专题7.8 平移（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

本讲义聚焦初中数学“平移”核心知识点，从平移的概念及性质（形状大小不变、对应角相等、对应边平行且相等、对应点连线平行且相等）到平移作图步骤，构建“概念-性质-应用”学习支架，涵盖生活现象判断、线段角度面积计算及作图等题型，形成完整知识链。 资料以生活实例（如车标、电梯运动）培养数学眼光，通过即学即练和典例变式发展推理思维，作图题提升空间观念。课中助教师分层教学，课后练习题覆盖不同难度，帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题7.8 平移 教学目标 1. 掌握平移的概念及其性质，能够熟练判断生活中的平移现象以及利用平移的性质解决题目。 2. 掌握平移作图的步骤，能够熟练的进行平移作图。 教学重难点 1. 重点 （1）平移及其性质； （2）平移的作图。 2. 难点 （1）对平移性质的灵活应用。 知识点01 平移及其性质 1. 平移有关的概念： 在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，这种图形的 平行移动 ，叫做图形的平移变换，简称 平移 。平移前后的点叫做 对应点 ，平移前后的角叫做 对应角 ，平移前后的边叫做 对应边 。平移的 方向 与平移的 距离 为平移的两个要素。 【即学即练1】 1．下列现象中属于平移的是（　　） ①钟摆的摆动； ②电梯的升降； ③汽车沿直线行驶； ④汽车雨刷的运动． A．①② B．② C．①②④ D．②③ 【答案】D 【解答】解：①钟摆的摆动属于旋转，不属于平移； ②电梯的升降属于平移； ③汽车沿直线行驶属于平移； ④汽车雨刷的运动属于旋转，不属于平移． 故选：D． 【即学即练2】 2．如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到． 故选：B． 2. 平移的性质： ①平移前后图形的形状大小 不变 。 ②对应角 相等 ，对应边 平行或共线 且 相等 。 ③连接各组对应点的线段 平行或共线 且 相等 。 【即学即练1】 3．如图，△DEF由△ABC平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A．AB∥DE B．CF∥BE C．∠ABC＝∠DFE D．∠BAC＝∠EDF 【答案】C 【解答】解：∵△DEF是由△ABC平移得到， ∴AB∥DE，CF∥BE，∠BAC＝∠EDF，故选项A、B、D不符合题意； ∠ABC与∠DFE不一定相等，故选项C符合题意． 故选：C． 【即学即练2】 4．如图，将△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF．若EF＝13，EC＝6，则△ABC平移的距离是（　　） A．13 B．6 C．7 D．19 【答案】C 【解答】解：∵△DEF由△ABC沿着射线BC的方向平移而成，EF＝13，EC＝6， ∴BE＝CF， ∴CF＝EF﹣CE＝13﹣6＝7， 故选：C． 【即学即练3】 5．如图，将△ABC沿直线BC方向平移到△A1B1C1的位置（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1），延长AC、A1B1相交于点D．若∠A＝70°，则∠D的度数为　70　 °． 【答案】70． 【解答】解：∵△ABC沿直线BC方向平移得到△A1B1C1， ∴AB∥A1B1，即AB∥A1D， ∴∠D＝∠A＝70°． 故答案为：70． 【即学即练4】 6．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝2，平移的距离为3，则阴影部分的面积为（　　） A．20 B．18 C．15 D．26 【答案】C 【解答】解：∵平移距离为3， ∴BE＝3， ∵AB＝6，DH＝2， ∴EH＝6﹣2＝4， ∵S△ABC＝S△DEF， ∴S四边形ABEH＝S阴， ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 知识点02 平移作图 1. 平移的作图步骤： ①确定平移条件。即 平移方向 与 平移距离 。 ②找出图中的关键点按照平移条件进行平移，得到平移前后的 对应点 。 ③将平移后的对应点按照原图形进行连接。 【即学即练1】 7．如图，请你将△ABC平移，使点B分别移动到点B1和点B2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：所作图形如下： ． 题型01 判断生活中的平移现象 【典例1】下列现象中，属于平移的是（　　） A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动 C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动 【答案】B 【解答】解：A、足球在草坪上滚动，属于旋转，故不符合题意； B、货物在传送带上移动，属于平移，故符合题意； C、小朋友在荡秋千，属于旋转，故不符合题意； D、汽车雨刮器的摆动，属于旋转，故不符合题意； 故选：B． 【变式1】国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动，下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．选项A中的两个图形是轴对称，因此选项A不符合题意； B．选项B中的两个图形改变了图形的大小，而平移不改变图形的大小和形状，因此选项B不符合题意； C．选项C中的两个图形可以通过左右平移得到，因此选项C符合题意； D．选项D中的两个图形，可以通过旋转得到，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2】甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根源，其字形简练，线条瘦劲，结构均衡对称，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由图可知，选项A，C，D都不能通过平移得到，不符合题意； 只有选项B利用图形的平移得到，符合题意． 故选：B． 题型02 利用平移的性质求线段 【典例1】如图，将△ABC向右平移得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝2，BF＝8，则AD的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：∵△DEF是由△ABC向右平移得到， ∴BC＝EF，AD＝BE， ∴BE＝CF＝（8﹣2）÷2＝3， ∴AD＝BE＝3． 故选：B． 【变式1】如图，将△ABC沿BA方向平移，得到△DEF．若BD＝8，DE＝5，则AE的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：观察图形可知：将△ABC沿BC方向平移到△DEF，根据对应点连接的线段平行且相等，得BE＝AD， ∵BD＝8，DE＝5， ∴BE＝AD＝BD﹣DE＝8﹣5＝3， ∴AE＝DE﹣AE＝5﹣3＝2， 故选：C． 【变式2】如图，将三角形ABE向右平移2cm得到三角形DCF，已知四边形ABFD的周长是19cm，则三角形ABE的周长是（　　） A．19cm B．17cm C．15cm D．13cm 【答案】C 【解答】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF， ∴AD＝EF＝2cm，AE＝DF， ∵四边形ABFD的周长是19cm， ∴AD+AB+BF+DF＝19cm， ∴AD+AB+BE+EF+DF＝19cm， ∴2cm+AB+BE+2cm+AE＝19cm， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝15cm， 故选：C． 【变式3】如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF．如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（　　） A．16 cm B．18 cm C．20 cm D．21 cm 【答案】C 【解答】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF， ∴DF＝AE， ∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+DF+AD+EF， ＝AB+BE+AE+AD+EF， ＝△ABE的周长+AD+EF， ∵平移距离为2cm， ∴AD＝EF＝2cm， ∵△ABE的周长是16cm， ∴四边形ABFD的周长＝16+2+2＝20cm． 故选：C． 题型03 利用平移的性质求角度 【典例1】如图，射线a，b分别与直线l交于点A，B．现将射线a沿直线l向右平移过点B，若∠1＝40°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．70° B．60° C．90° D．80° 【答案】A 【解答】解：由平移的性质可得a∥c， ∴∠4＝∠1＝40°， ∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠2＝70°， ∴∠3＝70°， 故选：A． 【变式1】如图，将△ABC沿AB方向平移后，到达△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【解答】解：由平移的性质可知∠EBD＝∠CAB＝50°， ∵∠ABC+∠CBE+∠EBD＝180°， ∴∠CBE＝180°﹣50°﹣100°＝30°， 故选：A． 【变式2】如图，将△ABC沿AC方向平移到△DEF的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接BE．若∠ACB＝65°，则∠BEF的度数是（　　） A．105° B．115° C．95° D．125° 【答案】B 【解答】解：由平移的性质可知，BC＝EF，BC∥EF，∠F＝∠ACB＝65°， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∴BE∥CF， ∴∠BEF+∠F＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣65°＝115°． 故选：B． 【变式3】如图，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E．将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．若∠B＝∠E＝72°，在整个运动过程中，当∠Q，∠EDQ中有一个角是另一个角的3倍时，∠Q的度数是　18°或36°或54°　 ． 【答案】18°或36°或54°． 【解答】解：①如图，当点P在线段AD上时，过点D作DH∥PQ， ∴∠Q＝∠QDH， 由平移可得：AE∥PQ， ∴AE∥DH， ∴∠EDH＝∠E＝72°， ∴∠EDH＝∠EDQ+∠QDH＝∠EDQ+∠Q＝72°， 由条件可知或∠Q+3∠Q＝72°， ∴∠Q＝54°或∠Q＝18°； ②如图，当点P在射线DC上时，过点D作DT∥PQ， ∴∠Q＝∠QDT， 由平移可得：AE∥PQ， ∴AE∥DT， ∴∠EDT＝∠E＝72°， ∴∠EDQ＝∠EDT+∠QDT＝72°+∠Q， 由条件可知∠EDQ＝3∠Q， ∴3∠Q＝72°+∠Q， ∴∠Q＝36°； 综上所述，∠Q的度数是18°或36°或54°， 故答案为：18°或36°或54°． 题型04 利用平移的性质求面积 【典例1】如图，将直角△ABC沿AC的方向平移得到直角△DEF，DE交BC于点G．若AB＝6cm，EG＝2cm，BG＝3cm，则图中阴影部分的面积等于（　　） A．12cm2 B．15cm2 C．24cm2 D．30cm2 【答案】B 【解答】解：由平移的性质可知，AB＝DE＝6cm，EG＝2cm，BG＝3cm， ∴DG＝6﹣2＝4（cm）， ∴S梯形GEFC＝S梯形ABGD（4+6）×3＝15（cm2）， 故选：B． 【变式1】如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（　　）cm2 A．6 B．9 C．18 D．24 【答案】C 【解答】解：由平移的性质可知，空白部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm）， 则阴影部分的面积＝5×3×2﹣2×2×3＝18（cm2）， 故选：C． 【变式2】如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为（　　） A．7cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4cm2 【答案】B 【解答】解：如图，设AD与A'B'交于点E， ∵将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm， ∴A'E＝2cm，AE＝1cm， ∴B'E＝2cm，DE＝3cm， ∴阴影部分的面积＝2×3＝6cm2， 故选：B． 题型05 平移作图及其计算 【典例1】已知三角形ABC与点D，请作三角形ABC平移后的图形，使D点与A点为对应点，不写作法． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示：△ABC平移后的图形为△DEF． 【变式1】如图，将△ABC先向右平移6格，再向下平移3格，得到△DEF，在表格中画出平移后的△DEF． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：所作图形如下所示： ． 【变式2】如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形ABC，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图： （1）请你画出AB的平行线CD； （2）平移三角形ABC，并将三角形ABC的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应； （3）求出三角形EFG的面积：　5　 ． 【答案】（1）作图见解析过程； （2）作图见解析过程； （3）5． 【解答】解：（1）如图，CD为所求作的直线； （2）如图，△EFG为所求作的三角形， （3）． 故答案为：5． 【变式3】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中平移三角形ABC，使点A移动到点A'处． （1）请画出平移后的三角形A'B'C'并标注字母（点B的对应点为点B'）； （2）连接AA′，CC′，观察发现它们之间具有的关系为 AA′∥CC′，AA′＝CC′，　 ． （3）计算三角形A′B′C′的面积． 【答案】（1）作图见解析部分； （2）AA′∥CC′，AA′＝CC′； （3）3.5． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）由平移变换的性质可知AA′∥CC′，AA′＝CC′， 故答案为：AA′∥CC′，AA′＝CC′， （3）S△A′B′C′＝3×31×22×31×3＝3.5． 1．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有D选项中的图形是经过平移得到的，符合题意； A、B、C中的图形不是经过平移得到的，不符合题意， 故选：D． 2．下列现象中，属于平移的是（　　） A．滚动的足球 B．转动的电风扇叶片 C．正在上升的电梯 D．正在行驶的汽车后轮 【答案】C 【解答】解：A．滚动的足球是旋转， 故不符合题意； B．转动的电风扇叶片是旋转， 故不符合题意； C．正在上升的电梯是平移， 故符合题意； D．正在行驶的汽车后轮是旋转， 故不符合题意； 故选：C． 3．如图所示，将△ABC沿着X→Y方向平移一定距离后得到△MNL，则下列结论中正确的有（　　） ①AM∥BN；②AM＝BN；③BC＝NL；④∠ACB＝∠NML． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵△ABC沿着XY方向平移一定的距离就得到△MNL， ∴①AM∥BN，正确； ②AM＝BN，正确； ③BC＝NL，故本小题正确； ④∠ACB＝∠MLN，错误， 所以，正确的有①②③． 故选：C． 4．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若BC＝5，EC＝3，则平移的距离为（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【解答】解：∵BC＝5，EC＝3， ∴BE＝BC﹣EC＝5﹣3＝2， ∴平移的距离为2； 故选：A． 5．如图，△ABC沿BC所在直线向右平移到△DEF，连接AD，已知CE＝5，BF＝13，则AD的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：根据平移的性质：AD＝BE＝CF， 由条件可知BE+CF＝13﹣5＝8， ∴BE＝CF＝4， ∴AD＝4， 故选：C． 6．如图，点I为△ABC的角平分线的交点，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm 【答案】C 【解答】解：连接AI，BI，如图所示， 因为点I为△ABC的角平分线的交点， 所以∠CAI＝∠IAM． 由平移可知， AC∥IM， 所以∠CAI＝∠AIM， 所以∠AIM＝∠IAM， 所以IM＝AM， 同理可得，IN＝BN， 所以IM+MN+IN＝AM+MN+BN＝AB， 所以阴影部分的周长与AB的长相等，即为4cm． 故选：C． 7．如图，将△ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，已知△ABC的周长为22cm，则四边形AEFC的周长为（　　） A．26cm B．24cm C．22cm D．20cm 【答案】A 【解答】解：∵△DEF是由△ABC沿AB方向平移2cm得到的，△ABC的周长为22cm， ∴AB+BC+AC＝DE+EF+DF＝22cm，AD＝CF＝2cm， 则四边形AEFC的周长为22+2+2＝26（cm）． 故选：A． 8．如图，将三角形ABC沿着射线BC向右平移得到三角形DEF，若AD＝2CE，CF＝2，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：如图，连接AD， ∵将三角形ABC沿着射线BC向右平移得到三角形DEF， ∴AD＝BE，AD＝CF， ∵AD＝2CE，CF＝2， ∴BE＝2，CE＝1， ∴BC＝BE+CE＝3． 故选：C． 9．如图，三角形ABC的周长为15cm，将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′（点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′）的位置，则图中阴影部分的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．18cm D．21cm 【答案】B 【解答】解：∵将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′， ∴BB'＝CC'，BC＝B′C′， ∵AB′+CC′＝AB′+BB′＝AB， AB′+CC′+AC+B′C′＝AB+AC+BC＝15（cm）． 故选：B． 10．如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到△A′B′C′位置．下列结论：①AA′∥BB′，且AA′＝BB′；②S四边形ACC′D＝S四边形A′DBB′；③若AC＝5，m＝2，则AB边扫过的图形的面积为5；④若四边形AA′B′C的周长为a，三角形ABC的周长为b，则．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由平移的性质可知，AA′∥BB′且AA′＝BB′，故①符合题意； 由条件可知S△ABC﹣S△BDC′＝S△A′B′C′﹣S△BDC′， ∴S四边形ACC′D＝S四边形A′DBB′，故②符合题意； 当AC＝5，m＝2，则AB边扫过的图形的面积为：2×5＝10，故③不符合题意； 四边形AA′B′C的周长为AA′+A′B′+B′C+AC＝a， 三角形ABC的周长为AB+BC+AC＝b， 由条件可知AA′+A′B′+B′C+AC﹣（AB+BC+AC）＝AA′+BB′＝2BB′＝a﹣b， ∴，即，故④符合题意， 综上，符合题意的有①②④， 故选：C． 11．如图，把△ABC延BC方向平移得到△DEF，若BE＝2，EF＝5，则CE＝　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：由平移的性质可知，CF＝BE＝2， ∵EF＝5， ∴CE＝EF﹣CF＝5﹣2＝3． 故答案为：3． 12．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠BDE＝100°，则∠CBE的度数为　30°　 ． 【答案】30°． 【解答】解：∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，∠ABC＝100°，∠EBD＝50°， ∴AC∥BE，BC∥DE， ∴∠CAB＝∠EBD＝50°，∠ABC＝∠BDE＝100° ∴∠CBE的度数为：180°﹣50°﹣100°＝30°， 故答案为：30°． 13．如图，某会展中心在会展期间准备将高7m，长25m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　1240　 元． 【答案】1240． 【解答】解：楼道的水平宽度为， 因为所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和，即24+7＝31m， 地毯的面积为31×2＝62（m2）， 总费用为62×20＝1240（元）， 即铺完这个楼道至少需要1240元． 故答案为：1240． 14．如图，两个相同的四边形重叠在一起，将其中一个四边形沿AD方向平移AE长，DK＝5，KC＝2，KG＝3，则下列关于阴影部分面积为　18　 ． 【答案】18． 【解答】解：∵DK＝5，KC＝2， ∴DC＝7， 由平移的性质得：S四边形ABCD＝S四边形EFGH，HG＝DC＝7， ∴． 故答案为：18． 15．政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为1m，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． （1）分别设方案一和方案二的草地面积为、，S1　＝　 S2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S＝　（b﹣1）（a﹣1）　 （用含a、b的式子表示）． 【答案】（1）＝； （2）（b﹣1）（a﹣1）． 【解答】解：（1）图1和图2分成的两块草地都可以通过平移重新组合成一个长为（a﹣1）米，宽为b的长方形， ∴S1＝S2＝b（a﹣1）； 故答案为：＝； （2）由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为（a﹣1）米，宽为（b﹣1）米的长方形， 则S＝（b﹣1）（a﹣1）． 故答案为：（b﹣1）（a﹣1）． 16．如图，网格纸中每个小正方形的边长都为1．在网格纸中，三角形ABC经过一次平移后得到三角形A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，点B′的位置如图所示． （1）请画出平移后的三角形A′B′C′，并直接写出三角形A′B′C′的面积； （2）在（1）的条件下，若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的位置关系是　平行　 ，数量关系是　相等　 ． 【答案】（1），三角形A′B′C′的面积为9． （2）平行；相等． 【解答】解：（1）如图，三角形A′B′C′即为所求． 三角形A′B′C′的面积为． （2）由平移得，这两条线段之间的位置关系是平行，数量关系式相等． 故答案为：平行；相等． 17．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长均为1个单位，按下列要求画三角形． （1）△ABC先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，平移后得△DEF，在图中画出△DEF； （2）在（1）的条件下，四边形ABFD的面积为　12　 ． 【答案】（1） （2）12． 【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求． （2）四边形ABFD的面积为12． 故答案为：12． 18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，∠EGF＝32°． （1）求∠B的度数； （2）若AD＝4，BC＝10，求FG的长． 【答案】（1）58°； （2）6． 【解答】解：（1）∵CD平移到EG的位置， ∴∠C＝∠EGF＝32°， ∵∠B与∠C互余， ∴∠B＝90°﹣32°＝58°； （2）∵AB，CD分别平移到EF和EG的位置， ∴AE＝BF，DE＝CG， ∴BF+CG＝AE+DE＝AD＝4， ∵BC＝BF+FG+CG， ∴AD+FG＝BC， 即4+FG＝10， ∴FG＝6． 19．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F． （1）若∠DAC＝56°，求∠F的度数． （2）若BC＝6cm，当AD＝2EC时，则AD＝　4cm或12cm．　 ． 【答案】（1）见解析； （2）4cm或12cm． 【解答】解：（1）∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF， ∴AC∥DF，AD∥BF， ∴∠ACB＝∠F， ∴∠ACB＝∠DAC， ∴∠F＝∠DAC＝56°； （2）∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF， ∴AD＝BE＝CF， 设AD＝xcm， 则BE＝CF＝xcm， ∵AD＝2EC， ∴CEx， ∵BC＝6， ∴xx＝6， 解得x＝4， 即AD的长为4cm． 当点E在点C右侧时， 同理可得，xx＝6， 解得x＝12， 综上所述，AD＝4cm或12cm， 故答案为：4cm或12cm． 20．[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺（∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°）和两条平行线（a∥b）”为背景开展数学活动． （1）[操作发现] ①如图（1），若∠1＝46°，则∠2的度数为　44°　 ； ②如图（2），保持∠1＝46°不变，创新小组的同学将直线a向上平移，AB与直线a相交于点E，形成如图所示的∠2，求∠2的度数； （2）[类比探究]缜密小组将图（2）中的图形继续变化得到图（3），AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2存在固定的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 【答案】（1）①44°；②166°； （2）∠1＝∠2，理由如下： 过点C作CF∥b， ∵a∥b， ∴CF∥a， ∵AC平分∠BAM， ∴∠CAM＝∠BAC＝30°，∠BAM＝2∠BAC＝2×30°＝60°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠BAM＝60°， ∵CF∥b， ∴∠ACF＝∠CAM＝30°， ∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝90°﹣30°＝60°， ∵CF∥a， ∴∠2＝∠BCF＝60°， ∴∠1＝∠2． 【解答】解：（1）①如图1， 由条件可知∠3＝180°﹣∠BCA﹣∠1＝44°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝44°； 故答案为：44°； ②过点B作BD∥b， ∴∠DBC＝∠1＝46°， ∴∠EBD＝∠ABC﹣∠DBC＝14°， ∵a∥b， ∴BD∥a， ∴∠2+∠EBD＝180°， ∴∠2＝180°﹣14°＝166°． （2）∠1与∠2的数量关系是：∠1＝∠2， 理由：过点C作CF∥b， ∵AC平分∠BAM， ∴∠CAM＝∠BAC＝30°，∠BAM＝2∠BAC＝2×30°＝60°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠BAM＝60°， ∵CF∥b， ∴∠ACF＝∠CAM＝30°， ∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝90°﹣30°＝60°， ∵CF∥a， ∴∠2＝∠BCF＝60°， ∴∠1＝∠2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.8 平移 教学目标 1. 掌握平移的概念及其性质，能够熟练判断生活中的平移现象以及利用平移的性质解决题目。 2. 掌握平移作图的步骤，能够熟练的进行平移作图。 教学重难点 1. 重点 （1）平移及其性质； （2）平移的作图。 2. 难点 （1）对平移性质的灵活应用。 知识点01 平移及其性质 1. 平移有关的概念： 在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，这种图形的 ，叫做图形的平移变换，简称 。平移前后的点叫做 ，平移前后的角叫做 ，平移前后的边叫做 。平移的 与平移的 为平移的两个要素。 【即学即练1】 1．下列现象中属于平移的是（　　） ①钟摆的摆动； ②电梯的升降； ③汽车沿直线行驶； ④汽车雨刷的运动． A．①② B．② C．①②④ D．②③ 【即学即练2】 2．如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 2. 平移的性质： ①平移前后图形的形状大小 。 ②对应角 ，对应边 且 。 ③连接各组对应点的线段 且 。 【即学即练1】 3．如图，△DEF由△ABC平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A．AB∥DE B．CF∥BE C．∠ABC＝∠DFE D．∠BAC＝∠EDF 【即学即练2】 4．如图，将△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF．若EF＝13，EC＝6，则△ABC平移的距离是（　　） A．13 B．6 C．7 D．19 【即学即练3】 5．如图，将△ABC沿直线BC方向平移到△A1B1C1的位置（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1），延长AC、A1B1相交于点D．若∠A＝70°，则∠D的度数为　 　 °． 【即学即练4】 6．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝2，平移的距离为3，则阴影部分的面积为（　　） A．20 B．18 C．15 D．26 知识点02 平移作图 1. 平移的作图步骤： ①确定平移条件。即 与 。 ②找出图中的关键点按照平移条件进行平移，得到平移前后的 。 ③将平移后的对应点按照原图形进行连接。 【即学即练1】 7．如图，请你将△ABC平移，使点B分别移动到点B1和点B2． 题型01 判断生活中的平移现象 【典例1】下列现象中，属于平移的是（　　） A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动 C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动 【变式1】国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动，下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根源，其字形简练，线条瘦劲，结构均衡对称，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A． B． C． D． 题型02 利用平移的性质求线段 【典例1】如图，将△ABC向右平移得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝2，BF＝8，则AD的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式1】如图，将△ABC沿BA方向平移，得到△DEF．若BD＝8，DE＝5，则AE的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】如图，将三角形ABE向右平移2cm得到三角形DCF，已知四边形ABFD的周长是19cm，则三角形ABE的周长是（　　） A．19cm B．17cm C．15cm D．13cm 【变式3】如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF．如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（　　） A．16 cm B．18 cm C．20 cm D．21 cm 题型03 利用平移的性质求角度 【典例1】如图，射线a，b分别与直线l交于点A，B．现将射线a沿直线l向右平移过点B，若∠1＝40°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．70° B．60° C．90° D．80° 【变式1】如图，将△ABC沿AB方向平移后，到达△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式2】如图，将△ABC沿AC方向平移到△DEF的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接BE．若∠ACB＝65°，则∠BEF的度数是（　　） A．105° B．115° C．95° D．125° 【变式3】如图，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E．将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．若∠B＝∠E＝72°，在整个运动过程中，当∠Q，∠EDQ中有一个角是另一个角的3倍时，∠Q的度数是　 　 ． 题型04 利用平移的性质求面积 【典例1】如图，将直角△ABC沿AC的方向平移得到直角△DEF，DE交BC于点G．若AB＝6cm，EG＝2cm，BG＝3cm，则图中阴影部分的面积等于（　　） A．12cm2 B．15cm2 C．24cm2 D．30cm2 【变式1】如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（　　）cm2 A．6 B．9 C．18 D．24 【变式2】如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为（　　） A．7cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4cm2 题型05 平移作图及其计算 【典例1】已知三角形ABC与点D，请作三角形ABC平移后的图形，使D点与A点为对应点，不写作法． 【变式1】如图，将△ABC先向右平移6格，再向下平移3格，得到△DEF，在表格中画出平移后的△DEF． 【变式2】如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形ABC，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图： （1）请你画出AB的平行线CD； （2）平移三角形ABC，并将三角形ABC的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应； （3）求出三角形EFG的面积：　 　 ． 【变式3】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中平移三角形ABC，使点A移动到点A'处． （1）请画出平移后的三角形A'B'C'并标注字母（点B的对应点为点B'）； （2）连接AA′，CC′，观察发现它们之间具有的关系为 　 ． （3）计算三角形A′B′C′的面积． 1．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A． B． C． D． 2．下列现象中，属于平移的是（　　） A．滚动的足球 B．转动的电风扇叶片 C．正在上升的电梯 D．正在行驶的汽车后轮 3．如图所示，将△ABC沿着X→Y方向平移一定距离后得到△MNL，则下列结论中正确的有（　　） ①AM∥BN；②AM＝BN；③BC＝NL；④∠ACB＝∠NML． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若BC＝5，EC＝3，则平移的距离为（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 5．如图，△ABC沿BC所在直线向右平移到△DEF，连接AD，已知CE＝5，BF＝13，则AD的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．5 6．如图，点I为△ABC的角平分线的交点，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm 7．如图，将△ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，已知△ABC的周长为22cm，则四边形AEFC的周长为（　　） A．26cm B．24cm C．22cm D．20cm 8．如图，将三角形ABC沿着射线BC向右平移得到三角形DEF，若AD＝2CE，CF＝2，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，三角形ABC的周长为15cm，将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′（点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′）的位置，则图中阴影部分的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．18cm D．21cm 10．如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到△A′B′C′位置．下列结论：①AA′∥BB′，且AA′＝BB′；②S四边形ACC′D＝S四边形A′DBB′；③若AC＝5，m＝2，则AB边扫过的图形的面积为5；④若四边形AA′B′C的周长为a，三角形ABC的周长为b，则．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，把△ABC延BC方向平移得到△DEF，若BE＝2，EF＝5，则CE＝　 　 ． 12．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠BDE＝100°，则∠CBE的度数为　 　 ． 13．如图，某会展中心在会展期间准备将高7m，长25m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　 　 元． 14．如图，两个相同的四边形重叠在一起，将其中一个四边形沿AD方向平移AE长，DK＝5，KC＝2，KG＝3，则下列关于阴影部分面积为　 　 ． 15．政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为1m，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． （1）分别设方案一和方案二的草地面积为、，S1　 　 S2（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S＝　 　 （用含a、b的式子表示） 16．如图，网格纸中每个小正方形的边长都为1．在网格纸中，三角形ABC经过一次平移后得到三角形A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，点B′的位置如图所示． （1）请画出平移后的三角形A′B′C′，并直接写出三角形A′B′C′的面积； （2）在（1）的条件下，若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的位置关系是　 　 ，数量关系是　 　 ． 17．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长均为1个单位，按下列要求画三角形． （1）△ABC先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，平移后得△DEF，在图中画出△DEF； （2）在（1）的条件下，四边形ABFD的面积为　 　 ． 18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，∠EGF＝32°． （1）求∠B的度数； （2）若AD＝4，BC＝10，求FG的长． 19．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F． （1）若∠DAC＝56°，求∠F的度数． （2）若BC＝6cm，当AD＝2EC时，则AD＝　 　 ． 20．[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺（∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°）和两条平行线（a∥b）”为背景开展数学活动． （1）[操作发现] ①如图（1），若∠1＝46°，则∠2的度数为　 　 ； ②如图（2），保持∠1＝46°不变，创新小组的同学将直线a向上平移，AB与直线a相交于点E，形成如图所示的∠2，求∠2的度数； （2）[类比探究]缜密小组将图（2）中的图形继续变化得到图（3），AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2存在固定的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $