专题7.5 平行线的判定（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

本初中数学讲义聚焦平行线的判定核心知识点，系统梳理同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等5种判定方法，衔接相交线与平行线性质，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过图示直观呈现判定方法，设计即学即练与分层题型，如旋转三角尺判定平行培养空间观念，证明题补充过程强化推理意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固应用，提升数学思维与表达能力。

专题7.5 平行线的判定 教学目标 1. 掌握平行线的判定方法并能够熟练的判定两直线平行。 教学重难点 1. 重点 （1）平行线的判定。 2. 难点 （1）确定并条件平行线的判定条件； （2）根据平行进行求角度； （3）对平行线进行判定证明。 知识点01 平行线的判定 1. 平行线的判定方法： 判定方法 文字语言 图示 数学语言 方法1 同位角相等，两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴ 方法2 内错角相等，两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴ 方法3 同旁内角互补，两直线平行 ∵∠1＋∠2＝180° ∴ 方法4 平行于同一直线的两直线平行 ∵， ∴ 方法5 垂直于同一直线的两直线平行 ∵， ∴ 【即学即练1】 1．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中不能判定a∥b的是（　　） A．∠1+∠4＝180° B．∠3+∠4＝180° C．∠2＝∠3 D．∠3＝∠4 【答案】D 【解答】解：A、由∠1+∠4＝180°，∠2+∠4＝180°，得到∠1＝∠2，判定a∥b，故A不符合题意； B、由对顶角相等得到∠3和∠4的对顶角互补，判定a∥b，故B不符合题意； C、由内错角相等，两直线平行判定a∥b，故C不符合题意； D、两个角不是同位角，也不是内错角，不能判定a∥b，故D符合题意． 故选：D． 【即学即练2】 2．如图，添加下列条件，其中不能判定l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5 C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180° 【答案】C 【解答】解：∵∠1＝∠3， ∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行）， 故A不符合题意； ∵∠4＝∠5， ∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行）， 故B不符合题意； 由∠2＝∠3，不能判定l1∥l2， 故C符合题意； ∵∠2+∠4＝180°， ∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）， 故D不符合题意； 故选：C． 【即学即练3】 3．如图，∠BAC＝75°，过边AB上一定点O作直线OD，经测量∠AOD＝122°，要使OD∥AC，则直线OD绕着点O按顺时针方向至少旋转（　　） A．8° B．10° C．12° D．17° 【答案】D 【解答】解：∵∠AOD＝122°，∠BAC＝75°， ∴∠BOD＝180°﹣122°＝58°， ∵OD′∥AC， ∴∠BOD′＝∠BAC＝75°， ∴∠DOD′＝∠BOD′﹣∠BOD＝75°﹣58°＝17°． 故选：D． 【即学即练4】 4．如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C＝90°．CF与BD平行吗？为什么． 解：CF∥BD．理由如下： 因为BD⊥BE（　已知　 ）， 所以∠DBE＝　90°　 （垂直的定义）， 所以∠1+∠2＝180°﹣∠DBE＝90°（　平角的定义　 ）． 因为∠1+∠C＝90°（已知）， 所以∠2＝∠C（　同角的余角相等　 ）， 所以CF∥DB（　同位角相等，两直线平行　 ）． 【答案】已知；90°；平角的定义；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【解答】解：CF∥BD．理由如下： 因为BD⊥BE（已知）， 所以∠DBE＝90°（垂直的定义）， 所以∠1+∠2＝180°﹣∠DBE＝90°（平角的定义）． 因为∠1+∠C＝90°（已知）， 所以∠2＝∠C（同角的余角相等）， 所以CF∥DB（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；90°；平角的定义；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【即学即练5】 5．在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据． 已知：如图，AB⊥BC，AE⊥ED，若∠1+∠2＝90°． 求证：AB∥CD． 证明：∵AB⊥BC， ∴∠1+　∠AEB ＝90°（垂直的定义）， 又∵AE⊥DE， ∴∠AEB +∠DEC ＝90°， ∴∠1＝∠DEC （ 　同角的余角相等　 ）， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2+∠DEC ＝90°， ∴∠C ＝90°， ∴∠B +∠C ＝180°， ∴AB∥CD（ 　同旁内角互补，两条直线平行　 ）． 【答案】∠AEB；AEB；DEC；DEC；同角的余角相等；DEC；C；B；C；同旁内角互补，两条直线平行． 【解答】证明：∵AB⊥BC， ∴∠1+∠AEB＝90°（垂直的定义）， 又∵AE⊥DE， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠1＝∠DEC（同角的余角相等）， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2+∠DEC＝90°， ∴∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两条直线平行）． 故答案为：∠AEB；AEB；DEC；DEC；同角的余角相等；DEC；C；B；C；同旁内角互补，两条直线平行． 题型01 确定平行线的判定条件 【典例1】如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠6 C．∠4＝∠5 D．∠1+∠3＝180° 【答案】B 【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，不能判定AB∥CD，故A错误； B．当∠4＝∠6时，根据内错角相等，两直线平行，可判定AB∥CD，故B正确； C．∠4与∠5不是同位角、内错角，不能判定AB∥CD，故C错误； D．当∠1+∠3＝180°时，∠1+∠2＝180°，可得EF∥GH，不能判定AB∥CD，故D错误． 故选：B． 【变式1】如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判断AB∥CD的是（　　） A．∠5＝∠B B．∠1＝∠2 C．∠B+∠BCD＝180° D．∠3＝∠4 【答案】D 【解答】解：A、当∠5＝∠B时，AB∥CD，不合题意； B、当∠1＝∠2时，AB∥CD，不合题意； C、当∠B+∠BCD＝180°时，AB∥CD，不合题意； D、当∠3＝∠4时，AD∥CB，符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，在下列条件中，不能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠3＝∠2 C．∠BAD+∠ABC＝180° D．∠BAD+∠ADC＝180° 【答案】D 【解答】解：A．∵∠1＝∠4， ∴AD∥BC，故选项A不符合题意； B．∵∠3＝∠2， ∴AD∥BC，故选项B不符合题意； C．∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC，故选项C不符合题意； D．∵∠BAD+∠ADC＝180°， ∴AB∥CD，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式3】将一块三角尺ABC（∠ABC＝30°）按如图所示的方式摆放，使A，B两点分别落在直线m，n上．给出下列条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠3＝50°；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．其中，能判断直线m∥n的条件有　①④⑤　 （填序号）． 【答案】①④⑤． 【解答】解：∵∠1＝25.5°，∠2＝55°30′，∠ABC＝30°， ∴∠ABC+∠1＝55.5°＝55°30′＝∠2， ∴m∥n， 故①符合题意； ∵∠1+∠3＝50°，∠ABC＝30°，∠BAC＝90°， ∴∠1+∠ABC+∠BAC+∠3＝170°， ∴m和n不平行， 故②不符合题意； ∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行， 故③不符合题意； 过点C作CE∥m， ∴∠3＝∠ACE， ∵∠ACB＝∠1+∠3，∠ACB＝∠ACE+∠BCE， ∴∠1＝∠BCE， ∴EC∥n， ∴m∥n， 故④符合题意； ∵∠ABC＝∠2﹣∠1， ∴∠2＝∠ABC+∠1， ∴m∥n， 故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 题型02 添加平行线的判定条件 【典例1】如图，添加下列条件能够判断DE∥BC的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠3+∠C＝180° D．∠1+∠3＝180° 【答案】D 【解答】解：A、由内错角相等，两直线平行判定EF∥AC，不能判定DE∥BC，故A不符合题意； B、由同位角相等，两直线平行判定EF∥AC，不能判定DE∥BC，故B不符合题意； C、由同旁内角互补，两直线平行判定EF∥AC，不能判定DE∥BC，故C不符合题意； D、由同旁内角互补，两直线平行判定DE∥BC，故D符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，添加下列一个条件后，不能判定BC∥AD的是（　　） A．∠1＝∠2+∠3 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠5 D．∠D+∠4+∠5＝180° 【答案】B 【解答】解：A：∵∠1＝∠2+∠3，∴AD∥BC，故A不符合题意； B：∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故B符合题意； C：∵∠3＝∠5，∴AD∥BC，故C不符合题意； D：∵∠D+∠4+∠5＝180°，∴AD∥BC，故D不符合题意； 故选：B． 【变式2】老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得AB∥CD，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下： 甲：∠B+∠BCD＝180°； 乙：∠1＝∠2； 丙：∠B＝∠DCE； 丁：∠3＝∠4． 则不能得到AB∥CD的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解答】解：甲、当∠B+∠BCD＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，故不符合题意； 乙、∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD，故不符合题意； 丙、当∠B＝∠DCE时，由同位角相等，两直线平行得AB∥CD，故不符合题意； 丁、当∠3＝∠4时，由内错角相等，两直线平行得AD∥BC，故符合题意． 故选：D． 【变式3】如图，一个直角三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ACB＝30°）的两个顶点在直线a，b上，添加下列条件，一定能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠1＝55°，∠2＝20° C．∠ACB＝∠1﹣∠2 D．∠1+∠2＝90° 【答案】C 【解答】解：当∠1＝∠2+∠ACB时，a∥b， ∴当∠ACB＝∠1﹣∠2时，一定能判断a∥b，故C正确，符合题意； A、B、D不能判断直线a∥b，不符合题意， 故选：C． 题型03 根据平行求角度 【典例1】如图，∠1＝60°，下列条件可以证明AB∥CD的是（　　）①∠2＝60°；②∠5＝60°；③∠3＝120°；④∠4＝120°． A．②③④ B．①② C．②④ D．② 【答案】C 【解答】解：①∠2＝60°，∠1和∠2是对顶角，因此不可以证明AB∥CD； ②∠5＝60°，∠2＝∠1＝60°，得到∠5＝∠2，因此可以证明AB∥CD； ③∠3＝120°，∠3与∠1是邻补角，因此不可以证明AB∥CD； ④∠4＝120°，∠2＝∠1＝∠60°，得到∠4+∠2＝180°，因此可以证明AB∥CD． 因此可以证明AB∥CD的是②④． 故选：C． 【变式1】如图，把AB，CD，EF三根木条钉在一起，使之可以在连接点M，N处自由旋转，若∠1＝60°，∠2＝80°，则如何旋转木条AB才能使它与木条CD平行．以下说法正确的是（　　） 小明说：把木条AB绕点M逆时针旋转20°； 小刚说：把木条AB绕点M顺时针旋转150°． A．小明的操作正确，小刚的操作错误 B．小明的操作错误，小刚的操作正确 C．小明和小刚的操作都正确 D．小明和小刚的操作都错误 【答案】A 【解答】解：小明：把木条绕点M逆时针旋转20°， 此时∠1的度数为60°+20°＝80°， 此时∠1＝∠2， ∴AB∥CD， 小刚：把木条绕点M顺时针旋转150°， 此时∠1的度数为150°﹣60°＝90°， ∵90°≠80°， ∴AB不平行CD， 故选：A． 【变式2】如图所示的是杆秤，在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若∠α＝98°，则∠β的度数为（　　） A．78° B．82° C．98° D．108° 【答案】B 【解答】解：∵∠α+∠BCD＝180°，∠α＝98°， ∴∠BCD＝82°， ∵AB∥CD， ∴∠β＝∠BCD＝82°， 故选：B． 题型04 平行线的判定证明 【典例1】如图，已知AE，CE分别是∠BAC，∠ACD的角平分线，且AE⊥CE，垂足为E．求证：AB∥CD． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵∠1+∠3+∠E＝ 　180　 °， ∵AE⊥CE，垂足为E， ∴∠E＝ 　90　 °，∴∠1+∠3＝ 　90　 °， 又∵AE，CE分别是∠BAC，∠ACD的角平分线， ∴∠1＝ 　∠2　 ，∠3＝ 　∠4　 ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝ 　180　 °，即∠BAC+∠ACD＝ 　180　 °， ∴AB∥CD（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ）． 【答案】180；90；90；∠2；∠4；180；180．同旁内角互补，两直线平行． 【解答】证明：∵∠1+∠3+∠E＝180°， ∵AE⊥CE，垂足为E， ∴∠E＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， 又∵AE，CE分别是∠BAC，∠ACD的角平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，即∠BAC+∠ACD＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：180；90；90；∠2；∠4；180；180．同旁内角互补，两直线平行． 【变式1】已知直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°，求证：AB∥CD．请完成下面的证明过程： 证明：∵GH⊥CD（已知）， ∴∠CHG＝　90　 °（　垂直的定义　 ）． 又∵∠2＝30°（已知）， ∴∠3＝　∠CHG﹣∠2　 ＝　60　 °（　等式的性质　 ）． ∴∠4＝60°（　对顶角相等　 ）． 又∵∠1＝60°（已知）， ∴∠1＝　∠4　 （　等量代换　 ）． ∴AB∥CD （　同位角相等，两条直线平行　 ）． 【答案】90，垂直的定义，∠CHG﹣∠2，60，等式的性质，对顶角相等，∠4，等量代换，CD，同位角相等，两条直线平行． 【解答】证明：∵GH⊥CD（已知）， ∴∠CHG＝90°（垂直的定义）． 又∵∠2＝30°（已知）， ∴∠3＝∠CHG﹣∠2＝60°（等式的性质）． ∴∠4＝60°（对顶角相等）． 又∵∠1＝60°（已知）， ∴∠1＝∠4（等量代换）． ∴AB∥CD （同位角相等，两条直线平行）． 故答案为：90，∠CHG﹣∠2，60，等式的性质，对顶角相等，∠4，等量代换，CD，同位角相等，两条直线平行． 【变式2】如图，已知点A、F在线段BG上，点C在线段DE上，连接AD、BC、EF，若∠BFE＝∠DEF，∠GAD＝∠BCE．求证：AD∥BC． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵∠BFE＝∠DEF， ∴AB∥DC， ∴∠B＝∠BCE， ∵∠GAD＝∠BCE， ∴∠B＝∠GAD， ∴AD∥BC． 【变式3】已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB＝40°，∠AED＝80°， 求证：DE∥BC． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠BCD＝80°， ∵∠AED＝80°， ∴∠AED＝∠ACB＝80°， ∴DE∥BC． 1．如图，点E在AD的延长线上，下列条件能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠A＝∠CDE D．∠C+∠ABC＝180° 【答案】B 【解答】解：A、由内错角相等，两直线平行判定AB∥DC，但不能判定AD∥BC，故A不符合题意； B、由内错角相等，两直线平行判定AD∥BC，故B符合题意； C、由同位角相等，两直线平行判定AB∥DC，但不能判定AD∥BC，故C不符合题意； D、由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥DC，但不能判定AD∥BC，故D不符合题意． 故选：B． 2．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 【答案】B 【解答】解：当∠1＝∠3时，a∥b； 当∠4＝∠5时，a∥b； 当∠2+∠4＝180°时，a∥b． 故选：B． 3．如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上都不对 【答案】B 【解答】解：由图可知，∠ABD＝∠BAC＝30°， 根据内错角相等，两直线平行，可得AC∥BD． 故选：B． 4．如图，直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD交AB于点G．下列条件中，不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠4+∠5＝180° D．∠4＝∠2+∠3 【答案】D 【解答】解：A．由∠2＝∠3可得AB∥CD，根据内错角相等，两直线平行，故不符合题意； B．∵FG平分∠EFD交AB于点G． ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， 由∠2＝∠3可得AB∥CD，根据内错角相等，两直线平行，故不符合题意； C．∵∠4+∠5＝180°，∠EFD+∠5＝180°， ∴∠4＝∠EFD， 由∠4＝∠EFD可得AB∥CD，根据同位角相等，两直线平行，故不符合题意； D．∵∠4＝∠2+∠3，∠4＝∠1+∠3， ∴∠1＝∠2， 故符合题意． 故选：D． 5．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行（　　） A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】A 【解答】解：因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4＝90°， 根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行， ∠5和∠2是内错角，如果度量出∠5＝90°， 根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行， ∠3和∠2是同旁内角，如果度量出∠3＝90°， 根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行， 故答案为：A． 6．三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　） A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵a∥b，b∥c， ∴a∥c， ∴a与c平行， 故选：B． 7．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（　　） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．没有确定关系 【答案】B 【解答】解：如图，∵a∥b，a⊥c， ∴c⊥b， 又∵b⊥d， ∴c∥d． 故选：B． 8．下列图形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为选项A、C是矩形，B是平移图形，D中AB与CD相交， ∴AB不平行于CD的是D， 故选：D． 9．如图，直线a、b被直线c所截，若∠2＝36°，要使直线a∥b，则∠1的度数应为（　　） A．36° B．144° C．72° D．54° 【答案】A 【解答】解：∵同位角相等，两直线平行， ∴要使直线a∥b，则∠1＝∠3， ∵∠3＝∠2＝36°， ∴∠1＝36°． 故选：A． 10．如图，木条a、b被木条c所截，∠1＝75°，∠2＝55°，若要使a∥b，则木条b须绕交点顺时针转动的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．55° 【答案】B 【解答】解：∵a∥b， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝75°，∠2＝55°， ∴木条b须绕交点顺时针转动的度数为75°﹣55°＝20°， 故选：B． 11．如图，在四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，若使得AB∥DC，则添加的条件可以是 　∠C＝∠CBE（答案不唯一）　 （填出一个即可）． 【答案】∠C＝∠CBE（答案不唯一）． 【解答】解：当∠C＝∠CBE时，由内错角相等，两直线平行，推出AB∥DC， ∴添加的条件可以是∠C＝∠CBE（答案不唯一）． 故答案为：∠C＝∠CBE（答案不唯一）． 12．如图，下列条件中：①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件有 　③④　 （填写序号）． 【答案】③④ 【解答】解：∵∠B+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC，故①不符合题意； ∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC，故②不符合题意； ∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD，故③符合题意； ∵∠B＝∠5， ∴AB∥CD，故④符合题意； 故答案为：③④． 13．如图，当∠1＝∠　4　 时，AB∥DC；当∠DCB+∠D ＝180°时，AD∥BC． 【答案】4，D． 【解答】解：∵内错角相等，两直线平行， ∴当∠1＝∠4时，AB∥DC； ∵同旁内角互补，两直线平行， ∴当∠DCB+∠D＝180°时，AD∥BC． 故答案为：4，D． 14．如图，点D，E，F分别在AC，AB，BC上，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则BC ∥DE ． 【答案】BC，DE． 【解答】解：由题知， ∵DF平分∠CDE，∠CDF＝55°， ∴∠CDE＝2∠CDF＝110°． 又∵∠C＝70°， ∴∠C+∠CDE＝180°， ∴BC∥DE． 故答案为：BC，DE． 15．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝96°，∠2＝67°，要使木条a与b平行，木条b旋转的度数是　29°或151°　 ．（旋转度数在0°至180°之间） 【答案】29°或151°． 【解答】解：∵当∠2＝∠1＝96°时， 根据同位角相等，两直线平行，可得到木条a与b平行， ∴要使木条a与b平行， ①当木条b逆时针旋转时， 旋转度数为96°﹣67°＝29°， ②当木条b顺时针旋转时， 旋转的度数为180°﹣（96°﹣67°）＝151°， 故答案为：29°或151°． 16．AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？ 解：BE∥DF．理由如下： ∵AB⊥BC，（ 　已知　 ） ∴∠ABC＝ 　90　 °， 即∠3+∠4＝ 　90　 °， 又∵∠1+∠2＝90°，（ 　已知　 ） 且∠2＝∠3， ∴　∠1　 ＝ 　∠4　 ，（ 　等角的余角相等　 ） ∴BE∥DF．（ 　同位角相等，两直线平行　 ） 【答案】已知；90；90；已知；∠1；∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【解答】解：BE∥DF．理由如下： ∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°， 即∠3+∠4＝90°， 又∵∠1+∠2＝90°（已知）， 且∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4（等角的余角相等）， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；90；90；已知；∠1；∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 17．如图，已知∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，∠1＝∠3，试说明：AB∥DC． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC， ∴∠ABC＝2∠1，∠ADC＝2∠2， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴AB∥CD． 18．如图，直线a，b，c被直线l所截，其中∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°．求证：a∥c． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴a∥b， ∵∠2+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°， ∴∠3＝∠4， ∴b∥c， ∴a∥c． 19．如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF． （1）求证：OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF， ∴，， ∴， ∴OC⊥OD； （2）证明：∵∠COD＝90°， ∴∠1+∠BOD＝90°， ∵∠D与∠1互余， ∴∠1+∠D＝90°， ∴∠D＝∠BOD， ∴ED∥AB． 20．在学习平行线的判定条件时，涉及同位角、内错角、同旁内角如图①，在“三线八角”中类比内错角具有∠1与∠8这样位置关系的角称为“外错角”，试完成下面的探究问题 （1）探究定义：如图①，请另写出另外一对“外错角”； （2）猜想判定：外错角相等，两直线平行． 如图②，∠1与∠2是直线a、b被直线c截出的一对外错角，且∠1＝∠2，试说明a∥b． 【答案】（1）∠2和∠7；（2）证明见解答过程． 【解答】（1）解：∵∠1与∠8这样位置关系的角称为“外错角”， ∴∠2和∠7也为“外错角”． （2）证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.5 平行线的判定 教学目标 1. 掌握平行线的判定方法并能够熟练的判定两直线平行。 教学重难点 1. 重点 （1）平行线的判定。 2. 难点 （1）确定并条件平行线的判定条件； （2）根据平行进行求角度； （3）对平行线进行判定证明。 知识点01 平行线的判定 1. 平行线的判定方法： 判定方法 文字语言 图示 数学语言 方法1 同位角相等，两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴ 方法2 内错角相等，两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴ 方法3 同旁内角互补，两直线平行 ∵∠1＋∠2＝180° ∴ 方法4 平行于同一直线的两直线平行 ∵， ∴ 方法5 垂直于同一直线的两直线平行 ∵， ∴ 【即学即练1】 1．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中不能判定a∥b的是（　　） A．∠1+∠4＝180° B．∠3+∠4＝180° C．∠2＝∠3 D．∠3＝∠4 【即学即练2】 2．如图，添加下列条件，其中不能判定l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5 C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180° 【即学即练3】 3．如图，∠BAC＝75°，过边AB上一定点O作直线OD，经测量∠AOD＝122°，要使OD∥AC，则直线OD绕着点O按顺时针方向至少旋转（　　） A．8° B．10° C．12° D．17° 【即学即练4】 4．如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C＝90°．CF与BD平行吗？为什么． 解：CF∥BD．理由如下： 因为BD⊥BE（　 　 ）， 所以∠DBE＝　 　 （垂直的定义）， 所以∠1+∠2＝180°﹣∠DBE＝90°（　 　 ）． 因为∠1+∠C＝90°（已知）， 所以∠2＝∠C（　 　 ）， 所以CF∥DB（　 　 ）． 【即学即练5】 5．在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据． 已知：如图，AB⊥BC，AE⊥ED，若∠1+∠2＝90°． 求证：AB∥CD． 证明：∵AB⊥BC， ∴∠1+　 ＝90°（垂直的定义）， 又∵AE⊥DE， ∴∠ +∠ ＝90°， ∴∠1＝∠ （ 　 ）， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2+∠ ＝90°， ∴∠ ＝90°， ∴∠ +∠ ＝180°， ∴AB∥CD（ 　 　 ）． 题型01 确定平行线的判定条件 【典例1】如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠6 C．∠4＝∠5 D．∠1+∠3＝180° 【变式1】如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判断AB∥CD的是（　　） A．∠5＝∠B B．∠1＝∠2 C．∠B+∠BCD＝180° D．∠3＝∠4 【变式2】如图，在下列条件中，不能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠3＝∠2 C．∠BAD+∠ABC＝180° D．∠BAD+∠ADC＝180° 【变式3】将一块三角尺ABC（∠ABC＝30°）按如图所示的方式摆放，使A，B两点分别落在直线m，n上．给出下列条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠3＝50°；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．其中，能判断直线m∥n的条件有　 　 （填序号）． 题型02 添加平行线的判定条件 【典例1】如图，添加下列条件能够判断DE∥BC的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠3+∠C＝180° D．∠1+∠3＝180° 【变式1】如图，添加下列一个条件后，不能判定BC∥AD的是（　　） A．∠1＝∠2+∠3 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠5 D．∠D+∠4+∠5＝180° 【变式2】老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得AB∥CD，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下： 甲：∠B+∠BCD＝180°； 乙：∠1＝∠2； 丙：∠B＝∠DCE； 丁：∠3＝∠4． 则不能得到AB∥CD的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3】如图，一个直角三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ACB＝30°）的两个顶点在直线a，b上，添加下列条件，一定能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠1＝55°，∠2＝20° C．∠ACB＝∠1﹣∠2 D．∠1+∠2＝90° 题型03 根据平行求角度 【典例1】如图，∠1＝60°，下列条件可以证明AB∥CD的是（　　）①∠2＝60°；②∠5＝60°；③∠3＝120°；④∠4＝120°． A．②③④ B．①② C．②④ D．② 【变式1】如图，把AB，CD，EF三根木条钉在一起，使之可以在连接点M，N处自由旋转，若∠1＝60°，∠2＝80°，则如何旋转木条AB才能使它与木条CD平行．以下说法正确的是（　　） 小明说：把木条AB绕点M逆时针旋转20°； 小刚说：把木条AB绕点M顺时针旋转150°． A．小明的操作正确，小刚的操作错误 B．小明的操作错误，小刚的操作正确 C．小明和小刚的操作都正确 D．小明和小刚的操作都错误 【变式2】如图所示的是杆秤，在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若∠α＝98°，则∠β的度数为（　　） A．78° B．82° C．98° D．108° 题型04 平行线的判定证明 【典例1】如图，已知AE，CE分别是∠BAC，∠ACD的角平分线，且AE⊥CE，垂足为E．求证：AB∥CD． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵∠1+∠3+∠E＝ 　 　 °， ∵AE⊥CE，垂足为E， ∴∠E＝ 　 　 °，∴∠1+∠3＝ 　 　 °， 又∵AE，CE分别是∠BAC，∠ACD的角平分线， ∴∠1＝ 　 　 ，∠3＝ 　 　 ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝ 　 　 °，即∠BAC+∠ACD＝ 　 　 °， ∴AB∥CD（ 　 　 ）． 【变式1】已知直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°，求证：AB∥CD．请完成下面的证明过程： 证明：∵GH⊥CD（已知）， ∴∠CHG＝　 　 °（　 　 ）． 又∵∠2＝30°（已知）， ∴∠3＝　 　 ＝　 　 °（　 　 ）． ∴∠4＝60°（　 　 ）． 又∵∠1＝60°（已知）， ∴∠1＝　 　 （　 　 ）． ∴AB∥ （　 　 ）． 【变式2】如图，已知点A、F在线段BG上，点C在线段DE上，连接AD、BC、EF，若∠BFE＝∠DEF，∠GAD＝∠BCE．求证：AD∥BC． 【变式3】已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB＝40°，∠AED＝80°， 求证：DE∥BC． 1．如图，点E在AD的延长线上，下列条件能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠A＝∠CDE D．∠C+∠ABC＝180° 2．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 3．如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上都不对 4．如图，直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD交AB于点G．下列条件中，不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠4+∠5＝180° D．∠4＝∠2+∠3 5．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行（　　） A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 6．三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　） A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 7．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（　　） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．没有确定关系 8．下列图形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，直线a、b被直线c所截，若∠2＝36°，要使直线a∥b，则∠1的度数应为（　　） A．36° B．144° C．72° D．54° 10．如图，木条a、b被木条c所截，∠1＝75°，∠2＝55°，若要使a∥b，则木条b须绕交点顺时针转动的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．55° 11．如图，在四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，若使得AB∥DC，则添加的条件可以是 　 　 （填出一个即可）． 12．如图，下列条件中：①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件有 　 　 （填写序号）． 13．如图，当∠1＝∠　 　 时，AB∥DC；当∠DCB+∠ ＝180°时，AD∥BC． 14．如图，点D，E，F分别在AC，AB，BC上，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则 ∥ ． 15．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝96°，∠2＝67°，要使木条a与b平行，木条b旋转的度数是　 　 ．（旋转度数在0°至180°之间） 16．AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？ 解：BE∥DF．理由如下： ∵AB⊥BC，（ 　 　 ） ∴∠ABC＝ 　 　 °， 即∠3+∠4＝ 　 　 °， 又∵∠1+∠2＝90°，（ 　 　 ） 且∠2＝∠3， ∴　 　 ＝ 　 　 ，（ 　 　 ） ∴BE∥DF．（ 　 ） 17．如图，已知∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，∠1＝∠3，试说明：AB∥DC． 18．如图，直线a，b，c被直线l所截，其中∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°．求证：a∥c． 19．如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF． （1）求证：OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB． 20．在学习平行线的判定条件时，涉及同位角、内错角、同旁内角如图①，在“三线八角”中类比内错角具有∠1与∠8这样位置关系的角称为“外错角”，试完成下面的探究问题 （1）探究定义：如图①，请另写出另外一对“外错角”； （2）猜想判定：外错角相等，两直线平行． 如图②，∠1与∠2是直线a、b被直线c截出的一对外错角，且∠1＝∠2，试说明a∥b． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $