专题7.2 两条直线垂直（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

本初中数学讲义聚焦“两条直线垂直”核心知识点，系统梳理垂直的定义与表示、垂线的画法（三角板与量角器操作）、垂线段性质及点到直线的距离等内容，形成从概念理解到技能操作再到性质应用的递进式学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固概念，结合挖水渠、跳远成绩测量等生活实例，培养学生几何直观与应用意识。题型分类清晰，从基础计算到性质应用，助力教师课堂教学，也便于学生课后查漏补缺，提升推理能力与数学表达能力。

专题7.2 两条直线垂直 教学目标 1. 掌握垂线的定义及其表示，并能够熟练运用垂直进行计算； 2. 掌握垂线的画法并能够利用三角板或量角器画垂线； 3. 掌握垂线段的性质、点到直线的距离并且能够运用性质进行相关的计算。 教学重难点 1. 重点 （1）垂直的性质及其画法； （2）垂线段的性质及其点到直线的距离。 2. 难点 （1）垂直的画法及其相关计算； （2）垂线段及其性质以及点到直线的距离的理解。 知识点01 垂直的概念 1. 垂直的概念： 两条直线相交形成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。若直线a与直线b垂直，表示为 。 由90°得到垂直是判定，由垂直得到90°是性质。 由邻补角与对顶角的性质可知，若相交线形成的角中有一个角是直角，则四个角均是 。 【即学即练1】 1．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，直线EF经过点O．若∠BOF＝26°，则∠COF＝ 　 ，∠AOE＝ 　 　 ，∠BOE＝ 　 　 ． 【即学即练2】 2．如图，直线AB、CD相交于点M，EM⊥AB，∠EMD：∠DMB＝1：5，则∠BMC的度数是（　　） A．15° B．75° C．105° D．108° 知识点02 垂线的画法及其性质 1. 经过一点作已知直线的垂线的画法： （1） 用三角尺画垂线的步骤： ①三直角三角板的一半与已知直线 。 ②沿已知直线平移直角三角形边，使另一边经过 。 ③沿与已知直线不重合的边画 ，这条直线即为已知直线的垂线。 （2） 用量角器画垂线： ①将量角器的0°刻度线与已知直线 。 ②移动量角器使90°刻度线经过 ，并在90°刻度线上标记另一点。 ③用量角器的底边作过已知点与标记点的直线。 2. 垂线的性质： 在同一平面内，过一点 条直线与已知直线垂直。 【即学即练1】 3．下列选项中，过点A画BC的垂线AD，三角板摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 4．如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（　　） A．两点确定一条直线 B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等，两直线平行 知识点03 垂线段及其性质 1. 垂线段的概念： 过 一点作已知直线的 ，点到 之间的部分叫做垂线段。 2. 垂线段的性质： 直线外一点连接直线上所有点的连线中， 最短。 【即学即练1】 5．为了充分利用水资源，促进农业发展，某村计划从农田的点A处挖一条水渠将不远处的河水引到农田，以便对农作物进行灌溉，现设计的三条路段AB，AC，AD如图所示，村委会选择AB路段到的河边，这样做的道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 知识点04 点到直线的距离 1. 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的 是直线外一点到该直线的距离。 【即学即练1】 6．如图，A，D是直线l1上的两点，B，C是直线l2上的两点，且AB⊥BC，CD⊥AD． （1）点A到直线l2的距离是线段 的长； （2）点A到点B的距离是线段 的长； （3）点C到直线l1的距离是线段 的长； （4）点C到点A的距离是线段 的长． 【即学即练2】 7．如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（　　） A．线段PC的长是点C到直线PA的距离 B．线段AC的长是点A到直线PC的距离 C．PA，PB，PC三条线段中，PB最短 D．线段PB的长是点P到直线a的距离 【即学即练3】 8．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（　　） A．2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．4cm 题型01 与垂直有关的计算 【典例1】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【变式1】如图所示，直线AB，CD相交于点O，OF⊥AB于O，若∠DOB＝30°，则∠DOF＝（　　） A．30° B．120° C．60° D．50° 【变式2】如图，已知直线AB和CD相交于O点，EO⊥CO，OF平分∠AOE，∠COF＝28°，则∠BOD的大小为（　　） A．27° B．34° C．45° D．62° 【变式3】如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD，∠EOF＝146°，∠BOD：∠DOF＝1：2，则∠AOF的度数为（　　） A．96° B．95° C．94° D．93° 题型02 垂线段及其性质的应用 【典例1】如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．垂直的定义 【变式1】如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边乘车到学校，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线 【变式2】如图，AC⊥BC，AC＝6，AB＝10，D是线段BC上的动点，则A，D两点之间的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．8 D．11 题型03 点到直线的距离的理解与计算 【典例1】在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列说法正确的是（　　） A．线段AD的长度是点D到直线AC的距离 B．线段BD的长度是点B到直线CD的距离 C．点A与点B之间的距离小于点A到直线BC的距离 D．点C与点D之间的距离大于点C到直线AB的距离 【变式2】已知C、D、E三点在直线AB上，P为直线AB外一点，PC＝1，PD＝2，PE＝3，则点P到直线AB的距离（　　） A．小于1 B．不小于1 C．大于1 D．不大于1 【变式3】若点A在直线l上，点P为直线l外一点，PA＝9cm，设点P到直线l的距离为dcm，则（　　） A．d≥9 B．d≤9 C．d＝9 D．d≠9 【变式4】如图，点C在直线BM上，点A到直线BM的距离为4，连接AC，则AC的长度不可能为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 1．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 2．如图所示，点A到BC所在的直线的距离是指图中线段（　　）的长度． A．AC B．AF C．BD D．CE 3．如图，若已知AD⊥BC，则下列说法正确的是（　　） A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC C．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段 4．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点P在直线l外，PB⊥l，若PA＝3cm，PB＝2cm，PC＝4cm，PD＝5cm，则点P到直线l的距离是（　　） A．3cm B．2cm C．4cm D．5cm 5．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠1＝52°30′，则∠2的度数为（　　） A．38°30′ B．37.5° C．38.5° D．27°30′ 6．如图，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥OC，OF平分∠BOE．若∠COF＝32°，则∠AOD的度数为（　　） A．24° B．26° C．28° D．30° 7．如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，OE⊥OF，若∠AOE＝45.2°，则∠COF＝（　　） A．45°12′ B．45°20′ C．44°48′ D．44°80′ 8．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角β为46°．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是（　　） A．44° B．45° C．46° D．54° 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，那么点C到AB的距离是（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 10．如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，下列结论：①OE⊥OC；②∠BOC与∠AOE互余；③∠BOE与∠BOD互补；④∠AOC﹣∠BOC＝2∠EOB．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，农民李伯伯的做法是：过点P作PM垂直于河岸l，垂足为M，沿PM开挖水渠距离最短，其中的数学道理是 　 　 ． 12．如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE＝44°，则∠AOD＝　 　 ． 13．如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝5cm，则点P到直线l的距离是 　 　 cm． 14．已知OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3，OD平分角BOC，则∠AOD＝　 　 度． 15．如图：已知直线AB、直线CD相交于点O，OE⊥AB，则下列结论：①∠BOE＝90°；②∠AOC的补角是∠DOF；③若∠DOE＝70°，则∠AOC＝20°；④若OF平分∠BOC，则∠AOF＝∠DOF；⑤若∠COE＝4∠BOD，则∠DOE＝60°．其中正确结论有　 ． 16．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠BOE＝130°，求∠AOC的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵OE⊥CD（已知）， ∴∠EOD＝（　 　 ）（垂直的定义）． ∵∠BOE＝130°（已知）， ∴∠BOD＝（　 ）﹣∠EOD＝40°（　 　 ）． ∵直线AB，CD相交于点O（已知）， ∴∠AOC＝∠BOD（　 　 ）． ∴∠AOC＝40°（等量代换）． 17．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC． （1）当∠COE＝27°时，求∠AOD的度数； （2）若OF⊥OE，∠DOF＝2∠BOC，求∠AOC的度数． 18．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． ①若∠AOC：∠BOC＝2：3，求∠BOD的度数； ②若∠1＝∠2，请判断ON与CD的位置关系，并说明理由． 19．已知O是直线AB上的一点，OC⊥OD，OE平分∠BOC．如图，OC与OD在直线AB的同侧，我们探究一下∠DOE与∠AOC的数量关系： （1）填表，当∠DOE取不同度数时，请计算出∠AOC的度数，并填写到下列表格中； ∠DOE 10° 25° 36.5° ⋯ ∠AOC 　 　 　 　 　 　 ⋯ （2）猜想，若∠DOE＝α，求∠AOC的度数（用含有α的式子表示），并说明理由． 20．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB的上方，且OC⊥OD，钝角∠AOD的“割补线”记为OE． （1）若∠BOD＝40°，求∠COE的度数； （2）若OE恰好平分∠AOC，求∠BOD的度数； （3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，求出∠EOF与∠DOG的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 两条直线垂直 教学目标 1. 掌握垂线的定义及其表示，并能够熟练运用垂直进行计算； 2. 掌握垂线的画法并能够利用三角板或量角器画垂线； 3. 掌握垂线段的性质、点到直线的距离并且能够运用性质进行相关的计算。 教学重难点 1. 重点 （1）垂直的性质及其画法； （2）垂线段的性质及其点到直线的距离。 2. 难点 （1）垂直的画法及其相关计算； （2）垂线段及其性质以及点到直线的距离的理解。 知识点01 垂直的概念 1. 垂直的概念： 两条直线相交形成的四个角中，有一个角是 直角 时，就说这两条直线 互相垂直 ，其中一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 。若直线a与直线b垂直，表示为 a⊥b 。 由90°得到垂直是判定，由垂直得到90°是性质。 由邻补角与对顶角的性质可知，若相交线形成的角中有一个角是直角，则四个角均是 直角 。 【即学即练1】 1．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，直线EF经过点O．若∠BOF＝26°，则∠COF＝ 　64°　 ，∠AOE＝ 　26°　 ，∠BOE＝ 　154°　 ． 【答案】64°，26°，154°． 【解答】解：∵AB⊥CD， ∴∠BOC＝90°， ∴∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝90°﹣26°＝64°， ∵∠AOE＝∠BOF， ∴∠AOE＝26°， ∵直线EF经过点O， ∴∠BOE＝180°﹣∠BOF＝180°﹣26°＝154°． 故答案为：64°，26°，154°． 【即学即练2】 2．如图，直线AB、CD相交于点M，EM⊥AB，∠EMD：∠DMB＝1：5，则∠BMC的度数是（　　） A．15° B．75° C．105° D．108° 【答案】C 【解答】解：∵EM⊥AB， ∴∠EMB＝90°， ∵∠EMD：∠DMB＝1：5，∠EMD+∠DMB＝90°， ∴∠BMD＝90°75°， ∴∠BMC＝180°﹣∠BMD＝180°﹣75°＝105°， 故选：C． 知识点02 垂线的画法及其性质 1. 经过一点作已知直线的垂线的画法： （1） 用三角尺画垂线的步骤： ①三直角三角板的一半与已知直线 重合 。 ②沿已知直线平移直角三角形边，使另一边经过 已知点 。 ③沿与已知直线不重合的边画 直线 ，这条直线即为已知直线的垂线。 （2） 用量角器画垂线： ①将量角器的0°刻度线与已知直线 重合 。 ②移动量角器使90°刻度线经过 已知点 ，并在90°刻度线上标记另一点。 ③用量角器的底边作过已知点与标记点的直线。 2. 垂线的性质： 在同一平面内，过一点 有且只有1 条直线与已知直线垂直。 【即学即练1】 3．下列选项中，过点A画BC的垂线AD，三角板摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点A画BC的垂线AD，三角板摆放正确的是选项D． 故选：D． 【即学即练2】 4．如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（　　） A．两点确定一条直线 B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【解答】解：这个定理指的是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：C． 知识点03 垂线段及其性质 1. 垂线段的概念： 过 直线外 一点作已知直线的 垂线 ，点到 垂足 之间的部分叫做垂线段。 2. 垂线段的性质： 直线外一点连接直线上所有点的连线中， 垂线段 最短。 【即学即练1】 5．为了充分利用水资源，促进农业发展，某村计划从农田的点A处挖一条水渠将不远处的河水引到农田，以便对农作物进行灌溉，现设计的三条路段AB，AC，AD如图所示，村委会选择AB路段到的河边，这样做的道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【解答】解：这样做的道理是垂线段最短． 故选：A． 知识点04 点到直线的距离 1. 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 是直线外一点到该直线的距离。 【即学即练1】 6．如图，A，D是直线l1上的两点，B，C是直线l2上的两点，且AB⊥BC，CD⊥AD． （1）点A到直线l2的距离是线段AB 的长； （2）点A到点B的距离是线段AB 的长； （3）点C到直线l1的距离是线段CD 的长； （4）点C到点A的距离是线段AC 的长． 【答案】（1）AB； （2）AB； （3）CD； （4）AC． 【解答】解：（1）点A到直线l2的距离是AB的长； 故答案为：AB； （2）点A到点B的距离是AB的长； 故答案为：AB； （3）点C到直线l1的距离是CD的长； 故答案为：CD； （4）点C到点A的距离是线段AC的长； 故答案为：AC． 【即学即练2】 7．如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（　　） A．线段PC的长是点C到直线PA的距离 B．线段AC的长是点A到直线PC的距离 C．PA，PB，PC三条线段中，PB最短 D．线段PB的长是点P到直线a的距离 【答案】B 【解答】解：A选项，线段PC的长是点C到直线PA的距离，故该选项不符合题意； B选项，应该是线段AP的长是点A到直线PC的距离，故该选项符合题意； C选项，垂线段最短，PA，PB，PC三条线段中，PB最短，故该选项不符合题意； D选项，线段PB的长是点P到直线a的距离，故该选项不符合题意； 故选：B． 【即学即练3】 8．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（　　） A．2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．4cm 【答案】C 【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度最短， ∴点P到直线l的距离不大于2cm． 故选：C． 题型01 与垂直有关的计算 【典例1】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【答案】B 【解答】解：∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠AOD＝90°﹣∠1＝50°， ∴∠2＝180°﹣AOD＝130°． 故选：B． 【变式1】如图所示，直线AB，CD相交于点O，OF⊥AB于O，若∠DOB＝30°，则∠DOF＝（　　） A．30° B．120° C．60° D．50° 【答案】C 【解答】解：∵OF⊥AB于点O， ∴∠BOF＝90°， ∵∠DOB＝30°， ∴∠DOF＝∠BOF+∠DOB＝90°﹣30°＝60°． 故选：C． 【变式2】如图，已知直线AB和CD相交于O点，EO⊥CO，OF平分∠AOE，∠COF＝28°，则∠BOD的大小为（　　） A．27° B．34° C．45° D．62° 【答案】B 【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF＝28°， ∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠EOF＝62°， ∴∠AOC＝62°﹣28°＝34°， ∴∠BOD＝∠AOC＝34°． 故选：B． 【变式3】如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD，∠EOF＝146°，∠BOD：∠DOF＝1：2，则∠AOF的度数为（　　） A．96° B．95° C．94° D．93° 【答案】A 【解答】解：由题意得∠EOD＝90°， ∵∠EOF＝146°， ∴∠DOF＝146°﹣90°＝56°， ∵∠BOD：∠DOF＝1：2， ∴， ∴∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝84°， ∵∠BOF+∠AOF＝180°， ∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣84°＝96°． 故选：A． 题型02 垂线段及其性质的应用 【典例1】如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．垂直的定义 【答案】B 【解答】解：测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是：垂线段最短． 故选：B． 【变式1】如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边乘车到学校，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，小华同学的这一选择用到的数学知识是垂线段最短． 故选：A． 【变式2】如图，AC⊥BC，AC＝6，AB＝10，D是线段BC上的动点，则A，D两点之间的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【解答】解：∵点D是线段BC上的动点，AC⊥BC，AC＝6，AB＝10， ∴AC≤AD≤AB， ∴6≤AD≤10． 故选：C． 题型03 点到直线的距离的理解与计算 【典例1】在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， ∴线段PQ是P到直线MN的垂线段，PQ⊥MN， 选项B，C，D中PQ与MN不垂直，选项A符合题意． 故选：A． 【变式1】如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列说法正确的是（　　） A．线段AD的长度是点D到直线AC的距离 B．线段BD的长度是点B到直线CD的距离 C．点A与点B之间的距离小于点A到直线BC的距离 D．点C与点D之间的距离大于点C到直线AB的距离 【答案】B 【解答】解：A、线段AD的长度是点A到直线CD的距离，不合题意； B、线段BD的长度是点B到直线CD的距离，符合题意； C、点A与点B之间的距离大于点A到直线BC的距离，不合题意； D、点C与点D之间的距离等于点C到直线AB的距离，不合题意； 故选：B． 【变式2】已知C、D、E三点在直线AB上，P为直线AB外一点，PC＝1，PD＝2，PE＝3，则点P到直线AB的距离（　　） A．小于1 B．不小于1 C．大于1 D．不大于1 【答案】D 【解答】解：∵垂线段最短， ∴点P到直线AB的距离不大于PC、PD、PE， 又∵PC＝1，PD＝2，PE＝3， ∴点P到直线AB的距离不大于1， 故选：D． 【变式3】若点A在直线l上，点P为直线l外一点，PA＝9cm，设点P到直线l的距离为dcm，则（　　） A．d≥9 B．d≤9 C．d＝9 D．d≠9 【答案】B 【解答】解：由垂线段最短得d≤9， 故选：B． 【变式4】如图，点C在直线BM上，点A到直线BM的距离为4，连接AC，则AC的长度不可能为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解答】解：∵点C在直线BM上，点A到直线BM的距离为4， ∴AC≥4， ∴AC的长度不可能为3． 故选：D． 1．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 【答案】D 【解答】解：A、平板弹墨线，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； B、建筑工人砌墙，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯河道改直，用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、测量跳远成绩，用基本事实“垂线段最短”来解释，符合题意； 故选：D． 2．如图所示，点A到BC所在的直线的距离是指图中线段（　　）的长度． A．AC B．AF C．BD D．CE 【答案】B 【解答】解：点A到BC所在直线的距离是线段AF的长度， 故选：B． 3．如图，若已知AD⊥BC，则下列说法正确的是（　　） A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC C．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段 【答案】D 【解答】解：∵AB与AC不垂直， ∴点B到AC的垂线段不是线段AB， 故选项A不正确，不符合题意； ∵AC与AB不垂直， ∴点C到AB的垂线段不是线段AC， 故选项B不正确，不符合题意； ∵线段AD是点A到BC的垂线段， ∴选项C不正确，不符合题意； ∵AD⊥BC， ∴线段BD是点B到AD的垂线段， 故选项D正确，符合题意． 故选：D． 4．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点P在直线l外，PB⊥l，若PA＝3cm，PB＝2cm，PC＝4cm，PD＝5cm，则点P到直线l的距离是（　　） A．3cm B．2cm C．4cm D．5cm 【答案】B 【解答】解：∵PB⊥l，PB＝2cm， ∴点P到直线l的距离是线段PB的长是2cm． 故选：B． 5．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠1＝52°30′，则∠2的度数为（　　） A．38°30′ B．37.5° C．38.5° D．27°30′ 【答案】B 【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O， ∴∠EOD＝∠EOC＝90°， ∵∠1＝52°30′， ∴∠2＝180°﹣∠EOC﹣∠1＝180°﹣90°﹣52°30′＝37.5°， 故选：B． 6．如图，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥OC，OF平分∠BOE．若∠COF＝32°，则∠AOD的度数为（　　） A．24° B．26° C．28° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵OE⊥OC， ∴∠EOC＝90°， ∵∠COF＝32°， ∴∠EOF＝90°﹣32°＝58°， ∵OF平分∠BOE， ∴∠EOF＝∠BOF＝58°， ∴∠BOC＝∠BOF﹣∠COF＝58°﹣32°＝26°， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠AOD＝26°． 故选：B． 7．如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，OE⊥OF，若∠AOE＝45.2°，则∠COF＝（　　） A．45°12′ B．45°20′ C．44°48′ D．44°80′ 【答案】A 【解答】解：∵OC⊥AB，OE⊥OF， ∴∠AOE+∠COE＝90°，∠COF+∠COE＝90°， ∴∠COF＝∠AOE＝45.2°＝45°12′， 故选：A． 8．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角β为46°．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是（　　） A．44° B．45° C．46° D．54° 【答案】A 【解答】解：根据题意得α＝180°﹣90°﹣β＝90°﹣46°＝44°， 故选：A． 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，那么点C到AB的距离是（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 【答案】D 【解答】解：过C作CD⊥AB于D， ∵∠ACB＝90°， ∴△ABC的面积AB•CDAC•BC， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴5×CD＝3×4， ∴CD＝2.4， ∴点C到AB的距离是2.4． 故选：D． 10．如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，下列结论：①OE⊥OC；②∠BOC与∠AOE互余；③∠BOE与∠BOD互补；④∠AOC﹣∠BOC＝2∠EOB．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①∵OC平分∠BOD，OE平分∠AOD， ∴∠EOD∠BOD，∠COD∠AOD， ∴∠EOD+∠COD（∠BOD+∠AOD）， 又∵A，O，B三点在同一直线上， ∴∠BOD+∠AOD＝180°， ∴∠EOD+∠COD＝90°， 即∠EOC＝∠EOD+∠COD＝90°， ∴OE⊥OC， 故结论①正确； ②∵∠EOC＝90°， ∴∠BOC+∠AOE＝180°﹣∠EOC＝90°， ∴∠BOC与∠AOE互余， 故结论②正确； ③∵∠BOE+∠AOE＝180°， ∴∠BOE与∠AOE互补， ∵∠BOD与∠AOE不一定相等， ∴∠BOE与∠BOD不一定互补， 故结论③不正确； ④∵OC平分∠BOD，OE平分∠AOD， ∴设∠AOE＝∠DOE＝α，∠BOC＝∠DOC＝β， ∴∠AOD＝2α，∠BOD＝2β， ∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝2α+β，∠EOB＝∠DOE+∠BOD＝α+2β， ∴∠AOC﹣∠BOC＝2α+β﹣β＝2α，2∠EOB＝2α+4β ∴∠AOC﹣∠BOC≠2∠EOB， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②，共2个． 故选：B． 11．如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，农民李伯伯的做法是：过点P作PM垂直于河岸l，垂足为M，沿PM开挖水渠距离最短，其中的数学道理是 　垂线段最短　 ． 【答案】垂线段最短 【解答】解：∵PM⊥l， ∴沿PM开挖水渠距离最短，其中的数学道理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 12．如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE＝44°，则∠AOD＝　134°　 ． 【答案】134° 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∵∠COE＝44°， ∴∠COB＝90°+44°＝134°， ∴∠AOD＝134°， 故答案为：134°． 13．如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝5cm，则点P到直线l的距离是 　4　 cm． 【答案】4． 【解答】解：∵PA⊥l，垂足为A，PA＝4cm， ∴点P到直线l的距离是4cm， 故答案为：4． 14．已知OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3，OD平分角BOC，则∠AOD＝　75或15　 度． 【答案】75或15． 【解答】解：如图1所示，当点B在∠AOC内部时， ∵OC⊥OA， ∴∠AOC＝90°， ∵∠AOB：∠AOC＝2：3， ∴， ∴∠BOC＝30°， ∵OD平分角BOC， ∴， ∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝75°； 如图2所示，当点B在∠AOC外部时， ∵OC⊥OA， ∴∠AOC＝90°， ∵∠AOB：∠AOC＝2：3， ∴， ∴∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝150°， ∵OD平分角BOC， ∴， ∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝15°； 综上所述，∠AOD的度数为75°或15°， 故答案为：75或15． 15．如图：已知直线AB、直线CD相交于点O，OE⊥AB，则下列结论：①∠BOE＝90°；②∠AOC的补角是∠DOF；③若∠DOE＝70°，则∠AOC＝20°；④若OF平分∠BOC，则∠AOF＝∠DOF；⑤若∠COE＝4∠BOD，则∠DOE＝60°．其中正确结论有　①③④⑤　 ． 【答案】①③④⑤． 【解答】解：①∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°，故①正确； ②∵∠AOC+∠DOF≠180°， ∴∠AOC的补角不是∠DOF，故②错误； ③∵∠BOE＝90°∠DOE＝70°， ∴∠AOC＝∠BOD＝90°﹣∠DOE＝20°，故③正确； ④∵OF平分∠BOC， ∴∠BOF＝∠COF， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC+∠COF＝∠BOD+∠BOF， ∴∠AOF＝∠DOF，故④正确； ⑤∵∠AOC＝∠BOD，∠COE＝4∠BOD， ∴∠COE＝4∠AOC， ∵∠COE﹣∠AOC＝∠AOE＝90°， ∴4∠AOC﹣∠AOC＝90°， ∴∠AOC＝30°， ∴∠BOD＝30°， ∴∠DOE＝90°﹣∠BOD＝60°，故⑤正确； 故答案为：①③④⑤． 16．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠BOE＝130°，求∠AOC的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵OE⊥CD（已知）， ∴∠EOD＝（　90°　 ）（垂直的定义）． ∵∠BOE＝130°（已知）， ∴∠BOD＝（　∠EOB ）﹣∠EOD＝40°（　等量代换　 ）． ∵直线AB，CD相交于点O（已知）， ∴∠AOC＝∠BOD（　对顶角相等　 ）． ∴∠AOC＝40°（等量代换）． 【答案】90°，∠EOB，等量代换，对顶角相等． 【解答】解：∵OE⊥CD于点O（已知）， ∴∠EOD＝90°（垂直的定义）， ∵∠BOE＝130°（已知）， ∴∠BOD＝∠EOB﹣∠EOD＝40°（等量代换）， ∵直线AB，CD相交于点O（已知）， ∴∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）， ∴∠AOC＝40°（等量代换）． 故答案为：90°，∠EOB，等量代换，对顶角相等． 17．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC． （1）当∠COE＝27°时，求∠AOD的度数； （2）若OF⊥OE，∠DOF＝2∠BOC，求∠AOC的度数． 【答案】（1）∠AOD＝54°； （2）∠AOC＝144°． 【解答】解：（1）由条件可知∠AOD＝∠BOC， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝2×27°＝54°， ∴∠AOD＝54°； （2）∵若OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴∠BOF+∠BOE＝90°， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得∠BOC＝36°． ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣36°＝144°． 18．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． ①若∠AOC：∠BOC＝2：3，求∠BOD的度数； ②若∠1＝∠2，请判断ON与CD的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）72°；（2）ON与CD的位置关系是：ON⊥CD，理由见解析． 【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝2：3，设∠AOC＝2α，∠BOC＝3α， ∴直线AB，CD相交于点O， ∴∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOD＝∠AOC， ∴2α+3α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠AOC＝2α＝72°， ∴∠BOD＝∠AOC＝72°， ∵∠BOD的度数为72°； （2）ON与CD的位置关系是：ON⊥CD，理由如下： ∵OM⊥AB于点O， ∴∠AOM＝90°， ∴∠AOC+∠1＝90°， 又∵∠1＝∠2， ∴∠AOC+∠2＝90°， 即∠CON＝∠AOC+∠2＝90°， ∴ON⊥CD． 19．已知O是直线AB上的一点，OC⊥OD，OE平分∠BOC．如图，OC与OD在直线AB的同侧，我们探究一下∠DOE与∠AOC的数量关系： （1）填表，当∠DOE取不同度数时，请计算出∠AOC的度数，并填写到下列表格中； ∠DOE 10° 25° 36.5° ⋯ ∠AOC 　20°　 　50°　 　73°　 ⋯ （2）猜想，若∠DOE＝α，求∠AOC的度数（用含有α的式子表示），并说明理由． 【答案】（1）20°，50°，73°； （2）∠AOC＝2α，理由见解析： 【解答】解：（1）由题意得∠COD＝90°， ∴∠COE＝90°﹣∠DOE， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝2（90°﹣∠DOE）＝180°﹣2∠DOE， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2∠DOE）＝2∠DOE， 当∠DOE＝36.5°时，∠AOC＝2∠DOE＝73°， 当∠DOE＝10°时，∠AOC＝2∠DOE＝20°， 当∠DOE＝25°时，∠AOC＝2∠DOE＝50°， 故答案为：20°，50°，73°； （2）∵∠COD＝90°， ∴∠COE＝90°﹣∠DOE， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝2（90°﹣∠DOE）＝180°﹣2∠DOE， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2∠DOE）＝2∠DOE， ∵∠DOE＝α， ∴∠AOC＝2∠DOE＝2α． 20．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB的上方，且OC⊥OD，钝角∠AOD的“割补线”记为OE． （1）若∠BOD＝40°，求∠COE的度数； （2）若OE恰好平分∠AOC，求∠BOD的度数； （3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，求出∠EOF与∠DOG的数量关系． 【答案】（1）50°或10°； （2）30°； （3）∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°． 【解答】解：（1）①如图，当OE在∠COD内部时， ∵射线OE是∠AOD的“割补线”， ∴∠DOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠DOE＝∠BOD＝40°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠COE＝90°﹣40°＝50°； ②如图，当OE在∠COD外部时， ∵射线OE是∠AOD的“割补线”， ∴∠AOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOE＝∠BOD＝40°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠COE＝180﹣90°﹣40°40＝10°； 综上，∠COE的度数为50°或10°； （2）若OE恰好平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠COE＝∠BOD， ∴∠BOD＝×（180°﹣90°）＝30°； （3）∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°，理由如下： ①如图，∠AOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOE＝∠BOD， ∵OF是∠AOE的平分线， ∴∠EOF∠AOE∠BOD， ∴OG是∠BOC的平分线， ∴∠BOG∠BOC（90°+∠BOD）＝45°∠BOD， ∴∠DOG＝∠BOG﹣∠BOD＝45°∠BOD， ∴∠EOF+∠DOG＝45°； ②如图，∠DOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠DOE＝∠BOD， ∴∠DOG∠BOC﹣∠BOD （90°+∠BOD）﹣∠BOD ＝45°∠BOD， ∠EOF＝∠AOE（180°﹣2∠BOD）＝90°﹣∠BOD， ∴∠EOF＝2∠DOG， 综上所述∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $