广东省中山市华侨中学2025-2026学年高三上学期周测数学试题（2026.1.18）

中山市华侨中学高三数学测（2026.1.18） 一、单选题 1．已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（    ） A．5 B． C． D． 3．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ）A．4 B．2 C．0 D． 4．已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．9 C． D． 5．若,则（   ） A． B． C． D． 6．已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．6 7．已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 10．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（    ） A． B． C．函数在上单调递减 D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（    ） A．若点满足，则动点的轨迹长度为 B．三棱锥体积的最大值为 C．当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 三、填空题 12．把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 13．已知，则 ． 14．已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为 ． 四、解答题 15．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 16．已知数列中，，. (1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的通项公式； (3)设，为数列的前n项和，证明：. 17．为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为. (1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关； (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望. ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中； （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强. （iii），其中.附表： 18．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由． 19．在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点. (1)设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上． （i）证明：平面平面； （ii）求球O的半径 (2)求二面角的余弦值的最小值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《中山市华侨中学高三数学测（2026.1.18）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A B D D C BCD ACD 题号 11 答案 CD 6．D【详解】.因为三点共线，， 所以.所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 7．D【详解】 ，，则， 因为在上有最大值没有最小值，所以，， 又因为的图象关于直线对称，则，， 解得，，所以当时，符合要求. 8．C ，，，由可知，，整理为，所以点的轨迹是平面内，以为圆心，2为半径的圆，如下图，点到平面的最大值为6，此时点在的延长线上，且，所以平面，， 等腰直角三角形的外接圆的半径为， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积 9．BCD【详解】由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；设点，所， 所以，故C正确；如图过点作准线，交于点，，，所以， 当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确； 10．ACD【详解】令得，或，，由图可知：，，， 所以，， 所以，所以，故A选项正确， 所以，由且处在减区间，得，所以，，所以，，所以， ，故B错误.当时，， 因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确； 将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移）， 为偶函数得，，所以，，则的最小值为，故D正确. 11．CD.【详解】对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形， 动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，所以错误；对于B，因为，而等边的面积为定值，要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点，所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体，其高为，所以，B错误；对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示， 当点在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 弧长度，故点的轨迹长度为，故正确； 对于D，取的中点分别为， 连接，如图2所示， 因为平面平面，故平面， ，平面平面，故平面； 又平面，故平面平面；又，故平面与平面是同一个平面. 则点的轨迹为线段：在三角形中， 则，故三角形是以为直角的直角三角形； 故，故长度的最大值为，故正确.故选：. 12． / 13． ， 令，则， 令，则，故故答案为：. 14．【详解】椭圆，左焦点， 设右焦点为，连接，, 如下图所示：由圆可知圆心，半径， 显然，，过左焦点作直线与圆的相切于点， 可知，因此可得，可得，所以，， 即可得，,在中，由余弦定理可得： ，解得：， 又，即，因此离心率. 15．（1）因为，所以. 所以.，即.因为，所以. （2） . 因为为锐角三角形，且，所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 16【详解】（1）∵，∴，即，∴是以为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）得，，∴. （3）由（2）得，， ∴，∵，∴，且随着的增大而减小，∴，当时，，∴. 17．【详解】（1）（1）相关系数为 故与线性相关较强. （2）零假设为：购买电动汽车与车主性别无关. 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于. （3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为故 0 1 2 ,, 故的分布列为： 18．【详解】（1），，， （2）不存在，理由如下．假定曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为，，，则有，即， 化简得．令，则， 由知函数在上单调递增，由得，即，这与矛盾， 所以曲线上不存在两个不同的点关于y轴对称. 19．(1)【详解】（1）在中，由，得， 所以，且，即，（i）证明：因为，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，设球心，半径，则， 所以， 解得，所以球O的半径为； （2）在平面中，过P作于G，在平面中，过G作， 因平面,则平面. 则由（1）， 设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内， 则， 所以， 设平面一个法向量分别为，则， 即，取，则得； 平面的一个法向量为，则， 即，取，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为. 答案第20页，共20页 答案第19页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $