第3—5章 期末综合复习解答压轴题专题训练 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

2025-2026学年浙教版八年级数学上册《第3—5章》 期末综合复习解答压轴题专题训练（附答案） 一、一元一次不等式 1．已知关于x，y的方程组． (1)求这个方程组的解（用含a的式子表示x和y）； (2)当a取何整数值时，这个方程组的解满足x小于3且y不大于； (3)若以x，y，a的长恰好可以围成一个三角形，求a的取值范围． 2．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 3．定义：关于，的二元一次方程中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 4．3月12日我国的植树节，某校准备组织全校师生参加植树活动，校总务处人员到市场上采购树苗，市场上分为小树苗和大树苗两种不一样的树苗．计划用23000元分别购买1000棵小树苗和大树苗，如果只购买400棵小树苗和500棵大树苗则只需要10700元． (1)求小树苗和大树苗的单价； (2)如果市场上每种树苗购买数量达到了200棵及以上，供应商将按8折优惠价格出售，试算出如果某校要求大树苗一定不少于400棵，则原来购买树苗款最多可以购买两种树苗多少棵？ 5．某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 6．某中学拟组织七年级师生去参观苏州博物馆．下面是张老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话： 张老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用． 60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小芳∶“八年级师生昨天在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到苏州博物馆，一天的租金共计6750元．” 小明∶“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车则可少租1辆，且有一辆车上的人不足一半．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)求出满足条件的a的值． (3)若同时租用两种或一种客车．要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有哪几种租车方案？ 二、图形与坐标 7．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 8．如图，在平面直角坐标系中，满足 (1)求A、B两点的坐标； (2)的平分线与的外角平分线交于点C，求的度数； (3)在平面内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图1，在平面直角坐标系中，，，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，记交轴于点，交轴于点，连接． ①求证：； ②求证：． 10．如图1，在平面直角坐标系中，，，其中a的平方是4，b是4的平方根，且，过点C作轴于点B． (1)求三角形的面积； (2)如图2，过点B作交y轴于点D，且，分别平分、，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． (1)点的坐标为________；点的坐标为________； (2)如图1，，连接，于，交于点，交的延长线于点，在轴的负半轴上有一点，连接，满足，求点坐标； (3)如图2，是射线上一点（不与、、的中点重合），连接，过点作交于，在的上方作，交轴于点，与直线交于点，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 12．如图1，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． (1)如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P，求点P的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于点N，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 三、一次函数 13．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 14．我国人工智能的发展处于全球领先梯队，目前已形成“巨头引领、新锐崛起、垂直深耕”的多元化格局，在技术、产业、应用等多个领域均取得了显著成果．图1展示了宇树科技研发的两款机器狗“闪电”和“追风”，它们从训练基地甲地出发，沿同一直线前往相距500米的乙地执行任务．“闪电”首先从甲地出发，并始终保持匀速前进；而“追风”在“闪电”出发时仍在甲地保持原地不动，待“闪电”出发一段时间后才开始出发，并在行进过程中将速度提升至原来的2倍．已知“追风”到达乙地后，会在原地等待“闪电”到达．“闪电”行走的路程（米）、“追风”行走的路程（米）与“闪电”行走的时间t（秒）之间的函数关系图象如图2． (1)求“追风”提速前的速度及提速后的速度及m，n的值； (2)求两只机器狗行走的路程与“闪电”行走的时间t的函数解析式； (3)直接写出“闪电”和“追风”之间的距离为10米时t的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求： (1)求k值与一次函数的解析式； (2)若点D在第二象限，是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标； (3)在y轴上求一点P使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标． 16．综合与实践：设计最大利润的采购方案． 某超市欲购进一批饮料，已知购进2箱可乐和3箱雪碧需要270元，购进3箱可乐和1箱雪碧需要195元．现要求： ①购进可乐和雪碧共300箱； ②可乐的购进数量最少为150箱； ③可乐的购进数量不超过雪碧的2倍． 已知可乐售价为65元/箱，雪碧售价为70元/箱．设可乐购进了箱，全部售出利润为元． (1)求每箱可乐和雪碧的进价各是多少元； (2)求和之间的函数关系式；（写出自变量的取值范围） (3)受市场影响，超市实际采购时，每箱可乐进货单价上调了元，每箱雪碧进货单价下调了元，其他条件不变．如何分配可乐和雪碧的购进数量，能使利润最大？并求出最大利润． 17．通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．对函数的图象与性质进行了探究． (1)当时， ①化简函数的表达式： 当时，__________， 当时，__________： ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； ③函数的图象可由的图象向_____平移__________个单位得到； (2)结合图象，关于函数的图象与性质，下列说法正确的有__________． A．图象经过第一、二象限 B．时，值随值的增大而增大 C．图象关于直线对称 D．若，当时， (3)对于任意的都满足关于的不等式，请直接写出实数的取值范围． 18．已知：如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过点的一次函数的图象相交于点，点的横坐标为，直线与轴相交于点． (1)直线的函数表达式为______；直接写出结果 (2)点为线段上的一个动点，连接． 若直线将的面积分为：两部分，试求点的坐标； 点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点C，B为上一点，其中点的坐标为，点的坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点． (1)求出直线的函数表达式，及交点的坐标； (2)如图2，过点作直线的平行线交轴于点，点为直线上一动点，连接，求出的面积； (3)如图3，在（2）问条件下，连接，当最大时，在直线下方找一点，使得为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 20．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)求点的坐标，并求出直线的函数关系式； (3)若点是图中直线上的一点，连接，得到图，当点的纵坐标为时，求的面积； (4)若点是图1中坐标平面内不同于点、点的一点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，直接写出点的坐标． 参考答案 1．（1）解：， ，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， ∴方程组的解是； （2）解：∵方程组的解满足x小于3且y不大于， ∴， 解得：； ∵a是整数， ∴或0； （3）解：∵以x，y，a的长恰好可以围成一个三角形， ∴， 解得：， 由三角形三边关系的得：， ∴， 解得：， 综上所述，． 2．（1）解：解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∵，， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，则， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 3．（1）解：根据“交换系数方程”的定义可知方程的交换系数方程为或． 或． 或． 故答案为：或． （2）解：由题意，方程与它的交换系数方程组成的方程组为①或②， 解方程组①得， ， ， 方程组①的解为， 解方程组②得， ， 方程组②的解为， 综上，方程与它的交换系数方程组成的方程组的解为， 由题意可知，将代入，得：， ，， ． （3）解：由题意，方程的交换系数方程为或， ①当方程的交换系数方程为时， 是关于，的二元一次方程的交换系数方程， 各系数与各系数相等， ， ， ， ， ， ， 为整数， ，即， ． ②当方程的交换系数方程为时， 由条件可知各系数与各系数相等， ． ，不是整数，不符合题意，舍去． 综上，的值为2． 4．（1）解：设小树苗单价为元/棵，大树苗的单价为元/棵，根据题意得， 解得： 答：小树苗单价为元/棵，大树苗的单价为元/棵； （2）解：设购买小树苗棵，大树苗棵， 小树苗折扣价：，大树苗折扣价：元/棵 ①当时， 设 （ ），则： 总棵数 由于 ，取 （最大可能值）： 代入 解得： 此时 总棵数 ， ②当时 将 （ ），代入 总棵数 ∵ ， ∴当 时， ，此时： 解得：（取整数2843） 此时总棵数 棵， ∴最多可以购买两种树苗棵 5．（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装； （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装． 6．（1）解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是x元、y元， 由题意得：，解得：． 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元和750元． （2）解：由题意可得：七年级人数为人 由题意可得：，解得：， ∵a为整数， ∴． （3）解：由（2）七年级共人， 由（2）知，只租一种客车，不能使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满， 设60座和45座车分别为m辆n辆 则，即， ∴， ∴， ∴n为可取的整数 ∵m为整数 ∴当时，；当时，． ∴租车方案有两种：方案一：60座4辆，45座3辆；方案二：60座1辆，45座7辆． 7．（1）解：∵， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度，且； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为2， ∴或， ∴当时，P点运动路程为8，则点P移动的时间为， 当时，P点运动路程为18，则点P移动的时间为， ∴点P移动的时间为或． 8．（1）解： ， ∴， ， ． （2）解：平分，平分， ， ， ； （3）解：存在，理由如下： ∵是以为腰的等腰直角三角形 ∴当B点为等腰直角三角形的顶点，如图所示： ， ， ， ， 过点作于点C， ， ∵ ∴， ， 在和中 ， ，， ， ； 过点作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点在第二象限， ∴； 当A点为等腰直角三角形的顶点，如图所示： 同理证明出， ，， ， ； 同理证明出， ，， ， ∵点在第三象限， ； 故或或或 9．（1）解：如图，过点作轴于， ， 则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：①过点作轴于，如图： ， 则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图，过点作于，交轴于， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 10．（1）解： ，， ，， 又∵， ∴，， ，， 轴， ，， ， 故答案为：4； （2）作，如图， ， ， ，， ， ，分别平分，， ，， ， ， ， ， ； （3）存在．当点在轴正半轴上时，如图所示， 设点的坐标为，分别过，，作轴，轴，轴，交于点，， 由（1）知， ，易知，，，， ， 解得， 当点在轴负半轴上时，如图所示， 分别过点，，作轴，轴，轴，交于点，， 设点的坐标为， ，，，，， ， 解得， 综上所述，点的坐标为或． 11．（1）解：， ， ， ， 故答案为：；； （2）解：，， ， ， ， ， 又在中，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：或， 当N在线段上时，过点作，延长交于点，设于P．如图，   ，， ， ，， 又， ． ， ． 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当N在的延长线上时，如图，   同理可得， ． 12．（1）解：， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为， ， ， 点P的坐标为； （2）证明：如图，过点分别作、的垂线，垂足分别为、， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 又，， 平分， ； （3）解：式子的值不发生改变， 如图，连接， ，，点D为的中点， ，，，， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ， 式子的值不发生改变，值为4． 13．（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 14．（1）解：由图象可知，“追风”提速前的速度为：， 故提速后的速度为：， ∴m的值为：， 故“闪电”的速度为：， ∴n的值为：； （2）解：∵“闪电”首先从甲地出发，并始终保持匀速前进， ∴，且到达终点所用的时间为： 当时，“追风”在原地不动，此时， 当时，“追风”的速度为，此时， 当时，“追风”的速度为，此时， 当“追风”到达终点时，，得到， ∴“闪电”行走的路程， “追风”行走的路程； （3）解：由题意得： 当时，，故，， 当时，，故，，不合题意舍去； 当时，相遇前“闪电”在前面，相遇后“追风”在前面，故， ∴或， 解得：或， 当时，在“追风”已经到达乙地，不在运动，此时“闪电”运动继续向前运动，当“闪电”距离终点10米时，即为“闪电”和“追风”之间的距离为10米， ∴，解得， ∴综上，的取值可以为或或或． 15．（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数为． （2）解：①当时，作轴垂足为M， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ②当时，作轴垂足为N， 同理得， ∴，， ∴， ∴D点坐标为或． （3）解：当时，，则P的坐标为或， 当时，则P的坐标是， 当时，作轴垂足为K，设P的坐标为， 在中，∵，，， ∴， 解得， 此时P的坐标是， 综上可知P的坐标为或或或． 16．（1）解：设每箱可乐和雪碧的进价分别是，元， 解得 答：每箱可乐和雪碧的进价分别是45元，60元． （2）设可乐购进了箱，则雪碧购进了箱， 根据题意得：， 可乐的购进数量不超过雪碧的2倍， ，解得． 又可乐的购进数量最少为150箱， ． （）． （3）根据题意得：， 当，即时，随的增大而增大， ， 当时，最大，此时． 当，即时，随的增大而减小， ， 当时，最大，此时． 当，即时，，保持不变． 综上所述，当时，购进可乐200箱、雪碧100箱，最大利润为元；当时，购进可乐150箱、雪碧150箱，最大利润为元；当时，购进可乐在150箱至200箱之间任意数量，利润均为4000元． 17．（1）解：当时，， 当时，， 当时，； ②当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： ③函数，当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： 由图可知，函数的图象可由的图象向右平移0.5个单位得到； （2）解：结合图象，函数的图象经过第一、二象限； 当时，， 解得：， ∴时，值随值的增大而增大；图象关于直线对称； 函数当时，有最小值为0， 若，当时，， 当时，， ∴若，当时，； 故说法正确的有：A、C、D； （3）解：当时，函数； 当时，函数， 把，代入， 解得：或； 把，代入， 解得：或； 结合上图，当的图象根据a的不同，在坐标系中左右平移时，对于任意的都满足关于x的不等式， 则的图象的两个临界情况分别是右侧分支经过点和左侧分支经过点， 即的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小， 当时，对于任意的都满足关于x的不等式， ∴a的取值范围为． 18．（1）解：由题意：，， 设直线的解析式为，则有， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：； （2）解：①∵直线将的面积分为两部分， ∴或， 在中，当时，；当时，， ∴，， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图1中，过点D作轴于点H，则， ∴， ∴或， 设，由题意知， 过点Q作轴于点M，则， ∴或， 解得或， 当时，； 当时，， ∴Q的坐标为或； ②分以下两种情况讨论： 当点D落在x轴正半轴上（记为点）时，如图2中． 由（2）知，， ∴， 由翻折得， 在和中， ， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， ∴轴， ∴点Q的纵坐标为3， 在中，当时，， ∴， 当点D落在y轴负半轴上（记为点）时，如图3中． 过点Q作，，垂足分别为点M、N， 由翻折得， ∴， 由（2）知，即， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴点Q的横坐标为， 在中，当时，， ∴． 综合知，点Q的坐标为或． 19．（1）解：设直线的函数表达式为， 把点A、B的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线的函数表达式得：， 解得：， 即点D的坐标为； （2）解：连接，如图， 对于，令，得；对于，令，得； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点E、点P到的距离相等， ∴的面积等于的面积， 而 ， ∴； （3）解：连接并延长，交直线于点N， ∵， ∴当点P与点N重合时，取得最大值， 设直线解析式为， 把代入得：， ∴， 即直线解析式为， ∵， ∴设直线解析式为， 把点代入中，得， ∴直线解析式为， 令，解得：， ∴， ∴； 当时，如图， 由于A、P两点的横坐标相同，连接，则轴，过点E作于M，过点作交的延长线于点T， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为1，纵坐标为， 即； 当时，同理证明， 得， ∴； 当，时，如上图，此时点Q为线段的垂直平分线与的交点，也是的中点，见上图， 则，即； 综上，满足条件的点Q的坐标为或或． 20．（1）解：当时， 可得：， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，过点作， 由(1)可知点的坐标是，点的坐标是， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 则有， 解得：， 直线的解析式是； （3）解：点的纵坐标是且在直线上， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 的面积是； （4）解：如下图所示，当点与点关于轴对称时，， 点的坐标是， 点的坐标是； 如下图所示，当，时，过点作， 则有，， 当时， 可得：， 解得：， ， ， 点的坐标是； 如下图所示，当与关于轴对称时，， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或或． 学科网（北京）股份有限公司 $