7.3 定义、命题、定理&7.4 平移-【学海风暴】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步备课（人教版2024）

7.3定义 知识要点扫描 1.定义 名称 内容 作用 揭示了它的本质特 对数学对象进行清晰 征，能帮助我们准确 定义 明确的描述，称为数学 地理解它，并作出准 对象的定义 确的判断 2.命题 项目 内容 判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述句， 定义 叫作命题 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知 结构 事项，结论是由已知事项推出的事项 通常可以写成“如果…那么…”的形式， 表达 这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接 形式 的部分是结论 被判断为正确（或真）的命题叫作真命题； 分类 被判断为错误（或假）的命题叫作假命题 3.定理与证明 名称 定义 作用 经过推理证实得到的真命题 作为继续推理 定理 叫作定理 的依据 在很多情况下，一个命题的正 验证一个命题 证明 确性需要经过推理才能作出 的真假 判断，这个推理过程叫作证明 已经典例题剖析 -d 【例】已知命题“绝对值相等的两个数互为 相反数”. (1)将此命题改写成“如果…那么…” 的形式； (2)判断该命题的真假， 【解】(1)如果两个数的绝对值相等，那么 这两个数互为相反数。 (2)该命题是假命题. 【点拨】在改写过程中，不能简单地把题设 14 七年级数学RJ版 命题、定理 部分、结论部分分别写在“如果”“那么”后面，要 适当增减词语，保证句子通顺且不改变原意。 色基础对点训练 知识点①定义 1.“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫 作数轴”这个句子是 A.定义 B.命题 C.基本事实 D.定理 知识点②命题的定义及结构 2.命题：同角的余角相等.将该命题改写成“如 果…那么…”的形式： 知识点③ 真命题与假命题 3.(2024高安期中)下列命题中，真命题的个数 是 () ①数轴上的点与实数一一对应； ②内错角相等： ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么 这两条直线也互相平行； ④直线外一点到直线的距离是垂线段. A.1 B.2 C.3 D.4 知识点④定理与证明 4.(2024赣州于都期中)给出下面三个论断： ①∠B=∠E;②AB∥DE;③BC∥EF.请以 其中的两个论断为条件，填入“题设”中，剩 下的论断为结论，填入“结论”中，使之成为 一个真命题，并加以证明 题设：如下图，BC与DE相交于点O, (填序号). 结论： (填序号). 7.4 知识要点扫描 1.平移的定义及性质 定义 一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移 动一定的距离，这样的图形运动叫作平移 要素 一是平移的方向，二是平移的距离 (1)新图形与原图形的形状和大小完全相同， 即平移前后的两个图形的对应边平行（或在同 性质 一条直线上)且相等，对应角相等： (2)连接各组对应点的线段平行（或在同一条 直线上)且相等 2.平移作图 步骤 示例 如下图，把三角形ABC (1)找：根据题目要 沿箭头方向平移1.3cm 求，寻找图形的平 得到三角形DEF,画出 移方向与平移距 平移后的三角形DEF 离；(2)定：确定原 D 图形上的关键点； (3)移：按照平移的 B 平移 方向和距离移动各 作图 方法：(1)沿箭头方向画 关键点，得到各关 射线AD,在射线AD上 键点的对应点； 截取AD=1.3cm,得到 (4)连：按照原图形 点A的对应点D;(2)以 的形状，顺次连接 相同的方法分别得到点 各对应点，得到平 B,C的对应点E,F; 移后的图形 (3)连接DE,EF,FD, 得到三角形DEF 经典例题剖析 【例】(2024黄山期中) 如右图，在三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=6,B E AC=8,BC=10,将三角形ABC沿直线BC向 右平移4个单位得到三角形DEF,连接AD. 有下列说法： ①AC∥DF,AC=DF; ②ED⊥DF; ③四边形ABFD的周长为30； 平移 ④AD:EC=2:3. 其中正确的是 (填序号). 【解】①②④ 【点拨】，三角形ABC沿直线BC向右平 移4个单位得到三角形DEF, ∴.AC∥DF,AC=DF=8,AD=CF=4, 故①说法正确； 由平移的性质，得∠EDF=∠BAC=90°， .ED⊥DF,故②说法正确； 由平移的性质，得四边形ABFD的周长= AB+BC+CF+DF+AD=6+10+4+8+4 =32,故③说法错误； 由平移的性质，得AD=BE=4, ..EC=BC-BE=10-4=6, .AD:EC=2:3,故④说法正确。 综上所述，其中正确的是①②④. 色基础对点训练 知识点① 平移的定义 1.(2024淮南谢家集区期末)下列各组图形，可 以由一个图形经过平移得到另一个图形的 是 CLn☐ 人◇ 2.甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早 期形式.下列甲骨文中，能用平移来分析其 形成过程的是 () B D 15yΛ 下册第七章 知识点②平移的性质 3.如图，将线段AB沿箭头方向平 移2cm得到线段CD.若AB= 3cm,则四边形ABDC的周长B 为 ( ）第3题图 A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.20 cm 4.(2024连云港)如图，正方形中有一个由若干 个长方形组成的对称图案，其中正方形的边 长是80cm,则图中阴影部分的周长是( ) A.440 cm B.320 cm C.280 cm D.160 cm 20 cm 80cm B 第4题图 第5题图 5.如图，三角形ABC的边BC长为10cm.将三角 形ABC向上平移4cm得到三角形A'B'C', 且BB⊥BC,则阴影部分的面积为 cm2. 6.如图，将长为6cm、宽为4cm的长方形AB- CD先向右平移2cm,再向下平移1cm,得到 长方形A'BCD',则阴影部分的面积为 cm. 30m 第6题图 第7题图 7.应用意识如图，某住宅小区内有一块长方 形草地，想在草地内修筑两条同样宽的“之” 字路，道路的宽为2m,则草地的面积为 m2. 8.(2024上饶余干期中)如下图，将三角形 ABC向右平移，得到三角形DEF (1)若∠1=40°，∠2=80°，求∠BAC的 度数； 16 七年级数学RJ版 (2)猜想∠BAD与∠BED的数量关系，并加 以证明 知识点③平移作图 9.如下图，在由边长为1个单位长度的小正方 形组成的网格中，三角形ABC的顶点A,B, C在格点（网格线的交点）上，将三角形ABC 先向下平移4个单位长度，再向右平移3个 单位长度得到三角形ABC1(点A,B,C的 对应点分别为A1,B,C). (1)在网格中画出三角形AB,C1; (2)计算线段AC在变换到线段A,C1的过 程中扫过区域的面积.阶段综合训练平行线的判定和性质 $$1 . A \quad 2 . C \quad 3 . C \quad 4 . B$$ 变式题 C5.DE//AH $$6 . 1 4 0 ^ { \circ } 7 . 5 0 ^ { \circ } 8 . 2 0 ^ { \circ }$$ 9. .解： ∵DE 平分 ∠ADC，∠1=∠2， ∴∠1=∠2=∠ADE，∴AD∥BC， $$\therefore \angle A + \angle B = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle A = 1 0 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle B = 8 0 ^ { \circ } .$$ 10 0.解： ：(1)∵AD∥BC， $$\therefore \angle B + \angle B A D = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle B = 8 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle B A D = 1 8 0 ^ { \circ } - 8 0 ^ { \circ } = 1 0 0 ^ { \circ } .$$ (2)∵AE 平分 $$\angle B A D ， \angle B A D = 1 0 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle D A E = \frac { 1 } { 2 } \angle B A D = 5 0 ^ { \circ } .$$ ∵AD∥BC， $$\therefore \angle A E B = \angle D A E = 5 0 ^ { \circ } .$$ 又 $$\because \angle B C D = 5 0 ^ { \circ } ，$$ ∴∠AEB=∠BCD，∴AE∥DC. 11.解： (1) 由题图 ② 可知 ，∠BNM=∠AND. ∵∠AOE=∠BNM， ∴∠AOE=∠AND， ∴OE//DM. (2)∵AB 与 CD 都平行于EF， ∴AB∥CD， $$\therefore \angle B O D = \angle O D C = 3 0 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle A O F + \angle B O D = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A O F = 1 5 0 ^ { \circ } .$$ ∵OE 平分 ∠AOF， $$\therefore \angle E O F = \frac { 1 } { 2 } \angle A O F = 7 5 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle B O E = \angle B O D + \angle E O F = 1 0 5 ^ { \circ } .$$ ∵OE∥DM， $$\therefore \angle A N M = \angle B O E = 1 0 5 ^ { \circ } .$$ 12.解 ：(1)∵AE 平分 ∠BAC，∴∠1=∠2. ∵∠2=∠3，∴∠1=∠3， ∴AB∥CD. $$\left( 2 \right) \because \angle A F E - \angle 2 = 3 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A F E = \angle 2 + 3 0 ^ { \circ } .$$ $$\because A B \parallel C D ， \therefore \angle A F E = \angle F E D = \angle 2 + 3 0 ^ { \circ } .$$ ∵EF 平分 ∠AED， $$\therefore \angle A E D = 2 \angle F E D = 2 \angle 2 + 6 0 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle 3 + \angle A E D = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle 3 + 2 \angle 2 + 6 0 ^ { \circ } = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ ∵∠3=∠2， $$\therefore \angle 2 + 2 \angle 2 + 6 0 ^ { \circ } = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ ，即 $$\angle 2 = 4 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A F E = \angle 2 + 3 0 ^ { \circ } = 7 0 ^ { \circ } .$$ 故 ∠AFE 的度数为 $$7 0 ^ { \circ } .$$ 7.3 定义、命题、定理 1.A 2.如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等 3.B 4.解：(答案不唯一)题设：②③ 结论： ① 证明 ∵AB∥DE，∴∠B=∠COD. 又 ∵BC∥EF，∴∠E=∠COD， ∴∠B=∠E. 162 七年级数学RJ版 7.4 平移 1.C 2.D 3.B 4.A 5.40 6.24 7.560 8.解：(1)由平移的性质，得 AB//DE， $$\therefore \angle B A D + \angle 2 = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle B A C + \angle 1 + \angle 2 = 1 8 0 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle 1 = 4 0 ^ { \circ } ， \angle 2 = 8 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle B A C = 6 0 ^ { \circ } .$$ (2)∠BAD=∠BED. 证明： 由平移的性质，得 AB//DE，AD∥BE， $$\therefore \angle B A D + \angle 2 = 1 8 0 ^ { \circ } ， \angle B E D + \angle 2 = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ ∴∠BAD=∠BED. 9.解：(1)三角形 $$A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$$ 如图所示. (2)线段AC 在变换到线段 $$A _ { 1 } C _ { 1 }$$ 的过程中扫过区域的 面积为 4×2+3×2=14. B A B $$A _ { 1 }$$ $$C _ { 1 }$$ 解题方法专题平行线中的作辅助线的方法 $$1 . B 2 . B \quad 3 . A \quad 4 . A \quad 5 . 5 0 ^ { \circ }$$ 6.解： (1)∠AEC=∠A+∠C. 理由如下：过点 E 作 EF∥AB， ，如 A 图 ①. E ∵AB∥CD， F ∴AB∥CD∥EF， C D ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF. 图① ∵∠AEC=∠AEF+∠CEF， ∴∠AEC=∠A+∠C. (2) 过点 F F 作 FH∥AB， ，如图② ^{∘} H F ∵AB∥CD， A -B ∴AB∥CD∥HF， E $$\therefore \angle B + \angle H F B = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ D $$\therefore \angle 1 = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B - \angle E F B = 1 8 0 ^ { \circ } -$$ 图② $$6 0 ^ { \circ } - 8 5 ^ { \circ } = 3 5 ^ { \circ } .$$ 由 (1)， 得 ∠E=∠1+∠D， $$\therefore \angle D = \angle E - \angle 1 = 6 0 ^ { \circ } - 3 5 ^ { \circ } = 2 5 ^ { \circ } .$$ $$7 . 5 4 0 ^ { \circ } 8 . 3 6 0 ^ { \circ }$$ 9. 解：如图，过点 E 作 EF∥AB， A AB $$\therefore \angle B A E + \angle A E F = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A E F = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B A E = 1 8 0 ^ { \circ }$$ E $$- 5 6 ^ { \circ } = 1 2 4 ^ { \circ } .$$ C D ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴EF∥CD， $$\therefore \angle F E C + \angle E C D = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle F E C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle E C D = 1 8 0 ^ { \circ } - 1 5 0 ^ { \circ } = 3 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A E C = \angle A E F + \angle F E C = 1 2 4 ^ { \circ } + 3 0 ^ { \circ } = 1 5 4 ^ { \circ } ，$$ 10.解：如图，过点 B 作 BM∥OA， ，延 N 长 BC 至点 A $$\overrightarrow { M } ；$$ ∵BM∥OA，OA∥CN， B ∴BM∥CN. $$0 ^ { \circ }$$ 由第一次向右拐 $$7 5 ^ { \circ } ，$$ ，得 $$\angle A = 1 8 0 ^ { \circ } - 7 5 ^ { \circ } = 1 0 5 ^ { \circ } .$$ ∵BM∥OA， $$\therefore \angle A B M = \angle A = 1 0 5 ^ { \circ } .$$