专题7.6 平行线的性质（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

本讲义聚焦平行线的性质这一核心知识点，系统梳理性质1（两直线平行，同位角相等）、性质2（两直线平行，内错角相等）、性质3（两直线平行，同旁内角互补），并通过即学即练、题型分类（求角度、三角板、折叠、拐点、判定与性质综合）搭建从基础到应用的学习支架。 该资料以生活实例（如路政工程车、潜望镜）培养数学眼光，通过推理证明题（如填空理由）发展数学思维，借助规范解答过程训练数学语言。典例与变式分层设计辅助课堂教学，综合练习题助力学生课后查漏补缺，强化知识应用能力。

专题7.6 平行线的性质 教学目标 1. 掌握平行线的性质，并能够利用平行线的性质熟练的求相关角的度数，结合平行线的判定证明角的关系。 教学重难点 1. 重点 （1）平行线的性质。 2. 难点 （1）平行线的性质的基本应用； （2）平行线的性质与直角三角板及其折叠问题； （3）平行线间的拐点问题； （4）平行线的判定与性质综合。 知识点01 平行线的性质 1. 平行线的性质： 性质 文字语言 数学语言 性质1 两直线平行，同位角 相等 ∵ ∴∠1 ＝ ∠2 性质2 两直线平行，内错角 相等 ∵ ∴∠1 ＝ ∠2 性质3 两直线平行，同旁内角 互补 ∵ ∴∠＋∠2＝ 180° 【即学即练1】 1．如图，直线AD∥BC，AC平分∠BAD．若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．65° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠1＝60°， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAD＝2∠CAD＝2×60°＝120°， ∵AD∥BC， ∴∠2＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°． 故选：C． 【即学即练2】 2．一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线a∥b，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 【答案】B 【解答】解：过B作BD∥b， ∵a∥b， ∴BD∥a， ∴∠DBA＝∠1＝25°， ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝35°， ∴∠2＝∠CBD＝35°． 故选：B． 【即学即练3】 3．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，使点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，若∠1＝30°，则∠2＝（　　） A．112° B．110° C．106° D．105° 【答案】D 【解答】解：由题意可得， 由折叠的性质知：∠3＝∠4， ∵∠1＝30°，∠1+∠3+∠4＝180°， ∴∠3＝∠4＝75°， ∵ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠2＝180°﹣75°＝105°， 则∠2的度数为105°， 故选：D． 【即学即练4】 4．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【答案】D 【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠（2分）成两个角∠4和∠5， ∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台， ∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部， ∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°， ∵∠4+∠5＝∠2＝50°， ∴∠5＝50°﹣∠4＝20°， ∴∠3＝180°﹣∠5＝160°， 故选：D． 【即学即练5】 5．如图，已知AC∥DE，∠B＝50°，∠C＝22°，则∠E的度数是（　　） A．42° B．52° C．62° D．72° 【答案】D 【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝22°， ∴∠CAE＝∠B+∠C＝72°． 又∵AC∥DE， ∴∠E＝∠CAE＝72°． 故选：D． 【即学即练6】 6．如图，如果∠1+∠2＝180°，∠B＝∠C，那么AB与CD平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解，∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∠1+∠CGD＝180°．（平角的定义） ∴∠2＝∠①CGD ．（②　平角的定义　 ） ∴CE∥③BF ．（同位角相等，两直线平行） ∴∠C＝∠BFD．（④　两直线平行，同位角相等　 ） ∵∠B＝∠C，（已知） ∴∠B＝∠BFD．（⑤　等量代换　 ） ∴AB∥CD．（⑥　内错角相等，两直线平行　 ） 【答案】CGD；平角的定义；BF；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠1+∠CGD＝180°（平角的定义）， ∴∠2＝∠CGD（同角的补角相等）， ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠B＝∠BFD（等量代换）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：CGD；平角的定义；BF；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【即学即练7】 7．如图，已知∠1＝48°，∠2＝132°，∠C＝∠D． （1）求证：BD∥CE； （2）若∠A＝40°，求∠F的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠F＝40°． 【解答】（1）证明：∵∠1＝48°，∠2＝132°， ∴∠1+∠2＝180°， ∴BD∥CE； （2）解：∵BD∥CE， ∴∠C＝∠ABD， 又∵∠C＝∠D， ∴∠ABD＝∠D， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠F＝40°． 题型01 平行线的性质求角度 【典例1】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠CFE，交AB于点G，若∠EFD＝60°，则∠BGF的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】C 【解答】解：∵∠EFD＝60°， ∴∠EFC＝180°﹣∠EFD＝180°﹣60°＝120°， ∵FG平分∠CFE， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠BGF＝∠CFG＝60°（两直线平行，内错角相等）， 故选：C． 【变式1】如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．145° B．135° C．125° D．45° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵a∥b，∠1＝55°， ∴∠3＝∠1＝55°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠3+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣55°＝125°． 故选：C． 【变式2】如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．20° C．40° D．50° 【答案】A 【解答】解：如图， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵m∥n，∠1＝60°， ∴∠CAD＝∠1＝60°， ∴∠2＝180°﹣∠BAC﹣∠CAD＝30°， 故选：A． 【变式3】光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且a∥b，现有一束光线CD从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成DE，F为射线CD延长线上一点，已知∠1＝130°，∠2＝20°，则∠3的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵a∥b，∠1＝130°， ∴∠CDG＝180°﹣∠1＝50°， ∴∠FDH＝∠CDG＝50°， ∵∠2＝20°， ∴∠3＝∠FDH﹣∠2＝30°． 故选：C． 题型02 平行线与直角三角板 【典例1】将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 【答案】B 【解答】解：由题意得：BC∥DF，∠ACB＝45°，∠EDF＝30°， ∴∠BCD＝∠EDF＝30°， ∵∠BCD+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴30°+45°+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝105°， ∴∠1＝105°， 故选：B． 【变式1】如图，直线a∥b，将直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．125° 【答案】A 【解答】解：如图： ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝55°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠BAC＝35°， 故选：A． 【变式2】一把直尺与一块直角三角板如图方式摆放，若∠2＝37°，则∠1的度数是（　　） A．43° B．53° C．57° D．63° 【答案】B 【解答】解：如图， 由题意得：∠E＝∠F＝45°，AB∥DC， ∴∠ABF＝∠DCF（两直线平行，同位角相等）， ∵∠2＝37°， ∴∠ABF＝180°﹣∠F﹣∠2＝180°﹣45°﹣37°＝98°， ∴∠DCF＝98°， ∴∠1＝∠DCF﹣∠E＝98°﹣45°＝53°， 故选：B． 题型03 平行线与折叠 【典例1】将一条长方形纸带按如图方式折叠，若∠1＝112°，则∠2的度数为（　　） A．34° B．44° C．39° D．56° 【答案】A 【解答】解：如图所示， ∵长方形纸带的对边平行，∠1＝112°， ∴∠3＝∠1＝112°． 由折叠可知， 2∠2+∠3＝180°， ∴∠2． 故选：A． 【变式1】如图，将长方形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若∠CFE＝52°，则∠FAE的度数是（　　） A．18° B．19° C．30° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵∠CFE＝52°， ∴∠AFD＝180°﹣90°﹣52°＝38°， ∵CD∥AB， ∴∠BAF＝∠AFD＝38°， 由折叠的性质得到∠BAE＝∠FAE， ∴∠FAE38°＝19°． 故选：B． 【变式2】如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFG＝50°，则∠BGE的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】A 【解答】解：根据翻折的性质，得∠DEF＝∠GEF， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG，∠BGE＝∠DEG＝2∠DEF， ∵∠EFG＝50°， ∴∠DEF＝50°， ∴∠BGE＝2∠DEF＝100°． 故选：A． 【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】C 【解答】解：∵∠B＝50°，CE∥AB， ∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°， 由折叠可知，∠BCD＝∠ECD65°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝25°． 故选：C． 题型04 平行线间的拐点问题 【典例1】直角三角板和直尺如图放置．若∠2＝35°，则∠1的度数为（　　） A．35° B．25° C．45° D．15° 【答案】B 【解答】解：如图，过E作EF∥AB， 则AB∥EF∥CD，∠2＝35°， ∴∠GEF＝∠1（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠HEF＝35°（两直线平行，内错角相等）， 由已知条件得∠GEF+∠HEF＝60°， ∴∠1+∠2＝60°， ∴∠1＝25°． 故选：B． 【变式1】某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知AB∥CD，∠BAE＝82°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是（　　） A．38° B．44° C．46° D．48° 【答案】A 【解答】解：如图，延长DC交AE于F， ∵AB∥FD，∠BAE＝82°， ∴∠CFE＝∠BAE＝82°， ∵∠DCE＝120°， ∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝120°﹣82°＝38°， 故选：A． 【变式2】如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（　　） A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠1+∠2 D．180°﹣∠2+∠1 【答案】D 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠BCD， ∵CD∥EF， ∴∠2+∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝180°﹣∠2， ∴∠BCE＝∠BCD+∠ECD＝∠1+180°﹣∠2， ∴∠BCE＝180°﹣∠2+∠1． 故选：D． 题型05 平行线的判定与性质综合 【典例1】把下面解答过程补充完整．如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3． （1）试说明AB∥DE； 说明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠1＝∠DEC （　两直线平行，内错角相等　 ）， 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴∠B＝∠DEC（等量代换）， ∴AB∥DE（　同位角相等，两直线平行　 ）． （2）AF与DC的位置关系如何？为什么？ 解：AF与DC的位置关系是AF∥DC ，理由如下： ∵AB∥DE（已知）， ∴∠2＝∠AGD （两直线平行，内错角相等）． 又∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠　3　 ＝∠AGD （等量代换）， ∴AF∥DC（　内错角相等，两直线平行　 ）． 【答案】（1）DEC；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行； （2）AF∥DC，AGD；两直线平行，内错角相等；3，AGD；内错角相等，两直线平行． 【解答】解：（1）BC∥AD， ∴∠1＝∠DEC（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠1＝∠B， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：DEC；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行； （2）AF与DC的位置关系是AF∥DC，理由如下： ∵AB∥DE（已知）， ∴∠2＝∠AGD（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠2＝∠3， ∴∠3＝∠AGD（等量代换）， ∴AF∥DC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：平行，AGD；两直线平行，内错角相等；3，AGD；内错角相等，两直线平行． 【变式1】如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠CGD． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠1+∠2＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数． 【答案】（1）∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠CGD，且∠AGE＝∠CGD， ∴∠A＝∠D， ∴AB∥CD； （2）50° 【解答】（1）证明：∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠CGD，且∠AGE＝∠CGD， ∴∠A＝∠D， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝∠AHB， ∴∠AHB+∠2＝180°， ∴CE∥BF， ∴∠BEC+∠B＝180°． 又∵∠BEC＝2∠B+30°， ∴2∠B+30°+∠B＝180°， ∴∠B＝50°． ∵AB∥CD， ∴∠HFD＝∠B＝50°． ∵CE∥BF， ∴∠C＝∠HFD＝50°． 【变式2】学习完平行线的性质和判定后，某数学兴趣小组结合潜望镜的结构设计了一款类似潜望镜的探视镜，平面示意图如图所示，EF，MN分别表示互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面EF上，反射光线为BC，此时∠ABF＝∠1＝30°，同理，光线BC经镜面MN反射后的反射光线为CD，此时∠2＝∠5． （1）求∠5的度数； （2）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）∠5＝30°； （2）AB∥CD，理由见解析． 【解答】解：（1）∵EF∥MN，∠ABF＝∠1＝30°， ∴∠2＝∠1＝30°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠5＝∠2＝30°； （2）AB∥CD， ∵∠ABF＝∠1＝∠2＝∠5， ∠3＝180°﹣（∠1+∠ABF），∠4＝180°﹣（∠2+∠5）， ∴∠3＝∠4， ∴AB∥CD． 【变式3】如图，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）判断AB与CD是否平行，并说明理由； （2）若∠D＝40°，∠EMF＝80°，求∠AEP的大小． 【答案】（1）平行，理由见解析； （2）120°． 【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下： ∵∠2＝∠3， ∴CP∥FN， ∴∠C＝∠FND， 又∵∠C＝∠1， ∴∠1＝∠FND， ∴AB∥CD； （2）∵CP∥FN， ∴∠2＝∠EMF＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠FED＝∠D＝40°， ∴∠BEC＝∠2+∠FED＝80°+40°＝120°， ∴∠AEP＝∠BEC＝120°． 1．如图，AB∥CD，AE能平分∠BAC交CD于点E，若∠C＝48°，则∠AED的度数是（　　） A．66° B．104° C．114° D．132° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠C+∠CAB＝180°， ∵∠C＝48°， ∴∠CAB＝180°﹣48°＝132°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAB＝66°， ∵AB∥CD， ∴∠EAB+∠AED＝180°， ∴∠AED＝180°﹣66°＝114°， 故选：C． 2．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝44°17′，则∠2＝（　　） A．46°43′ B．45°43′ C．45°83′ D．44°17′ 【答案】B 【解答】解：∵a∥b，AC⊥b，∠1＝44°17′， ∴∠ABC＝∠1＝44°17′（两直线平行，同位角相等），∠ACB＝90°（垂直的定义）， ∴∠2＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣44°17′﹣90°＝45°43′， 故选：B． 3．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝85°，点E、F在BC的延长线上，∠D＝60°，AB∥CD，则∠DEF的度数为（　　） A．95° B．110° C．115° D．120° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝45°，∠ACB＝85°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣45°﹣85°＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠DCE＝∠B＝50°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠DCE＝70°， ∴∠DEF＝180°﹣∠DEC＝180°﹣70°＝110°． 故选：B． 4．如图，已知直线AB∥CD，若∠B＝150°，∠CHE＝30°，则∠FGD的大小为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】D 【解答】解：∵直线AB∥CD，∠B＝150°， ∴∠D＝180°﹣150°＝30°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠FHD＝∠CHE＝30°， ∴∠FGD＝∠FHD+∠D＝30°+30°＝60°． 故选：D． 5．将一个含有45°的三角板按如图所示，摆放在一组平行线内，∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．45° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【解答】解：如图，过直角顶点作直线l∥a， ∵a∥b， ∴l∥a∥b， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝70°， 故选：C． 6．当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若∠1＝110°，则∠2的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【答案】A 【解答】解：如图： 由题意得：AB∥CE， ∴∠1+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝180°﹣∠1＝70°， ∵AC∥BE， ∴∠2＝∠ACE＝70°， 故选：A． 7．如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角r，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为（　　） A．40° B．50° C．30° D．25° 【答案】A 【解答】解：如图， ∵DK⊥OA，∠i＝50°， ∴∠i＝∠r＝50°，∠ADK＝∠1+∠r＝90°， ∴∠1＝40°， ∵CD∥OB， ∴∠AOB＝∠1＝40°， 故选A． 8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝130°，∠ADC＝50°，求证：∠1＝∠2．证明过程如下，则“…”处补充的过程为（　　） 证明：∵∠A＝130°，∠ADC＝50°，…，∴∠1＝∠2． A．∴∠A+∠ADC＝180°，∴AD∥BC B．∴∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD C．∴∠ADB+∠2＝50° D．∴AD∥BC 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝130°，∠ADC＝50°， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠2， 故A、C、D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 9．一副三角板按如图所示的方式摆放，∠C＝∠F＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°．若AB∥DF，则∠1的度数为（　　） A．15° B．18° C．20° D．25° 【答案】A 【解答】解：如图： ∵∠C＝∠F＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°． ∴∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵AB∥DF， ∴∠F＝∠AOE＝90°， ∴∠3＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠1＝∠3﹣∠E＝60°﹣45°＝15°， 故选：A． 10．已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　） ①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°； ②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°； ③如图（2）中，若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°； ④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM∠CDF，则∠M＝（）°． A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°， ∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确， ∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°， ∴∠ABE+∠CDE＝280°， ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确， 与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM（∠ABF+∠CDF）， ∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE， ∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确， 由题意，④不一定正确， ∴①②③正确， 故选：C． 11．如图，在一个弯形管道ABCD中，已知拐角∠BCD＝60°，管道AB∥CD，则∠ABC＝　120　 °． 【答案】120． 【解答】解：由题知， ∵AB∥CD， ∴∠BCD+∠ABC＝180°． 又∵∠BCD＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°． 故答案为：120． 12．如图，DE∥BC，DF∥AC．若∠1＝110°，则∠2＝　70　 度． 【答案】70． 【解答】解：∵DE∥BC，∠1＝110°， ∴∠C＝∠1＝110°（两直线平行，同位角相等）， ∵DF∥AC， ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣110°＝70°（两直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：70． 13．如图，这是生活中常见的一种折叠拦道闸示意图，已知AB垂直于地面BE于点B，CD平行于地面BE，已知∠BAC＝150°，则∠ACD的度数为　120°　 ． 【答案】120°． 【解答】解：过点A作AF∥CD， ∵CD∥BE， ∴CD∥AF∥BE， ∴∠CAF+∠ACD＝180°，∠FAB+∠ABE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB垂直于地面BE于点B， ∴∠ABE＝90°， ∴∠FAB＝90°， ∴∠CAF＝∠BAC﹣∠FAB＝150°﹣90°＝60°， ∴∠ACD＝120°， 故答案为：120°． 14．将一副三角尺（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，要使AB∥EF，则∠1的度数应为　105°　 ． 【答案】105°． 【解答】解：∵∠E＝45°， ∵AB∥EF， ∴∠E＝∠EDB＝45°， 又∵∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴∠1＝∠EDB+∠B＝105°， 故答案为：105°． 15．如图，一束激光PA射入水面，在点A处发生折射，折射光线AB在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线PA保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线CD∥AB．若∠1＝52°，∠2＝28°，则∠3的度数为　80°　 ． 【答案】80°． 【解答】解：∵∠1＝52°，∠2＝28°， ∴∠CEB＝∠1+∠2＝80°， ∵EC∥BD，CD∥AB， ∴∠3＝∠4＝∠CEB＝80°． 故答案为：80°． 16．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，点E是BC延长线上一点，EG⊥AB于点G，交AC于点F，且∠1＝∠E．求证：CD平分∠ACB． 【答案】∵CD⊥AB，EG⊥AB， ∴∠CDA＝∠EGA＝90°（垂直的定义）， ∴CD∥EG（同位角相等，两直线平行）， ∴∠ACD＝∠1（两直线平行，内错角相等），∠BCD＝∠E（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝∠E， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴CD平分∠ACB． 【解答】证明：∵CD⊥AB，EG⊥AB， ∴∠CDA＝∠EGA＝90°（垂直的定义）， ∴CD∥EG（同位角相等，两直线平行）， ∴∠ACD＝∠1（两直线平行，内错角相等），∠BCD＝∠E（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝∠E， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴CD平分∠ACB． 17．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由． 如图：已知∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2． 证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°，（已知） ∴∠A+∠ABC＝　180　 °． ∴AD∥BC．（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ） ∴∠1＝　∠3　 ．（ 　两直线平行，内错角相等　 ） ∵BD⊥DC，EF⊥DC，（已知） ∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°．（ 　垂直的定义　 ） ∴∠BDF＝∠EFC＝90°． ∴BD∥EF．（ 　同位角相等，两直线平行　 ） ∴∠2＝　∠3　 ．（ 　两直线平行，同位角相等　 ） ∴∠1＝∠2．（ 　等量代换　 ） 【答案】180；同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换． 【解答】证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）， ∴∠A+∠ABC＝180°． ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠1＝∠3 （两直线平行，内错角相等 ）． ∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）， ∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）． ∴∠BDF＝∠EFC＝90°． ∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）． ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（等量代换）． 故答案为：180；同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换． 18．如图，在四边形BCDE中，A为CB延长线上一点，连接AD交BE于点F，且∠A＝∠ADE． （1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； （2）若∠C＝∠E，求证：BE∥CD． 【答案】（1）∠C＝45°； （2）∵∠A＝∠ADE ∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）， ∴∠E＝∠ABE（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠C＝∠E， ∴∠C＝∠ABE（等量代换）， ∴BE∥CD（同位角相等，两直线平行）． 【解答】（1）解：∵∠A＝∠ADE， ∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）， ∴∠EDC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠EDC＝3∠C， ∴4∠C＝180°． 解得∠C＝45°； （2）证明：∵∠A＝∠ADE ∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）， ∴∠E＝∠ABE（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠C＝∠E， ∴∠C＝∠ABE（等量代换）， ∴BE∥CD（同位角相等，两直线平行）． 19．如图，∠1＝∠EAB，∠E+∠2＝180°． （1）判断EF与AC的位置关系，并证明； （2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数． 【答案】（1）EF∥AC，证明见解答过程； （2）∠BCD＝60°． 【解答】解：（1）EF∥AC， 证明：∵∠1＝∠EAB， ∴AE∥DC， ∴∠2＝∠EAC， ∵∠E+∠2＝180°， ∴∠E+∠EAC＝180°， ∴EF∥AC； （2）由（1）得EF∥AC， ∵BF⊥EF， ∴BC⊥AC， ∴∠ACB＝90°， ∵AC平分∠EAB，∠EAB＝60°， ∴∠EAC＝30°， ∵由（1）可知AE∥DC， ∴∠2＝∠EAC＝30°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠2＝90°﹣30°＝60°． 20．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，AB∥CD，M是AB，CD之间的一点，连接BM，DM，试说明：∠B+∠D＝∠BMD； 【灵活运用】 （2）如图2，AB∥CD，M，N是AB，CD之间的两点，当时，请找出∠BMN和∠MNC之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，AB∥CD，E，F，G均是AB，CD之间的点，如果∠E+∠F＝2∠G＝70°，直接写出∠B+∠D的度数． 【答案】（1）见解析； （2）2∠MNC＝∠BMN；理由见解析； （3）∠B+∠D＝35°． 【解答】（1）证明：如图（1）过M作ME∥AB， ∵ME∥AB， ∴∠B＝∠BME， ∵AB∥CD， ∴ME∥CD， ∴∠D＝∠DME， ∵∠BME+∠DME＝∠BMD， ∴∠B+∠D＝∠BMD； （2）解：2∠MNC＝∠BMN；理由如下： 如图（2）：过M作ME∥AB，过N作NF∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥ME∥NF∥CD， ∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠C， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴2∠MNC＝∠BMN； （3）解：∠B+∠D＝35°． 作EM∥AB，GN∥CD，FP∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥GN∥FP∥CD， ∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D， ∵∠E+∠F＝2∠G＝70°， ∴∠EGF＝35°， ∴∠3+∠4＝35°，即∠2+∠5＝35°， ∵∠BEG+∠GFD＝∠1+∠2+∠5+∠6＝70°， ∴∠1+∠6＝35°，即∠B+∠D＝35°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.6 平行线的性质 教学目标 1. 掌握平行线的性质，并能够利用平行线的性质熟练的求相关角的度数，结合平行线的判定证明角的关系。 教学重难点 1. 重点 （1）平行线的性质。 2. 难点 （1）平行线的性质的基本应用； （2）平行线的性质与直角三角板及其折叠问题； （3）平行线间的拐点问题； （4）平行线的判定与性质综合。 知识点01 平行线的性质 1. 平行线的性质： 性质 文字语言 数学语言 性质1 两直线平行，同位 角 ∵ ∴∠1 ∠2 性质2 两直线平行，内错 角 ∵ ∴∠1 ∠2 性质3 两直线平行，同旁 内角 ∵ ∴∠＋∠2＝ 【即学即练1】 1．如图，直线AD∥BC，AC平分∠BAD．若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．65° B．50° C．60° D．70° 【即学即练2】 2．一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线a∥b，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 【即学即练3】 3．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，使点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，若∠1＝30°，则∠2＝（　　） A．112° B．110° C．106° D．105° 【即学即练4】 4．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【即学即练5】 5．如图，已知AC∥DE，∠B＝50°，∠C＝22°，则∠E的度数是（　　） A．42° B．52° C．62° D．72° 【即学即练6】 6．如图，如果∠1+∠2＝180°，∠B＝∠C，那么AB与CD平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解，∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∠1+∠CGD＝180°．（平角的定义） ∴∠2＝∠① ．（②　 　 ） ∴CE∥③ ．（同位角相等，两直线平行） ∴∠C＝∠BFD．（④　 　 ） ∵∠B＝∠C，（已知） ∴∠B＝∠BFD．（⑤　 　 ） ∴AB∥CD．（⑥　 　 ） 【即学即练7】 7．如图，已知∠1＝48°，∠2＝132°，∠C＝∠D． （1）求证：BD∥CE； （2）若∠A＝40°，求∠F的度数． 题型01 平行线的性质求角度 【典例1】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠CFE，交AB于点G，若∠EFD＝60°，则∠BGF的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【变式1】如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．145° B．135° C．125° D．45° 【变式2】如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．20° C．40° D．50° 【变式3】光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且a∥b，现有一束光线CD从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成DE，F为射线CD延长线上一点，已知∠1＝130°，∠2＝20°，则∠3的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 题型02 平行线与直角三角板 【典例1】将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 【变式1】如图，直线a∥b，将直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．125° 【变式2】一把直尺与一块直角三角板如图方式摆放，若∠2＝37°，则∠1的度数是（　　） A．43° B．53° C．57° D．63° 题型03 平行线与折叠 【典例1】将一条长方形纸带按如图方式折叠，若∠1＝112°，则∠2的度数为（　　） A．34° B．44° C．39° D．56° 【变式1】如图，将长方形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若∠CFE＝52°，则∠FAE的度数是（　　） A．18° B．19° C．30° D．45° 【变式2】如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFG＝50°，则∠BGE的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 题型04 平行线间的拐点问题 【典例1】直角三角板和直尺如图放置．若∠2＝35°，则∠1的度数为（　　） A．35° B．25° C．45° D．15° 【变式1】某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知AB∥CD，∠BAE＝82°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是（　　） A．38° B．44° C．46° D．48° 【变式2】如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（　　） A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠1+∠2 D．180°﹣∠2+∠1 题型05 平行线的判定与性质综合 【典例1】把下面解答过程补充完整．如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3． （1）试说明AB∥DE； 说明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠1＝∠ （　 　 ）， 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴∠B＝∠DEC（等量代换）， ∴AB∥DE（　 　 ）． （2）AF与DC的位置关系如何？为什么？ 解：AF与DC的位置关系是 ，理由如下： ∵AB∥DE（已知）， ∴∠2＝∠ （两直线平行，内错角相等）． 又∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠　 　 ＝∠ （等量代换）， ∴AF∥DC（　 　 ）． 【变式1】如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠CGD． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠1+∠2＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数． 【变式2】学习完平行线的性质和判定后，某数学兴趣小组结合潜望镜的结构设计了一款类似潜望镜的探视镜，平面示意图如图所示，EF，MN分别表示互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面EF上，反射光线为BC，此时∠ABF＝∠1＝30°，同理，光线BC经镜面MN反射后的反射光线为CD，此时∠2＝∠5． （1）求∠5的度数； （2）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【变式3】如图，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）判断AB与CD是否平行，并说明理由； （2）若∠D＝40°，∠EMF＝80°，求∠AEP的大小． 1．如图，AB∥CD，AE能平分∠BAC交CD于点E，若∠C＝48°，则∠AED的度数是（　　） A．66° B．104° C．114° D．132° 2．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝44°17′，则∠2＝（　　） A．46°43′ B．45°43′ C．45°83′ D．44°17′ 3．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝85°，点E、F在BC的延长线上，∠D＝60°，AB∥CD，则∠DEF的度数为（　　） A．95° B．110° C．115° D．120° 4．如图，已知直线AB∥CD，若∠B＝150°，∠CHE＝30°，则∠FGD的大小为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 5．将一个含有45°的三角板按如图所示，摆放在一组平行线内，∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．45° B．60° C．70° D．80° 6．当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若∠1＝110°，则∠2的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 7．如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角r，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为（　　） A．40° B．50° C．30° D．25° 8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝130°，∠ADC＝50°，求证：∠1＝∠2．证明过程如下，则“…”处补充的过程为（　　） 证明：∵∠A＝130°，∠ADC＝50°，…，∴∠1＝∠2． A．∴∠A+∠ADC＝180°，∴AD∥BC B．∴∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD C．∴∠ADB+∠2＝50° D．∴AD∥BC 9．一副三角板按如图所示的方式摆放，∠C＝∠F＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°．若AB∥DF，则∠1的度数为（　　） A．15° B．18° C．20° D．25° 10．已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　） ①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°； ②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°； ③如图（2）中，若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°； ④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM∠CDF，则∠M＝（）°． A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 11．如图，在一个弯形管道ABCD中，已知拐角∠BCD＝60°，管道AB∥CD，则∠ABC＝　 　 °． 12．如图，DE∥BC，DF∥AC．若∠1＝110°，则∠2＝　 　 度． 13．如图，这是生活中常见的一种折叠拦道闸示意图，已知AB垂直于地面BE于点B，CD平行于地面BE，已知∠BAC＝150°，则∠ACD的度数为　 　 ． 14．将一副三角尺（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，要使AB∥EF，则∠1的度数应为　 　 ． 15．如图，一束激光PA射入水面，在点A处发生折射，折射光线AB在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线PA保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线CD∥AB．若∠1＝52°，∠2＝28°，则∠3的度数为　 　 ． 16．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，点E是BC延长线上一点，EG⊥AB于点G，交AC于点F，且∠1＝∠E．求证：CD平分∠ACB． 17．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由． 如图：已知∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2． 证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°，（已知） ∴∠A+∠ABC＝　 　 °． ∴AD∥BC．（ 　 　 ） ∴∠1＝　 　 ．（ 　 　 ） ∵BD⊥DC，EF⊥DC，（已知） ∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°．（ 　 　 ） ∴∠BDF＝∠EFC＝90°． ∴BD∥EF．（ 　 　 ） ∴∠2＝　 　 ．（ 　 　 ） ∴∠1＝∠2．（ 　 　 ） 18．如图，在四边形BCDE中，A为CB延长线上一点，连接AD交BE于点F，且∠A＝∠ADE． （1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； （2）若∠C＝∠E，求证：BE∥CD． 19．如图，∠1＝∠EAB，∠E+∠2＝180°． （1）判断EF与AC的位置关系，并证明； （2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数． 20．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，AB∥CD，M是AB，CD之间的一点，连接BM，DM，试说明：∠B+∠D＝∠BMD； 【灵活运用】 （2）如图2，AB∥CD，M，N是AB，CD之间的两点，当时，请找出∠BMN和∠MNC之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，AB∥CD，E，F，G均是AB，CD之间的点，如果∠E+∠F＝2∠G＝70°，直接写出∠B+∠D的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $