周测评(十七) 平面向量的应用-【衡水真题密卷】2025-2026学年高一下册数学学科素养周测评

只有拼出来的美丽，没有等出来的辉煌 2025一2026学年度高一学科素养周测评（十七） 数学·平面向量的应用 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 断地震发生的方向.现要在相距200km 24分。在每小题给出的四个选项中，只 的甲、乙两地各放置一个地动仪，甲在乙 有一项是符合题目要求的。 的南偏西30°方向，若甲地地动仪正东方 题号 1 2 3 4 位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的 铜丸落下，则地震的位置距离甲地 答案 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,已知a=8,A=30°，则 △ABC外接圆的半径为 () A.82 B.4 C.8 D.163 3 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 A.50(/2+3)km 别为a,b,c,且b=ccos A,则△ABC的 B.100(3+1)km 形状为 () C.75(3+1)km A.正三角形 D.120(/2+√3)km B.直角三角形 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 C.等腰直角三角形 12分。在每小题给出的选项中，有多项 D.等腰三角形 符合题目要求。全部选对的得6分，部 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 分选对的得部分分，有选错的得0分。 为a,b,c,△ABC的面积SAABC=√5，且 题号 5 6 S△ABC= 3 4 (a2+c2-b2),则AB.BC= 答案 5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 A.3 B.-3 别为a,b,c,且a=5,b=6,c=7,下列说 C.2 D.-2 法正确的是 () 4.如图为地动仪的模型图，当地震发生时， A.sin A sin B sin C=5:6:7 樽体会出现摇晃和震荡，但都柱保持静 B.cos A cos B cos C=5:6:7 止，都柱和樽体之间存在相对运动，从而 C.△ABC是锐角三角形 触发地动仪的机关，使对应方向龙嘴张 D.△ABC的最大内角是最小内角的 开，铜球掉落到对应的蟾蜍口中，以此判 2倍 高一学科素养周测评（十七）数学第1页（共2页） 6.在△ABC中，A-5,AB=2,则下列说 10.(30分)在△ABC中，内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,已知a(sinB十cosB) 法正确的是 () A.若BC=1,则符合条件的△ABC有且 =c. (1)求A; 只有1个 B.若BC=√2，则符合条件的△ABC有 (2)若c=√2，a=√5，D为BC的中点， 求AD. 且只有2个 C.若BC=2,则符合条件的△ABC有且 只有2个 7 D.若BC=2,则不存在这样的△ABC 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。 7.在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C 所对的边，且a,b是方程x2一5x+6=0 的两个根，C=60°，则c= 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB =3,CD=2,AD=√3，∠BAD=90°.若 P为线段AB上的动点，则CP·DP的 最大值为 P B 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(22分)在△ABC中，内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,已知c·cosA十c =√3 asin C. (1)求A; (2)若△ABC的面积为9√3，周长为18， 求a. 高一学科素养周测评（十七）数学第2页（共2页）真题密卷 学科素养周测评 解得入> 3 且A≠2， 则市-店+1市-（士2小 即实数入的取值范围为(- 2)U2,+. f3m+1_5 2 3t, (22分) 故 51-m)_ 10.解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的平面 2 3t, 直角坐标系， 解得1- (15分) VA 2曲于D应-AD,设E号+A,》则A花- (侵+》由得-（售） 若AELAF,则A正.正-（经+A)+百× =2.0市-(}）成=(2》 -0,解得X=-手 2 (22分) 则床-号c-(3》 82得A-(得，）a=(居+，》， 因此正-花+萨-（停，》， (8分) 则破+正-（告+，2）， 设=x+市-(2x+, 可得+-得++≥品 1 5 2 2x+ 2y=3’ x= 3 当且仅当入= 解得 号时，等号成立， √33 2 2y=3 y-3’ 所以花+的取值范围为 + 所以正-号正+a, (12分) (30分) 若市=床-（得停，且BP,D三放共线， 2025一2026学年度高一学科素养周测评（十七） 数学·平面向量的应用 一、选择题 1 8 =2 acsin B,所以acsin B=23,又S△Aac a 1.C【解析】由正孩定理可得，sinA= =16= 2 a+c2-6),则56 0a2+c2-b)= 2acsin B, 2R,故R=8,即△ABC外接圆的半径为8. 所以5，a3+--月cosB=snB, b2+c2-a2 2ac 2.B【解析】由余弦定理可得，b=c· 2bc 所以tanB=sinB co8B5,因为B∈(0，)，所以B 化简得c2=a2十b2,由勾股定理的逆定理可知 △ABC是以角C为直角的直角三角形. 3,cos B=1 2,sin B3 ?,所以ac=4,所 3.D【解析】因为△ABC的面积SAAc=√3 AB.BC=accos(-B)=-2. ·6 ·数学· 参考答案及解析 4.B【解析】如图，A点为甲地，B点为乙地，C点 为地震的位置，依题意，∠BAC=60°，∠ABC= 75°，C=45°，AB=200km, A C (C) 图2 如图3，当BC=2时，圆B与射线AC有两个交 309 点，但其中一个交点为A点本身，故符合条件的 C △ABC有且只有1个，故C错误； B AC AB 由正弦定理得，sin∠ABC一sinC' 7c 200 故AC sin45° ·sin75°=200√2sin(45°+30) 图3 =0x竖×+竖x》 当BC-弓时，网B与AC无交成，故不存在这样 2 的△ABC,故D正确. =100(3+1)km. 解法二：设△ABC内角A,B,C的对边分别为a, 二、选择题 bcs 5.AC【解析】对于A,由正弦定理可得sinA: 由余弦定理得cosA=2十c2-a2_b-a2+4 sinB:sinC=a:b:c=5:6:7,故A正确； 2bc 对于B,由余弦定理可得cosA=6+c2-a2 2bc 8,即62-236-a2+4=0.当a=1时，6 ,cosB=a2+c2-6219 5 2√3b十3=0，此时b有且仅有一个解b=√3，故 2ac 5cosC=a2+62-c2 2ab A正确；当a=√2时，b2-23b十2=0，解得b1= 1 =5,所以cosA:CosB:cosC≠516：7，故B √3-1，b2=√3十1，故B正确；当a=2时，b2 -2√3b=0,解得b1=0(舍去)，b2=2√3，故C错 错误；对于C,因为a<b<c,所以C为最大角，又 1 因为cosC=>0,故C为锐角，所以△ABC为 误：当a=)时，b2一236十=0，该方程无解， 故D正确. 锐角三角形，故C正确；对于D,由题意知，A为 三、填空题 最小角，又c0s2A=2c0s2A-1=2×(》°-1= 7.√7【解析】由题意得a+b=5,ab-6,又C =60°，则由余弦定理得，c2=a2十b2-2 abcos C 49≠cosC,所以C≠2A,故D错误. =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=25-18=7,所 以c=√7， 6.ABD【解析】解法一：以B为圆心，BC的长为 8.6【解析】以A为坐标原点，AB,AD所在直线 半径画圆，记为圆B.如图1，当BC=1时，圆B 分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标 恰与AC相切，故符合条件的△ABC有且只有1 系，则A(0,0),B(3,0),C(2,√5)，D(0,√3)，设 个，故A正确； P(x,0),其中0≤x≤3，则CP=(x-2, B -3),DP=(x,-√3)，所以CP·DP=x(x-2) +3=x2-2x+3=(x-1)2+2,所以当x=3 时，CP·DP有最大值，最大值为6 图1 如图2，当BC=√2时，圆B与射线AC有两个交 点，故符合条件的△ABC有且只有2个，故B 正确； 。7 真题密卷 学科素养周测评 四、解答题 即sin Asin B=cos Asin B,又B∈(0，π)，所以 9.解：(l)由正弦定理得，√3 sin Asin C=sinC· sin B>0, (cos A+1), 所以sinA=cosA,所以tanA=1,又A∈(0， 又sinC>0,故W3sinA-cosA=1, ,所以A=子 (15分) 所以sn(A-)= (5分) (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A, 因为在△ABC中，0<A<π， 则有5=b2+2-2b,解得b=3或b=-1(舍去). (20分) 所以看<A晋<晋则A-后-吾 6=6,故A=3 因为D为BC的中点，所以A市-分(A应 (11分) +AC), (2)因为S△ABc=2 besin A=9,3,所以bc=36, 所以A市：=年(A+AC+2A店·AC) 1 (15分) 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A,即a2=b2 ×(2+9+2xw×3x)- = +c2-bc=(b+c)2-3bc, 即a2=(18-a)2-108,解得a=6. (22分) 所以AD=7 (30分) 10.解：(1)因为a(sinB+cosB)=c, 由正弦定理得sinA(sinB+cosB)=sinC, (5分) 在△ABC中，sinC=sin(A+B), 则有sinA(sinB+cosB)=sin(A+B), 所以sin Asin B+sin Acos B=sin Acos B+ cos Asin B, 2025一2026学年度高一学科素养周测评（十八） 数学·复数 一、选择题 |a=土3，a=0, 或 所以x=士2，x=士3，x= 1.A【解析】因为复数之=1十√3i,所以乏=1-3i, b=0 b=士1， 即之的虚部为一√3. 士i,故方程x2-5|x十6=0的解的个数为6. 2A【佩标】商期移得：干名 二、选择题 4-(2m+2i-m_4-m_(2m+2)i为实数，所 5.AC【解析】对于A,由之=1-i,得之=1+i,所 5 5 5 以它z=(1-i)(1十i)=1-=2,故A正确；对于 以-2m十2=0，解得m=-1. B,x+zi=1-i+(1+i)i=1-i+i+i2=0,故B 5 错误；对于C,|之2=2,2=(1十i)2=1+2i+2 3.A【解析】由题意得之=1十2i,所以|z-3|= |1+2i-3-|-2+2i=√/(-2)2+22-2√2. =21,所以之=i,故C正确；对于D,之-=1- 4.C【解析】设x=a十bi(a,b∈R),则原方程即 i-(1+i)=-2i,而-2=1+i-2=-1+i 为(a+bi)2-5√a2+b+6=0, =一1一i,故D错误. 得0-6-5va+6+6=0·故 a=士2， 或 6.ACD【解析】由题意，之1一之2=(cosa一cosβ)十 2ab=0, 6=0 i (sin a-sin B),(cos a-cos B)2+(sin a-sin B)2 ·8