精品解析：江苏省徐州市睢宁高级中学附属学校2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷

睢中附属学校2025~2026学年度第一学期质量检测九年级数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 方程的解是（　　　） A. B. C. D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可解答. 【详解】解：由x(x一2)=0得：x=0或x﹣2=0， 解得、x1=0，x2=2， 故选：B. 【点睛】本题考查解一元二次方程，会利用因式分解法解一元二次方程是解答的关键. 2. 如果的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外，根据以上内容判断即可． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为， ∴点在内． 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 3. 若一组数据的方差为5，则数据 的方差是（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍． 根据当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变即可得出答案． 【详解】解：数据的方差是5， 数据的波动幅度不变， 数据的方差为5， 故答案为：C． 4. Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=6cm，那么AB等于（　　） A. 8cm B. 10 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义,列出比例式,再利用勾股定理即可直接求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA==，AC=6cm， ∴AB=10cm， 故选B． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，同时考查了勾股定理,属于简单题,掌握三角函数的定义是解题关键. 5. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 函数的最小值为 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， ，函数的图象开口向上， 故选项A正确，不符合题意； 函数的最小值为， 故选项B正确，不符合题意； 图象的顶点坐标为， 故选项C不正确，符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象、性质、最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 6. 下列说法正确的是（　　） A. 相等的圆周角所对的弧相等 B. 相等的弦所对的弧相等 C. 平分弦的直径一定垂直于弦 D. 任意三角形一定有一个外接圆 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理、等弧的概念以及垂径定理，即可求得答案． 【详解】解：A、在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A不符合题意； B、在等圆或同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故B不符合题意； C、根据垂径定理知，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C不符合题意； D、任意三角形一定有一个外接圆，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心；平分（非直径）弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的弧以及有关圆的知识． 7. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，正确作出辅助线是解本题的关键．连接，根据圆周角定理，垂径定理即可求解． 【详解】解：连接， 是上的一条弦，直径， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，将▱放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，则▱的面积为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先从函数图象获取直线平移距离与平行四边形顶点的关系，得出的长度；再利用直线的性质（与轴夹角为 ），结合截得线段长度求出平行四边形的高，最后根据平行四边形面积公式计算面积．本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握时直线与x轴所夹锐角为45° 【详解】解：由图象可知，直线经过时移动距离为，经过时移动距离为，经过时移动距离为， ∴． 如图，当直线经过点时，交于点，作垂直于于点，由图可知 ∵直线与夹角为， ∴， ∴面积为． 故选；． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由，可设，，再代入所求式子中计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 10. 数据5，5，4，2，3，7，6的中位数是__． 【答案】5． 【解析】 【详解】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 详解：从小到大排列此数据为：2、3、4、5、5、6、7，一共7个数据，其中5处在第4位为中位数． 故答案为5． 点睛：考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 11. 将二次函数的图象向下平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象平移，涉及知识点：二次函数图象的平移规律（“上加下减”，即图象上下平移时，直接在函数表达式的常数项上加减平移的单位）．解题方法是根据“向下平移减”的规律，在原函数表达式后减去平移的单位；解题关键是掌握“上加下减”的平移法则，易错点是混淆上下平移与左右平移的规律． 【详解】由“上加下减”原则，将二次函数的图象向下平移4个单位长度，所得抛物线的表达式为． 故答案为． 12. 在锐角中，若满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，非负数的性质，根据非负数的性质得到，，则，，据此得到． 【详解】解：∵， 且，， ∴且， ∴，， ∵为锐角三角形， ∴， ∴，， 故答案为：． 13. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知方程变形得，根据方程的解可将代入方程，即可求解，本题主要考查一元二次方程的解的运用，理解并掌握方程的解的计算方法是解题的关键． 【详解】解：已知， ∴， ∵是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是______米． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意知，得出，根据求出的值． 【详解】解：由题意知 在和中 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比． 15. 二次函数y=kx²-4x+2的图象与x轴有公共点，则k取值范围是____ 【答案】k≤2且k≠0． 【解析】 【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到△=（-4）2-4k×2≥0，然后解不等式即可得到k的值． 【详解】解：∵二次函数y=kx2-4x+2的图象与x轴有公共点， ∴△=（-4）2-4k×2≥0，解得k≤2， 又∵y=kx2-4x+2是二次函数， ∴k≠0， ∴k的取值范围是k≤2且k≠0． 故答案为：k≤2且k≠0． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 16. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，根据砝码提起的长度等于半径为圆心角为的弧长，由此即可计算． 【详解】解：根据题意，砝码提起的长度为：， 故答案为：． 17. 如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、正弦等知识，熟练掌握正弦的定义是解题关键．结合网格，取的中点为格点，先利用勾股定理分别求出的长，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后根据正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，结合网格，取的中点为格点， 设网格纸中的每个小正方形的边长为1， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 18. 函数的图象与函数的图象交于，两点，若，则当时自变量的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和不等式的关系．先根据直线的性质及方程和函数的关系求出交点的横坐标，现利用函数和不等式的关系求解． 【详解】解：设，两点的横坐标分别为，，作轴，轴，两线相交于点，设函数的图象分别交坐标轴于点， 对于，则点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，是方程的两个根， 即方程的两个根， ∴， 解得，， 观察图象，当时自变量的取值范围是或， 故答案为：或． 三．解答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，乘方的运算法则，绝对值的意义．根据特殊角的三角函数值，算术平方根的定义，乘方的运算法则，绝对值的意义进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确解一元二次方程的方法． （）利用因式分解法解方程即可； （）先移项，再提取公因式转化为两个一次因式的乘积形式，依据因式乘积为的性质求解． 【小问1详解】 解： ， 则或， 解得：，． 【小问2详解】 移项得：， 提取公因式：， 即， 则或， 解得：，． 21. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）求出顶点坐标，并在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 【答案】（1） （2）顶点坐标为， 图象如图所示， （3）向下平移10个单位 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将，代入，即可求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；再根据画函数图象的步骤画图即可； （3）把代入，得，即点向下平移10个单位得到点． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得：； 【小问2详解】 二次函数， 画函数图象的步骤： 列表： x … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 描点： 连线： 顶点坐标为，对称轴是直线； 【小问3详解】 把代入， 得， 点向下平移10个单位得到点， 所以需将抛物线向下平移10个单位． 22. 课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题． （1）在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________； （2）当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，概率所求情况数与总情况数之比． （1）所有等可能的情况数有3种，其中小灯泡发光的情况只有一种，求出小灯泡发光的概率即可； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 所有等可能的情况有3种：，闭合；，闭合，，闭合， 其中小灯泡发光的情况有1种：，闭合， 则（小灯泡发光）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设、、、分别用1、2、3、4表示， 画树状图得： 共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果， 能够让灯泡发光的概率为：． 23. 2024年4月25日神舟十八号载人飞船发射成功．为增强学生的爱国主义情怀，普及航天知识，弘扬航天精神，某校组织学生观看了相关报道，并开展了“格物致知，叩问苍穹”知识竞赛，现随机抽取了八年级若干名学生的竞赛成绩（百分制），整理并绘制了如下的统计图表： 学生成绩频数分布表 分组/分 频数 频率 组 4 0.08 组 0.20 组 12 0.24 组 14 组 10 0.20 合计 1.00 学生成绩频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）在频数分布表中______，______，______，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数； （3）若该校八年级有200名学生，成绩在80分及以上的学生可获奖，估计此次知识竞赛八年级获奖学生有多少人？ 【答案】（1）10；50，0.28， 补全频数分布直方图如图： （2）所抽取的所有学生成绩的平均数78.2分 （3）估计此次知识竞赛八年级获奖学生有96人． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案． （1）利用4除以0.08即可求出，利用14除以50即可求出的值，利用50乘以0.20即可求出的值，根据的值即可补全频数分布直方图； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）用20除以80分及以上的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：， ，， 图略； 故答案为：10；50，0.28； 【小问2详解】 解：（分， 答：所抽取的所有学生成绩的平均数78.2分； 【小问3详解】 解：（人， 答：估计此次知识竞赛八年级获奖学生有96人． 24. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 25. 如图，中，，以为直径的圆交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质、圆周角定理及其推论、勾股定理、等腰三角形的性质以及解直角三角形等，注意准确作出辅助线是解此题的关键． （1）首先连接，由在中，，易证得，又由过点作于点，即可得，证得是的切线； （2）根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，再由题意得到，由勾股定理列方程求解得到即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ， ， 在中，，即， ， 的半径为． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． （1）求线段的长； （2）当时，求y的取值范围； （3）如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； 【小问3详解】 证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 27. 折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．小明通过近期的学习发现，与圆有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个系列探究活动． （1）【初步尝试】 如图1，在中，是直径，点为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，已知，求的度数； 小明在解决这个问题时发现：解决圆的翻折问题有一个关键是翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆．这样一来，图1中易得． 请在小明的“发现”的提示下，求出的度数； （2）【深入探究】 如图2，在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，若已知的半径为5，且． ①求此时的长； ②直径上方半圆的中点为P，弧的中点为Q，连接，则的长为 ______； （3）【思维进阶】 如图3，在（2）的条件下，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）①的长为；②； （3） 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，准确添加辅助线以及熟练运用各知识点是解题的关键． （1）利用翻折的性质或，得出对应圆心角的度数，通过角度之间的计算即可求出的度数； （2）①过点作，交于点，连接、，得出，由等腰三角形三线合一，得出，结合勾股定理先算出的长度，再算出的长度； ②添加辅助线构造出与有关的直角三角形，利用垂径定理，勾股定理等，计算出、的长，利用添加的辅助线证出四边形为矩形，即可得出与有关的直角三角形的两条直角边的长度，最后利用勾股定理得出的长度； （3）由翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，可得，添加适当的辅助线，证明出，确定点的运动轨迹，判断出当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，利用勾股定理计算出该情况下、的长度，最终得到长度的最小值． 【小问1详解】 解：在找出点对应的原位置，连接、、、，如下图所示： 由翻折的性质，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①过点作，交于点，连接、，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴点为中点， ∵， ∴， ∵圆的半径为5， 故， ∴， ∵， 由勾股定理得，， 即的长为． ②过点作，作，关于的对称点，，连接，交于点，连接，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴， ∵为弧的中点，故为弧的中点， 即垂直平分， ∵，， 由勾股定理得， ∴， ∴，，， ∵，，为半圆的中点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：由（1）中翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，可得，连接、、，如下图所示： ∵， ∴，故为等腰三角形， 又∵为中点， ∴，即， ∴点运动轨迹为以为直径所在的圆上， 取中点为，为圆心，当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，连接，，如下图所示： ∵，，为直角三角形， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 睢中附属学校2025~2026学年度第一学期质量检测九年级数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 方程的解是（　　　） A. B. C. D. 无实数根 2. 如果的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 不能确定 3. 若一组数据的方差为5，则数据 的方差是（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 15 4. Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=6cm，那么AB等于（　　） A. 8cm B. 10 C. 6 D. 5 5. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 函数的最小值为 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 6. 下列说法正确的是（　　） A. 相等的圆周角所对的弧相等 B. 相等的弦所对的弧相等 C. 平分弦的直径一定垂直于弦 D. 任意三角形一定有一个外接圆 7. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，将▱放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，则▱的面积为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 已知，则的值为_______． 10. 数据5，5，4，2，3，7，6的中位数是__． 11. 将二次函数的图象向下平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_____． 12. 在锐角中，若满足，则______． 13. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ______． 14. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是______米． 15. 二次函数y=kx²-4x+2的图象与x轴有公共点，则k取值范围是____ 16. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留） 17. 如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是___________． 18. 函数的图象与函数的图象交于，两点，若，则当时自变量的取值范围是_____． 三．解答题 19. 计算：． 20. 解下列一元二次方程 （1） （2） 21. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）求出顶点坐标，并在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 22. 课间休息，数学老师李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级当日的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题． （1）在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为__________； （2）当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 23. 2024年4月25日神舟十八号载人飞船发射成功．为增强学生的爱国主义情怀，普及航天知识，弘扬航天精神，某校组织学生观看了相关报道，并开展了“格物致知，叩问苍穹”知识竞赛，现随机抽取了八年级若干名学生的竞赛成绩（百分制），整理并绘制了如下的统计图表： 学生成绩频数分布表 分组/分 频数 频率 组 4 0.08 组 0.20 组 12 0.24 组 14 组 10 0.20 合计 1.00 学生成绩频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）在频数分布表中______，______，______，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数； （3）若该校八年级有200名学生，成绩在80分及以上的学生可获奖，估计此次知识竞赛八年级获奖学生有多少人？ 24. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 25. 如图，中，，以为直径的圆交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． （1）求线段的长； （2）当时，求y的取值范围； （3）如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 27. 折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．小明通过近期的学习发现，与圆有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个系列探究活动． （1）【初步尝试】 如图1，在中，是直径，点为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，已知，求的度数； 小明在解决这个问题时发现：解决圆的翻折问题有一个关键是翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆．这样一来，图1中易得． 请在小明的“发现”的提示下，求出的度数； （2）【深入探究】 如图2，在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，若已知的半径为5，且． ①求此时的长； ②直径上方半圆的中点为P，弧的中点为Q，连接，则的长为 ______； （3）【思维进阶】 如图3，在（2）的条件下，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $