10.4 三元一次方程组的解法（题型专练，3基础&4提升题型+培优）数学新教材人教版七年级下册

10.4 三元一次方程组的解法 题型一、三元一次方程（组）的定义 1．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 4．若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值是 ． 题型二、判断三元一次方程（组）的解 5．解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 6．方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 7．三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 8．我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 9．请写出一个以为解的三元一次方程： ． 10．请写出三元一次方程的一组解： ． 题型三、解三元一次方程组 11．解方程组： (1) (2) (3) 12．已知，则 ． 13．解方程组 (1) (2) (3) 14．解下列方程： (1)； (2)． 15．解下列方程组： (1)； (2)． 题型一、含有字母参数的三元一次方程组 16．若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 17．已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ． 题型二、三元一次方程组的特殊解法 18．已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 19．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 20．已知，满足且，则为 ． 21．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 22．【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知x，y满足，，求和的值．本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则_____，____； (2)“关爱留守儿童，我们在行动”．某爱心公益小组计划为某村留守儿童捐赠一批物资．已知购买20本图画书、3套文具、2个水杯共需118元；购买30本图画书、2套文具、8个水杯共需217元．若该爱心公益小组捐赠了100本图画书、10套文具、20个水杯，那么购买这批物资共需多少元？ (3)对于两x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么_________． 题型三、三元一次方程组的实际应用 23．小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为 ． 24．为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为 分． 25．一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了 天． 26．有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问： (1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ (2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ 27．小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息： 营业员 A B 月销售件数 300 400 月总收入（元） 3700 4000 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值． (2)若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？ (3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案） 28．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 29．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 题型四、构造三元一次方程组求字母系数 30．若，则 ， ， ． 31．在等式中，当，时，；当，时，；当，时，，则 ， ， ． 32．在等式中，当时，，当时，，当时，；试求当时，的值． 33．若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为 ． 34．求一个关于的三次多项式，使得时，它的值为；当时，它的值是；当时，它的值是；当时，它的值是． 35．青岛啤酒节上，某店里有甲、乙、丙三个啤酒桶，三个桶中各装有一些啤酒，先将甲桶中的啤酒倒入乙桶中，再将乙桶中现有啤酒的倒入丙桶，最后将丙桶中现有啤酒的倒回甲桶，这时三个桶中都有啤酒，则甲桶原有( )啤酒，乙桶原有( )啤酒，丙桶原有( )啤酒． 36．足球是世界第一运动． (1)在上海市高中足球联赛中，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，根据比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，求：该队获胜的场数几种可能； (2)在2022卡塔尔世界杯期间，以吉祥物拉伊卜为主题元素的纪念品手办、毛绒公仔、徽章套组深得广大球迷喜爱．某官方授权网店销售的手办、毛绒公仔、徽章套组售价之比为，三种纪念品售价均为整数，售价之和大于300元且小于360元，每种纪念品每人购买不超过6件．甲乙二人分别在该网店购买纪念品，结算时，两人购物车中均有三种纪念品若干，已知两人购买的毛绒公仔数相同，徽章套组数不同，乙购买的手办数量大于甲购买的手办数量，甲选购的纪念品合计1200元，乙选购的纪念品合计1440元，则两人购买手办的费用之和最多为多少元？ 37．在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 38．已知点O在直线上，点A、B与点C、D分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，过点O分别作两条射线，且，求的度数； (3)如图3，若，在的内部作一条射线，使得，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 39．现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”． 例如，，则称“关联”了 (1)下列数对中被“关联”的有______； ①，②，③，④ (2)若同时被和“关联”，请求出p，q； (3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对． 试卷第38页，共41页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk com 10.4三元一次方程组的解法 A 基础达标题 题型一、三元一次方程（组）的定义 1.D. 2.A. 3.A. 4.0. 题型二、判断三元一次方程（组）的解 5.A 6.C 7.A. 8.B. 9.x+y+z=3(答案不唯一). x=1 10. {y=5(答案不唯一) z=1 题型三、解三元一次方程组 2x-y=8① 11.【详解】(1)解： 3x+2y=5② .①×2+②，得7x=21, 解得x=3; 把x=3代入①，得2×3-y=8, 解得y=-2, x=3 .方程组的解为 y=-2; 1/17 上好每一堂课 (答案版) 命学科网·上好课 x+y+-y=6 (2)解： 2 3 4(x+y)-5(x-y)=2 3x+3y+2x-2y=36 4x+4y-5x+5y=2' 整理得 5x+y=36① 9y-x=2②， .①+②×5，得46y=46, 解得y=1, 把y=1代入②，得9y-x=2, .9x1-x=2, 解得x=7, ·方程组的解为 x=7 y=1 3x-y+z=10① (3)解：：{x+2y-z=6②， x+y+z=12③ .①+②得4x+y=16④， ②+③得2x+3y=18⑤， ∴.④-⑤×2得-5y=-20, 解得y=4, 把y=4代入④，得4x+4=16, 解得x=3, 把x=3,y=4代入①，得3×3-4+z=10, 解得z=5, x=3 .方程组的解为 y=4 z=5 12.【详解】解：由y=1,得上+=1 11 x+y x V 由：=2，得 111 y+2 www.zxx k.com 2/17 系一每丁 学科网·上好课 www zxxk.com 由3，得。 111 Z+x 1 设4=1，b= 1 ,C=一， a+b=1 1 则方程组变形为： 3b+C= 2 a+c=3 将三个方程相加：(a+b)+(b+c)+(a+c)=1+】+} 23 放2a+b+c=a+h+c= 11 6 12 11-1= 1 减去第一个方程：c= 12 12 减去第二个方程：a= 1115 12212 因此=a=2 5 x 所以x=2 1 故答案为：2 13.【详解】(1)解： x+3y=7① x=y-9②· 将②代入①中得：y-9+3y=7, 解得：y=4, 把y=4代入②中得：x=-5, (y=4 5x-2y=17① (2)解： 3x+4y=5② ①×2+②得：13x=39, 解得：x=3, 把x=3代入②中得：9+4y=5, 解得：y=-1, x=3 . y=-19 3/17 系一每丁 可学科网·上好课 x+y+z=2① (3)解： x-y+z=4② 2x+y-z=2③ ①+②得：x+z=3④， ③-①得：x-2z=0⑤， ④-⑤得：3z=3,即z=1, 把z=1代入④得：x=2, 把z=1,x=2代入①得：y=-1, x=2 则方程组的解为y=-1. z=1 3x-y=2① 14.【详解】(1)解： 2x-5y=-3②’ 由①可得：y=3x-2③， 将③代入②可得：2x-53x-2)=-3, 解得：x=1, 将x=1代入①可得：y=1, x=1 方程组的解为 y=1 x+3y+2z=3① (2)解： 2x-3y-z=-2②， 4x+3y-3z=-2③ 由①+②可得：3x+z=1④， 由②+③可得：6x-4z=-4⑤， 由④×2-⑤可得：6z=6, 解得：z=1, 将z=1代入④可得：3x+1=1, 解得：x=0, 将x=0,z=1代入①可得：0+3y+2=3, 解得：y=31 www.Zxx k.com 4/17 系一每丁 丽学科网·上好课 www zxxk.com [x=0 :方程组的解为y=3 1 z=1 x-y-2z=10① 15.【详解】(1)解：{y-3z=-4② 3x-y+5z=21③ 由②得：y=3z-4④， 把④代入①得：x-3z+4-2z=10,即x=5z+6⑤， 把④、⑤分别代入③得：3(5z+6-(3z-4)+5z=21, 解得：z=17 1 把：=立代入④得：y=3x 1> 、17 -4= -17 把z= 代入⑤得：x=5× 17 17/+6s97 17 97 x= 17 71 原方程组的解为： 了y= 179 1 =7 y-3x-2z=1① (2)解： x+2y+3z=9②， 5x-7y+z=34③ ①+②+③得：3x-4y+2z=44④， ①+④得：-3y=45, 解得：y=-15, ③×3-②得：14x-23y=93, 把y=-15代入得：14x-23×-15=93, 解得：x=-18, 把x=-18,y=-15代入①得：-15-3×-18-2z=1, 解得：z=19, 5/17 系一每丁 函学科网·上好课 [x=-18 :原方程组的解为： y=-15】 z=19 8 题型一、 31 11.3 题型二、三元一次方程组的特殊解法 18.C. 19.A. 20.1:2:3. x+y=4① 21.【详解】(1)解：(1) 5x-3(x+y) 将①代入②得：5x-3x4=3, 解得：x=3, 将x=3代入①得：y=1, x=3 故原方程组的解为 y=1 a+b=6① (2)解： 2a+3c=19②， a+b-c=1③ 将①代入③得：6-c=1, 解得c=5, 将c=5代入②得：2a+3×5=19, 解得a=2, 将a=2代入①得：2+b=6, 解得b=4, www zxx k com 上好每一堂课 B 能力提升题 =3②’ 6/17 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [a=2 故原方程组的解为b=4; c=5 3x2-2xy+4y2=15① (3)解： 4x2-3xy+3y2=9②1 0得y=3r+4-15®， 把③代入②得4r2-33+4-15+3y2=9, 2 8x2-33x2+4y2-15+6y2=18, 8x2-9x2-12y2+45+6y2=18, 化简得-x2-6y2=-27, 整理得x2+6y2=27, 故答案为：27. 2x+y=7① 22.【详解】(1)解： x+2y=8②’ 由①-②得：x-y=-1; 由①+②，得3x+3y=15, .x+y=5. (2)解：设的图画书单价为m元，文具的单价为n元，水杯的单价为p元， 20m+3n+2p=118① 依题意，得： 30m+2n+8p=217② 由①+②可得50m+5n+10p=335, .100m+10n+20p=335×2=670. 答：购买这批物资共需670元. 3a+5b+c=15① (3)解：依题意，得： 4a+7b+c=28② 由3×①-2×②可得：a+b+c=-11, .1※1=a+b+c=-11. 7117 品学科网·上好课 www zxxk com 题型三、三元一次方程组的实际应用 23.130 24.36. 25.23. 26.【详解】(1)解：设牧场原有草量为α，每天生长的草量为b,每头 草。 [a+6b=24×6c① 由题意得：{a+8b=21×8c② a+bx=16cx③ 由②-①得：5=12c④ 由③-②得x-8)b=16x-168)c⑤ 将④代入⑤得(x-8)×12c=(16x-168)c,解得：x=18. 答：如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草 (2)解：设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有y≤b, :h=12c, cy≤12c,解得：y≤12 答：要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛 x+300y=3700 27.【详解】(1)根据题意得： x+400y=40001 x=2800 解得 y=3 则x的值为2800，y的值为3； (2)设小潮当月卖服装m件， 根据题意得：2800+3m≥3800， 解得m≥1000 3 又：m为正整数， :m的最小值为334， 则小潮当月至少要卖服装334件； (3)设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元， 8/17 上好每一堂课 :每天吃草量为c,16头牛x天吃完 丽学科网·上好课 www zxxk.com 3a+2b+c=392 根据题意得： a+2b+3c=288 整理得a+b+c=170, 即购买甲、乙、丙各一件共需170元. 故答案为170. 28.【详解】(1)解：根据题意，购买电器国补8000×20%=1600元， 国补后只需要支付8000-1600=6400元， 答：国补后只需要支付6400元， (2)解：设导购卖出1台冰箱、洗衣机、微波炉所得提成分别为α元， a+2b=700 根据题意，得{b+3C=500, 2a+c=700 a=300 解得b=200, c=100 .a+b+c=300+200+100=600(元)， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元. (3)解：冰箱A可获得国补6000×20%=1200（元）， 洗衣机A可获得国补4000×20%=800（元)， 微波炉A可获得国补900×20%=180（元）， 则国补后三种电器的总价为6000+4000+900-1200-800-180=8720（元)， 因为8720>8000， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为8720-1000-600=7120（元)， 答：最终小红家花了7120元. 29.【详解】(1)解：根据题意，购买电器国补8000×20%=1600元， 国补后只需要支付8000-1600=6400元， 答：国补后只需要支付6400元， (2)解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元， 9/17 上好每一堂课 b元，C元， b元，C元， 命学科网·上好课 www.zxxk co m [a+2b=700 根据题意，得b+3c=500, 2a+c=700 a=300 解得b=200, c=100 a+b+c=300+200+100=600(元)， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)解：冰箱A可获得国补6000×20%=1200（元）， 洗衣机A可获得国补4000×20%=800（元）， 微波炉A可获得国补900×20%=180（元)， 则国补后三种电器的总价为6000+4000+900-1200-800-180=8720 因为8720>8000， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为8720-1000-600=7120（元)， 答：最终小红家花了7120元. 题型四、构造三元一次方程组求字母系数 30.2;0;1. 31.1,-2,5. 32.【详解】解：把当x=1时，y=4,当x=-1时，y=6,当x a+b+c=4 a-b+c=6, 4a+2b+c=9 a=2 解得： {b=-1 c=3 则y=2x2-x+3, 把x=-3代入上式得： y=2×(-3)2-(-3)+3=24」 10/17 上好每一堂课 （元)， =2时，y=9分别代入y=ax2+b.x+c得： 10.4 三元一次方程组的解法 题型一、三元一次方程（组）的定义 1．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 2．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 3．若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程的定义． 根据三元一次方程的定义，各未知数的次数均为1，且系数不为零． 【详解】解：∵是一个三元一次方程， ∴，，， 即，，即或， ∴，， 故选：A． 4．若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程，熟记三元一次方程的定义是解题关键．根据三元一次方程的定义可得，，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的三元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：0． 题型二、判断三元一次方程（组）的解 5．解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【答案】A 【分析】此题考查解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 第一个方程中不含，而第二个方程和第三个方程通过加减消元法可消去，再联立第一个方程可组成二元一次方程组，从而实现消元的目的． 【详解】由题知，， 得，， 整理得， ④与①即可组成二元一次方程组， 要使解法较为简单，应先消去， 故选：A． 6．方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组．由可得，再把代入②可得，然后把代入①，即可求解． 【详解】解： 由得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 故选：C 7．三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 先将第一个方程与第二个方程相加可得，将第一个方程与第三个方程相加可得，解二元一次方程组可得的值，再代入第一个方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：， 由①②得：④， 由①③得：⑤， 由⑤④得：， 解得， 将代入④得：， 解得， 将，代入①得：， 解得， 所以方程组的解为， 故选：A． 8．我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 9．请写出一个以为解的三元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三元一次方程的定义及方程解得概念，解题关键是熟练掌握三元一次方程的定义． 将、、的值代入能使等式成立即可． 【详解】解：可以根据、、的值进行运算构造方程，比如， 把，，代入：， ∴得到三元一次方程． 故答案为：（答案不唯一）． 10．请写出三元一次方程的一组解： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三元一次方程的解，熟练掌握该知识点是解题的关键．写出合适的答案即可． 【详解】解：当时，那么符合题意； 故答案为：． 题型三、解三元一次方程组 11．解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （3）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： ∴，得， 解得 ； 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵， ∴， 整理得， ∴，得， 解得， 把代入，得， ∴， 解得， ∴方程组的解为； （3）解：∵， ∴得， 得， ∴得， 解得， 把代入，得， 解得， 把，代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】取每个方程的倒数，将原分式方程组转化为关于、、的方程组，然后求解该方程组得到的值，进而求出． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握取倒数转化方程组是解题的关键． 【详解】解：由，得； 由，得； 由，得； 设，，， 则方程组变形为： 将三个方程相加： 故 减去第一个方程： 减去第二个方程： 因此， 所以， 故答案为：． 13．解方程组 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可； （3）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 将代入中得：， 解得：， 把代入中得：， ； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入中得：， 解得：， ； （3）解： ①②得：④， ③①得：⑤， ④⑤得：，即， 把代入④得：， 把，代入①得：， 则方程组的解为． 14．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①可得：， 将③代入②可得：， 解得：， 将代入①可得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 由可得：， 由可得：， 由可得：， 解得：， 将代入④可得：， 解得：， 将，代入①可得：， 解得：， ∴方程组的解为． 15．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键． （1）用代入消元法解三元一次方程组即可； （2）用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②得：， 把④代入①得：，即， 把④、⑤分别代入③得：， 解得：， 把代入④得：， 把代入⑤得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 得：， 解得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 题型一、含有字母参数的三元一次方程组 16．若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 17．已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了解三元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中三个方程成立的未知数的值．把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入已知等式中计算即可求出a的值． 【详解】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． 题型二、三元一次方程组的特殊解法 18．已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是运用整体思想；通过将三个方程相加，从而直接求解． 【详解】解：， 由得， ∴， 故选：． 19．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 20．已知，满足且，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，把当作常数，解关于、的方程组，求出、的值，再求出比值即可． 【详解】解：， 由①得，③， 将③代入②，得， 整理得，， 将代入③，， ， ， 故答案为：． 21．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组，整体代入消元，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． 【详解】（1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 22．【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知x，y满足，，求和的值．本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则_____，____； (2)“关爱留守儿童，我们在行动”．某爱心公益小组计划为某村留守儿童捐赠一批物资．已知购买20本图画书、3套文具、2个水杯共需118元；购买30本图画书、2套文具、8个水杯共需217元．若该爱心公益小组捐赠了100本图画书、10套文具、20个水杯，那么购买这批物资共需多少元？ (3)对于两x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么_________． 【答案】(1)； (2)购买这批物资共需670元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程的方法，以及利用整体的思想进行解题，解题的关键是熟练掌握利用整体思想进行解题． （1）由得：； 由，得，进而求解即可； （2）设的图画书单价为m元，文具的单价为n元，水杯的单价为p元，根据题意列出方程组整体求解即可； （3）根据新定义运算法则列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：； 由，得， ∴． （2）解：设的图画书单价为m元，文具的单价为n元，水杯的单价为p元， 依题意，得：， 由可得， ∴． 答：购买这批物资共需670元． （3）解：依题意，得：， 由可得：， ∴． 题型三、三元一次方程组的实际应用 23．小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据第一图示：桌子高度站立小猫高度趴下小猫高度；第二图示：桌子高度趴下小猫高度站立小猫高度列出方程组进行解答便可． 【详解】解：设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据题意得， ， ①②得，， ， 桌子的高度为厘米． 故答案为：． 24．为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为 分． 【答案】36 【分析】设投中不同的圆（或圆环）的得分分别为未知数，根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，求解未知数后计算小华的成绩即可； 本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握列出正确的等式是解题的关键. 【详解】设飞镖投到最小的圆中得分，投到中间的圆中得分，投到最外面的圆中得分． 根据题意得 解得 ∴小华的成绩是（分）； 故答案为：36． 25．一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了 天． 【答案】23 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为，根据总天数和行程距离相等建立方程，根据，均为正整数，可求出和，再代入总天数方程求即可． 【详解】解：设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为， 由题意，向上游距离等于返回距离，且返回最后一天行进了， 因此有， 化简得， ∴， ∴是25的倍数， 取，则，此时，符合题意， ∴的通解为，（k为整数）， 当或时，x、y不满足为正整数且， ∴， ∴，， 又总天数满足， ∴ 故答案为：23． 26．有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问： (1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ (2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ 【答案】(1)如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草 (2)要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用、不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和不等式成为解题的关键． （1）设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草，然后根据“原草量每天生长的草量×放牧的天数每头牛每天吃草量头数天数”列方程组求解即可； （2）假设要使牧草永远吃不完，至多放牧y头牛．要使牧草才永远吃不完，则有“每头牛每天吃草量放牧的牛头数每天生长的草量”，据此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草． 由题意得： 由得：④ 由得 ⑤ 将④代入⑤得，解得：． 答：如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草． （2）解：设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有， ∵， ∴，解得：． 答：要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛． 27．小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息： 营业员 A B 月销售件数 300 400 月总收入（元） 3700 4000 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值． (2)若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？ (3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案） 【答案】(1)x的值为2800，y的值为3 (2)至少要卖334件 (3)170元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和三元一次方程组的实际应用，找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）根据“月总收入基本工资计件奖金”列出二元一次方程组，即可求解； （2）设小潮当月卖服装m件，根据“小潮某月的总收入不低于3800元”列出一元一次不等式，再根据m实际意义，即可求解； （3）设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元，列出方程组，整理得出，即为所求解． 【详解】（1）根据题意得：， 解得， 则x的值为2800，y的值为3； （2）设小潮当月卖服装m件， 根据题意得：， 解得， 又为正整数， 的最小值为334， 则小潮当月至少要卖服装334件； （3）设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元， 根据题意得：， 整理得， 即购买甲、乙、丙各一件共需170元． 故答案为170． 28．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱、洗衣机、微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 29．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 题型四、构造三元一次方程组求字母系数 30．若，则 ， ， ． 【答案】 2 0 1 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．熟练掌握非负数的和为零，每一个非负数均为零是解题的关键． 根据非负性的和为零，每一个非负数均为零，求出的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 解得：，，； 故答案为：2；0；1． 31．在等式中，当，时，；当，时，；当，时，，则 ， ， ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了解三元一次方程组，根据题意得出三元一次方程组，求解即可，正确得出三元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：1，，5． 32．在等式中，当时，，当时，，当时，；试求当时，的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组通过消元法转化成二元一次方程组再进行求解是解题的关键． 把三组，值分别代入得到三元一次方程组，求得a、b、c的值，从而可得，再把代入即可求得y值． 【详解】解：把当时，，当时，，当时，分别代入得： ， 解得： 则， 把代入上式得： ． 33．若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为 ． 【答案】－10 【分析】本题考查了解三元一次方程组，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据新定义运算，列出关于a，b，c的方程组，通过消元法求解a，b，c的值，再代入计算5△7的值． 【详解】解：由题意，得 ，得④， ，得，即⑤， ，得，解得， 将代入④，得，解得， 将，代入①，得，解得， ∴方程组的解为 因此，． 故答案为：． 34．求一个关于的三次多项式，使得时，它的值为；当时，它的值是；当时，它的值是；当时，它的值是． 【答案】 【分析】设三次多项式为，将已知的和对应的多项式的值代入，得到方程组，解方程组求出、、、的值．本题主要考查了多项式的待定系数法，熟练掌握利用已知条件建立方程组求解多项式的系数是解题的关键． 【详解】解：设三次多项式为． 当时，它的值为，代入得， 当时，它的值是，代入得， ∵， ∴ ① 当时，它的值是，代入得 ∵， ∴ ② 当时，它的值是，代入得， ∵， ∴即 ③ ① + ②得：，解得， 将代入①得： ④ 将代入③得 ⑤ 得， 解得 将代入④得 解得， ∴三次多项式为 35．青岛啤酒节上，某店里有甲、乙、丙三个啤酒桶，三个桶中各装有一些啤酒，先将甲桶中的啤酒倒入乙桶中，再将乙桶中现有啤酒的倒入丙桶，最后将丙桶中现有啤酒的倒回甲桶，这时三个桶中都有啤酒，则甲桶原有( )啤酒，乙桶原有( )啤酒，丙桶原有( )啤酒． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过设未知数列方程组求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三桶原有啤酒分别为A、B、C升， 第一步：将甲桶中的啤酒的倒入乙桶， 甲桶的啤酒剩， 乙有， 第二步：将乙桶中的啤酒的倒入丙桶， 乙桶中的啤酒剩， 丙桶中的啤酒有， 第三步：将丙桶中的啤酒的倒回甲桶， 丙桶中的啤酒剩， 甲桶中的啤酒有， 最终三桶均为24L， 由乙桶中的啤酒的最终量：， 解得：， 由丙桶中的啤酒的最终量：， 代入， 得， 解得：， 由甲桶中的啤酒的最终量：， 代入和， 得， 解得：， 代入，得， 故甲桶原有啤酒，乙桶原有啤酒，丙桶原有啤酒， 故答案为：30，20，22． 36．足球是世界第一运动． (1)在上海市高中足球联赛中，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，根据比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，求：该队获胜的场数几种可能； (2)在2022卡塔尔世界杯期间，以吉祥物拉伊卜为主题元素的纪念品手办、毛绒公仔、徽章套组深得广大球迷喜爱．某官方授权网店销售的手办、毛绒公仔、徽章套组售价之比为，三种纪念品售价均为整数，售价之和大于300元且小于360元，每种纪念品每人购买不超过6件．甲乙二人分别在该网店购买纪念品，结算时，两人购物车中均有三种纪念品若干，已知两人购买的毛绒公仔数相同，徽章套组数不同，乙购买的手办数量大于甲购买的手办数量，甲选购的纪念品合计1200元，乙选购的纪念品合计1440元，则两人购买手办的费用之和最多为多少元？ 【答案】(1)3 (2)2000 【分析】本题考查了二元一次方程，三元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程组和不等式解答． （1）设胜x场，平y场，则，，分别写出x和y的值即可解答． （2）设手办、毛绒公仔、徽章套组的售价分别为，列出不等式，求出x的取值范围为，设甲够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为a、b、c；乙够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为m，b，n，根据题意列出方程组，得出，则，进而推出，根据题意得出，则，，，，即可解答． 【详解】（1）解：设胜x场，平y场， ∵共进行了8场比赛， ∴， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上：该队获胜的场数有3种可能； （2）解：设手办、毛绒公仔、徽章套组的售价分别为， ， 解得：， ∵三种纪念品售价均为整数， ∴， 设甲够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为a、b、c；乙够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为m，b，n； ， 整理得：， ∵a、b、c、m、n均为整数，且1200和1440在x的取值范围内只有一个公因数40， ∴， ∴， 整理得：， ∵每种纪念品每人购买不超过6件， ∴，，， ∴，或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴，； ∴，，，， ∴两人购买手办的费用之和最多是（元）， 37．在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)见详解 【分析】本题考查有理数的加减运算，解三元一次方程组，代数式求值，理解题意正确的列式是关键． （1）根据题中定义和题干解答即可． （2）记，，，则．由外三角形三边和为，可得，，，三式相加得，即．同理，内三角形 三边和为，可得，，，三式相加得，即，三式联立求出，即可解答． （3）若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3，根据（2）中结论求出，，求出，，，据此填图即可． 【详解】（1）解：顶点E对应的数， 顶点D对应的数， 其余两个空分别是，， 如图， （2）解：记，，， 则． 又由外三角形三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 同理，内三角形 三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 联立 解得：， 即，，． （3）解：若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3， 则，， 则，，， 可作如下“一种可行填法”（对应图 4 的各顶点及中点）： 取，，； ，，； ，，． ． 38．已知点O在直线上，点A、B与点C、D分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，过点O分别作两条射线，且，求的度数； (3)如图3，若，在的内部作一条射线，使得，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义、角的运算等知识点，弄清各角之间的关系成为解题关键． （1）由角平分线的定义可得，即，进而求得，易得，最后根据平角的性质即可解答； （2）由（1）可得：，即①；由，即②，③，然后三式联立求解即可； （3）先根据题意画出图形，设，则，设；由可得，进而得到，即，解得：；再根据平角的性质得到，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得： ， ∴①， ∵， ∴②，③， 联立①②③可得：． （3）解：，证明如下： ∵， ∴设，则， 设， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴． 39．现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”． 例如，，则称“关联”了 (1)下列数对中被“关联”的有______； ①，②，③，④ (2)若同时被和“关联”，请求出p，q； (3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对． 【答案】(1)①④ (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数的运算，二元一次方程组，三元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意正确理解被“关联”关系，并根据关系列出代数式． （1）根据“关联”定义逐项进行判断即可； （2）根据“关联”定义列出二元一次方程组并求解即可； （3）根据“关联”定义列出三元一次方程组，找出的关系，进而可求出的值． 【详解】（1）解：①， ∴被“关联”； ② ∴未被“关联”； ③ ∴未被“关联”； ④ ∴被“关联”； 故答案为：①④； （2）解：根据题意得， 解方程组得； （3）解：根据题意得， 得，即， 将代入①得， 将和代入③得， ， 根据题意可得， ， 整理得， 将代入得，， ∴， 解得， 所以，数对为． 试卷第38页，共41页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $