第六章圆 课件-2026年中考数学一轮复习

第六章　圆 6.1　圆及其相关性质 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦(如线段AC)，经过圆心的弦叫做直径(如线段CD)；①　 　是圆中最长的弦  弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．大于半圆的弧称为优弧(如)；小于半圆的弧称为劣弧(如) 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOD) 圆周角 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角(如∠ACD) 直径　 知识点 1 知识要点 归纳 圆的有关概念及性质 1．圆的有关概念 2．圆的有关性质 (1)轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条②　 　所在的直线都是圆的对称轴；  (2)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是③　 　；  (3)旋转不变性：圆绕着它的圆心旋转任意角度都能与自身重合． 圆心　 直径　 知识点 2 弧、弦、圆心角的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，如图，在☉O中，若∠AOB＝∠COD，则，AB＝CD 图示： 推论 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角④　 　，所对的弦⑤　 　，如图，若，则∠AOB＝⑥　 　，AB＝CD；(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等，如图，若AB＝CD，则∠AOB＝⑦　 　，(“知一推二”，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等)  ∠COD　 ∠COD　 相等　 相等　 续表 内容 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑧　 　  常见情 形及对 应图形 圆心在圆周 角的一条边上 圆心在圆 周角内部 圆心在圆 周角外部 结论 ∠APB＝⑨    一半　 知识点 3 圆周角定理及其推论 1．定理 ∠AOB 推论 推论1 推论2 内容 同弧或等弧所对的圆周角 ⑩ 　(2022版课标新增)  半圆(或直径)所对的圆周角是⑪ 　，90°的圆周角所对的弦是⑫ 　  直径　 直角　 相等　 2．推论 图示 数学 语言 (1)∵，∴∠1＝⑬ ； (2)∵， ∴∠1＝∠2＝∠3 (1)∵AB是☉O的直径， ∴∠C＝⑭　 　；  (2)∵∠C＝90°， ∴AB是☉O的直径 90°　 ∠2 续表 【易错提示】由于圆中一条弦对应两条弧，故若题干中并未明确指明一条弦对应哪条弧，而要求这条弦对应的圆周角的度数时，就要分情况讨论，图形如下： ∠ACB＝α　　　∠ACB＝180°－α 定理 垂直于弦的直径⑮　 　弦，并且⑯　 　弦所对的两条弧  推论 平分弦(不是直径)的直径⑰　 　于弦，并且⑱　 　弦所对的两条弧  【温馨提示】(1)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直于弦，并且平分该弦所对的另一条弧．(2)圆的两条平行弦所夹的弧相等 知二 推三 在以下五个结论中：(1)；(2)；(3)AE＝EB；(4)AB⊥CD；(5)CD是☉O的直径． 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三”，由(3)(5)推其他结论时，一定要强调AB不是直径(因为一个圆中的直径总是互相平分的) 平分　 垂直　 平分　 平分　 知识点 4 垂径定理及其推论 续表 【知识拓展】与圆有关的计算中往往构造直角三角形求线段长，即过圆心作弦的垂线，连接圆心与该弦的一个端点，构造直角三角形，得 r2＝d2＋(其中a为弦长，d为弦心距，r为半径) 两条平行弦在圆心同侧 距离d(即EF)＝OF－OE 【易错提示】由于圆内两条平行弦可以在圆心的异侧或同侧，故若题干中并未给出两条平行弦的位置，而要求这两条平行弦间的距离(d)时，就要分情况讨论，再利用垂径定理进行计算，图形如下： 两条平行弦在圆心异侧 距离d(即EF)＝OE＋OF　 定义 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 圆心 三角形三条边的⑲　 　的交点，也叫三角形的外心  性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 边、角 关系 如图，∠ACB＝∠AOB，∠ABC＝∠AOC， ∠BAC＝∠BOC，OA＝OB＝OC 【知识拓展】(1)直角三角形外接圆的半径r＝c(c为斜边长)； (2)等边三角形外接圆的半径r＝a(a为边长) 垂直平分线　 知识点 5 三角形的外接圆 1．圆内接四边形的对角⑳　 　．如图，∠BAD＋∠BCD＝180°；  圆内接四边形的性质 互补　 知识点 6 2．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角)．如图，∠DCE＝∠BAD． 1．(2023·宁夏)如图，四边形ABCD内接于☉O，延长AD至点E．已知∠AOC＝140°，那么∠CDE＝　 　°． 圆内接四边形的性质 70　 宁夏真题 精练 考点1 2．(2021·宁夏)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则☉O的半径等于　 　．  2　 3．(2025·宁夏)如图，四边形ABCD内接于☉O，AC平分∠BAD，连接BD． (1)求证：∠CBD＝∠BDC． 证明：(1)∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠CAD． ∵四边形ABCD内接于☉O， ∴∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠BDC． (2)延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE．求证：． (2)解：∵BE＝AD， ∴AB＋AD＝AB＋BE＝AE． ∵四边形ABCD内接于☉O， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°． 又∵∠ABC＋∠EBC＝180°， ∴∠EBC＝∠ADC． 由(1)知∠CBD＝∠BDC， ∴BC＝CD． 在△EBC和△ADC中， ∴△EBC≌△ADC(SAS)， ∴EC＝AC，∠BCE＝∠DCA． ∵∠ACE＝∠ACB＋∠BCE，∠BCD＝∠ACB＋∠DCA， ∴∠ACE＝∠BCD． 又∵∠BAC＝∠BDC ，∠BDC＝∠CBD， ∴∠BAC＝∠CBD，即∠EAC＝∠CBD， ∴△EAC∽△DBC，∴，∴，即． BE＝DA， ∠EBC＝∠ADC， BC＝DC， 垂径定理 考点2 4．(2022·宁夏)如图，在☉O中，半径OC垂直弦AB于点D．若OB＝10，AB＝16，则cos B＝  　．  例1 已知△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，CD交AB于点E，连接OD． (1)∠ACB＝　 　°；  (2)如图①，若∠A＝26°，， 则∠ACD＝　 　°，∠CEB＝　 　°，∠CDO＝　 　°；  (3)如图②，若∠BOD＝72°，AC＝CD，则∠ACD＝　 　°，∠BAC＝　 　°，∠CEB＝　 　°； (4)如图③，若＝2＝3，则∠CAB＝　 　°，∠BOD＝　 　°．   45　 30　 81　 27　 54　 19　 71　 45　 圆周角定理及其推论 90　 重点难点 突破 重点一 ① ② ③ (1)若∠COD＝120°，则∠AOC＝　 　°， ∠ODC＝　 　°，∠ACE＝　 　°；  (2)若CD＝6 cm，则CE＝　 　cm，OE＝  　cm，BE＝　 　cm；  (3)若将☉O在CD下方部分向上翻折，劣弧CD恰好经过圆心O，则CD的长为　 　cm．  3　 60　 30　 例2 如图，☉O的直径AB为8 cm，弦CD⊥AB，垂足为E，连接OC，OD，AC． 120　 垂径定理 重点二 (4－) 4 1．(2025·重庆)如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB＝100°，则∠C的度数是( ) A．40° B．50° C．80° D．100° 基础巩固 B 备考全能 演练 2．(2025·新疆)如图，CD是☉O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝( ) A．30° B．45° C．60° D．75° C 3．(2025·甘肃省卷)如图，四边形ABCD内接于☉O，，连接BD．若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为( ) A．20° B．35° C．55° D．70° C 4．(2026·原创)如图，AB是☉O的直径，点C，D位于AB两侧的☉O上．若BC∥OD，∠BDC＝35°，则∠BOD的度数为( ) A．60° B．55° C．50° D．45° B 5．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为( ) A．50 cm B．35 cm C．25 cm D．20 cm C 6．如图，△ABC是☉O的内接三角形．若∠OBC＝28°，则∠A＝ 　 　°．  62　 7．(人教九上P90第14题改编)如图，四边形ABCD内接于☉O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为　 　． 110°　 8．(2025·宜宾改编)如图，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是　 　． 3 　 9．如图，已知四边形ABCD内接于☉O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD． (1)求证：AB＝CD． 证明：(1)∵AC＝BD， ∴， ∴， ∴AB＝CD． (2)过点O作OM⊥BC于点M，求证：AD＝2OM． (2)连接OB，OC，OA，OD，过点O作OE⊥AD于点E． ∵OE⊥AD， ∴AE＝DE． 由OM⊥BC，易得∠BOC＝2∠BOM． ∵∠BOC＝2∠BAC， ∴∠BOM＝∠BAC， 同理可得，∠AOE＝∠ABD． ∵BD⊥AC， ∴∠BAC＋∠ABD＝90°，∴∠BOM＋∠AOE＝90°． ∵∠BOM＋∠OBM＝90°，∴∠OBM＝∠AOE． 在△BOM和△OAE中， ∠OMB＝∠AEO， ∠OBM＝∠AOE， BO＝OA， ∴△BOM≌△OAE(AAS)， ∴OM＝AE， ∴AD＝2OM． 10．如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，且D为的中点．若∠BDC＝30°，BC＝2，则BD的长为( ) A．2　 　B．2　 　C．　 　D．3 能力提升 A $第六章　圆 6.3　与圆有关的计算 知识点 1 知识要点 归纳 弧长及扇形的面积 弧 长 公 式 圆的周长 C＝2πr (1)r为圆或扇形的半径；(2)n°为弧所对的圆心角的度数； (3)l是扇形的弧长 扇形的弧长 　l＝①    圆的面积 　S＝②　 　  面 积 公 式 扇形的 面积 S扇形＝③  　＝lr  πr2 知识点 2 正多边形和圆 名称 公式 图例 内角 正n边形的每个内角为＝180°－ 设正多边形的边数为n R：半径 r：边心距 a：边长 θ：中心角   中心角 θ＝④    外角 正n边形的每个外角为 边心距 r＝ 周长 正n边形的周长l＝na 面积 S＝nar＝lr 知识点 3 圆锥、圆柱的相关计算 名称 圆锥 圆柱 图示 侧面积 S侧＝＝πrl S侧＝2πrh 全面积 S全＝S侧＋S底＝＋πr2＝πrl＋πr2 S全＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2 体积 V＝πr2h V＝πr2h 圆锥与其 侧面展开 图之间的 关系 (1)圆锥的侧面展开图是⑤　 　；  (2)圆锥的母线长等于其侧面展开图的⑥　 　；  (3)圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图的弧长，即2πr＝； (4)圆锥的轴截面是⑦　 　三角形；圆锥的母线长l，底面圆半径r和圆锥的高h，这三个量之间的数量关系是r2＋h2＝l2  等腰　 半径　 扇形　 续表 知识点 4 阴影部分面积的相关计算 和 差 法 直接 和差法 将不规则阴影部分的面积看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用直接和差法求解 　 S阴影＝S△ABC－S扇形CAD 　 S阴影＝S△ABO－S扇形COD 和 差 法 构造 和差法 构造出规则图形后，再进行面积和差计算 ⇨ S阴影＝S△ODC－S扇形DOE ⇨ S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE－S扇形COD 转 化 法 等积 转化法 ⇨ S阴影＝S扇形COD 宁夏真题 精练 考点1 弧长的计算 1．(2023·宁夏)如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10 cm，传送带与水平面成30°角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转140°时，传送带上点A处的粮袋上升的高度是多少？(传送带厚度忽略不计) 解：如答图，设传送带上点A处的粮袋上升到点B，构建Rt△ABC，则AC∥MN． 由弧长公式得AB＝(cm)． ∵AC∥MN， ∴∠BAC＝∠NMA＝30°． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴BC＝AB＝(cm)． 答：传送带上点A处的粮袋上升的高度是 cm． 答图 2．(2025·宁夏)如图，在单位长度均为1 cm的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(24，－10)．将一根长度为14.6 cm的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度约为　 　cm．(结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计)  圆柱的计算 2　 考点2 阴影部分面积的计算 3．(2022·宁夏)把量角器和含30°角的直角三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处(即OC＝2 cm， ∠BOF＝120°)，则图中阴影部分的面积为( ) A．(2π)cm2　　 B．(8π)cm2 C．(8π)cm2 D．(16π)cm2 C 考点3 4．(2021·宁夏)如图，已知☉O的半径为1，AB是直径，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于C，D两点，则图中阴影部分的面积是( ) A．－2 B． C． D．－2 A 5．(2024·宁夏)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交☉O于点E，过点E作☉O的切线交AB的延长线于点F． (1)求证：BC∥EF． 证明：如答图，连接OE，交BC于点G． ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA． 又∵点D是△ABC 的内心， ∴∠OAE＝∠CAE，∴∠OEA＝∠CAE， ∴OE∥AC． ∵AB为☉O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠BGO＝90°． 又∵EF为☉O的切线，且OE为☉O的半径， ∴∠FEO＝90°，∴∠BGO＝∠FEO， ∴BC∥EF． 答图 (2)连接CE，若☉O的半径为2，sin∠AEC＝，求图中阴影部分的面积．(结果用含π的式子表示) (2)解：如答图，连接BE． ∵sin∠AEC＝，∴sin∠ABC＝sin∠AEC＝． 由(1)知BC∥EF，∴∠EFO＝∠ABC，∴sin∠EFO＝． ∵OE＝2，∴OF＝＝4， ∴在Rt△EFO中，EF＝＝2， ∴S阴影＝S△EFO－S扇形BOE＝×2×2＝2． 答图 1．(2025·常州)如图，☉O的半径为2，直径AB，CD互相垂直，则的长是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C．π D．2π 基础巩固 C 备考全能 演练 2．半径为3，圆心角为80°的扇形的面积为( ) A．2π B．4π C．5π D．6π A 3．(2025·宿迁改编)如图，正五边形ABCDE内接于☉O，连接AC，则∠ACD的度数为( ) A．54° B．56° C．72° D．75° C 4．【传统文化】(2025·临沂)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是( ) A．π B．2π C．3π D．4π D 5．如图，B，C是半径为6的半圆O上的两点，AD是直径，BC∥AD．若的长为，则图中阴影部分的面积为( ) A．8π B．6π C．5π D． C 6．(2026·原创)已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形的圆心角度数为 　 　．  7．(北师大九下P102第2题改编)如图，当直径为60 cm的圆形转动轮转120°时，传送带上的物体G平移的距离是　 　cm．(结果保留π)  20π　 60°　 8．用一个圆心角为126°，半径为10 cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为  　cm． 9．(人教九下P106第4题改编)如图，以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点的圆锥的母线长为5，高为4，则圆柱的体积为　 　．(结果保留π)  36π　 10．(2025·成都)如图，☉O的半径为1，A，B，C是☉O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为  　． (结果保留π)  11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，O为BC的中点，以点O为圆心，OB的长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是( ) A．5π B．5－4π C．5－2π D．10－2π 能力提升 C 12．(2026·原创)如图，AB是☉O的弦，连接OA，C是☉O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P，且PC＝BC． (1)求证：直线BC与☉O相切； (1)证明：如答图，连接OB． ∵PC＝BC，∴∠CPB＝∠CBP． ∵OC⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠OAP＋∠OPA＝90°． ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA． 又∵∠APO＝∠CPB＝∠CBP， ∴∠OBP＋∠CBP＝90°，即∠OBC＝90°，∴OB⊥BC． 又∵OB是☉O的半径，∴直线BC与☉O相切． 答图 (2)若∠CPB＝75°，OA＝1，求图中阴影部分的面积．(结果用含π的式子表示) (2)解：由(1)可知，∠CPB＝∠CBP． 又∵∠CPB＝75°，∴∠PCB＝180°－2∠CPB＝30°． 在Rt△OCB中， ∵∠OCB＝30°，OB＝OA＝1， ∴∠COB＝60°，BC＝． 如答图，设CO与☉O相交于点E， 则S阴影＝S△BOC－S扇形EOB＝×1－． 答图 $第六章　圆 6.2　与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系 如图，设☉O的半径为r，点与圆心O的距离为d，则有： (1)点在圆外，如点A⇔d ①　 　r；  (2)点在圆上，如点B⇔d＝r； (3)点在圆内，如点C⇔d ②　 　r．  ＜　 与圆有关的位置关系 ＞　 知识点 1 知识要点 归纳 【知识拓展】点圆最值： 已知平面内一定点D和☉O，E是☉O上一动点，连接DE，设圆心O与点D之间的距离为d，☉O的半径为r. 位置关系 DE的最大值 图示 DE的最小值 图示 点D在 ☉O内 d＋r r－d 点D在 ☉O上 2r 0 点D在 ☉O外 d＋r d－r 直线与圆的位置关系 示意图 公共点个数 d与r的关系 相交 2 d ③　 　r  ＜　 2．直线与圆的位置关系 设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． 直线与圆的位置关系 示意图 公共点个数 d与r的关系 相切 1 d ④　 　r  相离 0 d ⑤　 　r  ＞　 ＝　 续表 性质 圆的切线⑥ 　过切点的半径  ∵直线l与☉O相切于点A， ∴l⊥OA 判定 定义法：与圆只有⑦ 　个公共点的直线是圆的切线  ∵直线l与☉O只有一个公共点A， ∴直线l是☉O的切线 经过半径的外端并且⑧ 　 　这条半径的直线是圆的切线(判定定理法)  有公共点，连半径，证垂直． ∵点A在☉O上，且OA⊥l， ∴直线l是☉O的切线 到圆心的距离⑨ 　半径的直线是圆的切线(距离法)  无公共点，作垂直，证相等． ∵OA⊥l，OA＝r， ∴直线l是☉O的切线 等于　 垂直于　 一　 垂直于　 知识点 2 切线的性质与判定 *切线 长定 理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 ⑩　 　， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 ∵PA，PB是☉O的两条切线， ∴PA＝PB，PO平分∠APB 相等　 续表 三角形的内切圆 知识点 3 描述 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 图示 内心 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 性质 三角形的内心到三角形三边的距离相等 角度 关系 ∠BOC＝90°＋∠A 【温馨提示】直角三角形内切圆的半径为r＝(a＋b－c)(其中a，b为两条直角边长，c为斜边长)． 1．(2025·宁夏)如图，☉O是△ABC的内切圆，∠A＝54°，则∠BOC＝ 　 　°．  三角形的内切圆 117　 宁夏真题 精练 考点1 考点2 切线的性质与判定 2．(2023·宁夏)如图，已知AB是☉O的直径，直线DC是☉O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC． (1)求证：AC平分∠BAE． (1)证明：如答图，连接OC． ∵直线DC是☉O的切线，切点为C，∴OC⊥DC． 又∵AE⊥DC，垂足为E， ∴OC∥AE，∴∠EAC＝∠ACO． ∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC， ∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAE． 答图 (2)若AC＝5，tan∠ACE＝，求☉O的半径． (2)解：如答图，连接BC． ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°． 又∵AE⊥DC，∴∠AEC＝90°． 由(1)可知∠EAC＝∠OAC， ∴易得∠ABC＝∠ACE，∴tan∠ABC＝tan∠ACE＝， ∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，∴BC＝， ∴由勾股定理，得AB＝， ∴OA＝AB＝，即☉O的半径为． 答图 3．(2021·宁夏)如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以CD为直径的半圆O经过点A，M是弦AC上一点，过点M作ME⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点F，且FA＝FM． (1)求证：直线BF与半圆O相切； (1)证明：如答图，连接OA． ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA． ∵FA＝FM，∴∠FAM＝∠FMA． ∵ME⊥BC，∴∠CME＋∠OCA＝90°． ∵∠CME＝∠FMA，∴∠FAM＋∠OAC＝90°，即∠OAF＝90°． 又∵OA是半圆O的半径，∴直线BF与半圆O相切． 答图 (2)若AB＝3，求BD·BC的值． (2)解：如答图，连接DA． 由(1)易得∠BAD＋∠DAO＝90°． ∵CD是半圆O的直径，∴∠DAC＝90°， ∴∠DAO＋∠OAC＝90°，∴∠BAD＝∠OAC． ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠BAD＝∠OCA． 又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA， ∴，∴BD·BC＝BA2＝9． 答图 4．(2022·宁夏)如图，以线段AB为直径作☉O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交☉O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长，交AC于点M． (1)求证：直线DE是☉O的切线； (1)证明：如答图，连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD． ∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC． 又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD． 又∵OD是☉O的半径， ∴直线DE是☉O的切线． 答图 (2)求证：AB＝AM； (2)证明：∵线段AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADM＝180°－∠ADB＝90°， ∴∠M＋∠DAM＝90°，∠ABM＋∠DAB＝90°． 由(1)知∠DAM＝∠DAB， ∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM． 答图 (3)若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长． (3)解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°． 由(2)知AB＝AM， ∴△ABM是等边三角形，∴∠M＝60°． ∵∠DEM＝90°，∴∠EDM＝30°． ∵ME＝1，∴MD＝2ME＝2． 易得BD＝MD＝2． ∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F， ∴BF＝BD＝2． 答图 重点难点 突破 重点 切线的判定与性质 类型一　切线的判定 例1 已知△ABC内接于☉O，D是直径AB延长线上一点，连接CD． 方法一　利用等角代换证垂直 (1)如图①，若∠A＝∠BCD，求证：CD是☉O的切线． ① 【解答】连接OC． ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°． ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠BCO． ∵∠A＝∠BCD，∴∠BCD＋∠BCO＝90°，∴∠OCD＝90°∴OC⊥CD． 又∵OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线． 方法二　利用相似三角形相关知识证垂直 (2)如图②，若CD2＝AD·BD，求证：CD是☉O的切线． ② 【解答】连接OC． ∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA． ∵CD2＝AD·BD，∴． 又∵∠D＝∠D，∴△DAC∽△DCB， ∴∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝∠OCA． ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋∠OCB＝90°， ∴∠BCD＋∠OCB＝90°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD． ∵OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线． 方法三　构造全等三角形证垂直 (3)如图③，过点A作AF⊥AD，交DC的延长线于点F，连接OF，且OF∥BC，求证：FD是☉O的切线． ③ 【解答】连接OC． ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB． ∵OF∥BC， ∴∠AOF＝∠OBC，∠COF＝∠OCB， ∴∠AOF＝∠COF． 在△AOF和△COF中，AO＝CO， ∠AOF＝∠COF， OF＝OF， ∴△AOF≌△COF(SAS)， ∴∠OAF＝∠OCF． ∵AF⊥AD，∴∠OAF＝90°， ∴∠OCF＝90°，即OC⊥FD． 又∵OC是☉O的半径， ∴FD是☉O的切线． ③ 方法四　构造中位线，利用平行证垂直 (4)如图④，过点B作BG⊥CD，交AC的延长线于点G．若AB＝BG，求证：CD是☉O的切线． ④ 【解答】连接OC． ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AG． 又∵AB＝BG，∴C是AG的中点． ∵OA＝OB，∴O是AB的中点，∴OC是△ABG的中位线，∴OC∥BG． 又∵BG⊥CD，∴OC⊥CD． 又∵OC是☉O的半径， ∴CD是☉O的切线． 类型二　切线性质的相关证明与计算 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作☉O交BC边于点D，过点D作☉O的切线交AC于点E． (1)求证：DE⊥AC． 答图 【解答】如答图，连接OD，AD． ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC． 又∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD． 易得∠BOD＝2∠BAD， ∴∠BOD＝∠BAC，∴OD∥AC． ∵DE是☉O的切线，∴DE⊥OD， ∴DE⊥AC． 【解答】如答图．∵DE是☉O的切线， ∴∠ODE＝90°，∴∠ODA＋∠ADE＝90°． ∵AB是☉O的直径， ∴∠BDA＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＋∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠ODA． ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA． 由(1)知∠BAC＝2∠OAD． ∴∠BAC＝2∠ODA， ∴∠BAC＝2∠CDE． (2)求证：∠BAC＝2∠CDE． 答图 (3)若AB＝5，BC＝6，求DE的长． 【解答】如答图，由(1)知DE⊥AC，AD⊥BC． ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BD＝CD＝BC＝3． 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝＝4． ∵S△ACD＝AD·CD＝AC·DE， ∴DE＝． 答图 1．(2025·云南改编)已知☉O的半径为5．若点P在☉O上，则点P到圆心O的距离为( ) A．3　 　　B．4　 　　C．5　 　　D．6 基础巩固 C 备考全能 演练 2．如图是某一时刻“江上日出”的图片，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们此刻的位置关系为( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 C 3．(2025·青岛)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠ADC＝90°，DC＝BC，直线EA与☉O相切于点A．若∠BCD＝128°，则∠DAE的度数为( ) A．52° B．54° C．64° D．74° C 4．(2025·福建改编)如图，PA与☉O相切于点A，PO的延长线交☉O于点C，AB∥PC交☉O于点B．若∠P＝30°，PA＝，则AB的长为( ) A．1 B． C．2 D．2 A 5．(人教九上P103第14题改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆O的半径r＝( ) A．2 B． C．1 D． C 6．如图，BC是☉O的切线，B是切点，连接CO交☉O于点D，延长CO交☉O于点A，连接AB．若∠C＝30°，OD＝2，则AB的长为( ) A．2 B．3 C．2 D．3 C 7．(2025·泸州)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝10，☉O与四边形ABCD的各边都相切，且☉O的面积为16π，则点B到CD的距离为  　．  能力提升 8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以点D为圆心，AD长为半径作弧，恰好与BC相切，切点为E，交DC于点F．若，则sin C的值是  　．  9．(2025·吴忠利通区三模)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，过点O作AC的平行线交BC于点E，延长EO交☉O于点D，点F在BA的延长线上，连接DF，且∠F＝∠B． (1)求证：DF是☉O的切线． (1)证明：∵△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径， ∴∠C＝90°．由题意，得DE∥AC， ∴∠DEB＝90°，即∠EOB＋∠B＝90°． ∵∠F＝∠B，∠FOD＝∠EOB，∴∠F＋∠FOD＝90°， ∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF． ∵OD是☉O的半径，∴DF是☉O的切线． (2)若BE＝2，sin∠BAC＝，求AF的长． (2)解：∵OE∥AC，O是AB的中点， ∴＝1， ∴E是BC的中点．∵BE＝2， ∴BC＝2BE＝4． ∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°． 在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，∴， ∴AB＝5， ∴OA＝OD＝， ∴由勾股定理，得AC＝＝3， ∴sinB＝． ∵∠B＝∠F，∴sinB＝sinF， ∴在Rt△DOF中，sinF＝， ∴AF＝． $