专题4 数列期末专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

高二数学导学案 专题4 数列 命制人： 审核人： 使用时间：2026.1.21 专题4 数列 【题型1 求数列的通项或项】 【例1】观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【1-1】在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【1-2】已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【1-3】在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【题型2 数列的单调性问题】 【例2】已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【变式2-2】设等比数列前项和为，，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型3 等差数列的判定与证明】 【例3】已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【3-1】已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【3-2】已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【题型4 等差数列的通项公式】 【例4】在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【4-1】设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【4-2】设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【4-3】已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【题型5 等差数列的前n项和及其最值】 【例5】在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 【5-1】已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 【5-2】在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【5-3】等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【题型6 等比数列的判定与证明】 【例6】在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【6-1】设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【6-2】已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【题型7 等比数列的通项公式】 【例7】设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【7-1】已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【7-2】设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 【7-3】已知等比数列中，，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【题型8 等比数列的前n项和】 【例8】已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【8-1】已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【8-2】已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 【题型9 数列求和】 【例9】（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【9-1】德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【9-2】已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【9-3】已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【题型10 数列新定义问题】 【例10】行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【10-1】（24-25高一下·上海金山·期末）已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（   ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②③ 【10-2】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 【10-3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 数列专题训练 一、单选题 1．数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 2．等差数列中,若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 3．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 5．数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 6．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 7．已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则下列结论中不正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 8．已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 10．等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ） A． B． C．取得最小值时，或5 D．时，的最小值为10 11．已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递减数列 C．若对任意，都有，则 D．若为数列的前项和，则 三、填空题 12．已知在数列中，，，则 ． 13．已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 14．已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为 . 四、解答题 15．写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 16．观察下列各式： 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论. 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知的前项和为，且. (1)当为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前项和. 18．已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 19．若数列的前项和为，对于给定正整数，若，，，成等差数列，则称数列具有性质. (1)数列具有性质，且，，求的值； (2)若等比数列具有性质，求数列的公比； (3)若数列具有性质，，是否存在无穷子列，，，…成等差数列？若存在，求一个符合要求的子列；若不存在，请说明理由. 专题4 数列答案 【题型1 求数列的通项或项】 【例1】观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（ A   ） A． B． C． D． 【1-1】在数列中，，则等于（   B ） A． B． C． D． 【1-2】已知数列中，，且，则（  A  ） A． B． C． D． 【1-3】在数列中，，，则数列的通项公式为（  C ） A． B． C． D． 【题型2 数列的单调性问题】 【例2】已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ B   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（   B ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【变式2-2】设等比数列前项和为，，则“”是“数列是递增数列”的（   B ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型3 等差数列的判定与证明】 【例3】已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（   A ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【3-1】已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（  D  ） A． B． C． D． 【3-2】已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. （1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，故； （3）， ， 两式相减，得 ， ， 故. 【题型4 等差数列的通项公式】 【例4】在等差数列中，，，则数列的通项公式为（ D  ） A． B． C． D． 【4-1】设是等差数列，且，，则的通项公式为（ B   ） A． B． C． D． 【4-2】设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： （1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2） ∴. 又，所以. 【4-3】已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. （1）因为，所以（）. 相减得，即. 所以.因为是正项数列，所以， 所以，即. 故是等差数列.令，得，解得， 所以. （2）（2）因为，则， 即. 所以， 所以. 【题型5 等差数列的前n项和及其最值】 【例5】在等差数列中，为其前项和．若，则（　A　） A．205 B．410 C．230 D．460 【5-1】已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（  B ） A． B．30 C． D．18 【5-2】在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和；(2)求数列的前n项和. （1）设等差数列的公差为，则，解得； ，则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 【5-3】等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式；(2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． （1）； （2）由二次函数性质可知，当时，取最小值，此时最小值为； （3），由，当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 【题型6 等比数列的判定与证明】 【例6】在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（ A  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【6-1】设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（ D   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【6-2】已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. （2）由（1）得：， ∴， ∴，① ，② 由②①得： ， ∴. 【题型7 等比数列的通项公式】 【例7】设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（  D  ） A． B． C． D． 【7-1】已知数列的前项和为，且，则（ A  ） A． B． C． D． 【7-2】设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． （1）设等比数列的公比为， 由题知，解得， 则等比数列的通项公式； （2）结合（1）可知，是首项为，公比为的等比数列， 共项， 由等比数列的求和公式，. 【7-3】已知等比数列中，，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 1）设等比数列的公比为，则， 故，解得，所以. （2）由（1）知，， 所以， 所以①， ②， ①②得 ，所以. 【题型8 等比数列的前n项和】 【例8】已知为等比数列，若，，则（  D  ） A． B． C． D． 【8-1】已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（ A   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【8-2】已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)，，； (2). 【题型9 数列求和】 【例9】（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（  D  ） A． B． C． D． 【9-1】德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（ A ） A． B． C． D． 【9-2】已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． （1）. （2）证明：由（1）得，因为， 所以. 则 因为，所以，所以. 【9-3】已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【题型10 数列新定义问题】 【例10】行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（   C ） A．31 B．63 C．127 D．255 【10-1】（24-25高一下·上海金山·期末）已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（ C  ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②③ 【10-2】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. （1）数列1，5，9，13，17存在“默契数列” 因为， ，， ，， 所以数列1，5，9，13，17存在“默契数列”为：11，10，9，8，7. （2）数列为单调递减数列． 因为，，， 又因为，所以有， 所以， 即成立 所以数列为单调递减数列． （3），都有， 因为，． 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 又 ， 则，即，，所以． 所以的最大值是46． 【10-3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【解题思路】（1）根据可直接得到结果； （2）根据“”数列定义可推导得到，由等比数列通项公式可求得，根据与关系可求得； （3）令，可推导得到，分别讨论和的情况，构造关于的表达式后结合双勾函数即可求得结果. 【解答过程】（1）等差数列是“”数列，， ，存在，. （2）正项数列是“”数列，， ，，即， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，， 当时，， 当时，不满足， . （3）由“”数列定义知：，又，， 令，则，故，且，且， ，； 若，则恒成立，则， 若，则 ， 因为存在三个不同的数列为“”数列， 故有解，故有解且解不为1， 由双勾函数的单调性可得， ，即实数的取值范围为. 数列专题训练 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据前5项的规律，分析总结，即可得答案. 【解答过程】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以 故选：B. 2．（25-26高二上·天津河北·月考）等差数列中,若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的通项公式计算即可. 【解答过程】由，解得. 故选：D. 3．（25-26高二上·江苏·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【解答过程】因为数列为等差数列， 因为 所以 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 4．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解答过程】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】设数列的最大项为,由求解. 【解答过程】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B. 6．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【解题思路】根据题干确定各等比数列，结合等比数列求和公式，列不等式，解不等式即可. 【解答过程】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， 所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和， 又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍， 所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和，令， 解得或， 因为，所以， 故选：A. 7．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则下列结论中不正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】B 【解题思路】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【解答过程】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确、B错误； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：B. 8．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用数列的递推关系求得，进而得，再利用裂项相消法求得，通过函数的单调性和有界性得到，即可求得的最小值. 【解答过程】因为 ，① 当时，，∵，∴； 当时，，② ①②两式相减得，整理，得 ∴ ，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，∴． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】根据规律写出数列的通项公式判断AB，结合选项求，推出矛盾判断CD. 【解答过程】对于选项A，B，根据题意，数列， 即， 故一个通项公式为或，选项A，B正确， 对于选项C，若，则，矛盾，C错误， 对于选项D，若，则，矛盾，D错误， 故选：AB. 10．（25-26高二上·浙江宁波·月考）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ） A． B． C．取得最小值时，或5 D．时，的最小值为10 【答案】BCD 【解题思路】对于：因为等差数列是递增数列，即可判断公差的正负； 对于：利用等差数列的通项公式，可化简为，即可判断的正负； 对于：利用的公式，结合可得：，再结合数列的性质，即可得取得最小值时，的取值； 对于：令，解得的取值范围，结合，即可得出时，的最小值； 【解答过程】对于：因为等差数列是递增数列，所以公差，故选项错误； 对于：，因为，所以，故选项正确； 对于：，将代入得：， 因为，根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值， 又因为，所以当或者时，取得最小值，故选项正确； 对于：因为，令得或， 又因为，所以时，的最小值为10，故正确. 故选：. 11．（24-25高二下·全国·月考）已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递减数列 C．若对任意，都有，则 D．若为数列的前项和，则 【答案】ACD 【解题思路】根据累乘法可得，即可判断A；根据即可求解B；根据单调性，分奇偶即可判断C；利用错位相减法求得可判断D. 【解答过程】由，可得， 故， 也符合， 故，A正确； 由于，故， 因此是单调递增数列，B错误； 由可定， 当为偶数时，则恒成立， 由于单调递增，故， 当为奇数时，则恒成立，由于单调递增， 故，故对任意，都有， 则，故C正确； 由，可得， ， ， 两式相减得： ， ，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知在数列中，，，则 ． 【答案】 【解题思路】首先确定数列的周期，再求值. 【解答过程】，， ，，， 所以数列的周期为3，. 故答案为：. 13．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 【答案】4 【解题思路】根据等比数列的求和公式，即可利用比例求解. 【解答过程】由可知公比， 若,则公比,此时,这与条件矛盾，因此不等于0，因此，因此， 进而，解得或（舍去）， 又，故， 故答案为：4. 14．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】3 【解题思路】由与关系可得，然后可得及，最后由可得答案. 【解答过程】因，则， 两式相减可得：. 又，则，从而. 当时，； 当时， . 综上可得：，若.对任意恒成立，则. 故实数的最小值为3. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据前四项数列形式，总结规律即可得到其通项. 【解答过程】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为 ． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为 ． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列各式： 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论. 【答案】，证明见解析； 【解题思路】根据规律得到，再应用数学归纳法求证即可. 【解答过程】观察各式，可得一般规律， 用数学归纳法证明如下： 当时，左边，右边，等式成立； 假设 时，等式成立，即， 那么当时， 故时，等式也成立. 综上，等式对于一切正整数n都成立. 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知的前项和为，且. (1)当为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）分别代入计算得，再根据等比中项求出，最后再即可； （2）利用错位相减法即可. 【解答过程】（1）（1）因为的前项和， 所以， 所以， 若是等比数列，则，求得， 当时，， 又当时，， 则当时，也适合此通项公式.即， 由于对都成立，所以此时数列为等比数列， 所以当时，数列为等比数列，此时数列的通项公式为. （2）（2）当时，， 则， ， 所以， 故. 18．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，可得，求解即可得数列的通项公式，运用累加法可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，运用错位相减法可求得，根据的单调性可得结论. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 因为，，所以， 即，解得，， 所以数列的通项公式； 因为，所以，所以， 又，适合上式，所以的通项公式为：； （2）由（1）知和，得：； 两式相减得， 所以，因，则， 当时，， 单调递增，又，所以. 19．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若数列的前项和为，对于给定正整数，若，，，成等差数列，则称数列具有性质. (1)数列具有性质，且，，求的值； (2)若等比数列具有性质，求数列的公比； (3)若数列具有性质，，是否存在无穷子列，，，…成等差数列？若存在，求一个符合要求的子列；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在，如子列，理由见解析 【解题思路】（1）根据题意，设数列构成等差数列，且公差为，根据等差数列的求和公式，列出方程，求得，进而求得的值； （2）设等比数列的首项，公比为，由性质，得到成等差数列，结合等比数列的求和公式，求得数列需为等差数列，结合等差数列的定义，列出方程，即可求解. （3）根据题意，求得和，由3和4互质，得到可以表示为二次函数，得出，求得，结合等差数列的定义，即可得证. 【解答过程】（1）解：由数列具有性质，所以构成等差数列， 设该等差数列为，且公差为，其中，首项， 因为，， 所以数列的前的和， 解得，所以，所以. （2）解：设等比数列的首项，公比为， 由性质知：数列成等差数列， 因为，， 所以数列需为等差数列， 因为等差数列相邻两项的差相等，即， 若，则，可得，此时所有项均为，构成等差数列； 若，因为，由， 则，解得或， 但时，，与前提矛盾，故舍去，所以， 此时数列为常数列，构成等差数列， 综上可得，数列的公比或. （3）解：由数列具有性质和，即连续3项和与连续4项和分别成等差数列， 设连续3项和为，则，其中为的公差， 同理可得： 连续4项和为，则，其中为的公差， 因为3和4互质，可以表示为两种二次函数的形式， 所以必为关于的二次函数， 此时通项，满足（其中为常数） 所以数列为等差数列，即等差数列的任意无穷子列仍为等差数列， 所以存在无穷子列成等差数列. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $