专题02 平行线的判定和性质（5大题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题02 平行线的判定和性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行线的判定与性质进行计算 1 题型二、利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 5 题型三、利用平行线的判定与性质确定角度定值问题 10 题型四、利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 18 题型五、利用平行线的判定与性质解决旋转问题 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行线的判定与性质进行计算 1．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，． (1)求证：； (2)若OE平分，，求后支架与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由对顶角相等和已知条件可证明，则可证明； （2）可证明，得到，再由平角的定义和角平分线的定义得到，据此由平行线的性质可得． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：∵扶手与底座都平行于地面， ， ， ， ∴， ∵平分， ， ， ． 2．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：平分 、 ． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点，在边上，连接，，，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用平行线的判定及性质即可求证结论； （2）利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 题型二、利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 5．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）如图，分别过点E，F作，，证明，可得，，证明，可得，从而可得结论； （2）如图，过点F作，由（2）知，，设，则，证明，，证明，，可得，从而可得答案． 【详解】（1）数量关系为， 证明：如图，分别过点E，F作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； （2）如图，过点F作， 由（1）知，， 设，则， 平分，GF平分， ，， ， ，， ∴， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质探究角度的大小关系是解本题的关键． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补；角平分线将角分为相等的两部分是解题的关键． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用平行线的性质得出的度数，再结合角平分线的定义求出； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析与的关系； （3）通过角的等量关系和已知条件，求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． 平分，平分， ， ， ． （2）不变，． 证明：， ， 平分， ， ． （3）解：， ， 当时，， ， ． 由（1）可知，， ． 【点睛】本题考查平行线与角平分线的综合应用，掌握利用平行线的性质得出角的关系，结合角平分线的定义进行角的计算与推导是解题的关键． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【详解】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 题型三、利用平行线的判定与性质确定角度定值问题 9．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． (1)当时，求的度数； (2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)当时，的度数为 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）根据提议设，则，由此即可求解； （3）设，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵分别平分和， ； （2）解：为定值， ∵平分， ∴设， ， ， ， 为定值，这个定值为2； （3）解：∵平分， ∴设， 由（2）知：， ， ，， ， ， ， ， 又， ． ∴当时，的度数为． 10．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）如图，为射线上一动点，连接，作平分，交于点，作平分，交于点． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当时，求的度数． (3)请说明在点的运动过程中，的值是否为定值．若是定值，请求出的度数，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，角度的计算，熟练掌握平行线的性质，角平分线的性质是解题的关键， （1）由于可得．根据平行线的性质可得 ．进而推出．再利用角平分线的性质得到. （2）由于可得．根据平行线的性质可得，，再利用角平分线的性质得到，根据平行线的性质可得，可推出，再由平分，； （3）由平行线的性质得到，从而得到，再由角平分线的性质得到从而得到，即可得以，由于，，的值为定值． 【详解】（1）解： ． ． ． 平分， . （2）解： ． ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， （3）解：的值是定值， ， ， 平分平分， ， ， ， ，即， 易证， ， 是定值，． 11．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图1，已知直线．点A、B在直线上，点C、D在上．线段交点E，且． (1)求的值； (2)如图2，当F、G分别在线段上，，，标记为，为． ①若，求的度数： ②当_______时，为定值，此时定值为_______°． 【答案】(1) (2)①；②当时，为定值，此时定值为 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，则，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，则，通过计算，令计算结果中的的系数为 0 即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， 由（1）可得：，，， ， ， ①， ， ， ； ② ， 当，即时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． (1)【问题初探】 如图1，两直线，和直角三角形，其中，，，若，则的度数为______________； (2)【实践探究】 如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现是一个定值，这个定值是________________； 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，过点作，请你在图2中补全辅助线并完成关于这个定值的证明过程． (3)【拓展延伸】 如图3，，点在上，，，设，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质求角度的计算是关键． （1）根据平角得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求解； （2）如图所示，过点作，则，可得，，由，即可求解； （3）如图所示，过点作，过点作，则，可得，，，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下， 证明：如图所示，过点作，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作，过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型四、利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 13．（24-25七年级下·河南三门峡·期中）某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点顺时针旋转，当落在直线上时，三角板停止运动． (1)如图1，________； (2)当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数； 【答案】(1) (2)，图见解析 【分析】本题主要考查了三角板中角度的相关计算，根据平行线的性质求角的度数，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）利用平角的定义求解即可． （2）利用平行的性质得出，即可求出，再结合已知条件利用平角的定义即可求出． 【详解】（1）解：∵，． ∴， 故答案为：； （2）解：三角板的位置如下图： ∵， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25七年级下·河北保定·期中）综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）平分，理由见解析；（3）或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出的度数； （2）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出平分； （3）依题意有以下4中情况：①当，且点C在的右侧时，则，由此可得出的度数；②当，且点C在的上方时，则；③当，且点C在的左侧时，则，④当，且点C在的下方时，则，由此可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）平分； 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）依题意有以下4中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示： ∴， ∴； ②当，且点C在的上方时，如图②所示： ∴； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示： ∴， ④当，且点C在的下方时，如图④所示： ∴， ∴， 综上所述：的度数是或或或． 15．（24-25七年级下·山西晋中·期中）综合与探究 问题情境： 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点重合，其中，，，然后三角板不动，三角板绕点旋转． 操作探究： （1）图1中，若，判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）当三角板绕点旋转到图2的位置，，求的度数； 深入思考： （3）在三角板绕点旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． （1）根据平行线的判定方法进行判断即可； （2）过点A作，根据平行线的性质得出则，，最后求出结果即可； （3）分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当在上方时，如图所示： ∵，， ∴； 当在下方时，如图所示： ∵，， ∴； 综上分析可知：或． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______； (2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 【答案】(1)75 (2)①53；② (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）把，，代入计算即得； （2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：如图，当在的上方时，当在的下方的位置时，再结合平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①当时，， ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）解：如图，当在的上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 当在的下方的位置时， 此时旋转过的角度为， ∴， 解得：； 综上：当时，直接写出三角板的运动时间为或． 题型五、利用平行线的判定与性质解决旋转问题 17．（24-25七年级下·湖北·期中）某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． (1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． (2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)3秒，58秒，93秒，118秒 (3)能垂直，A灯旋转秒或45秒 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决此题的关键是分类讨论、由平行的性质列出每种情况的等量关系； （1）求出，，根据得，即可得出结论； （2）先计算出第一次到达需要时间，设A灯旋转时间为t秒，分类讨论列出一元一次方程，再分情况讨论求解即可； （3）设A灯旋转秒时，分类列出一元一次方程讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ∵， ， ， ． （2）设A灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要（秒）， ，即． 由题意可知，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行， ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得； ⑤，解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，满足条件的的值为3秒，58秒，93秒，118秒． （3）设A灯旋转秒时，与互相垂直， ①，解得； ②，解得； 即当A灯旋转秒或45秒时，与互相垂直． 18．（25-26七年级上·江苏·假期作业）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，转至后停止旋转；射线绕点逆时针旋转至后停止旋转．若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直？ (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为，则这两个非负数均等于． （1）依据，即可得到,的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直， 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， 解得， 故至少旋转秒时，射线、射线互相垂直； （3）设射线转动秒时，射线、射线互相平行， 如图，射线绕点顺时针先转动秒后，转动至的位置，， ①当到达前，，， ， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当到达后，，，， ， ， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行． 19．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 20．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）如图，某水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的，处分别设置了一盏可以不断匀速旋转的探照灯．设两岸，垂直于河岸，点处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设点处探照灯旋转的时间记为，单位： (1)如图1，若点处探照灯先旋转后，点处探照灯才开始旋转． ①填空：当时， ， ． ②探究：能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行的情形？若能，求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由． (2)设两灯同时开始旋转，当两盏探照灯射出的光线在河面上的点处互相垂直时，请你直接写出符合题意的值（温馨提醒：本小题可不必书写解题过程！） 【答案】(1)①20，60；②会出现两盏探照灯射出的光线互相平行，或或； (2)的值为或． 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①由题意得到，当时，，即可求出，求出旋转的时间，即可求出； ②根据题意分情况讨论求解即可； （2）设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相垂直，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∵两岸，垂直于河岸， ∴， ∴， 由题意可得：旋转的时间为：， ∴， 故答案为：； ②会出现两盏探照灯射出的光线互相平行， ∵， ∴， ∴即从开始旋转到后又反向旋转回到了，即：旋转了， ∵， ∴即从开始旋转两次到后又反向旋转了，即：旋转了， 当时，如图①： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图②： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图③： 类同可得： ， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 当时，如图③： 类同可得：， ∴， 解得：， 当时，如图③： 类同可得：， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 当 时，如图④： 类同可得：， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 综上：或或； （2）解：设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相垂直， ①当时，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即， 解得：，此时，两光线交于点，不符合题意； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：，此时，两光线交于点，不符合题意； 综上，的值为或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·福建福州·模拟预测）在同一平面内，将直尺和一副直角三角尺按如图方式摆放，若含角的直角三角尺的顶点D放在含角的直角三角尺的斜边上，且，则的大小为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质得出，由角的和差即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，连接，平分，点E为延长线上一点，连接，的平分线交的延长线于点G，交于点F，且．则与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算.根据平行线的性质，结合角平分线平分角，得到，，根据平角的定义结合垂直和角平分线，推出，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，的平分线交的延长线于点G， ∴，， 由条件可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即. 故选：C． 二、填空题 4．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在的位置上．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查折叠的性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，属于常考题型． 根据平行线的性质可得，利用折叠的性质可得，再利用平角的定义即可解决问题． 【详解】解：∵由题意可知：， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）将三角板如图所示放置，，，，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，且时，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由得，由，得，所以，由得，且，由角平分线的定义得，最后根据即可得解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ，且， 平分， ， ， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·河南周口·期末）一副直角三角尺如图1所示叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点按箭头方向转动至图2位置（点在的延长线上）的过程中，当与三角形的边所在直线平行时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质和判定、角的运算，根据与三角尺的一直角边平行，分以下两种情况讨论，①时，②当时，根据这两种情况，分别利用平行线的性质求解，即可解题． 【详解】解：①时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 有， ， ， ， 故答案为：或． 三、解答题 7．（22-23七年级下·陕西安康·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)若于点H，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质． （1）根据同位角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得，再等量代换可得，进而证出结论； （2）结合（1）根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·四川雅安·阶段练习）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，，． (1)若，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，请说明理由； (3)若按住三角板不动，绕顶点C转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)或，理由见详解． 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键． （1）根据直角可求解的度数，再由即可求解； （2）根据直角表示，再由即可求解； （3）分情况讨论，根据平行线的判定定理，即“同旁内角互补，两直线平行”和“内错角相等，两直线平行”，由此求解即可 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴， ∵ ∴， 即； （3）解：当为或时，， 由“同旁内角互补，两直线平行”，如图， 即， ∵， ∴； 由“内错角相等，两直线平行”，如图， 即， ∵， ∴； ∴当为或时，． 9．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】(1)否 (2)图见解析，，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）根据角的定义即可解答； （2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明； （3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧， ∴点P与点Q不共点， ∴和没有公共顶点， ∴和不可能为对顶角， 故答案为：否； （2）解：补全图形，如图， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：分以下四种情况： 当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 综上，α与β之间的数量关系为或或． 10．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图1、图2，直线，被射线所截，且，P是射线上的定点，点Q在射线上，连接，过点Q作，与直线交于点E，且． (1)如图1，当点Q与点N重合时，求的度数； (2)若点Q在线段上（点Q不与点M，N重合）． ①依题意，在图2中补全图形； ②猜想与之间的数量关系，并证明； (3)当点Q在线段的延长线上，且时，求的度数． 【答案】(1) (2)①答案见解答过程；②，证明见解答过程 (3)或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，垂直定义，角的计算，熟练掌握平行线的性质，垂直定义，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）根据得，再根据，得，然后根据可得出答案； （2）①依题意补全图形即可； ②过点作，想证明，则，，进而得，由此可得与之间的数量关系； （3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况：①当在点的右侧时，过点作，先求出，再证得，，然后根据可得出答案；②当点在点的左侧时，过点作，先求出，同理，，然后根据可得出答案，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， ， ； （2）解：①依题意补全图形如图2所示： ②与之间的数量关系是：． 证明如下：过点作，如图3所示： ， ， ，， ， ，， ， ， ； （3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况： ①当在点的右侧时，过点作，如图4所示： ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； ②当点在点的左侧时，过点作，如图5所示： ， ， ， ， 同理：，， ， ． 综上所述：的度数为或． 12．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【答案】(1)105 (2) (3)20或50或80 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解； （2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：105； （2）解：如图②，过点作， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①当且在上方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，， 由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02平行线的判定和性质 目录 A题型建模·专项突破 题型一、利用平行线的判定与性质进行计算.1 题型二、利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 5 题型三、利用平行线的判定与性质确定角度定值问题.…10 题型四、利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 18 题型五、利用平行线的判定与性质解决旋转问题… .24 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用平行线的判定与性质进行计算 1.(25-26八年级上辽宁丹东·期末)如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面 EF,前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交于点N,∠AOE=∠BNM. M (I)求证：OE∥DM; (2)若OE平分LA0F，L0DC=28°，求后支架0F与靠背DM的夹角L0DM的度数. 2.(25-26七年级上江苏常州期末)如图，直线AB与CD被直线EF所截，EF与AB,CD分别交于点P, O,且A01B0,∠1+∠2=90°. (I)试说明：AB∥CD; (2)若OB平分LD0E,L3=4L2,求∠OPB的度数 3.(25-26七年级上江苏无锡·期末)如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，点F, G在AC边上，连接DE,DF,GE,已知∠AFD=∠DEB,∠DFC+∠C=I80°. 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：DE∥AC; (2)若∠C=38°，EG平分∠DEC,求LEGC的度数， 4.(25-26八年级上全国期末)如图：己知，∠HC0=∠EBC,∠BHC+∠BEF=180°. E (1)求证：EF‖BH; (2)若BH平分∠EB0,EF⊥A0于F,∠HC0=64°，求∠CH0的度数. 题型二、利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系 5,(24-25七年级下.福建莆田·期中)如图1，己知AB∥CD,∠B=20°，∠D=110°. B →B 图1 图2 (I)探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由； (②)如图2，EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,FG的反向延长线交EP于点P,求∠P的度数. 6.(25-26七年级下·全国课后作业)如图，直线AB∥CD,BEC是一条折线段，BP平分∠ABE. 图① 图② (I)如图①，若BP∥CE,探究∠BEC和∠DCE的数量关系. (2)如图②，CQ平分∠DCE,直线BP,CQ交于点F,探究∠E和∠F的数量关系. 7.(25-26八年级上全国课后作业)如图，已知AM∥BN,∠A=60°，P是射线AM上一动点（不与点A 重合)，BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,交射线AM于点C,D. M N B (I)求∠CBD的度数. 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)当点P运动时，∠APB与∠ADB的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出 变化规律， (3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD的位置时，求∠ABC的度数. 8.(24-25七年级下·河南郑州期末)如图，点D在三角形ABC的边AC上（点D不与点A,C重合）， DE∥AB交BC于点E,DF∥BC交AB于点F. E F 备用图 (I)若点M是线段BF上任意一点（点M不与点B,F重合），连接DM,EM,补全图形解答下列问题： ①∠B=45°，则∠EDF= 0 ②用等式表示∠FDM、∠DME、∠BEM之间的数量关系，并证明 (2)若点M在线段AF上（点M不与点A,F重合），直接写出∠FDM、∠DME、∠BEM之间的数量关系. 题型三、利用平行线的判定与性质确定角度定值问题 9.(24-25七年级下广东广州期中)如图，己知射线AM∥BN,连接AB,点P是射线AM上的一个动点 (与点A不重合)，BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D. N B M D C A (1)当∠A=50°时，求∠CBD的度数： (2)判断<APB 是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由： ∠ADB 1 (3)当∠ACB=∠ABD时，求∠ADB+二∠A的度数： 4 10.(24-25七年级下·云南楚雄期末)如图，∠A=60°，AM∥BN,P为射线AM上一动点，连接BP,作BC平 分∠PBA,交AM于点C,作BD平分∠PBN,交AM于点D. D M C P DM N 图1 图2 (1)如图1，当BP⊥AM时，求∠ABC的度数 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，当BC⊥AM时，求∠PBD的度数. (3)请说明在点P的运动过程中，∠PCB+∠PDB的值是否为定值.若是定值，请求出LPCB+∠PDB的度数， 若不是定值，请说明理由. 11.(24-25七年级下·湖北武汉·月考)如图1，已知直线l∥12.点A、B在直线1上，点C、D在☑上.线 段AD、BC交点E,且∠BED=63°. B B G 图1 图2 (I)求LABE+LEDC的值； (2)如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，∠ABF=2∠FBE,∠EDG=2LGDC,标记∠BFE为∠1， LBGD为∠2 ①若∠1-∠2=12°，求∠ABC的度数： ②当k= 时，∠1+k∠2为定值，此时定值为 o. 12.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中)在综合与实践课上，同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线” 为背景开展数学活动. B m C 1 图2 图3 (1)【问题初探】 如图1，两直线m,n和直角三角形ABC,其中m∥n,∠BCA=90°，∠ABC=60°，若∠1=40°，则∠2的 度数为 (2)【实践探究】 如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，发现∠2-∠1是一个定值，这个定值是 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，过点B作BH∥m,请你在 图2中补全辅助线并完成关于这个定值的证明过程 (3)【拓展延伸】 如图3,4BCD,点E在CD上，乙ABG=兮ABF,3ZCEG+∠FED=I80,设∠BFE=a,请直接用含 a的代数式表示∠BGE. 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型四、利用平行线的判定与性质解决三角尺问题 13.(24-25七年级下河南三门峡期中)某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼 接在一起，其中边OA,0C与直线EF重合，∠A0B=45°，LC0D=30°，保持三角板C0D不动，将三角 板AOB绕着点O顺时针旋转，当OB落在直线EF上时，三角板AOB停止运动. 图1 图2 (1)如图1，∠B0D= o; (②)当三角板AOB旋转到某个位置，恰好AB∥OD,请在图2中画出此时三角板AOB的位置，并求出 ∠AOE的度数； 14.(24-25七年级下·河北保定·期中)综合与实践动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用 两块直角三角板（含30°的直角三角板DEF和含45°的直角三角板ABC)不同的摆放方式探究平行线的相 关问题， A(E 初步认知(1)如图1，将三角板 图1 图2 备用图1 备川图2 直角顶点A与E重合，若AF∥BC,则∠CAD= 深入探究王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答. (2)“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板ABC的顶点B放在三角板DEF的边DF上，若AC∥DF, BC平分∠ABF吗？请说明理由. (3)“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板DEF不动，三角板ABC绕点B旋转一周，在此过程中BC 与三角板DEF的某一边平行（不共线）时，请直接写出∠CBD的度数。 15.(24-25七年级下·山西晋中.期中)综合与探究 问题情境： 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动.如图1，将两个三角板叠放 在一起，使直角顶点A重合，其中∠BAC=∠DAE=90°，∠C=60°，∠D=45°，然后三角板ABC不动，三 角板ADE绕点A旋转. 操作探究： 5/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 备用图 (1)图1中，若∠DAB=45°，判断线段DE与AC的位置关系，并说明理由； (2)当三角板ADE绕点A旋转到图2的位置，DE∥BC,求∠DAC的度数； 深入思考： (3)在三角板ADE绕点A旋转的过程中，当∠DAB为多少度时，DE∥AB?请直接写出∠DAB的度数， 16.(24-25七年级下江苏扬州期中)【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边0A,0C在直线EF上，其中∠AOB=45°，∠COD=60°. B B 0 ① ② (I)填空：LB0D= (②)如图②，三角板C0D固定不动，将三角板A0B绕点0以每秒4°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中， 三角板AOB一直在∠EOD的内部，设三角板AOB运动时间为t秒， ①当t=2时，∠B0E=°； ②当t为何值时，∠B0E=2LBOD? (3)如图②，三角板COD固定不动，将三角板A0B绕点O以每秒4°的速度顺时针开始旋转一周，在转动过 程中，当AB∥OD时，直接写出三角板AOB的运动时间t. 题型五、利用平行线的判定与性质解决旋转问题 17.(24-25七年级下·湖北期中)某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道MN,QP上分别放置了A,B两 盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针 旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转5°，B灯每秒旋转1°，己知这两条景观道是平行的， 即MN∥QP. 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M A D P MC M N P 备用图 (①)如果B灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束AM'和BP'到达如图所示 的位置，请判断AM'与BP'的位置关系并说明理由. (②)如果B灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当B灯发出的光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行 时，请直接写出A灯转动的时间 (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束AM'逆时针旋转至AN然后回转到AM时，两灯同时停止旋转，在此 期间AM'所在直线与BP'所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说 明理由. 18.(25-26七年级上·江苏假期作业)如图，PQ∥MN,A、B分别为直线MN、P9上两点，且 LBAN=40°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，转至AM后停止旋转；射线BQ绕点B逆时 针旋转至BP后停止旋转.若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b秒，且Q、b满足 a-4+(b-12=0 B Q -P M M W A 备用图 (1)a=-,b=-; (②)若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直？ (3)若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问 射线BQ转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 19.(24-25七年级下·辽宁盘锦·期末)长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔 直且平行的长江两岸河堤MN，PQ上安装了A,B两盏激光探照灯如图所示.光线AM,按顺时针方向以每 秒4°的速度从AM旋转至AN便立即回转：光线BP按顺时针方向以每秒1°的速度从BP旋转至BQ便立即回 转. 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M M B 备用图 (I)若两灯同时旋转，A灯发出的光线AM,顺时针旋转到AN,然后回转到AM时，两灯同时停止旋转. ①当两灯旋转30秒时，判断光线AM,所在直线与光线BR所在直线的位置关系，并说明理由： ②除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时A灯的旋 转时间；若不能，请说明理由。 (2)如果B灯先旋转20秒，A灯才开始旋转.在B灯发出的光束第一次到达BQ之前，请直接写出A灯旋转 多少秒时，光线AM所在直线与光线BR所在直线平行. 20.(24-25七年级下·福建龙岩期中)如图，某水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的M，N处分 别设置了一盏可以不断匀速旋转的探照灯.设两岸AB∥CD,MN垂直于河岸，点M处探照灯射出的 光线自MB开始顺时针旋转，点N处探照灯射出的光线自NC开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋 转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点M处射出的光线每秒旋转2°，点N处 射出的光线每秒旋转4°，设点M处探照灯旋转的时间记为(0≤1≤180)，单位： M B M B 图1 备用图 (1)如图1，若点M处探照灯先旋转20(s后，点N处探照灯才开始旋转. ①填空：当t=35时，∠PMN=_°，∠QNC=_°. ②探究：能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行的情形？若能，求出所有满足条件t的值；若不能，请说 明理由. (②)设两灯同时开始旋转，当两盏探照灯射出的光线在河面上的点F处互相垂直时，请你直接写出符合题意 的t值（温馨提醒：本小题可不必书写解题过程！） B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上广东中山期中)如图，在ABC中，∠C=60°，直线DE经过点A,且DE∥BC,若 ∠DAB=20°，则∠BAC的度数为() 8/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D AE A.70° B.80 C.90 D.100° 2.(2025·福建福州模拟预测)在同一平面内，将直尺和一副直角三角尺按如图方式摆放，若含30°角的直 角三角尺的顶点D放在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且BC∥DF,则∠BDE的大小为() A.10° B.159 C.20° D.25 3.(24-25七年级下·陕西榆林·期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,连接BD,DB平分∠ADC, 点E为CB延长线上一点，连接AE,∠ABE的平分线BG交DA的延长线于点G,交AE于点F,且 GB⊥BD.则∠C与LG之间的数量关系为() G E B A.LC=∠G B.2LC=∠G C.∠C=2LG D.∠C=3LG 二、填空题 4.(25-26九年级上.宁夏银川期中)如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，点 C落在C的位置上.若∠BFE=65°，则∠AEB的度数为 D 5.(24-25七年级下·河北石家庄·期中)将三角板CDE如图所示放置，∠CED=90°，∠CDE=30°， 0°<∠AOB<90°，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M,且点M在点D的左 侧.若∠MDC的平分线DF交OB边于点F,且CE∥OA时，则∠OFD与∠AOB之间的数量关系为 9/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(23-24七年级上河南周口期末)一副直角三角尺如图1所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不 动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A按箭头方向转动至图2位置（点B在EA的延长线上）的过程中，当 BC与三角形ADE的边所在直线平行时，∠CAE的度数为 B D D C C E A B 图1 图2 三、解答题 7.(22-23七年级下陕西安康期末)如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交 于点H,∠C=∠EFG,LCED=∠GHD. M G (I)求证：AB∥CD; (2)若ED⊥FG于点H,∠D=30°，求∠AEM的度数 8.(24-25七年级下·四川雅安·阶段练习)如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中 ∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°. B 备用图 (I)若LBCD=150°，求∠ACE的度数； (2)试猜想LBCD与∠ACE的数量关系，请说明理由； (3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE,试探究LBCD等于多少度时，CD∥AB,并简要 10/12