精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州（汉族）高中联谊校2025-2026学年高二上学期1月期末质量检测数学试题（A卷）

2025—2026学年度第一学期 高二年级数学学科期末质量检测A卷 考生注意：1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分（150分，考试时间120分钟． 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 1 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角的概念即可求解. 【详解】直线垂直于轴，故倾斜角为． 故选：B 2. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过2a=b，直接求解双曲线的渐近线方程即可． 【详解】双曲线的实轴长2a、虚轴长：2b，∴2a=b， 即a=b． ∴渐近线方程为：y＝±x=． 故选C． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线方程，属于基础题． 3. 如果，，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】结合直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系即可求解． 【详解】因为，所以，直线可化为，因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限． 故选：C． 4. 已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（ ） A. B. C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】结合椭圆的定义可得的周长为，即可求解. 【详解】由题意可知， 如图： ， 即的周长为12， 故选：D 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 6. 若直线与圆相离，则点（ ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 7. 已知定点，点在抛物线上，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和性质，结合图象求出的最小值. 【详解】抛物线，即，其焦点为，准线方程为， 易知在抛物线的内部，点即为焦点， 如图所示，过点作于点，则，即， 显然当三点共线时最小，最小值为， 即的最小值为4， 故选：B. 8. 已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的基本定理将用进行表示，结合已知，进行整理得到，根据空间向量基本定理可知在平面内存在一点，从而得到，即可得到，利用三棱锥的体积公式求出． 【详解】 因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 又三棱锥的体积为15， 则． 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 方程表示的曲线为，下列正确的命题是（ ） A. 曲线不可能是圆； B. 若，则曲线为椭圆； C. 若曲线为双曲线，则或； D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 【答案】CD 【解析】 【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断. 【详解】对于A，若曲线是圆，则，解得，故A错误； 对于B，若曲线为椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，若曲线为双曲线，则，解得或，故C正确； 对于D，若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故D正确； 故选：CD. 10. 下列给出的命题为真命题的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若四点共面，为该平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量，直线的方向向量为，则直线在平面内 D. 若空间向量，，满足，，则空间向量在方向上的投影向量的模长为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不共面来确定基底可判断A，利用四点共面的性质可判断B，利用向量法来确定线面关系可判断C，利用投影向量公式可判断D． 【详解】因为为空间的一组基底，所以不共面， 而在确定的平面内，所以也与不共面， 即也是空间的一组基底，故A正确； 若四点共面，为该平面外一点，且，则，故B正确； 因为，所以，则直线在平面内或，故C错误； 由空间向量在方向上的投影向量的模长，故D正确； 故选：ABD 11. 如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则（ ） A. 所在的圆截直线所得弦的长为 B. 与的公切线的方程为 C. 所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为 D. 动点，分别在圆和上，动点在上，的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题知曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，故可写出各段圆弧所在圆的方程，然后根据圆的相关知识判断各选项即可． 【详解】，，所在圆的方程分别为，，， 对于A，所在圆的方程为，圆心为， 圆心到直线的距离为， 则所求弦长为，故A不正确； 对于B，设与的公切线直线斜率存在，则设公切线方程为， 则，所以，， 所以与的公切线的方程为，即，故B正确； 对于C，由 及， 两式相减得，即公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，关于直线的对称点为， 则由图象可知， 当，，三点共线时，取得最小值， 的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和， 即为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若直线与平行，则与的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再计算两平行线间的距离. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，所以，又， 所以与的距离. 故答案为： 13. 已知 与相交于点 ，则 _____ 【答案】 【解析】 【分析】首先求两圆相交弦所在的直线方程，再求弦长. 【详解】两圆相减得直线的方程， 圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，，则的离心率______． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线定义结合条件求出，再由余弦定理即可得到的方程，即可求其离心率. 【详解】如图，设．则．由双曲线定义可得．即， 所以，，又，． 在中，由余弦定理得， 解得，故的离心率． 四、解答题（本题共5小题，第15题13分，16，17题每题15分，18，19题每题17分，共77分．） 15. 已知抛物线，并且经过点. （1）求抛物线方程； （2）若直线与抛物线交于两点，求. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线方程即可求解； （2）直线方程与抛物线方程联立，方法一：利用弦长公式或两点间距离结合韦达定理可求；方法二：利用抛物线定义，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 因为抛物线过点， 所以，解得， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 设， 联立消去可得，. 由一元二次方程根与系数的关系得，. 方法一： . 方法二：依题意可知，直线过抛物线的焦点， 如图，设，过两点分别向准线作垂线，垂足为. 由抛物线的定义可知，. 于是. 由方法一可得， 于是. 16. 已知的三个顶点分别为，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积. 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）因为，结合直线的两点式方程，即可求解； （2）由，求得，得到边上的垂直平分线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）先求得点到的距离为和，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，则的方程为，即. 【小问2详解】 解：因为，可得，且的中点为， 则边上的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． 【小问3详解】 解：由且的方程，可得点到的距离为， 又由，可得， 所以的面积为. 17. 已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果； （2）分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果. 【小问1详解】 圆的圆心为， 由圆心在直线上可得，即圆心； 易知圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得； 所以圆的方程为； 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，过点的直线方程为， 显然到的距离等于3，符合题意； 当切线斜率存在时，可设过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，解得； 此时切线方程为，即； 综上可知，切线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，∥，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点， ，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. （2）（i）； （ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，， 则，， 由（2）知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是 ， ，， . 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明线面平行； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面， ，，又， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图：则，，，， 为棱的中点， ， （i），， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， ， 平面的一个法向量为， ， 则二面角的正弦值为； （ii）略 19. 已知椭圆的方程为，其过点且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； （3）点是椭圆与轴正半轴的交点，不过点的直线交椭圆于，两点．且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用题给条件求得的值，进而求得椭圆的方程； （2）分析知直线斜率存在，设出直线方程，与椭圆方程联立韦达定理，利用弦长公式列方程即可求解直线斜率，即可得解； （3）利用设而不求的方法求得面积的表达式，再利用基本不等式即可求得面积的最大值． 【小问1详解】 由题意，解得，， 所以， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，，不合题意； 故直线斜率存在，设为， 设，，联立方程组，得， 由， ， 由，知 ， 平方化简得，解得或（舍去）， 所以，所以直线的方程为或； 【小问3详解】 设，，直线， 联立方程组，得， 由，解得，，， 由，知 ，且， 代入化简得， 解得， 又由知，得， ， （当且仅当时取等号）， 综上，面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期 高二年级数学学科期末质量检测A卷 考生注意：1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分（150分，考试时间120分钟． 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 1 D. 不存在 2. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 3. 如果，，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（ ） A. B. C. 9 D. 12 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与圆相离，则点（ ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 7. 已知定点，点在抛物线上，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 10 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 方程表示的曲线为，下列正确的命题是（ ） A. 曲线不可能是圆； B. 若，则曲线为椭圆； C. 若曲线为双曲线，则或； D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 10. 下列给出的命题为真命题的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若四点共面，为该平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量，直线的方向向量为，则直线在平面内 D. 若空间向量，，满足，，则空间向量在方向上的投影向量的模长为2 11. 如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线则（ ） A. 所在的圆截直线所得弦的长为 B. 与的公切线的方程为 C. 所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为 D. 动点，分别在圆和上，动点在上，的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若直线与平行，则与的距离为_____. 13. 已知 与相交于点 ，则 _____ 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，，则的离心率______． 四、解答题（本题共5小题，第15题13分，16，17题每题15分，18，19题每题17分，共77分．） 15. 已知抛物线，并且经过点. （1）求抛物线方程； （2）若直线与抛物线交于两点，求. 16. 已知的三个顶点分别为，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积. 17. 已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，∥，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆的方程为，其过点且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； （3）点是椭圆与轴正半轴的交点，不过点的直线交椭圆于，两点．且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $