精品解析：山东省部分学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（C卷）

2025-2026学年高二12月联考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，直线的斜率为，则（ ） A. -5 B. -2 C. 2 D. 5 2. 已知直线与相交于点P，则过点P且与垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间四边形中，，点在上，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 过点作直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两定点，，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 4 7. 如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在P点处的切线垂直于法线（即的平分线）．已知椭圆，坐标原点O到点P处切线l的距离为，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 点到点的距离为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知是抛物线的焦点，不过原点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线过点，则的最小值为4 B. 若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为 C. 若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2 D. 若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 13. 向量，则在上的投影向量的坐标为________． 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，若的内切圆的圆心为，且满足与为坐标原点）的纵坐标互为相反数，则双曲线的渐近线的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求切线的方程； （2）已知直线，判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 16. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，平面，求： （1）异面直线与所成角的正弦值； （2）直线与平面所成角的正弦值； （3）二面角的余弦值． 17. 已知双曲线，其实轴长为2，离心率为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作的两条切线，设直线的斜率分别为，若，求实数的取值范围. 18. 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. （1）若，证明：平面； （2）当异面直线与所成角为时，求实数的值； （3）求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 19. 如图，椭圆，且过，离心率．圆，点P为直线上一个动点． （1）求椭圆W的标准方程； （2）过点P作椭圆W的两条切线，切点分别为，证明：直线过定点；（参考公式：若为椭圆上的点，则椭圆在Q处的切线方程为） （3）若直线与圆O相切于点M，且交椭圆W于两点，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二12月联考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，直线的斜率为，则（ ） A. -5 B. -2 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点求斜率的公式求得正确答案. 【详解】因为，所以， 故选：D 2. 已知直线与相交于点P，则过点P且与垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直两直线方程的特征进行求解即可. 【详解】由得所以， 设与垂直的直线方程为． 把代入，得，解得，所以， 故选：B． 3. 在空间四边形中，，点在上，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理及向量的加法表示出即可求解． 【详解】由， 得， 所以， 故选：B． 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求圆C的圆心关于直线对称点即可求得所求圆圆心，进而得解. 【详解】圆的圆心为，半径为5， 设圆心关于直线对称点坐标为， 由题意得，解得，即对称圆的圆心为， 所以圆C关于直线对称的圆的方程为. 故选：B 5. 过点作直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简曲线方程，作图，根据点到直线的距离可求斜率. 【详解】由，得，即， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分，如图． 因为，即，所以， 所以圆心到直线l的距离为． 设直线的斜率为，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，解得，因为，所以． 故选：C． 6. 已知两定点，，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程，得到阿波罗尼斯圆的圆心的坐标及半径的值，再利用阿氏圆的常用公式，快速求出的值，即可得解. 【详解】设阿波罗尼斯圆的圆心为，半径为， 因为阿波罗尼斯圆方程为，所以. 因为，，所以， 代入阿氏圆的常用公式，可得，又，解得. 又由阿氏圆的常用公式，可得. 所以． 故选：B 7. 如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】过点向线段的延长线作垂线，垂足为，因为， 所以，所以，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则， 所以，， 故选：B. 8. 数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在P点处的切线垂直于法线（即的平分线）．已知椭圆，坐标原点O到点P处切线l的距离为，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线所成的角均为，求出点到l的距离，结合椭圆的定义得到原点到切线l的距离，得到方程，求出，由余弦定理，得到，求出离心率. 【详解】设点P处切线为l， 如图，是的平分线，则，设，则． 根据椭圆的光学性质，点P处切线l与直线所成的角均为， 点到切线l的距离分别为，． 为的中点， ∴由梯形中位线性质得，原点O到点P处切线l的距离为， ，故．又， 由余弦定理，得， ，即，故， 椭圆C的离心率． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用共线定理和共面定理可判断A；考虑共线反向可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D. 【详解】A选项，因空间中任意两个向量是共面的， 故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； B选项，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误； C选项，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量， 与向量是不共面的向量矛盾， 所以是不共面的向量，故C正确； D选项，因，则由空间向量共面的推论可知，四点共面， 故D正确. 故选：ACD 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 点到点的距离为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】整理可得点的轨迹为圆，根据为该圆圆心可知A正确；利用可求得B正确； 利用的几何意义将问题转化为点到点的距离的最大值，利用圆的几何性质可求得C错误； 采用三角换元的方式，结合辅助角公式和正弦型函数最值可求得D正确. 【详解】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆，点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B正确； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离，的最大值为，C错误； 对于D，设，，，， ，，当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知是抛物线的焦点，不过原点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线过点，则的最小值为4 B. 若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为 C. 若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2 D. 若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，联立方程组，求得，由，可判定A；根据抛物线的焦半径公式，求 得，结合斜率和倾斜角的定义，可判定B；分析直线过抛物线的焦点和直线不过抛物线的焦点，两种 情况讨论可求得到轴的距离，可判定C；根据抛物线的定义过点作，得到以为直径的圆与准线相切，可 判定D. 【详解】由抛物线的焦点，准线方程为，设， 对于A，根据抛物线的定义，可得， 则， 设，联立方程组，整理得， 则，所以， 所以，当时取等号，所以的最小值为，A正确； 对于B，由抛物线的定义，可得，解得，则. 因为点在第一象限，可得，即，所以， 设的倾斜角为，可得，所以，所以B错误； 对于C，当直线过抛物线的焦点时，则， 可得，因为是线段的中点，所以， 所以到轴的距离为； 当直线不过抛物线的焦点时，可得， 所以，解得. 因为是线段的中点，所以，即到轴的距离大于， 综上可得，所以到轴的距离的最小值为，所以 C正确； 对于D，由直线过抛物线的焦点，过分别作，垂足分别为， 根据抛物线的定义，可得，且 在过点作，垂足为，可得， 所以以为直径的圆与准线相切. （几何直观）由图可知，为钝角，所以，所以原点在以为直径的圆的圆内. （代数证明）设，由A可知，，， ，， ，所以， 故原点在以为直径的圆内，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离可计算. 【详解】由题意可知，点到直线的距离， 即，得或， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 向量，则在上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量坐标计算公式可得答案. 【详解】由题意，在上的投影向量的坐标为． 故答案为： 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，若的内切圆的圆心为，且满足与为坐标原点）的纵坐标互为相反数，则双曲线的渐近线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据与的纵坐标互为相反数，求出点的纵坐标，再根据等面积及双曲线的定义求出，从而可求出点的坐标，代入双曲线方程即可得解． 【详解】设，内心为， 依题意可设， 因为与为坐标原点）的纵坐标互为相反数， 所以，解得， 因为的内切圆的圆心为，所以的内切圆的半径为， 由等面积可得， 化简得， 又，点在双曲线的右支上， 所以， 因为， 所以 ， 则，解得， 所以的坐标为， 代入双曲线方程中，得，解得， 所以双曲线的渐近线的方程为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求切线的方程； （2）已知直线，判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】（1）或. （2）直线与圆相交，弦长为 【解析】 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出的值，综合可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，并与半径比较大小，结合勾股定理可求得直线被圆截得的弦长. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，则直线的方程为，即， 由题意得，解得，此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 直线被圆所截得的弦长为. 16. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，平面，求： （1）异面直线与所成角的正弦值； （2）直线与平面所成角的正弦值； （3）二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量，利用坐标法求异面直线所成角； （2）表示出直线的方向向量及平面的法向量，利用坐标法可得线面角； （3）表示出两平面的法向量，利用坐标法可得二面角. 【小问1详解】 由题意，平面，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 所以． 则， ， 所以异面直线与所成角的正弦值为; 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的法向量为， 则令，得． 设直线与平面所成角为， 则． 则直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（1）知， 设平面的法向量为， 则令，得． 由（2）知平面的一个法向量为． 所以． 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 17. 已知双曲线，其实轴长为2，离心率为. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作的两条切线，设直线的斜率分别为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出a，c值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案. （2）设切线方程为，与双曲线T联立，可得关于x的方程，由题意得，可得关于k的方程，则该方程也要有两个不同的实根，结合韦达定理，分析计算，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得，解得，离心率，解得， 又， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设切线方程为，与双曲线T联立， 得， 由得， 化简可得关于k的方程， 该方程也要有两个不同的实根， 所以，解得且， 由韦达定理得，由且， 解得或，即实数的取值范围是. 18. 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. （1）若，证明：平面； （2）当异面直线与所成角为时，求实数的值； （3）求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】（1） 如图，连接，交于，连接，则为的中点，又为的中点，所以； 当时，为的中点，又为的中点，所以； 所以，又平面，平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据中位线性质和基本事实4可证得，再根据线面平行的判定定理即可证得结论； （2）根据题设条件建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，结合即可求得的值； （3）利用（2）中建立的坐标系分别求出两平面的法向量，根据空间向量夹角的坐标公式表示出两平面夹角余弦的解析式，结合二次函数的性质即可求得范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，由正四棱锥可知两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以，所以， 所以，； 因为异面直线与所成角为，所以，解得， 实数的值为； 【小问3详解】 由（2）知，， 所以； 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以； 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以； 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以函数， 所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围是. 19. 如图，椭圆，且过，离心率．圆，点P为直线上一个动点． （1）求椭圆W的标准方程； （2）过点P作椭圆W的两条切线，切点分别为，证明：直线过定点；（参考公式：若为椭圆上的点，则椭圆在Q处的切线方程为） （3）若直线与圆O相切于点M，且交椭圆W于两点，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）证明: 设点， 则切线的方程分别为． 将代入，得到， 点的坐标满足方程，则直线的方程为． 对于任意实数t，当时，恒有，即直线过定点， 所以直线过定点． （3）证明: 圆，圆心为，半径为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由直线与圆O相切于点M，得， 圆心到直线的距离， 又因为，，所以，解得． 由，整理得． 则， ， 所以 ． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为或， 联立解得， 所以，所以． 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）由椭圆过得到，由离心率得到，又，这三个等式解方程组求出的值，从而得到椭圆W的标准方程． （2）由点P为直线上一动点可设点，由过点P作椭圆W的两条切线，切点分别为，设，从而得到切线的方程，将代入切线的方程，从而得到直线的方程，根据直线恒过定点的知识求解即可. （3）当直线的斜率存在时，设其方程为．由直线与圆O相切于点M，得，圆心到直线的距离，由得到的等式．将直线和椭圆联立方程组，消去，整理得到关于的一元二次方程，根据根与系数的关系写出，求出，利用平面向量的数量积求出，从而求出为定值.当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，联立方程组可以解得，求出的值，从而得到为定值． 【小问1详解】 由题意，得，解得，所以椭圆W的标准方程为． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $