】因为是上的奇函数，所以，即函数的图象恒过点. 又函数的图象是由函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象恒过点. 故选：A. 7. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的周期性画出函数的图像，利用对称性判断轴两个函数图像交点个数列出不等式，解不等式即可得到范围. 【详解】由已知满足， 且函数为偶函数， 所以， 令， 所以函数是周期为的周期函数. 又因为与函数都是偶函数，由对称性可知 由于关于的方程至少有8个实数解， 故当时，与至少有个交点. 函数与图像如图所示. 由图可知：当时，只需，解得 当时，只需，解得 当时，显然符合题意. 综上所述：. 故选：A 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为，令，结合一元二次不等式的解法，即可求解； 解法2：根据题意，得到，设，得到为偶函数，求得关于对称，且在上单调递增，把不等式转化为，即可求解. 【详解】解法1：由函数， 则不等式，即为， 可得，即， 令，则，即， 解得，即，解得， 所以不等式的解集为. 解法2：由函数， 可得， 设，则， 所以函数为偶函数，即为偶函数， 可得关于对称，且在上单调递增， 所以不等式，即为， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题 9. （多选）下列选项正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. C. 经过4小时，时针转了 D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据象限角的定义，以及角度与弧度的转化关系，扇形面积公式，即可判断选项． 【详解】选项A，在第三象限，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，时针按顺时针方向转，所以转过的角是负角， 每经过1小时转，所以经过4小时，时针转了，故C正确； 选项D，若一扇形的弧长为2，圆心角为， 则该扇形的半径，该扇形的面积，故D正确． 故选：BCD 10. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若恒成立，则 D. 若在内有零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：配方整理即可；对于B：举反例说明即可；对于C：根据一元二次函数恒成立问题结合判别式运算求解即可；对于D：整理可得，进而求取值范围. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：当时，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于选项B：当时，，故B错误； 对于选项C：若二次恒成立， 则，解得，故C正确； 对于选项D：令， 因为，则，， 可得，故D正确； 故选：ACD. 11. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的图象与直线在上的交点恰有2个 C. 的图象与直线在上的交点恰有2个 D. 在上不一定单调 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，由零点个数列出不等式求解判断A；整体代换并结合余弦函数图象性质求解判断BC；由给定区间求出相位所在范围分析判断D． 【详解】函数， 令，则. 对于A，由，得，依题意，，解得，A正确； 对于B，由选项A知，，而函数在上， 当且仅当或时，取得最大值1，则当取时，取得最大值1， 因此的图象与直线在上的交点恰有2个，B正确； 对于C，当时，当且仅当时，取得最小值， 由，知是否取到不确定， 因此的图象与直线在上的交点有1个或2个，所以C错误； 对于D，当时， ，由， 得，，显然值可以超过， 因此函数在上不一定单调，所以D正确． 故选：ABD 三、填空题 12. 计算=____________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据对数的运算法则即可计算． 【详解】原式， 故答案为：6． 13. 若时，取得最大值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值. 【详解】 （其中，）， 当取最大值时，，∴ ， ∴． 故答案为： 14. 设，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简可得，结合角的范围以及正切函数单调性即可得出结果. 【详解】易知 ， 又，则， 因为在上单调递增，所以， 即可得. 故答案为： 四、解答题 15. 若关于的不等式的解集是. （1）求的值; （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集可得对应方程的根即可求解； （2）由充分条件建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集是， 故的两根为，且， 故； 【小问2详解】 由题意集合，，由于， 则. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间和最小正周期； （2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦函数的性质可得出函数的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数的最小正周期； （2）根据题意可知小于等于的最大值，结合正弦函数的定义域求出最大值，即可知的取值范围. 【小问1详解】 . 所以函数的最小正周期. 由，解得. 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 由题意可知，即. 因为，所以. 故当，即时，取得最大值，且最大值为. 所以，实数的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若时，，求的值； （2）若时，函数的定义域与值域均为，求所有值． 【答案】（1）2；（2），． 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值定义去掉绝对值，由化简即可得出结果； （2）根据，，三种情况去掉绝对值，根据函数的单调性，列出方程，计算求解即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以 所以， 所以或， 因为，所以． （2）当时，在上单调递减， 因为函数的定义域与值域均为， 所以，两式相减得不合，舍去． 当时，在上单调递增， 因为函数的定义域与值域均为， 所以，无实数解. 当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 因为函数的定义域与值域均为， 所以，．综合所述，，． 【点睛】本题考查分段函数的单调性及值域问题，考查分类讨论的思想，属于中档题. 18. 筒车（chinese noria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为（定义盛水筒在水面上时距离为正，在水面下时距离为负）． （1）盛水筒A经过后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数的解析式； （2）盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t． （参考公式：，） 【答案】（1） （2），或． 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，，根据题意求出得到函数的解析式； （2）由，求出高度差，再利用已知条件给出的参考公式进行化简变形，利用三角函数的有界性进行分析求解即可． 【小问1详解】 以简车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系， 设，，由题意知，，， ∴，，即， 当时，，解得， 结合图像初始位置可知， 又因为，所以， 综上． 【小问2详解】 经过后A距离水面的高度， 由题意知，所以经过后B距离水面的高度， 则盛水筒B与盛水筒A的高度差为， 利用， ， 当，即时，H取最大值， 又因为，所以当或时，H取最大值， 综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为，此时或． 19. 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； （2）已知为二次函数，且具有性质，判断的奇偶性； （3）已知，k为给定的正实数，若函数具有性质，求a的取值范围. 【答案】（1）具有性质，不具有性质，理由见解析 （2）偶函数 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由性质的定义，代入计算，即可判断； （2）根据题意，由性质的定义，即可得到，结合函数奇偶性的定义即可判断； （3）根据题意，由性质的定义，列出不等式，结合对数函数的单调性以及运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 对任意，得， 所以具有性质； 对任意，得. 当时，，所以不具有性质. 【小问2详解】 设二次函数满足性质，则对任意， 满足. 当时，，此时b可以为任何实数； 当时，恒成立，所以，又，故. 综上所述，函数具有性质时，， 此时，即为偶函数. 【小问3详解】 由于，函数的定义域为， 易得， 若函数具有性质，则对于任意实数x， 有， 即，即， 由于函数在上单调递增，得，即， 当时，，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数x恒成立， 所以即，所以a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一六八中学2024级高一第一学期期末调研数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，需（ ） A. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变） C. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度 D. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象形状大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. （多选）下列选项正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. C. 经过4小时，时针转了 D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 10. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若恒成立，则 D. 若在内有零点，则 11. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的图象与直线在上的交点恰有2个 C. 的图象与直线在上的交点恰有2个 D. 在上不一定单调 三、填空题 12. 计算=____________． 13. 若时，取得最大值，则______． 14. 设，且，则___________． 四、解答题 15. 若关于的不等式的解集是. （1）求的值; （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间和最小正周期； （2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围. 17. 已知函数． （1）若时，，求的值； （2）若时，函数的定义域与值域均为，求所有值． 18. 筒车（chinese noria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为（定义盛水筒在水面上时距离为正，在水面下时距离为负）． （1）盛水筒A经过后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数的解析式； （2）盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t． （参考公式：，） 19. 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； （2）已知为二次函数，且具有性质，判断的奇偶性； （3）已知，k为给定的正实数，若函数具有性质，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $