1.2 整式的乘法（题型专练，5基础&5提升题型+培优）数学新教材北师大版七年级下册

1.2 整式的乘法 题型一、单项式乘以单项式 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．计算： 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、单项式乘以多项式 6．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 8．化简： (1) (2) (3) 9．先化简，再求值：，其中． 10．先化简，再求值：，其中． 题型三、单项式乘以多项式的应用 11．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 12．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 13．已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 14．8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 15．明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 题型四、（x+p）（x+q）型多项式乘法 16．已知，则的值为 （    ） A． B．3 C． D．13 17．下列算式计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 18．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 19．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新数，且这两个新数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和是“幸福数对”．解决如下问题： (1)请判断13与62是否是“幸福数对”？并说明理由； (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间满足怎样的数量关系？试说明理由； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 20．若，则m、n的值分别是（    ） A． B． C． D． 题型五、多项式乘以多项式 21．已知，则的值等于（　　） A． B． C． D． 22．已知，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 23．如果P、Q都是关于x的整式，且是一个九次式，是一个五次式，那么（   ） A．的次数一定是9 B．的次数一定是5 C．的次数一定是4 D．的次数无法确定 24．计算： (1)； (2)． 25．（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 题型一、单项式乘以多项式中的字母求值 26．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 27．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 28．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 29．，则 ． 30．若，则的值为 ． 31．已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 题型二、利用单项式乘单项式求值 32．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 33．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 34．如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 35．若，则 ． 36．如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 题型三、多项式乘法中的无关型运算 37．关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为 ． 38．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 39．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 40．要使的展开式中不含项，则的值为 ． 41．【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 题型四、多项式乘法中的规律性问题 42．已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 43．阅读以下材料，回答问题： 我国对历法的研究有着悠久的历史，月历中隐藏着许多有趣的数学规律． 如图是某月的月历，选取月历中虚线方框的4个位置上的数（如8、9、15、16），交叉相乘再相减，会发现固定的运算规律．事实上，任意一个月的月历中，用这样的方框圈出的4个数，都满足这一规律，我们可以用整式的运算对其进行证明． (1)选取数8、9、15、16，计算_____； (2)若在月历中用方框圈出的4个数为，请求出的结果为定值． 44．观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 45．探索题：；；；… 根据前面的规律，回答下列问题： (1)______． (2)已知，求的值． (3)计算：． 46．我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如． (1)请你写出和的展开式： (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期______． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； 47．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d． （1）用含a的代数式表示b，c，d． （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （3）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （4）若，，试比较x，y的大小，并说明理由． （5）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且，．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31），请求出所有可能的m值． 题型五、多项式乘多项式与图形面积 48．设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 49．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积（化为最简）； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积（化为最简）； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 50．学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题 (1)由边长分别为的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形如图1所示，可得等式= (2)由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形如图2所示，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 51．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 52．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形． (1)图②中的阴影部分是个___________形（填长方或正方），它的边长为___________； (2)观察图②阴影部分的面积，请你写出三个代数式、、之间的等量关系是___________． (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了___________． (4)试画出一个几何图形，使它的面积能表示（在图中标出相应的长度） 53．下述四个结论中：其中正确的是 （填序号）． ①若与是同类项，则； ②若关于x的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③已知2个多项式分别为：，，无论x取何值，一定都有； ④若，，则的结果只有一种． 54．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 55．小亮学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时的值称为多项式的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________； (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式的另一个零点； (3)小亮继续研究，及等，发现在轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“系多项式”，则________，________，________． 56．阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 57．如图①，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图②的一个无盖长方体纸盒． (1)若图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为，当所折成的图②中长方体盒子的底面积为时，可列方程： ； (2)若图②中长方体的长、宽、高分别为、、，那么图①中长方形纸片的面积是 ． (3)类似的，甲、乙两位同学分别用长方形纸片，通过裁剪与折叠，得到两个高都为的无盖长方体纸盒、；其中纸盒的长是纸盒的长的3倍，纸盒的宽是纸盒的宽的倍．试比较甲、乙两位同学所用长方形纸片面积的大小．（注：长方形的长大于宽） 58．阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． (1)应用规律：①直接写出的展开式，___________； ②先化简，再求值：，其中． (2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即 若，且，则的值为___________（用表示）． 59．对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 试卷第2页，共49页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 整式的乘法 题型一、单项式乘以单项式 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解： ， 故选：C． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确把握单项式乘以单项式法则是解题关键．首先利用积的乘方进行化简，进而利用单项式乘以单项式法则求出即可． 【详解】解： 故选：D． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法运算，掌握其运算法则是关键，根据有理数乘法和幂的运算性质计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．计算： 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，先利用积的乘方法则计算，再利用同底数幂乘法法则计算，最后按负指数计算即可．． 【详解】解：原式 ． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘法． （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （3）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （4）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型二、单项式乘以多项式 6．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是代数式求值和单项式乘以多项式，解题关键是根据所求代数式的特征，恒等变形为已知等式的形式，整体代入求解． 根据所求代数式，将已知中的变形得到，整体代入即可得解． 【详解】解：， ， ， 又， ， 原式 ． 故选：． 7．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 8．化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． 先去括号，再合并同类项计算，将代入化简后的整式计算即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 题型三、单项式乘以多项式的应用 11．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 12．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 13．已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 【答案】(1)； (2)44 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减计算，单项式乘多项式，正确理解题意是解题的关键． （1）由图可知，大长方形的长为；阴影长方形的长为，宽为，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，大长方形的长为； 阴影长方形的长为，宽为， 则阴影长方形的面积． 故答案为：  ； （2）解：由题意，知阴影长方形的长为，宽为，阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的周长为，阴影长方形的周长为， ∴阴影长方形与阴影长方形的周长的和为． ，则，即阴影长方形与阴影长方形的周长的和为44． 14．8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 【答案】(1) (2)87 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，单项式乘以多项式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：板模型的总面积为： ； （2）解：当，时， 板的总面积为： ． 15．明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 【答案】(1) (2)完成新装饰区域全部铺设，总费用为元 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由图可分别得出装饰板块一和板块二的面积，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图形可知：； （2）解：由图可知：装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∵，，， ∴装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∴总费用为（元）； 答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为元． 题型四、（x+p）（x+q）型多项式乘法 16．已知，则的值为 （    ） A． B．3 C． D．13 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法，求代数式的值，掌握乘法法则是关键；通过展开左边多项式，并比较等式两边对应项的系数，得到关于m和n的方程，求解后计算． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴对应系数相等， 即，， 由得：， 代入，得， ∴． 故选：A． 17．下列算式计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法，利用多项式乘以多项式法则计算各选项，即可得出结论． 【详解】解：A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意， 故选：C． 18．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 19．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新数，且这两个新数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和是“幸福数对”．解决如下问题： (1)请判断13与62是否是“幸福数对”？并说明理由； (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间满足怎样的数量关系？试说明理由； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)13与62是“幸福数对”，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)这两个两位数分别为：24和63 【分析】本题主要考查了新定义运算，多项式乘以多项式，有理数的乘方，理解新定义是解题的关键； （1）分别计算出和的结果，再根据“幸福数对”的定义进行判断即可； （2）分别求出和的结果，再根据“幸福数对”的定义可得，据此求解即可； （3）根据（2）的结论可得，解方程得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：13与62是“幸福数对”，理由： ∵，， ∴， ∴13与62是“幸福数对”； （2）解：，理由如下： 由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解；由（2）可得 ∴ 解得， ∴，，，， 这两个两位数分别为：和． 20．若，则m、n的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法：通过展开左边多项式并比较系数，求出m和n的值． 【详解】解：∵， 又∵， 比较系数得：． 故选：B． 题型五、多项式乘以多项式 21．已知，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，整体代入法求代数式的值． 先根据多项式与多项式的乘法法则化简，然后由得出代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选C． 22．已知，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 展开左边多项式，与右边比较各项系数，进而求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 23．如果P、Q都是关于x的整式，且是一个九次式，是一个五次式，那么（   ） A．的次数一定是9 B．的次数一定是5 C．的次数一定是4 D．的次数无法确定 【答案】B 【分析】本题考查整式的乘法，整式的加减运算，根据是一个九次式，是一个五次式，得到一个是五次式，一个是四次式，进而得到的次数一定是5，即可． 【详解】解：∵是一个九次式，是一个五次式， ∴一个是五次式，一个是四次式， ∴的次数一定是5； 故选B． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，再合并同类项即可； （2）根据多项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 题型一、单项式乘以多项式中的字母求值 26．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 27．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 28．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 29．，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 30．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用单项式乘以多项式去括号后即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 31．已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 【答案】-7 【分析】把x（x﹣m）+n（x+m）去括号、合并同类项，然后根据与+5x-6对应项的系数相同，即可求得m、n的值，然后代入求值即可． 【详解】解：x（x﹣m）+n（x+m） ＝﹣mx+nx+mn ＝+（n﹣m）x+mn， ∴， 则m（n﹣1）+n（m+1）＝n﹣m+2mn＝5﹣12＝﹣7． 【点睛】此题考查单项式乘多项式和代数式求值，解题关键在于掌握运算法则． 题型二、利用单项式乘单项式求值 32．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 33．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 34．如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 35．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 36．如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，单项式乘以多项式与图形面积． （1）如图，标注图形各顶点，，，，，再利用建立方程求解即可． （2）①结合（1）可得：，进一步分析即可； ②先表示，，，，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，标注图形各顶点， 由题意可得：， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为， ∴， 解得：． （2）解：①结合（1）可得： ， ∴（1）中的值每增加的值增加． ②∵， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为： ， ∵的值不随的值的变化而变化， ∴， 解得：． 题型三、多项式乘法中的无关型运算 37．关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查整式的混合运算，将代数式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零，求解a的值即可 【详解】原式 = = = ， ∵不含x的二次项， ∴ ， 解得 。 故答案为3 38．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 39．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 40．要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 41．【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】理解应用：；能力提升： 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键． 理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； 能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得． 【详解】解：理解应用： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 能力提升：设，则，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与无关， ∴， ∴． 题型四、多项式乘法中的规律性问题 42．已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，解题的关键是根据题目找出规律表示出一般形式．先观察给定的等式规律，猜想出一般形式，再令，求得的值，再将所求式子变形为，进而得解． 【详解】解：由给定的等式可知，对于任意正整数 ，有 ． 令，则有 ，即， ， ． 故答案为：． 43．阅读以下材料，回答问题： 我国对历法的研究有着悠久的历史，月历中隐藏着许多有趣的数学规律． 如图是某月的月历，选取月历中虚线方框的4个位置上的数（如8、9、15、16），交叉相乘再相减，会发现固定的运算规律．事实上，任意一个月的月历中，用这样的方框圈出的4个数，都满足这一规律，我们可以用整式的运算对其进行证明． (1)选取数8、9、15、16，计算_____； (2)若在月历中用方框圈出的4个数为，请求出的结果为定值． 【答案】(1) (2)的结果为定值 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式及整式的乘法运算，理解题意并正确计算是关键； （1）直接计算即可； （2）把b、c、d用含字母a的代数式表示，再计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 则 ． 故的结果为定值． 44．观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】(1) (2) (3)运算规律为：，说明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：， ， ，…… ， 故答案为：； （2）解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； （3）解：，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 45．探索题：；；；… 根据前面的规律，回答下列问题： (1)______． (2)已知，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2) 0或 (3) 65536 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究及应用，解题的关键是通过已知等式总结出与多项式相乘的规律，并利用规律解题． （1）观察已知等式，总结出与到的和相乘的结果规律； （2）利用规律将与相乘，结合已知条件求出的值，再计算的值即可； （3）利用规律先计算，再加上即可． 【详解】（1）解：由已知规律可得． 故答案为：． （2）解：由规律得： ， ，即， 解得：或， 当时，则，与题干矛盾， 当或时，则，符号题意， 或． （3）解：由规律得：， ． 则原式． 46．我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如． (1)请你写出和的展开式： (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期______． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； 【答案】(1)； (2)三 (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，是解决问题的关键． （1）由题中所给杨辉三角形，由各项系数的有关规律即可得到和的展开式； （2）由（1）可得的展开式，则，从而得到除以7余1，即可得到答案； （3）由题中令，则，从而令，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：由杨辉三角规律，可得： ；； （2）解：同（1）可得， ∴ ， ∴除以7余1， ∵今天是星期二， 再过天是星期三； （3）解：由题意可知，令，则， 令，则， ． 47．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d． （1）用含a的代数式表示b，c，d． （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （3）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （4）若，，试比较x，y的大小，并说明理由． （5）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且，．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1）；（2）结论是0，理由见详解；（3）结论是，理由见详解；（4），理由见详解；（5）m的所有可能的值为14、16、19、26 【分析】本题主要考查整式运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据月历特征可进行求解； （2）根据题（1）可进行求解； （3）根据题（1）可进行求解； （4）分别根据多项式乘以多项式得出x、y的值，然后问题可求解； （5）由题意易得48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，然后根据题意得出a、b所有可能的值，进而问题可求解． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）我发现的结论是0，理由如下： 由（1）可知： ； （3）我发现的结论是，理由如下： 由（1）可知： ； （4） ； ； ∵， ∴； （5）由题意得：48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48， ∵a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31）， ∴当或24时，或2，此时； 当或16时，或3，此时； 当或12时，或4，此时； 当或8时，或6，此时； ∴m的所有可能的值为14、16、19、26． 题型五、多项式乘多项式与图形面积 48．设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，计算出的结果，结果中项的系数即为所求答案． 【详解】解： ， ∴要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为9， 故答案为：9． 49．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积（化为最简）； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积（化为最简）； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题考查了整式混合运算的应用； （1）由图得，化简即可求解； （2）由图得，化简即可求解； （3）将，代入（2）中所求的面积，再求出费用，即可求解． 【详解】（1）解：花园的面积为 （）； （2）解：由题意得 （）； 故铺设地砖的面积为； （3）解：当，时， （）， （元）， 故购买所需地砖需要元． 50．学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题 (1)由边长分别为的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形如图1所示，可得等式= (2)由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形如图2所示，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，采用数形结合的思想是解题的关键； （1）利用整体观察和分割观察的方法分别求大长方形的面积，即可求解； （2）利用整体观察和分割观察的方法分别求大正方形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：根据利用不同方法求大长方形的面积可得， ， 故答案为：； （2）解：∵由整体观察大正方形的面积为：； 由分割观察大正方形的面积为：； ∴得到的等式为， 故答案为：． 51．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知 ，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式的值与x的取值无关 ∴ 解得： 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∵的值与x无关 ∴，即； （3）由图可知 ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴ ∴． 52．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形． (1)图②中的阴影部分是个___________形（填长方或正方），它的边长为___________； (2)观察图②阴影部分的面积，请你写出三个代数式、、之间的等量关系是___________． (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了___________． (4)试画出一个几何图形，使它的面积能表示（在图中标出相应的长度） 【答案】(1)正方； (2) (3) (4)图见解析 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由图可得，阴影部分为边长为的正方形； （2）图②中的阴影部分面积可以由大正方形的面积减去一个矩形的面积，即可得出等量关系； （3）根据图形面积直接表示或间接表示，即可列出关系式； （4）根据已知式子画图即可． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分为边长为的正方形， 故答案为：正方，； （2）解：由图可得，图②中的阴影部分面积为或， ∴等量关系为， 故答案为：； （3）解：由图可得，图③中的面积为或， ∴等量关系为， 故答案为：； （4）解：如图，几何图形如下， 53．下述四个结论中：其中正确的是 （填序号）． ①若与是同类项，则； ②若关于x的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③已知2个多项式分别为：，，无论x取何值，一定都有； ④若，，则的结果只有一种． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查同类项的定义、整式的加减运算、绝对值的化简、多项式的大小比较等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据同类项中相同字母的指数相同可判断①；通过整式的运算，合并同类项后不含某项求参数，再求常数项可判断②；计算两个多项式的差，根据非负性判断大小关系可判断③；利用绝对值的性质和符号讨论，结合已知条件化简表达式可判断④． 【详解】解：①若与是同类项，则相同字母的指数相同，即，，解得，，即，故正确． ②多项式展开后为，不含项，则，解得，常数项为，故正确． ③计算，由于，故，即恒成立，故正确． ④由，得，，原式化为．令，，，则原式．由于且，的值可能为两正一负或两负一正，代入计算均得0，故结果只有一种，故正确． 综上，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 54．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 55．小亮学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时的值称为多项式的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________； (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式的另一个零点； (3)小亮继续研究，及等，发现在轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“系多项式”，则________，________，________． 【答案】(1)或 (2) (3)，，1 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，正确进行计算是解题的关键． （1）根据题意，令，解方程得出x的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式B，得，然后解关于a的值，再把a的值代入B，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：令， 或， 或； ∴此多项式的零点为或； （2）解：把代入，得， ， 把代入，得， 令， ． （3）解：， 解得或； 的两个零点分别是或7， 根据“3-系多项式”的定义，有， ，把代入，得． ， ，， ，． 故答案为：． 56．阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 【答案】(1)64， (2)①，②1 【分析】本题考查了数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）由已知式子列出的展开式，再计算出各项系数和即可；根据规律发现可知，（n取正整数）的展开式的各项系数之和为； （2）①根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题即可； ②利用的展开式，将式子转化为，计算得1． 【详解】（1）解：， ∴各项系数和为：， ∵的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， ……， ∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和为， 故答案为：64，． （2）解：① ； ②观察式子， 将原式与进行比较，可发现当，时，两者形式完全相同， ∴原式． 57．如图①，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图②的一个无盖长方体纸盒． (1)若图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为，当所折成的图②中长方体盒子的底面积为时，可列方程： ； (2)若图②中长方体的长、宽、高分别为、、，那么图①中长方形纸片的面积是 ． (3)类似的，甲、乙两位同学分别用长方形纸片，通过裁剪与折叠，得到两个高都为的无盖长方体纸盒、；其中纸盒的长是纸盒的长的3倍，纸盒的宽是纸盒的宽的倍．试比较甲、乙两位同学所用长方形纸片面积的大小．（注：长方形的长大于宽） 【答案】(1) (2) (3)甲同学所用长方形纸片的面积大． 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，整式的混合运算． （1）求出长方体的底面的长、宽，进而根据底面积为列方程即可； （2）根据题意，得到长方形的长等于长方体的长加上两个高，宽等于长方体的宽加上两个高，再根据长方形的面积公式进行计算即可； （3）设纸盒的长和宽分别为，得到纸盒的长和宽分别为，利用长方形的长等于长方体的长加上两个高，宽等于长方体的宽加上两个高，分别求出两个长方形的面积，比较大小即可． 【详解】（1）解：∵图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为， ∴图②中长方体的底面的长为、宽为， ∵图②中长方体盒子的底面积为， ∴ 故答案为：； （2）解：（）， 故答案为：； （3）解：设纸盒的长和宽分别为，则：纸盒的长和宽分别为， 则甲同学所用长方形纸片面积为：， 乙同学所用长方形的纸片面积为：， 甲同学所用长方形纸片面积-乙同学所用长方形的纸片面积为： ， ∵纸盒的长和宽分别为，长方形的长大于宽， ∴， ∴， 即， ∴甲同学所用长方形纸片的面积大． 58．阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． (1)应用规律：①直接写出的展开式，___________； ②先化简，再求值：，其中． (2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即 若，且，则的值为___________（用表示）． 【答案】(1)①，②， (2) 【分析】本题考查了整式乘法的应用、有理数的乘方，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键． （1）①先根据杨辉三角得出的展开式的系数，可得展开式；②先展开，再合并，最后代入求值即可． （2）根据，可得，结合，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意，的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1， ． ② ， ∵， 原式 ． （2）解：∵，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即， ∴，； ，； ，； ，； 可得， 当时，成立； 假设当时成立， 当时，， ∵， ∴， 因此，当时规律也成立， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 59．对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 【答案】(1)相等 (2)①；②；③25 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的运用，完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由小华计算数据即可判断； （2）①根据图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差可得答案； ②计算出的结果即可得到答案； ③根据，，可得，据此可得答案； （3）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值，再根据，即可求解最小值． 【详解】（1）解：通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足相等关系时，长方形的面积最大， 故答案为：相等； （2）解：①∵长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积大正方形面积小正方形面积， ∴， 故答案为：； ②当时，阴影部分是边长为的正方形， ， 故答案为：； ③当时，该长方形即为正方形，其面积为； ∵，， ∴ ∴周长是20的长方形的面积的最大值是25， 故答案为：25； （3）解：， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， ∴， ∴代数式的最小值． 试卷第2页，共49页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.2整式的乘法（答案版） A 基础达标题 题型一、单项式乘以单项式 1.C. 2.D. 4.【详解】解：原式=a2b2·ab6 =08b8 b8 = 5.【详解】(1)解：ab(-a)2 =ab·a2 =ab =4ab4浴 =a3b4 (3)解：94o 1 -16x2 =8x3y 4解：(3rj》 =-3ygy 题型二、单项式乘以多项式 6.B. 1/19 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.-3. 8【详解11)解：（后--12 写-12列-子-12到 =-4xy+9xy2; (2)解：（-2ab)(3a2-2ab-4b2) =(-2ab3a2--2ab2ab--2ab)4b2 =-6a3b+4a2b2+8ab3; Λ2 (3) :(j-4o+ 3w-4w2+ y3gy4w+y 9.【释】解：r-写2r+2到写3x+6r- =r-r-写+2+4--2r+写 3 =-x2+4 将=代入上式得， 10.【详解】解：xx2+2x+1-(x+2)(x-5) =x3+2x2+x-x2-3x-10 =x3+2x2+x-x2+3x+10 =x3+x2+4x+10, 当x=-5时， 原式=(-5)+(-5)+4×(-5)+10 =-125+25-20+10 2/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =-110. 题型三、 11.A. 12.5. 13.【详解】(1)解：由图可知，大长方形的长为m+4n; 阴影长方形A的长为m,宽为10-3n, 则阴影长方形A的面积m10-3n)=10m-3mn. 故答案为：m+4n10m-3mn; (2)解：由题意，知阴影长方形A的长为m,宽为10-3n,阴影长方形B的长为4n,宽为10-m, :阴影长方形A的周长为2m+(10-3n)=2m+20-6n,阴影长方形B的周长为 2[4n+(10-m)]=8n+20-2m, .阴影长方形A与阴影长方形B的周长的和为(2m+20-6n)+(8n+20-2m)=2n+40. n=2,则2n+40=2×2+40=44,即阴影长方形A与阴影长方形B的周长的和为44. 14 【详解】(1)解：KT板模型的总面积为： ba+b+3动×3b+b+6a-2bxa 2 2 2 =ab+362-ab+3a 2 2 =3a2+3b2: (2)解：当a=2,b=5时， KT板的总面积为： 3a2+3b2 =3×22+3×52 =12+75 =87. 15.【详解】(1)解：由图形可知：S=ac-4b2; (2)解：由图可知：装饰板块一的面积为2b(c-2b)=2bc-4b2,装饰板块二的面积为c(a-2b)=ac-2bc, 3/19 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .a=6m,b=1m,c=4m, :.装饰板块一的面积为2bc-4b2=2×1×4-4×12=4m2,装饰板块二的面积为ac-2bc=6×4-2×1×4=16m2 .总费用为5×4+7×16=132（元）； 答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为132元， 题型四、（x+p)(x+q)型多项式乘法 16.A. 17.C. 18.A. 19.【详解】(1)解：13与62是“幸福数对”，理由： :13×62=806,31×26=806, .13×62=31×26, 13与62是“幸福数对”； (2)解：ac=bd,理由如下： 由题意得，(10a+b)(10c+d)=100ac+10ad+10bc+bd, (10b+a)10d+c=100bd+10bc+10ad+ac, :(100ac+10ad+10be+bd)-(100bd+10bc+10ad+ac=0, .99ac-99bd=0, .99ac-bd=0, .ac-bd =0, 即ac=bd; (3)解；由(2)可得(x+1)(x+5)=（x+3(x+2 x2+6x+5=x2+5x+6 解得x=1, .x+1=2,x+3=4,x+5=6,x+2=3, ·这两个两位数分别为：24和63. 20.B. 4/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型五、多项式乘以多项式 21.C. 22.A. 23.B. 24.【详解】(1)解：x2x2+(-x+x2 =x35+-x）+x9 =x6: (2)解：(2x-3y)4x2+6xy+9y2）】 =8x3+12x2y+18xy2-12x2y-18.xy2-27y =8x3-27y3. 25.【详解】解：(1)x2+mx+3x2-3x =x4-3x3+nx3-3r2+3x2-9x =x4-(3-nx3-(3n-3x2-9x :x2+nx+3x2-3x的结果中不含2项， .3n-3=0, ∴.n=1; (2):xx2+x-3-x2(x-1-2(x-1(2x+1)+x(2x+1) =x3+x2-3x-x3+x2-22x2+x-2x-1+2x2+x =x3+x2-3x-x3+x2-4x2+2x+2+2x2+x =2 :多项式x(x2+x-3-x2(x-1)-2(x-1)(2x+1+x(2x+1)的值与x的取值无关. B 能力提升题 题型一、单项式乘以多项式中的字母求值 26.A. 27.A. 5/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 28.B 29.2x2y2. 30.-2. 31.【详解】解：x(x-m)+n(x+m) =x2-mx+nx+mn =X2+(n-m)+mn, n-m=5 mn=-6’ 则m(n-1)+n(mt1)=n-m叶2mm=5-12=-7. 题型二、利用单项式乘单项式求值 32.A. 33.A. 34.3;4;32. 35.2. 36.【详解】(1)解：如图，标注图形各顶点， D H G 由题意可得：a=2.5,b=1, .DF=AD-AF=x-4×1=x-4,AB=CD=2.5+3x1=5.5,BH=3×1=3,BE=BC-CE=x-2.5, :未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为y=6, 3×x-2.5-2.5×x-4=6, 解得：x=7. (2)解：①结合(1)可得： y=3×x-2.5)-2.5×(x-4)=3x-7.5-2.5x+10=1x+3 2x+ 2 :(1)中x的值每增加ly的值增加？. 6/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②b=1, .DF=AD-AF=x-4x1=x-4,AB=CD a+3,BH=3x1=3,BE =BC-CE=x-a, :未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为： y=3(x-a)-a(x-4) =3x-3a-ax+4a =(3-ax+a, :y的值不随x的值的变化而变化， ∴.3-a=0, 解得：a=3. 题型三、多项式乘法中的无关型运算 37.3 38.B. 39.B. 40.0. 41.【详解】解：理解应用：3[(2x+1)(x-1)-x1-3y)]+6-x2+xy-1 =32x2-2x+x-1-x+3xy-6x2+6xy-6 =6x2-6x+3x-3-3x+9xy-6x2+6xy-6 =(15y-6x-9, :3[(2x+1(x-1)-x(1-3y)]+6-x2+xy-1)的值与x无关， 15y-6=0, 2 :y=5 能力提升：设AB=xx>0),则S,=ax-3b),S2=2b(x-2a, .S1-S2=ax-3b)-2bx-2a ax-3ab-2bx+4ab =(a-2b)x+ab, :当AB的长变化时，S,-S2的值始终保持不变， 7/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .(a-2b)x+ab的值与x无关， .a-2b=0, a=2b. 题型四、多项式乘法中的规律性问题 42.21-2. 43.【详解】(1)解：8x16-9×15=128-135=-7, 故答案为：-7； (2)解：由题意得：b=a+l,c=a+7,d=c+1=a+7+1=a+8, 则ad-bc=a(a+8)-(a+1)(a+7) =a2+8a-a2+8a+7 =a2+8a-a2-8a-7 =-7. 故ad-bc的结果为定值-7. 44.【详解】(1)解：152=225=100×1×2+25， 252=625=100×2×3+25, 352=1225=100×3×4+25, .752=5625=100×7×8+25, 故答案为：5625=100×7×8+25； (2)解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m,个位上数字为5，m为整数，且0<m<10, (10m+5)2=100m(m+1)+25, 故答案为：(10m+5)2=100m(m+1)+25; (3)解：：36×34=1224,41×49=2009,52×58=3016,67×63=4221，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a,个位上的数字为b（其中a,b为小于10的正整数)， :可得运算规律为：(10a+b)10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b), 说明如下： (10a+b)10a+10-b) =10a10a+10-b)+b10a+10-b) 8/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =100a2+100a-10ab+10ab+10b-b2 =100a2+100a+10b-b2 =100a(a+1)+b10-b), ∴.(10a+b)10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b) 45.【详解】(1)解：由已知规律可得(x-1)(x“+x-+.+x+1)=x+1-1. 故答案为：X1-1. (2)解：由规律得：(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x3-1 x4+x3+x2+x+1=1, ∴.x-1=x-1,即x3-x=0, 解得：x=±1或x=0, 当x=1时，则x4+x3+x2+x+1=5,与题干矛盾， 当x=0或x=-1时，则x4+x3+x2+x+1=1,符号题意， x2025=02025=0或x2025=(-1)2025=-1. (3)解：由规律得：(2-1)(25+24+.…+2+1)=26-1， .25+24+.+2+1=216-1. 则原式=216-1+1=216=65536. 46.【详解】(1)解：由杨辉三角规律，可得： 1 :(a+b)=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;（a+b)=a3+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b: 15101051 (2)解：同(1)可得(a+b)6=a6+6ab+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6, 28=(2)°=(7+1) =76+6×73×1+15×74×12+20×73×13+15×72×14+6×7×15+16, .28除以7余1， :今天是星期二， :再过28天是星期三； 9/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：由题意可知，令x=1,则a,+a6++a,+a。=(1+1)”=2”, 令x=0,则a。=(0+1)”=1, a1,+a16+…+a2+a1=217-1. 47.【详解】解：(1)由题意得：b=a+1,c=a+1+7=a+8,d=a+8+1=a+9; (2)我发现的结论是0，理由如下： 由(1)可知： (a+d-(b+c)=(a+a+9)-(a+1+a+8)=2a+9-2a-9=0; (3)我发现的结论是-8，理由如下： 由(1)可知： ad-bc=a(a+9)-(a+1(a+8)=a2+9a-a2-9a-8=-8; (4)x=2025×2028-2026×2027 =2025×2025+3)-(2025+1)×2025+2) =20252+3×2025-20252-3×2025-2 =-2; y=9870×9879-9871×9878 =9870×9870+9-(9870+1)×9870+8) =98702+9×9870-98702-9×9870-8 =-8: -2>-8, .x>y; (5)由题意得：48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48， :a,b可表示某月中两个日期的编号（131)， .当a=2或24时，b=24或2，此时m=a+b=2+24=26: 当a=3或16时，b=16或3，此时m=a+b=3+16=19; 当a=4或12时，b=12或4，此时m=a+b=4+12=16; 当a=6或8时，b=8或6，此时m=a+b=6+8=14: .m的所有可能的值为14、16、19、26. 10/19