5.1.2 导数的概念及其几何意义（第2课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 人教A版2019选择性必修第二册·高二 5.1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义 （第二课时） 章节导读 导数概念及其意义 导数的运算 导数在研究函数中的应用 平均变化率 瞬时速度 导数的几何意义 平均速度 曲线的割线斜率、切线斜率 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 函数的极值与最大（小）值 学 习 目 标 1 2 3 据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程. 培养学生数学抽象及直观想象的核心素养，提升数学运算核心素养. 复习旧知 复习导入 3.求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤 我们知道，导数 f ′(x0)表示函数y= f (x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y= f (x)在x=x0附近的变化情况. 那么导数 f ′(x0)的几何意义是什么？ 新知探究 问题1 观察函数y＝f (x)的图像： 平均变化率 表示什么？ 从图像的直观角度看： 函数y＝f (x)在点P0到点P之间的平均变化率即为割线P0P的斜率. 平均变化率的几何意义 新知探究 问题2 继续观察函数y＝f (x)的图像： 瞬时变化率 表示什么？ x y x0 x0+∆x f(x0) f(x0+∆x) y=f(x) O P • P0 T • f(x0+∆x)-f(x0) 思考 观察右图，当点 P 沿着曲线y=f(x)趋近于点 P0 时，割线 P0 P 的变化趋势是什么？ 割线P0P 直线P0T 点P → 点P0 T 定义新知 曲线上某点处的切线 在曲线y＝f (x)上任取一点P(x, f (x)) ，当点P(x, f (x))沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0(x0, f (x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线y＝f (x)在点 P0 处的切线. 反思 此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？ 初中学过的圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的. 此处的切线定义是以逼近的方式对切线作出的定义； 因此，函数y＝f (x)在点P0处的瞬时变化率即为切线线P0T的斜率. 新知探究 问题3 那么导数f ′(x0)(瞬时变化率)的几何意义该如何描述？ 类似地 割线P0P 的斜率k 切线P0T 的斜率k0 点P → 点P0 因此，函数 y＝f (x) 在x= x0处的导数 f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即 导数f ′(x0)的几何意义 新知探究 问题4 继续观察下图，图中哪条直线最贴近点P0附近的曲线？ 可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线. 进一步地，利用信息技术根据将点附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点P0附近，曲线y=f(x)可以用点P0处的切线P0T近似代替. 课后练习 课本练习 课本P70 思考 能否归纳出求曲线在某点处的切线方程的步骤？ 典例分析 t1 h t0 O • • t2 • t 例2 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)= ￚ4.9t2+2.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况. l2 l1 l0 解: (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0. 这时,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 从图中可以看出, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. 课后练习 课本练习 1. 根据图象，描述曲线h(t)在t=t3, t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况. t4 h t3 O • • t • (2)当t=t4时, 曲线h(t)在t=t4处的切线l4的斜率h′(t4)>0. 这时,在t=t4附近曲线上升,即函数h(t)在t=t2附近也单调递增. 课本P69 解: (1) 当t=t3时, 曲线h(t)在t=t3处的切线l3的斜率h′(t3)>0. 这时, 曲线在t=t3附近上升, 即函数h(t)在t=t1附近单调递增. 从图中可以看出, 直线l3的倾斜程度大于直线l4的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t3附近比在t=t4附近递增快. 新知探究 反思 结合例4与练习1你能总结出哪些结论？ 若f '(x0)=0，则函数在x=x0处切线斜率k= ； 若f '(x0)>0，则函数在x=x0处切线斜率k 0，且函数在x=x0附近单调递 ，且f '(x0)越大，说明函数图象变化得越快； 若f '(x0)<0，则函数在x=x0处切线斜率k 0，且函数在x=x0附近单调递 ， 且|f '(x0)|越大，说明函数图象变化得越 . 0 > 增 < 减 快 典例分析 例3 下图中是人体血管中药物浓度c=f(t) (单位: mg/mL)随时间t (单位:min)变化的函数图象. 根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度. 函数 f (t)在此时刻的导数,从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率. 数形结合以直代曲 典例分析 t 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度的瞬时变化率f '(x0) 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值. 定义新知 导函数 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f ′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f ′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即 新知探究 (3)函数在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是导函数 f ′(x) 在 x = x0 处的函数值，这也是 求函数在点 x0 处的导数的方法之一。 问题5 函数在点x =x0处的导数f ′(x0)、导函数 y = f ′(x)、导数之间有什么区别与联系呢？ (1)函数在一点x0处的导数 f ′(x0) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 (2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数 f (x)的导函数 f ′(x)，它是一个变量。 问题6 如何求函数y=f (x)的导数? 新知探究 课后练习 课本练习 课本P70 x y 1 2 O • • • 3 2. 函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( ). (A) f '(1)>f '(2)>f '(3)>0 (B) f '(1)<f '(2)<f '(3)<0 (C) 0<f '(1)<f '(2)<f '(3) (D) f '(1)>f '(2)>0>f '(3) A 课后练习 课本练习 课本P70 4. 吹气球时，气球的半径r (单位: dm)与体积V (单位: L)之间的函数关系是 利用信息技术工具，画出0≤V≤5时函数的图象，并根据其图 象估计V=0.6, 1.2 L时，气球的瞬时膨胀率. x y 0.6 1.2 O • • 3 4 5 导数的几何意义 题型一 题型探究 【例1】(1)曲线在点 处的切线方程为_______________. [解析] 因为， 当 时，， 所以，即切线的斜率 ， 所以切线方程为，即 . 导数的几何意义 题型一 题型探究 【例1】(2)设曲线，则过点 的切线方程为_______________. [解析] 设切点坐标为 ，则切线的斜率 ， 所以切线方程为 . 又切线过点 ， 所以 ， 即 . 所以切线的斜率 ， 所以切线方程为 ，即 . 导数的几何意义 题型一 题型探究 解题感悟 利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上. （1）若已知点 在曲线上，则以该点为切点的切线方程为 ； （2）若已知点不在曲线上，则设出切点 ，表示出切线方程，然后将已知点代入，求出切点或斜率，进而得到切线方程. 与导数的几何意义有关的图象问题 题型二 题型探究 【例2】(1)已知函数满足， ，则在和附近 的 的图象大致是( ) D A. B. C. D. [解析] 由，可知， 的图象在 处切线的斜率为正，在 处切线的斜率为负. 故选D. 与导数的几何意义有关的图象问题 题型二 题型探究 【例2】(2)已知向一个半球形的水池（如图）中注水的速度不变 （即单位时间内注入的水量相同），若池子中水的高度是关于 时间的函数，则函数 的图象可能是( ) B A. B. C. D. [解析] 半球形上面宽下面窄，相同的时间内注水量相同，所以高度增加得越来越慢， 图象越来越平缓，即曲线上的各点的切线斜率不断减小.故选B. 与导数的几何意义有关的图象问题 题型二 题型探究 解题感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小就是比较该点处切线斜率的大小，可以用数形结合思想来解决，并且可以通过研究某点处切线的斜率来判断该点附近函数值的变化情况. 求导函数（导数） 题型三 题型探究 【例3】(1)求函数 的导数； [解析] . (2)求该函数在 处的导数. [解析] 由(1)得， . 求导函数（导数） 题型三 题型探究 解题感悟 求函数在 处的导数的方法 （1）导数定义法：①求函数值的变化量， ； ②求平均变化率，；③取极限， . （2）导函数的函数值法：先求出导函数，再把代入 得 . 课堂达标 1.如果曲线在点处的切线方程为 ，那 么( ) B A. B. C. D. 不存在 [解析] 由得，切线斜率， . 课堂达标 2.已知函数的图象如图所示，则函数 的图象可能是( ) B A. B. C. D. [解析] 由的图象及导数的几何意义可知，当 时， ，当时，，当时， ，故选B. 课堂达标 3.若曲线 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________. [解析] 设切点坐标为 ， 则 ，解得 ， 所以，即切点坐标为 . 课堂达标 4.曲线在点 处的切线与直线垂直，则点 的坐标 为_________________. 或 [解析] 由题易知曲线在点处的切线的斜率为，设 ， 因为， 当 时，， 所以， 则点 的坐标为或 . 课堂小结 3.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法. 感谢聆听! $