第六章 计数原理（单元自测·基础卷）数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高中数学单元自测 第六章 计数原理·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B C D B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC BD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14．； 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（1）求满足的正整数的值． （2）计算：． 15.解：（1）因为，所以， 所以，所以， 所以或．又因为，所以．..........................7分 （2）．.........................13分 16.（15分）已知的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:1. (1)求m的值； (2)求展开式中含的项. 16.解：（1）由的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:1，得， 所以. .........................7分 （2）由（1），的展开式的通项公式为， 由，解得， 所以展开式中含的项为. .........................15分 17.（15分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 17.解：（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. .........................4分 （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. ............8分 （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. .........................9分 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种；.........................13分 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. .........................15分 18.（17分）已知， (1)求； (2)求； (3)求． 18.解：（1）令，得， 令，得， 所以． .........................5分 （2）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． .........................10分 （3）对两边同时求导， 可得， 令，可得． .........................17分 19.（17分）已知，函数. （1）当时，求函数展开式中含的一次项系数之和； （2）当时， ①求函数展开式中的常数项； ②证明：. 19.解：（1）当时， ； 所以展开式中含的一次项系数之和为 . .........................5分 （2）①当时， ； 所以展开式中的常数项为. .........................10分 ②因为分别是二项式 的展开式中含的系数， 所以原恒等式左边就是多项式中含的系数，.........................11分 设， 则 两式相减得 且时， 整理得；.........................15分 上式中含有的系数为； 比较系数可得. .........................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高中数学单元自测 第六章 计数原理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．19 B．20 C．40 D．200 【答案】A 【解析】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为.故选：A. 2.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【解析】至少买其中两本，包括买两本和买三本两种情况.买两本的方案数为种，买三本的方案数为种，所以购买方案共有种.故选：A. 3.集合，从中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（   ） A．12 B．11 C．8 D．6 【答案】B 【解析】个位数取自集合，十位数取自集合，共有个，个位数取自集合，十位数取自集合，共有个，这两类中重复的有数字，故所有样本点的个数为.故选：B. 4.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【解析】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法，捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法，再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式.故选：C. 5.自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818…，若用欧拉数的前5位数字2、1、7、8、2设置一个5位数的密码，则不同的密码有（    ）个. A．120 B．240 C．180 D．60 【答案】D 【解析】用欧拉数的前5位数字2、1、7、8、2设置一个5位数的密码，则不同的密码有.故选：D. 6.若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（   ） A．-240 B．240 C．15 D．-15 【答案】B 【解析】根据题意有，解得，故二项式展开式的通项公式为： ，令，求得，则展开式的常数项为：. 故选：B. 7.用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）    A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】C 【解析】设四种颜色分别为1、2、3、4，（1）四种颜色都用：先涂区域，有4种填涂方案，不妨设涂颜色1，再涂区域，有3种填涂方案，不妨设涂颜色2，再涂区域，有2种填涂方案，不妨设涂颜色3， 若区域填涂颜色2，则区域填涂颜色1、4或4、3，若区域填涂颜色4，则区域填涂颜色1、3或4、3，共4种不同的填涂方法.由分步乘法计数原理可得，共有种不同的涂法.（2）四种颜色只用其中的三种颜色：即当同色，同色，同色，共有种不同的涂法.综上所述，根据分类相加计数原理可得，共有种不同涂法.故选：C. 8.某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（   ） A．720 B．1480 C．1080 D．1440 【答案】D 【解析】由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”.当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为，最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为，根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为；当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为，再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为，最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为，根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为.根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为.故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 【答案】AC 【解析】对于A，共有种不同的坐法，故A正确；对于B，空位不相邻的坐法有种，故B错误；对于C，空位相邻的坐法有种，故C正确； 对于D，两端不是空位的坐法有种，故D错误，故选：AC. 10.已知，若能被5整除，则的取值可以是（    ） A．6 B．7 C．11 D．12 【答案】BD 【解析】，所以的个位数是，若能被5整除，则除以余数应该是，故B、D合题．故选：BD． 11.某班要举办一次学科交流活动，现安排 这五名同学负责语文，数学，英语，物理学科相关工作． 则下列说法中正确的是（    ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有 种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有 240 种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人， 其余学科安排一人， 则有 60 种不同的方案 D．若每人至多安排一门学科，其中安排 和 负责语文、数学工作，其余三人中任选两人负责英语、 物理工作， 则有 12 种不同的方案 【答案】BCD 【解析】这五人每人任选一门学科，则不同的选法有 种，故A错误；根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人，我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种 ，根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确；若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种，根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确；安排 和 负责语文、数学工作，共有种安排，其余三人中任选两人负责英语、 物理工作，共有种安排，根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若，则 ． 【答案】 【解析】由二项式系数性质可得，即可得.故答案为：. 13.已知，则 . 【答案】 【解析】，展开式的通项为，令，可得；令，可得.则项的系数为.故答案为：76. 14.在下图的方格表中选个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，且选中方格中的数字之积为0并能够排成一个4位数，则共有 种排法；在符合上述要求的4位数中，最大的数为 ． 0 1 2 3 1 2 8 7 2 3 5 5 3 4 4 6 【答案】 【解析】因为选中方格中的数字之积为0并排成一个4位数，所以第1行只能选0，第2行只能从中选一个，有种，同理第3行有种，第4行有种，且0不能在千位上，先排千位有种，剩下的三位有种，所以共有种排法；因为组成的4位数最大，则0要放在个位上，千位选剩余可选数字中的最大数即8，百位选6，十位选3，故最大的数为8630．故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（1）求满足的正整数的值． （2）计算：． 15.解：（1）因为，所以， 所以，所以， 所以或．又因为，所以．..........................7分 （2）．.........................13分 16.（15分）已知的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:1. (1)求m的值； (2)求展开式中含的项. 16.解：（1）由的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:1，得， 所以. .........................7分 （2）由（1），的展开式的通项公式为， 由，解得， 所以展开式中含的项为. .........................15分 17.（15分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 17.解：（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. .........................4分 （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. ............8分 （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. .........................9分 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种；.........................13分 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. .........................15分 18.（17分）已知， (1)求； (2)求； (3)求． 18.解：（1）令，得， 令，得， 所以． .........................5分 （2）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． .........................10分 （3）对两边同时求导， 可得， 令，可得． .........................17分 19.（17分）已知，函数. （1）当时，求函数展开式中含的一次项系数之和； （2）当时， ①求函数展开式中的常数项； ②证明：. 19.解：（1）当时， ； 所以展开式中含的一次项系数之和为 . .........................5分 （2）①当时， ； 所以展开式中的常数项为. .........................10分 ②因为分别是二项式 的展开式中含的系数， 所以原恒等式左边就是多项式中含的系数，.........................11分 设， 则 两式相减得 且时， 整理得；.........................15分 上式中含有的系数为； 比较系数可得. .........................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高中数学单元自测 第六章 计数原理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．19 B．20 C．40 D．200 2.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 3.集合，从中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（   ） A．12 B．11 C．8 D．6 4.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 5.自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818…，若用欧拉数的前5位数字2、1、7、8、2设置一个5位数的密码，则不同的密码有（    ）个. A．120 B．240 C．180 D．60 6.若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（   ） A．-240 B．240 C．15 D．-15 7.用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）    A．72 B．96 C．120 D．144 8.某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（   ） A．720 B．1480 C．1080 D．1440 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 10.已知，若能被5整除，则的取值可以是（    ） A．6 B．7 C．11 D．12 11.某班要举办一次学科交流活动，现安排 这五名同学负责语文，数学，英语，物理学科相关工作． 则下列说法中正确的是（    ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有 种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有 240 种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人， 其余学科安排一人， 则有 60 种不同的方案 D．若每人至多安排一门学科，其中安排 和 负责语文、数学工作，其余三人中任选两人负责英语、 物理工作， 则有 12 种不同的方案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若，则 ． 13.已知，则 . 14.在下图的方格表中选个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，且选中方格中的数字之积为0并能够排成一个4位数，则共有 种排法；在符合上述要求的4位数中，最大的数为 ． 0 1 2 3 1 2 8 7 2 3 5 5 3 4 4 6 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（1）求满足的正整数的值． （2）计算：． 16.（15分）已知的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:1. (1)求m的值； (2)求展开式中含的项. 17.（15分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 18.（17分）已知， (1)求； (2)求； (3)求． 19.（17分）已知，函数. （1）当时，求函数展开式中含的一次项系数之和； （2）当时， ①求函数展开式中的常数项； ②证明：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高中数学单元自测 第六章 计数原理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．19 B．20 C．40 D．200 2.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 3.集合，从中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（   ） A．12 B．11 C．8 D．6 4.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 5.自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818…，若用欧拉数的前5位数字2、1、7、8、2设置一个5位数的密码，则不同的密码有（    ）个. A．120 B．240 C．180 D．60 6.若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（   ） A．-240 B．240 C．15 D．-15 7.用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）    A．72 B．96 C．120 D．144 8.某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（   ） A．720 B．1480 C．1080 D．1440 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 10.已知，若能被5整除，则的取值可以是（    ） A．6 B．7 C．11 D．12 11.某班要举办一次学科交流活动，现安排 这五名同学负责语文，数学，英语，物理学科相关工作． 则下列说法中正确的是（    ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有 种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有 240 种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人， 其余学科安排一人， 则有 60 种不同的方案 D．若每人至多安排一门学科，其中安排 和 负责语文、数学工作，其余三人中任选两人负责英语、 物理工作， 则有 12 种不同的方案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若，则 ． 13.已知，则 . 14.在下图的方格表中选个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，且选中方格中的数字之积为0并能够排成一个4位数，则共有 种排法；在符合上述要求的4位数中，最大的数为 ． 0 1 2 3 1 2 8 7 2 3 5 5 3 4 4 6 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（1）求满足的正整数的值． （2）计算：． 16.（15分）已知的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:1. (1)求m的值； (2)求展开式中含的项. 17.（15分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 18.（17分）已知， (1)求； (2)求； (3)求． 19.（17分）已知，函数. （1）当时，求函数展开式中含的一次项系数之和； （2）当时， ①求函数展开式中的常数项； ②证明：. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $