专题19.3 二次根式的乘法（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

本初中数学讲义聚焦二次根式的乘法，系统梳理最简二次根式的概念（满足被开方数不含开得尽的因数或因式、不含分母、分母不含根号），二次根式乘法法则（根指数不变，被开方数相乘），以及积的算术平方根性质（非负数积的算术平方根等于算术平方根的积），构建从概念到法则再到性质的递进式学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固概念理解，“典例+变式”分层训练提升运算能力与推理意识，综合练习题涵盖判断、计算、化简等题型培养数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题19.3 二次根式的乘法 教学目标 1. 掌握最简二次根式的概念，并能够熟练的判断二次根式是否为最简二次根式。 2. 掌握二次根式的乘法运算法则，并能够熟练的对二次根式进行乘法运算。 3. 掌握积的算术平方根的性质，并能够结合二次根式的性质对二次根式进行化简。 教学重难点 1. 重点 （1）最简二次根式； （2）二次根式的乘法运算法则； （3）积的算术平方根。 2. 难点 （1）判断被开放式是式子的最简二次根式； （2）利用二次根式的乘法以及积的算术平方根对二次根式进行计算化简。 知识点01 最简二次根式 1. 最简二次根式满足的三个条件： ①被开方数不含开方开的尽的数。 ②根号下面不含分母。 ③分母里面不含根号。 注意：若被开方数是多项式时，要判断多项式能否进行因式分解，若不能进行因式分解，则为最简二次根式；若能进行因式分解，且分解的结果没有相同的式子，则也为最简二次根式。 【即学即练1】 1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、的被开方数不含分母，也无开得尽方的因数，选项是最简二次根式，符合题意； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数是能开得尽方的数，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 【即学即练2】 2．在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 知识点02 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则： 几个二次根式相乘，根指数不变，把被开方数相乘。即 。 拓展： 【即学即练1】 3．计算：（　　） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【解答】解：原式， 故选：B． 【即学即练2】 4．计算的结果是（　　） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【解答】解：原式4． 故选：C． 知识点03 积的算术平方根的性质 1. 积的算术平方根的性质： 两个非负数的积的算术平方根等于 这两个非负数的算术平方根的积 。即 。 【即学即练1】 5．化简计算正确的结果是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【解答】解：原式2． 故选：B． 【即学即练2】 6．阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： 6，6； 　20　 ，　20　 ． 通过以上计算：猜想得出（a＞0，b＞0）＝　•　 ， （2）运用（1）中的结论进行化简： 例如：2：2． 请化简： ①； ②（a＞0，b＞0）． 【答案】（1）20；20；•； （2）3b． 【解答】解：（1）20， 4×5＝20； 猜想（a＞0，b＞0）•； 故答案为：20；20；•； （2）①3； ②••3b（a＞0，b＞0）． 【即学即练3】 7．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（a≥0；b≥0）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式6a； （2）原式＝22； （3）原式7； （4）原式＝210a； （5）原式＝﹣3a18ab． 题型01 判断最简二次根式 【典例1】下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、是最简二次根式； B、2，不是最简二次根式； C、|a|，不是最简二次根式； D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式； 故选：A． 【变式1】在根式①②③④中，最简二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【解答】解：①是最简二次根式； ②，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③是最简二次根式； ④3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． ①③是最简二次根式，故选C． 【变式2】在式子、、、中，是最简二次根式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，被开方数不含能开得尽方的因数，也没有分母，是最简二次根式； ，被开方数不含能开得尽方的因式，也没有分母，是最简二次根式； 综上所述，是最简二次根式的个数是2个． 故选：B． 【变式3】在式子中，是最简二次根式的式子有（　　）个． A．2 B．3 C．1 D．0 【答案】B 【解答】解：根据条件（1），排除，； 根据条件（2），排除． 最简二次根式有三个：，，，故选B． 题型02 二次根式的乘法运算 【典例1】计算的结果是（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【解答】解：原式6， 故选：B． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）3． 【解答】解：（1）； （2） ＝3． 【变式2】计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式5； （2）原式x； （3）原式＝﹣515； （4）原式＝23354． 【变式3】计算： （1） （2）2 （3） （4）3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式 ＝3； （2）原式＝232 ＝（2×3×2） ＝12 ＝120； （3）原式 ＝3； （4）原式＝（3） b2． 题型03 二次根式的化简 【典例1】化简： （1）　3　 ；（2）　　 ；（3）　3　 ；（4）　5　 ． 【答案】（1）3；（2）；（3）3；（4）5． 【解答】解：（1）原式＝3． 故答案为：3； （2）原式． 故答案为：； （3）原式＝3． 故答案为：3； （4）． 故答案为：5． 【变式1】化简． （1）． （2）•（a≥0）． （3）•． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式6； （2）∵a≥0， ∴原式|4a|＝4a； （3）原式＝630． 【变式2】化简： （1）； （2）； （3）（m＞0，n＞0） （4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）12×9＝108； （2）10； （3）（m＞0，n＞0） ＝2mn； （4）5． 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵，2，， 故选：B． 2．计算所得结果是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解答】解：， 故选：C． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据最简二次根式定义：最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐项分析判断如下： A： ＝ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： ＝ ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 4．下列从左到右的变形不一定正确的是（　　） A．• B． C． D．• 【答案】D 【解答】解：A、左边要求a≥0且b≥0，此时右边也有意义且等式成立，变形正确，故此选项不符合题意； B、，对任意实数a成立，变形正确，故此选项不符合题意； C、当a≥0，成立，变形正确，故此选项不符合题意； D、左边要求ab≥0，但当a＜0且b＜0时，ab＞0左边有意义，右边无意义，等式不成立，故变形不一定正确，故此选项符合题意． 故选：D． 5．二次根式中，其中是最简二次根式的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：：被开方数可因式分解为（a+1）（a+2），但无完全平方因式，是最简二次根式，符合题意； ：被开方数含y2（因y3＝y2•y），可化为，不是最简二次根式，不符合题意； ：被开方数，分母4是平方数，可化为，不是最简二次根式，不符合题意； ：被开方数为分式，含分母a﹣b，不是最简二次根式，不符合题意． 综上，只有1个是最简二次根式． 故选：B． 6．给出四个算式： （1）3412；（2）5•55；（3）2•36；（4）7． 其中正确的算式有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【解答】解：（1）3424，故本项错误； （2）5•525，故本项错误； （3）2•36，故本项正确； （4）7，故本项错误． 正确的只有（3）． 故选：C． 7．若，化简的结果是（　　） A．﹣3 B．5 C．2x﹣3 D．3﹣2x 【答案】B 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得： ∴x≥0，3﹣x≥0， ∴0≤x≤3， ∴x+1＞0，x﹣4＜0， ∴． 故选：B． 8．若与的积是一个有理数，则m的值可以是（　　） A．2 B．4 C．9 D．10 【答案】D 【解答】解：A、2，积不是有理数，不符合题意， B、2，积不是有理数，不符合题意， C、，积不是有理数，不符合题意， D、，积是有理数，符合题意． 故选：D． 9．已知a，b，用含a、b的代数式表示（　　） A．a+b B．2a C．2b D．ab 【答案】D 【解答】解：∵， ∴ab． 故选：D． 10．若m＝20222﹣2021×2022，，，则m，n，k的大小关系是（　　） A．m＜n＜k B．m＜k＜n C．n＜k＜m D．k＜n＜m 【答案】D 【解答】解：m＝20222﹣2021×2022＝2022×（2022﹣2021）＝2022×1＝2022， ∵m＝2022， ∴， ∴n＜m， ∵n＝2021， ∴， ∴k＜n＜m． 故选：D． 11．将二次根式化为最简二次根式　5　 ． 【答案】5 【解答】解：原式＝5， 故答案为：5 12．等式成立的条件是x≥1　 ． 【答案】x≥1 【解答】解：由题意可得， ， 解得x≥1． 13．若 是最简二次根式，且a为整数，则a的最小值是 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由题意得3a+1≥0， 解得， ∵a为整数， ∴当a＝0时，，不是最简二次根式，舍去； 当a＝1时，，不是最简二次根式，舍去； 当a＝2时，，是最简二次根式； 故答案为：2． 14．若最简二次根式与相等，则a＝　1　 ． 【答案】1 【解答】解：根据题意得a+1＝2，2a+5＝4a+3b， 所以a＝1，b＝1． 故答案为1． 15．观察下列各式：；；．猜测　10301　 ． 【答案】10301． 【解答】解：猜测1002+3×100+1＝10301， 故答案为：10301． 16．计算． （1）； （2）2； （3）2•； （4）． 【答案】（1）3； （2）42； （3）2y； （4）． 【解答】解：（1） ＝3； （2）2 ＝6 ＝6×7 ＝42； （3）2• ＝2 ＝2y； （4） ． 17．已知和是相等的最简二次根式． （1）求a，b的值； （2）求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵和是相等的最简二次根式， ∴． 解得，， ∴a的值是0，b的值是2； （2）2． 18．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+21+22＝（1）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+bm2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b的值； （2）试着把7+4化成一个完全平方式． 【答案】（1）a＝m2+3n2，b＝2mn； （2）7+4（2）2． 【解答】解：（1）∵a+b（m+n）2， ∴a+bm2+2mn+3n2， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn； （2）7+44+43＝（2）2． 19．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）　　 ，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为　71　 ． 【答案】【猜想】（1），证明见解析；【推理证明】（2）见解析；【创新应用】（3）71． 【解答】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）由条件可知a＝8，b＝a2﹣1， ∴b＝82﹣1＝63， ∴a+b＝8+63＝71， 故答案为：71． 20．探究过程：（1）；（2）；（3）；（4） 观察计算过程： （1）按照上面的思路解法，计算； （2）请你用含n（n＞0）的式子表示上面过程中的规律； （3）应用根据上面解题方法解决下面的数学问题： 如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 【答案】（1）50；（2）；（3）757． 【解答】解：（1）由题意可得， ； （2）由探究规律可得， ； （3）设大正方形的边长为a， 由图1和图2的面积相等可得：，即7562+1513＝a2， ∴， 即大正方形的边长为757． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.3 二次根式的乘法 教学目标 1. 掌握最简二次根式的概念，并能够熟练的判断二次根式是否为最简二次根式。 2. 掌握二次根式的乘法运算法则，并能够熟练的对二次根式进行乘法运算。 3. 掌握积的算术平方根的性质，并能够结合二次根式的性质对二次根式进行化简。 教学重难点 1. 重点 （1）最简二次根式； （2）二次根式的乘法运算法则； （3）积的算术平方根。 2. 难点 （1）判断被开放式是式子的最简二次根式； （2）利用二次根式的乘法以及积的算术平方根对二次根式进行计算化简。 知识点01 最简二次根式 1. 最简二次根式满足的三个条件： ①被开方数不含开方开的尽的数。 ②根号下面不含分母。 ③分母里面不含根号。 注意：若被开方数是多项式时，要判断多项式能否进行因式分解，若不能进行因式分解，则为最简二次根式；若能进行因式分解，且分解的结果没有相同的式子，则也为最简二次根式。 【即学即练1】 1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则： 几个二次根式相乘，根指数不变，把被开方数相乘。即 。 拓展： 【即学即练1】 3．计算：（　　） A．6 B． C． D．1 【即学即练2】 4．计算的结果是（　　） A． B． C．4 D．2 知识点03 积的算术平方根的性质 1. 积的算术平方根的性质： 两个非负数的积的算术平方根等于 。即 。 【即学即练1】 5．化简计算正确的结果是（　　） A．4 B．2 C． D． 【即学即练2】 6．阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： 6，6； 　 　 ，　 　 ． 通过以上计算：猜想得出（a＞0，b＞0）＝　 ， （2）运用（1）中的结论进行化简： 例如：2：2． 请化简： ①； ②（a＞0，b＞0）． 【即学即练3】 7．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（a≥0；b≥0）． 题型01 判断最简二次根式 【典例1】下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在根式①②③④中，最简二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【变式2】在式子、、、中，是最简二次根式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】在式子中，是最简二次根式的式子有（　　）个． A．2 B．3 C．1 D．0 题型02 二次根式的乘法运算 【典例1】计算的结果是（　　） A．3 B．6 C． D． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【变式2】计算： （1） （2） （3） （4） 【变式3】计算： （1） （2）2 （3） （4）3． 题型03 二次根式的化简 【典例1】化简： （1）　 　 ；（2） ；（3）　 　 ；（4）　 　 ． 【变式1】化简． （1）． （2）•（a≥0）． （3）•． 【变式2】化简： （1）； （2）； （3）（m＞0，n＞0） （4）． 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．计算所得结果是（　　） A． B． C．2 D． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列从左到右的变形不一定正确的是（　　） A．• B． C． D．• 5．二次根式中，其中是最简二次根式的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．给出四个算式： （1）3412；（2）5•55；（3）2•36；（4）7． 其中正确的算式有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 7．若，化简的结果是（　　） A．﹣3 B．5 C．2x﹣3 D．3﹣2x 8．若与的积是一个有理数，则m的值可以是（　　） A．2 B．4 C．9 D．10 9．已知a，b，用含a、b的代数式表示（　　） A．a+b B．2a C．2b D．ab 10．若m＝20222﹣2021×2022，，，则m，n，k的大小关系是（　　） A．m＜n＜k B．m＜k＜n C．n＜k＜m D．k＜n＜m 11．将二次根式化为最简二次根式 　 ． 12．等式成立的条件是 　 ． 13．若 是最简二次根式，且a为整数，则a的最小值是 　 　 ． 14．若最简二次根式与相等，则a＝　 ． 15．观察下列各式：；；．猜测　 　 ． 16．计算． （1）； （2）2； （3）2•； （4）． 17．已知和是相等的最简二次根式． （1）求a，b的值； （2）求的值． 18．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+21+22＝（1）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+bm2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b的值； （2）试着把7+4化成一个完全平方式． 19．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1） 　 ，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为　 　 ． 20．探究过程：（1）；（2）；（3）；（4） 观察计算过程： （1）按照上面的思路解法，计算； （2）请你用含n（n＞0）的式子表示上面过程中的规律； （3）应用根据上面解题方法解决下面的数学问题： 如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $