专题19.2 二次根式的性质（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题19.2 二次根式的性质 教学目标 1. 掌握二次根式的非负性，并能够结合绝对值，偶次方等的非负性灵活运用。 2. 掌握二次根式的其他性质，并能够在解决问题时熟练的应用。 教学重难点 1. 重点 （1）二次根式的性质。 2. 难点 （1）利用二次根式的性质化简及其求取值范围； （2）利用二次根式为整数求值（易错点）。 知识点01 二次根式的性质 1. 二次根式的性质： 二次根式具有双重非负性，二次根式本身 大于等于 0，被开方数 大于等于 0。 即 ≥ 0， ≥ 0。 考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0 初中的三大非负数类型：、、 【即学即练1】 1．已知，那么（a+b）2025＝（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：∵， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， 解得：a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1， 故选：A． 【即学即练2】 2．若，则a+b3+c2的算术平方根（　　） A．4 B．16 C．±4 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：∵b2﹣4b+4＝（b﹣2）2， ∴原式可化为， ∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3， ∴a+b3+c2＝﹣1+23+（﹣3）2＝16， ∵， ∴a+b3+c2的算术平方根为4， 故选：A． 知识点02 的性质 1. 的性质： 一个非负数的算术平方根的平方等于 它本身 。即 a 。 【即学即练1】 3．若，则a＝（　　） A． B． C．±5 D．5 【答案】D 【解答】解：原式＝5． 故选：D． 【即学即练2】 4． 　2025　 ． 【答案】2025． 【解答】解：2025， 故答案为：2025． 知识点03 的性质 1. 的性质： 一个数的平方的算术平方根等于 这个数的绝对值 。即 |a| 。再根据a的正负去绝对值符号。 【即学即练1】 5．化简：　π﹣3　 ． 【答案】π﹣3 【解答】解：∵3﹣π＜0， ∴原式＝|3﹣π| ＝π﹣3． 故答案为：π﹣3． 【即学即练2】 6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简的值是 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：由数轴知0＜a＜5， 则a﹣5＜0， ∴原式＝a﹣（a﹣5） ＝a﹣a+5 ＝5， 故答案为：5． 【即学即练3】 7．若，则a的取值范围是　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据二次根式的性质可知：3﹣2a≥0， 解得， 故答案为：． 【即学即练4】 8．若成立，则a的取值范围是　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据二次根式有意义条件可知2a﹣3|＝2a﹣3， 根据绝对值的意义，当且仅当2a﹣3≥0时，该等式成立， 解得2a≥3， 即 ． 故答案为：． 【即学即练5】 9．已知是正整数，则正整数n的最小值是 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：3， ∵n是正整数，也是一个正整数， ∴n的最小值为2． 故答案为：2． 题型01 二次根式的性质 【典例1】下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列各式中，正确的是（　　） A．5 B．5 C．±5 D．±5 【答案】B 【解答】解：A、5，故错误； B、5，正确； C、5，故错误； D、5，故错误； 故选：B． 【变式2】若a+|a|＝0，则的值是（　　） A．2 B．﹣2a C．2或﹣2a D．2a 【答案】C 【解答】解：∵a+|a|＝0， ∴|a|＝﹣a， ∵|a|≥0， ∴a≤0， 则 ＝|a+1|+|a﹣1| ＝|a+1|+1﹣a， 当a＜﹣1时，则|a+1|+1﹣a＝﹣a﹣1+1﹣a＝﹣2a； 当﹣1≤a≤0时，则|a+1|+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2； 故选：C． 题型02 二次根式的非负性 【典例1】已知，则（a﹣b）2的平方根是　±5　 ． 【答案】±5． 【解答】解：根据算术平方根的非负性求出a，b的值可得：a﹣3＝0，b﹣8＝0， ∴a＝3，b＝8， ∴（a﹣b）2＝（3﹣8）2＝25， ∴（a﹣b）2的平方根是． 故答案为：±5． 【变式1】若，则xyz的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：∵， ∴x﹣2＝0，y+5＝0，z+1＝0， ∴x＝2，y＝﹣5，z＝﹣1， ∴xyz＝10， 故选：A． 【变式2】若，则a2023•b2024＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵，即（2b﹣1）2＝0，而， ∴a+2＝0，2b﹣1＝0， 解得a＝﹣2，， ∴a2023•b2024＝（﹣2）2023•（）2024 ＝（﹣2）2023•（）2023 ＝（﹣2）2023 ＝﹣1 ． 故答案为：． 题型03 利用二次根式的性质化简 【典例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（　　） A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a 【答案】B 【解答】解：由数轴得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|， ∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0， ∴原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝2b+2c﹣a， 故选：B． 【变式1】若﹣1≤x≤7，化简： 　6﹣2x ． 【答案】6﹣2x． 【解答】解：∵﹣1≤x≤7， ∴x﹣7≤0、x+1≥0， ∴原式 ＝7﹣x﹣（x+1） ＝7﹣x﹣x﹣1 ＝6﹣2x． 【变式2】若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5 【答案】A 【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7， ∴3﹣n＜0，8﹣n＞1， 原式＝|3﹣n|+|8﹣n| ＝﹣（3﹣n）+（8﹣n） ＝﹣3+n+8﹣n ＝5， 故选：A． 【变式3】已知a，b，c为三角形的三边，则a+b+c ． 【答案】a+b+c 【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边， ∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a， ∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0， ∴|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|＝a+b﹣c+a+c﹣b+b+c﹣a＝a+b+c． 故答案为：a+b+c． 题型04 利用二次根式的性质求取值范围 【典例1】若，则a的取值范围是（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5 【答案】D 【解答】解：若， 则a﹣5≤0， 解得a≤5， 故选：D． 【变式1】若a﹣5，则a的取值范围是（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5 【答案】C 【解答】解：∵0 且a﹣5， ∴a﹣5≥0，解得a≥5． 故选：C． 【变式2】如果1﹣3a，则（　　） A．a B．a C．a D．a 【答案】B 【解答】解：∵1﹣3a， ∴1﹣3a≥0， ∴﹣3a≥﹣1， ∴a， 故选：B． 题型05 根据二次根式是整数求值 【典例1】若是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：根据算术平方根的非负性可得，10﹣a≥0， 解得：a≤10， 由条件可知正整数a＝10或9或6或1， 则满足条件的最大正整数a的值是10， 故答案为：10． 【变式1】已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：， ∵二次根式的值是正整数，其中n为整数， ∴n的最小值为3， 故答案为：3． 【变式2】已知n是一个正整数，是整数，那么n的最小值为　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵， ∴n的最小值为3． 故答案为：3． 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、a，原计算错误，不符合题意； B、±a，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、a+b，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 2．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（a为“勾”，b为“股”，c为“弦”）．若“勾”为2，“股”为3，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【解答】解：若“勾”为2，“股”为3， 则， ∵9＜13＜16， ∴34， 则“弦”在如图所示数轴上可表示在C点， 故选：C． 3．已知，则（x﹣y）2025的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023 【答案】B 【解答】解：已知， （x﹣1）2＝0，， ∴x＝1，y＝2， ∴x﹣y＝﹣1， ∴（x﹣y）2025＝（﹣1）2025＝﹣1， 故选：B． 4．若2＜a＜3，则（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5 【答案】D 【解答】解：因为2＜a＜3， 所以a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5， 故选：D． 5．若，则a的值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣2 【答案】D 【解答】解：∵， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1， ∴a的值可以是﹣2． 故选：D． 6．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：（　　） A．2a B．0 C．2a﹣2b D．2b 【答案】C 【解答】解：由数轴得，b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a﹣b＞0， ∴原式＝|a|+|a﹣b|+|b| ＝a+a﹣b﹣b ＝2a﹣2b． 故选：C． 7．如果一个三角形的三边长分别为3、a、7，则化简后为（　　） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．15﹣2a 【答案】C 【解答】解：一个三角形的三边长分别为3、a、7， ∴4＜a＜10， ∴a﹣4＞0，a﹣11＜0， ∴， 故选：C． 8．当0＜a＜1时，化简（　　） A．a B．﹣a C．a D．a 【答案】B 【解答】解：∵0＜a＜1， ∴a， ∴|a|a， 故选：B． 9．已知，当x分别取1，2，3，⋯，2025时，所对应y值的总和是（　　） A．2027 B．2025 C．4048 D．4052 【答案】D 【解答】解：由条件可知，需分两种情况讨论如下： a．当 x≤2 时，|x﹣2|＝2﹣x， ∴y＝（2﹣x）﹣x+4＝6﹣2x， x取1和2： x＝1时，y＝6﹣2×1＝4， x＝2时，y＝6﹣2×2＝2， ∴总和为 4+2＝6； b．当x＞2时，|x﹣2|＝x﹣2， ∴y＝（x﹣2）﹣x+4＝2； x从3到2025，共2023个值，每个y＝2， ∴和为2023×2＝4046， 综上，6+4046＝4052． 故选：D． 10．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解： ， 故选：D． 11．计算：　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：2+5＝7， 故答案为：7． 12．若，则a的取值范围是 a≥5　 ． 【答案】a≥5 【解答】解：∵， ∴， ∴a﹣5≥0， ∴a≥5， 故答案为：a≥5． 13．二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵是一个整数，24＝4×6， ∴正整数a的最小值为6． 故答案为：6． 14．若1＜x＜2，化简　2x﹣3　 ． 【答案】2x﹣3． 【解答】解：原式， ∵1＜x＜2， ∴x﹣1＞0，x﹣2＜0， ∴原式＝x﹣1﹣（2﹣x） ＝x﹣1+x﹣2 ＝2x﹣3． 故答案为：2x﹣3． 15．已知，且xy＜0，则xy＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴， ∴，（|y|﹣2）2＝0， ∴，|y|﹣2＝0， ∴y＝±2， 当y＝2时，，（无意义，舍去）； 当y＝﹣2时，，，解得x＝±3， ∵xy＜0，y＝﹣2， ∴x＞0， ∴x＝3， ∴xy， 故答案为：． 16．通过计算下列各式的值探究问题： （1）①　4　 ；； ②　2　 ， 探究：对于任意负有理数　﹣a ． 综上，对于任意有理数　|a|　 ． （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示． 化简：． 【答案】（1）4，2，﹣a，|a|； （2）﹣a﹣3b． 【解答】解：（1）①；②； 由归纳出：对于任意负有理数a，； 由；0，归纳出：对于任意有理数a，， 故答案为：4，2，﹣a，|a|； （2）观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，a﹣b＜0，a+b＜0 ＝﹣a﹣b﹣[﹣（a﹣b）]+[﹣（a+b）] ＝﹣a﹣b+a﹣b﹣a﹣b ＝﹣a﹣3b． 17．阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答： 化简：． 解：隐含条件1﹣3x≥0，解得． ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x． 启发应用：已知△ABC三条边的长度分别是，，．记△ABC的周长为C△ABC． （1）若x＝2，求C△ABC的值； （2）请用含x的代数式表示△ABC的周长C△ABC（结果要求化简），并写出x的取值范围． 【答案】（1）5； （2）5． 【解答】解：（1）当x＝2时，C△ABC4 3+4﹣2 ＝5． （2）由二次根式有意义的条件可得x+1＞0，4﹣x≥0，且5﹣x≠0， 解得：﹣1＜x≤4， 则C△ABC4 （5﹣x）+4﹣（4﹣x） 5﹣x+4﹣4+x 5． 18．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）下列式子中，②，③，　③　 是根分式（填写序号即可）； （2）写出根分式中x的取值范围 x≥1且x≠2　 ； （3）已知两个根分式，若M2﹣N2＝1，求x的值． 【答案】（1）③． （2）x≥1且x≠2． （3）x＝1． 【解答】解：（1）由题意可知：③是根分式． 故答案为：③． （2）由题意可知：， 解得：x≥1且x≠2． 故答案为：x≥1且x≠2． （3）M2，N2， ∵M2﹣N2＝1， ∴1， 1， x2﹣8x+8＝x2﹣4x+4， ﹣4x＝﹣4， x＝1， 经检验：x＝1是原方程的解． 19．（1）当2≤a≤5时，化简；　3　 ； （2）若，求a的值； （3）已知实数a，b满足，求a2+b2的最大值． 【答案】（1）3； （2）a的值为﹣2或6； （3）25． 【解答】解：（1）由条件可知， 故答案为：3． （2）由可得，|a+1|+|a﹣5|＝8， 当a＜﹣1时，﹣（a+1）﹣（a﹣5）＝8， 解得a＝﹣2； 当﹣1≤a≤5时，a+1﹣（a﹣5）＝8，不成立； 当a＞5时，a+1+（a﹣5）＝8， 解得a＝6； ∴a的值为﹣2或6． （3）由条件可知|a﹣1|+|a+4|+|b+3|+|b﹣1|＝9， 又∵|a﹣1|+|a+4|≥5，当且仅当﹣4≤a≤1时取等号， |b+3|+|b﹣1|≥4，当且仅当﹣3≤b≤1时取等号， ∴|a﹣1|+|a+4|＝5，﹣4≤a≤1， 且|b+3|+|b﹣1|＝4，﹣3≤b≤1， ∴当a＝﹣4，b＝﹣3时，a2+b2取最大值为（﹣4）2+（﹣3）2＝25． 20．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如；，下面我们观察：，反之，，∴，∴．根据以上材料，求： （1）； （2）； （3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）m+n＝a，mn＝b， 理由： ∵， ∴， ∴， ∴m+n＝a，mn＝b．． 【解答】解：（1）原式； （2）原式1； （3）m+n＝a，mn＝b， 理由： ∵， ∴， ∴， ∴m+n＝a，mn＝b． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.2 二次根式的性质 教学目标 1. 掌握二次根式的非负性，并能够结合绝对值，偶次方等的非负性灵活运用。 2. 掌握二次根式的其他性质，并能够在解决问题时熟练的应用。 教学重难点 1. 重点 （1）二次根式的性质。 2. 难点 （1）利用二次根式的性质化简及其求取值范围； （2）利用二次根式为整数求值（易错点）。 知识点01 二次根式的性质 1. 二次根式的性质： 二次根式具有双重非负性，二次根式本身 0，被开方数 0。 即 0， 0。 考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0 初中的三大非负数类型：、、 【即学即练1】 1．已知，那么（a+b）2025＝（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【即学即练2】 2．若，则a+b3+c2的算术平方根（　　） A．4 B．16 C．±4 D．﹣4 知识点02 的性质 1. 的性质： 一个非负数的算术平方根的平方等于 。即 。 【即学即练1】 3．若，则a＝（　　） A． B． C．±5 D．5 【即学即练2】 4． 　 　 ． 知识点03 的性质 1. 的性质： 一个数的平方的算术平方根等于 。即 。再根据a的正负去绝对值符号。 【即学即练1】 5．化简：　 　 ． 【即学即练2】 6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简的值是 　 　 ． 【即学即练3】 7．若，则a的取值范围是　 　 ． 【即学即练4】 8．若成立，则a的取值范围是 ． 【即学即练5】 9．已知是正整数，则正整数n的最小值是 　 　 ． 题型01 二次根式的性质 【典例1】下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，正确的是（　　） A．5 B．5 C．±5 D．±5 【变式2】若a+|a|＝0，则的值是（　　） A．2 B．﹣2a C．2或﹣2a D．2a 题型02 二次根式的非负性 【典例1】已知，则（a﹣b）2的平方根是　 　 ． 【变式1】若，则xyz的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3 【变式2】若，则a2023•b2024＝ 　 ． 题型03 利用二次根式的性质化简 【典例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（　　） A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a 【变式1】若﹣1≤x≤7，化简： 　 ． 【变式2】若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5 【变式3】已知a，b，c为三角形的三边，则 ． 题型04 利用二次根式的性质求取值范围 【典例1】若，则a的取值范围是（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5 【变式1】若a﹣5，则a的取值范围是（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5 【变式2】如果1﹣3a，则（　　） A．a B．a C．a D．a 题型05 根据二次根式是整数求值 【典例1】若是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是　 　 ． 【变式1】已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为　 　 ． 【变式2】已知n是一个正整数，是整数，那么n的最小值为　 　 ． 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（a为“勾”，b为“股”，c为“弦”）．若“勾”为2，“股”为3，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 3．已知，则（x﹣y）2025的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023 4．若2＜a＜3，则（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5 5．若，则a的值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣2 6．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：（　　） A．2a B．0 C．2a﹣2b D．2b 7．如果一个三角形的三边长分别为3、a、7，则化简后为（　　） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．15﹣2a 8．当0＜a＜1时，化简（　　） A．a B．﹣a C．a D．a 9．已知，当x分别取1，2，3，⋯，2025时，所对应y值的总和是（　　） A．2027 B．2025 C．4048 D．4052 10．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 11．计算：　 　 ． 12．若，则a的取值范围是 　 ． 13．二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 　 　 ． 14．若1＜x＜2，化简　 　 ． 15．已知，且xy＜0，则xy＝ 　 ． 16．通过计算下列各式的值探究问题： （1）①　 　 ；； ②　 　 ， 探究：对于任意负有理数　 ． 综上，对于任意有理数　 　 ． （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示． 化简：． 17．阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答： 化简：． 解：隐含条件1﹣3x≥0，解得． ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x． 启发应用：已知△ABC三条边的长度分别是，，．记△ABC的周长为C△ABC． （1）若x＝2，求C△ABC的值； （2）请用含x的代数式表示△ABC的周长C△ABC（结果要求化简），并写出x的取值范围． 18．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）下列式子中，②，③，　 是根分式（填写序号即可）； （2）写出根分式中x的取值范围 　 ； （3）已知两个根分式，若M2﹣N2＝1，求x的值． 19．（1）当2≤a≤5时，化简；　 　 ； （2）若，求a的值； （3）已知实数a，b满足，求a2+b2的最大值． 20．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如；，下面我们观察：，反之，，∴，∴．根据以上材料，求： （1）； （2）； （3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $