专题03 应用一元二次方程（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

专题03 应用一元二次方程 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用一元二次方程解决增长率问题 1 题型二、用一元二次方程解决传播问题 4 题型三、用一元二次方程解决营销问题 7 题型四、用一元二次方程解决动态几何问题 11 题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用一元二次方程解决增长率问题 1．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2022年利润为2亿元，2024年利润为亿元． (1)求该企业从2022年到2024年利润的年平均增长率； (2)若2025年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过亿元？ 2．为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元． (1)求2022~2024年购买图书资金的年平均增长率； (2)按此年增长率，计算2025年用于购买图书的费用． 3．在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 4．某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 5．为传承红色文化，弘扬爱国主义精神，某地设立并开放以革命传统，红色文化，党史党规等为主题的教育旅游基地，据统计，基地中的一个纪念馆第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆6080 人次，已知进馆人次的月平均增长率相同． (1)求该纪念馆进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，该纪念馆每月接纳能力不超过5000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该纪念馆是否有能力接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 题型二、用一元二次方程解决传播问题 6．有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． (1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） (2)求x的值． 7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 8．某种电脑病毒在网络中传播得非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮传播后共有144台电脑被感染（假定感染病毒的电脑没有及时得到查毒、杀毒处理）． (1)每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？ (2)如果按照这样的感染速度，经过三轮感染后，感染的电脑总数会不会超过1700台？ 9．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 10．冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 题型三、用一元二次方程解决营销问题 11．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元／个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元／个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 12．某水果基地种植了大量的脐橙，10月份是脐橙成熟的高峰期，该月脐橙产量达到了50吨，此后每个月脐橙的产量逐渐减少，到12月份时，脐橙的产量为32吨． (1)求该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是多少？ (2)10月份，一水果批发商从该基地以4元的价格购进了脐橙，目前脐橙的市场零售价是5元．如果将这批脐橙放在冷库中冷藏起来，每个星期需要支付400元的冷藏费用，且每个星期脐橙会自然损坏，但是每个星期脐橙的市场零售价会上涨1元，若这批脐橙从冷库中提取出来后能一次性卖完，为了尽快清空库存，求这批脐橙冷藏几个星期后出售可以获得利润6960元？ 13．某商场在元旦期间对某款空调进行降价促销活动，已知该款空调每台进价2100元，标价3200元． (1)该商场举行了摸奖活动，中奖者商场将该冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2592元售出，求每次降价的百分率； (2)市场调查表明：当每台售价为3100元，平均每天可售出3台，当每台售价每降100元时，平均每天就能多售出3台，若该商场要想使该款空调的销售利润平均每天达到9000元，为了每天的销量最大，则每台空调的定价应为多少元？ 14．上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 15．某水果店出售A、B两种水果，现有如下信息： ①两种水果的进货单价之和是12元； ②A水果的销售单价比进货单价多3元，B水果的销售单价比进货单价的2倍少3元； ③小明在该水果店购买4斤A水果和5斤B水果，共付了75元． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求两种水果的进货单价分别为多少元？ (2)该水果店平均每天可卖出A水果60斤和B水果80斤．由于A水果的保质期较短，水果店老板为加快销售速度，打算将A水果的销售单价降低m元，B水果的销售单价和销量保持不变．经调查发现：A水果的销售单价每降元，A水果每天多卖4斤．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元？ 题型四、用一元二次方程解决动态几何问题 16．如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 17．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 18．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 19．如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 20．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值． 题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题 21．如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 22．综合与实践 项目主题： 劳动基地扩建方案 项目背景： 学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取：（如图所示） 信息1：原花坛为矩形； 信息2：扩建后的新花坛仍为矩形的长度不能超过的长度不能超过． 问题解决： (1)若扩建后花园的面积为，且，求和的长； (2)当时，扩建后花园的面积可以为吗？请说明理由． 23．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 24．某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的察度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 25．泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． (1)如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； (2)如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 一、单选题 1．某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 2．某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36场比赛，设参加的队数为，根据题意列出方程为（   ） A． B． C． D． 3．如图1是小明同学用手机拍摄的一张家乡风景照片，照片的长为8分米，宽为6分米，现在想在原照片的四周围用宽度相同的金色纸边进行装裱，如图2．如果要求装裱后的图片面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是（    ） A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米 4．如图1，矩形中，，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（    ）              图1          　　　　          图2 ①N点的运动速度是； ②的面积的最大面积为； ③当时，t的值为3或17． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 5．已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 6．某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 7．将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第 个图． 8．如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 s后，的面积恰为． 三、解答题 9．如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，若无盖方盒的底面积为，求切去的正方形的边长． 10．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 11．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)若花圃的面积为，求花圃的一边的长； (2)花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 12．根据以下素材，探索并完成任务 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术，某泥塑作坊制作泥塑进行销售，4月份制作泥塑500件，同年6月份制作泥即720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥售价为40元/件时，月销售量为450件，若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊4月份到6月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9360元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元/件？ 13．2025池州马拉松将于11月16日在池州市平天湖莲花台广场鸣枪开跑．本次赛事按照中国田径协会类和世界田联精英标牌赛事标准打造，延续“相聚池马、逐梦未来”主题．在某电商平台了解到：“池马”吉祥物绿宝玩偶的进货价为每件50元，根据去年的经验：赛事期间销售价定为每件90元，平均每天可售出500件．今年该平台决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元． (1)预计今年平均每天将卖出（ ）件，每件盈利（ ）元（用含x的代数式表示并化到最简）； (2)每件售价应定为多少元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠； (3)要想平均每天盈利32000元，可能吗？请通过计算说明． 14．为帮助农民推销农产品，切实提高农民的家庭收入，我省某县副县长亲自开抖音直播销售当地农民种植的一种农产品，已知这种农产品的成本价为10元/千克．当这种农产品的售价为每千克20元时，3月份销售了10000千克．4，5月该农产品月销售量持续走高，在售价不变的基础上，5月份的销售量达到12100千克．设4，5这两个月月销售量的平均增长率不变． (1)求4，5这两个月月销售量的平均增长率； (2)在5月份的基础上，6月份该抖音直播间采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/千克，销售量就增加100千克，当农产品每千克降价多少元时，该抖音直播间6月份获利75000元？ 15．根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况 公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天各多售出2件 惰况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元（a，b均为整数）． 任务解决 任务1 甲店销售的衬衫，每件利润为_____元（用含的代数式表示）． 乙店销售的衬衫，每天的销售量为_____（用含的代数式表示）． 任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 当时，请分别求出甲、乙两店每件衬衫下降各多少元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元． 16．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 应用一元二次方程 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用一元二次方程解决增长率问题 1 题型二、用一元二次方程解决传播问题 4 题型三、用一元二次方程解决营销问题 7 题型四、用一元二次方程解决动态几何问题 11 题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用一元二次方程解决增长率问题 1．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2022年利润为2亿元，2024年利润为亿元． (1)求该企业从2022年到2024年利润的年平均增长率； (2)若2025年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过亿元？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)能超过 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）可得2024年利润为元，进而可求解； （2）2025年的利润为，求出进行比较，即可求解； 掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：设企业从2022年到2024年利润的年平均增长率为，由题意得 ， 解得：，（舍去）， 答：企业从2022年到2024年利润的年平均增长率为； （2）解：由题意得 （亿元）， ， 企业2025年的利润能超过亿元． 2．为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元． (1)求2022~2024年购买图书资金的年平均增长率； (2)按此年增长率，计算2025年用于购买图书的费用． 【答案】(1) (2)8640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为，增长率的定义列式，求解即可， （2）根据增长率的定义及2024年的费用，列式计算即可． 【详解】（1）解：设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为． （2）解：由题意，得（元）． 答：按此年增长率，2025年用于购买图书的费用为8640元． 3．在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 【答案】(1)2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为 (2)估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x， 2024年新能源汽车年销售量为万辆，据此列出方程并解方程即可解决． （2）根据（1）中所求增长率计算求出即可． 【详解】（1）解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，由题意得， ， 解得：（不合题意舍去） 答：2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为． （2）解：若增长率保持不变为，估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆， 答：估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆． 4．某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）该生产线日产量的增长率，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据题意求出第四试验阶段日产量，将其与2500件比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，有理数的运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：该生产线日产量的增长率， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该生产线日产量的增长率为； （2）解：能，理由如下： 依题意，（件）． 他们的目标能实现． 5．为传承红色文化，弘扬爱国主义精神，某地设立并开放以革命传统，红色文化，党史党规等为主题的教育旅游基地，据统计，基地中的一个纪念馆第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆6080 人次，已知进馆人次的月平均增长率相同． (1)求该纪念馆进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，该纪念馆每月接纳能力不超过5000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该纪念馆是否有能力接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1) (2)该纪念馆有能力接纳第四个月的进馆人次，理由见解答 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该纪念馆进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，根据到第三个月末累计进馆6080人次，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用第四个月的进馆人次数第一个月的进馆人次数，可求出第四个月的进馆人次数，再将其与4000比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该纪念馆进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该纪念馆进馆人次的月平均增长率为； （2）解：该纪念馆没有能力接纳第四个月的进馆人次，理由如下： 第四个月的进馆人次数为（人次）， ， 该纪念馆有能力接纳第四个月的进馆人次． 题型二、用一元二次方程解决传播问题 6．有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． (1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） (2)求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人即可求解； （2）根据题意可列方程求解． 【详解】（1）解：∵这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴一个人可致使x个人患这种疾病， ∴第一轮后共有个人患病， 同理：第二轮后共有个人患病， 故答案为：，； （2）解：列方程， 解方程，得（不合题意，舍去）， 故的值为． 7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】5个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意得 ， 解这个方程得，（不合题意，舍去） 答：这种植物每个支干长出5个小分支． 8．某种电脑病毒在网络中传播得非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮传播后共有144台电脑被感染（假定感染病毒的电脑没有及时得到查毒、杀毒处理）． (1)每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？ (2)如果按照这样的感染速度，经过三轮感染后，感染的电脑总数会不会超过1700台？ 【答案】(1)每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑 (2)经过三轮感染后，被感染的电脑总数会超过1700台 【分析】（1）设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有台被感染，第二轮后共有即台被感染，利用方程即可求出x的值； （2）3轮后共有台被感染，比较该数同1700的大小，即可作出判断． 【详解】（1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑． 依题意得， 整理，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑． （2）由（1）得： ． 答：3轮感染后，被感染的电脑会超过1700台． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 9．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】(1)10个班 (2)5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 10．冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)7 (2)512 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或(舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）(人． 答：第三轮感染后，患流感的共有512人． 题型三、用一元二次方程解决营销问题 11．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元／个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元／个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)①55元；②不能实现，说明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①根据使月销售利润达到11250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； ②根据使月销售利润达到12500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元； ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能实现利润为12500元． 12．某水果基地种植了大量的脐橙，10月份是脐橙成熟的高峰期，该月脐橙产量达到了50吨，此后每个月脐橙的产量逐渐减少，到12月份时，脐橙的产量为32吨． (1)求该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是多少？ (2)10月份，一水果批发商从该基地以4元的价格购进了脐橙，目前脐橙的市场零售价是5元．如果将这批脐橙放在冷库中冷藏起来，每个星期需要支付400元的冷藏费用，且每个星期脐橙会自然损坏，但是每个星期脐橙的市场零售价会上涨1元，若这批脐橙从冷库中提取出来后能一次性卖完，为了尽快清空库存，求这批脐橙冷藏几个星期后出售可以获得利润6960元？ 【答案】(1) (2)4个 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是x，根据10月份是脐橙成熟的高峰期，该月脐橙产量达到了50吨，此后每个月脐橙的产量逐渐减少，到12月份时，脐橙的产量为32吨，据此列出一元二次方程求解并取符合题意的值即可； （2）设存放a个星期后出售，则脐橙会自然损坏千克，根据出售可以获得利润6960元，列出一元二次方程求解并取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该基地11，12两个月脐橙的平均减少率是x，由题意可得∶ ． 解得：，（舍去）． 答：该基地11月，12月平均月减少率为． （2）解：设存放a个星期后出售，由题意可得： ． 解方程，得，（舍去）． 答：存放4个星期后出售能获得6960元的利润． 13．某商场在元旦期间对某款空调进行降价促销活动，已知该款空调每台进价2100元，标价3200元． (1)该商场举行了摸奖活动，中奖者商场将该冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2592元售出，求每次降价的百分率； (2)市场调查表明：当每台售价为3100元，平均每天可售出3台，当每台售价每降100元时，平均每天就能多售出3台，若该商场要想使该款空调的销售利润平均每天达到9000元，为了每天的销量最大，则每台空调的定价应为多少元？ 【答案】(1) (2)每台空调的定价应为2600元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可； （2）设每台空调的降价应为y元，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，由题意得： 解得：；（舍） 答：每次降价的百分率为． （2）解：设每台空调的降价应为y元，由题意得： 化简得： 解得：， ∵为了每天的销量最大 每台空调的定价为：（元） 答：每台空调的定价应为2600元． 14．上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为60元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 15．某水果店出售A、B两种水果，现有如下信息： ①两种水果的进货单价之和是12元； ②A水果的销售单价比进货单价多3元，B水果的销售单价比进货单价的2倍少3元； ③小明在该水果店购买4斤A水果和5斤B水果，共付了75元． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求两种水果的进货单价分别为多少元？ (2)该水果店平均每天可卖出A水果60斤和B水果80斤．由于A水果的保质期较短，水果店老板为加快销售速度，打算将A水果的销售单价降低m元，B水果的销售单价和销量保持不变．经调查发现：A水果的销售单价每降元，A水果每天多卖4斤．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元？ 【答案】(1)A水果的进货单价为7元，B水果的进货单价为5元 (2)当m为时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组、一元二次方程是解题的关键． （1）设A水果的进货单价为x元，B水果的进货单价为y元，利用“”结合“两种水果的进货单价之和是12元，且小明在该水果店购买4斤A水果和5斤B水果，共付了75元”，可列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用“”列出关于m的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设A水果的进货单价为x元，B水果的进货单价为y元， 根据题意得：，解得：． 答：A水果的进货单价为7元，B水果的进货单价为5元． （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：当m为时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元． 题型四、用一元二次方程解决动态几何问题 16．如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 【答案】(1)经过2秒或秒； (2)经过1秒或2秒． 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）设经过x秒，MN长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，代入，得到关于x的一元二次方程求解； （2） 设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，长为， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，， 答：经过2秒或秒，长为； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形的动点问题，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． 17．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 18．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 19．如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或秒 (3)或或或秒时 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的定义 【分析】（1）设点移动的时间是，得到，，再由梯形面积公式代值求解得到四边形的面积为定值，即可得证； （2）过点作于点，如图所示，在中，，，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）由题意，分三种情况：；；；分别由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：设点移动的时间是， 则， ， 四边形的面积是， 即四边形的面积为定值， 在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）解：过点作于点，如图所示： ，， 则， 在中，，，若点和点间的距离是，即时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即两点从出发开始到或秒时，点和点间的距离是； （3）解：连接，如图所示： 当点组成的三角形是等腰三角形时，分三种情况： ；；； 当时，过点作于点，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质得到， ， ，即， 解得，即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ，， 在中，，，时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即当两点从出发开始到或秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ， 在中，，时，由勾股定理可得， ， 即，解得， 即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 综上所述，当两点从出发开始到或或或秒时，点组成的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查几何综合，涉及梯形面积公式、矩形性质、勾股定理、等腰三角形的性质、解一元一次方程及解一元二次方程等知识，读懂题意，作出图形，数形结合由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 20．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值． 【答案】(1)当时的长度能为，理由见解析 (2)的面积能为，理由见解析 (3)， 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）由题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得． 【详解】（1）解：的长度能为，理由如下： 根据题意可知：，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或， 当时的长度能为； （2）解：不能，理由如下： 设运动秒后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， 的中点为 ， 又，， 取的中点，连接，则， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，坐标与图形，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解答本题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 题型五、用一元二次方程解决与图形有关的问题 21．如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)米； (3)长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由见解析． 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，根据题意列出一元二次方程是解题的关键； （1）利用的长栅栏的总长度的长，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据长方形围栏的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长米，即可确定结论； （3）假设长方形栅栏的面积能达到平方米，根据长方形围栏的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 【详解】（1）解：根据题意得：米． 故答案为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为米； （3）长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由如下： 假设长方形栅栏的面积能达到平方米， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立， 即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 22．综合与实践 项目主题： 劳动基地扩建方案 项目背景： 学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取：（如图所示） 信息1：原花坛为矩形； 信息2：扩建后的新花坛仍为矩形的长度不能超过的长度不能超过． 问题解决： (1)若扩建后花园的面积为，且，求和的长； (2)当时，扩建后花园的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】(1)和的长分别为和； (2)不能，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题重点考查矩形的性质、一元二次方程的应用等知识，正确地用代数式表示扩建后的新花坛的长和宽是解题的关键． （1）设，则扩建后花园的长为，宽为，于是得，求得符合题意的值为5，则，； （2）设，则，假设扩建后花园的面积为，则，求得，此时，不符合要求，说明扩建后花园的面积不可以为． 【详解】（1）解：设， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， ， ，， ，， 和的长分别为和； （2）解：扩建后花园的面积不可以为， 理由：设，则， 若扩建后花园的面积为，则， 解得，（不符合题意，舍去）， 当时，， ，不符合要求， 扩建后花园的面积不可以为． 23．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)宽为5米，长为米 (3)不能，理由见解析 【知识点】列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可． （2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 24．某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的察度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 【答案】(1)道路宽度为10米 (2)每平方米草莓平均利润下调48元 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 25．泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． (1)如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； (2)如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】(1)采茶基地的长为米，宽为米； (2)小路的宽度为米． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设采茶基地的宽为米，则长为米，根据面积为平方米列方程，然后解方程并检验即可； （）设小路的宽度为米，根据鲜花的种植面积为平方米列出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设采茶基地的宽为米，则长为米， 根据题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：采茶基地的长为米，宽为米； （2）解：由（）得采茶基地的长为米，采茶基地的宽为米，设小路的宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：小路的宽度为米． 一、单选题 1．某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，设每次降价的百分率为，根据连续两次降价后的售价建立方程求解即可- 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后售价为元，第二次降价后售价为元， 根据题意，得方程：， ∴， 开平方得：或， ∴或（舍去） 故选：A 2．某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36场比赛，设参加的队数为，根据题意列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，每两队比赛一场，则每支队伍需与别的支队伍各赛一场．此时每场比赛会被计算两次（如甲队与乙队的比赛既算作甲队的比赛，也算作乙队的比赛），因此总比赛场数为场，据此列方程即可． 【详解】解：设有支队伍参赛， 由题意得，， 故选：C． 3．如图1是小明同学用手机拍摄的一张家乡风景照片，照片的长为8分米，宽为6分米，现在想在原照片的四周围用宽度相同的金色纸边进行装裱，如图2．如果要求装裱后的图片面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是（    ） A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得，再解方程并检验即可. 【详解】解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得 ， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴金色纸边的宽为1分米； 故选：A． 4．如图1，矩形中，，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（    ）              图1          　　　　          图2 ①N点的运动速度是； ②的面积的最大面积为； ③当时，t的值为3或17． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，矩形的性质，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，先求出点M运动的时间为秒，由图象可得点运动秒到达点，从而即可得出N点的运动速度，即可判断①；由图象可得当点在上运动时，的面积最大，即可判断②；根据题意列出一元二次方程以及一元一次方程，解方程即可判断③；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动， ∴点M运动的时间为秒， 由图象可得点运动秒到达点， 故点的运动速度为，故①说法正确； 当点在上运动时，的面积最大，最大为，故②正确； 当点在上时，， 解得或（不符合题意，舍去）； 当点在上时，的面积始终保持不变，为； 当点在上运动时，， 解得：， 综上所述，当时，t的值为或17，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：A． 二、填空题 5．已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 首先，设其中一个奇数为，则另一个奇数为，列式即可求解； 【详解】解：设其中一个奇数为，则另一个奇数为， 根据两个连续正奇数的积是， 可得：， 故答案为：； 6．某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，由经过两轮传播后共有196台电脑被感染建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得，（舍）， 故每轮中平均每台服务器传播设备的台数为6台． 故答案为：6 7．将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第 个图． 【答案】7 【分析】本题考查了图形规律的探究和一元二次方程的解法，第1个图形中小圆的个数为；第2个图形中小圆的个数为；第3个图形中小圆的个数为；…；则知第n个图形中小圆的个数为；假设存在第x个图的小圆个数为60，列方程为，再解方程即可． 【详解】解：由题意可知第1个图形有小圆个； 第2个图形有小圆个； 第3个图形有小圆个； 第4个图形有小圆个； ∴第n个图形有小圆个， 设第x个图中小圆的个数恰好为60个，根据题意得 解得（不符题意，舍去） 所以，第7个图中小圆的个数恰好为60个． 故答案为：7． 8．如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 s后，的面积恰为． 【答案】4或6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键． 设经过t秒后的面积恰为，过点F作于点D，求出，结合，根据三角形的面积公式列出方程求解． 【详解】解：设经过时间为，过点F作于点D， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 即经过或后，的面积恰为． 故答案为：4或6． 三、解答题 9．如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，若无盖方盒的底面积为，求切去的正方形的边长． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次的方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出等量关系式． 设切去的正方形边长为，根据“无盖方盒的底面积为，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设切去的正方形边长为． ． ， ，．（舍去） 切去的正方形边长为． 10．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)20万元 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则，直接开平方求解即可得到答案； （2）设下调后每辆汽车降低万元，由等量关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； （2）解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 11．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)若花圃的面积为，求花圃的一边的长； (2)花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)10米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解； （2）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解． 【详解】（1）解：设的长为米，则米 由题意可得：， 解得：，， ，即：， ， ∴的长为10米； （2）花圃的面积不能达到．理由如下： 设的长为米， 由题意可得：， 化简得， △， 方程无解， 花圃的面积不能达到． 12．根据以下素材，探索并完成任务 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术，某泥塑作坊制作泥塑进行销售，4月份制作泥塑500件，同年6月份制作泥即720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥售价为40元/件时，月销售量为450件，若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊4月份到6月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9360元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元/件？ 【答案】任务1：4月份到6月份的月平均增长率为；任务2：该泥塑的售价应定为44元/件 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． 任务1：设4月份到6月份的月平均增长率为，由题意得列出一元二次方程，据此即可求解； 任务2：设该泥塑的售价应定为元/件，根据题意列出一元二次方程，据此即可求解． 【详解】解：任务1：设4月份到6月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，(舍)， 答：4月份到6月份的月平均增长率为； 任务2：设该泥塑的售价应定为元/件， 由题意得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为44元/件． 13．2025池州马拉松将于11月16日在池州市平天湖莲花台广场鸣枪开跑．本次赛事按照中国田径协会类和世界田联精英标牌赛事标准打造，延续“相聚池马、逐梦未来”主题．在某电商平台了解到：“池马”吉祥物绿宝玩偶的进货价为每件50元，根据去年的经验：赛事期间销售价定为每件90元，平均每天可售出500件．今年该平台决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元． (1)预计今年平均每天将卖出（ ）件，每件盈利（ ）元（用含x的代数式表示并化到最简）； (2)每件售价应定为多少元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠； (3)要想平均每天盈利32000元，可能吗？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)售价应定为70元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠 (3)平均每天不可能盈利32000元．理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，一元二次方程的根的判别式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件”即可表示平均每天的销售量，再由售价减去进价表示每件的盈利； （2）根据每件的盈利乘以销售数量等于每天盈利30000元建立一元二次方程求解； （3）若平均每天盈利32000元，即：，再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元 ∴今年平均每天将卖出件，每件盈利元； 故答案为：，； （2）解：由题意知： 整理得： 解得：， ∵要使顾客得到较多的实惠 ∴x取20 ∴ 答：售价应定为70元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠． （3）解：平均每天不可能盈利32000元，理由如下： 若平均每天盈利32000元，即： 整理得： ∴方程无解故平均每天不可能盈利32000元．（答案不唯一，合理即可） 14．为帮助农民推销农产品，切实提高农民的家庭收入，我省某县副县长亲自开抖音直播销售当地农民种植的一种农产品，已知这种农产品的成本价为10元/千克．当这种农产品的售价为每千克20元时，3月份销售了10000千克．4，5月该农产品月销售量持续走高，在售价不变的基础上，5月份的销售量达到12100千克．设4，5这两个月月销售量的平均增长率不变． (1)求4，5这两个月月销售量的平均增长率； (2)在5月份的基础上，6月份该抖音直播间采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/千克，销售量就增加100千克，当农产品每千克降价多少元时，该抖音直播间6月份获利75000元？ 【答案】(1)4，5这两个月月销售量的平均增长率为； (2)当每千克降价4元时，6月份可获利75000元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设4、5这两个月销售量的月平均增长率为x，根据4月份及5月份的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每袋降价元，则6月份的销售量为千克，根据总利润=每千克利润×销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设4，5这两个月月销售量的平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：4，5这两个月月销售量的平均增长率为； （2）解：设当每袋降价元时，根据题意可得： ， 整理得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当每千克降价4元时，6月份可获利75000元． 15．根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况 公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天各多售出2件 惰况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元（a，b均为整数）． 任务解决 任务1 甲店销售的衬衫，每件利润为_____元（用含的代数式表示）． 乙店销售的衬衫，每天的销售量为_____（用含的代数式表示）． 任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 当时，请分别求出甲、乙两店每件衬衫下降各多少元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元． 【答案】任务1：，；任务2：甲店每天的盈利为元；乙店每天的盈利为元；任务3：甲、乙两店每件衬衫下降各10元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1，由题意即可得出结论； 任务2：，由盈利=每件盈利×销售量，分别列式计算即可； 任务3，先得出，根据两家分店一天的盈利和为2200元，列出一元二次方程并解方程即可． 【详解】解：任务1，甲店每件利润为元，乙店每天的销售量为件， 故答案为：，件； 任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）； 当时，乙店每天的盈利为（元）； 任务3，， ， 两家分店一天的盈利和为2200元， 由题意得：， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 即甲、乙两店每件衬衫下降各10元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元． 16．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1)3； (2)； (3)不存在，理由见解析； (4)1或3． 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 故答案为：； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $