2025-2026学年高二上学期期末验收卷数学试题（范围：人教A版选择性必修第一册+选择性必修第二册）

高二第一学期数学期末验收卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：选择性必修第一册+选择性必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（   ）    A． B． C． D． 2．已知两条平行直线，，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 4．已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（   ） A． B． C．3 D． 5．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，当直线关于对称时，线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 6．在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．与t有关 7．若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的有（　　） A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．直线必过定点 C．直线与直线的距离为 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当时，2是极大值点，则 D．当在R上单调时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知三棱锥中，点平面ABC，若，则 . 13．近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为 . 14．已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍，则直线的斜率为 ；过点且垂直于的直线与椭圆交于D，E两点，，则的周长是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程. 16．（15分） 如图，在三棱锥中，是边长2的等边三角形， . (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 17．（15分） 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．（17分） 在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点， （i）当直线的倾斜角为时，求的面积； （ii）直线分别与直线，交于点，，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，请说明理由. 19．（17分） 已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 第4页，共5页 第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一学期数学期末验收卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：选择性必修第一册+选择性必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C 2．已知两条平行直线，，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线可变形为， 则根据两平行直线间的距离公式可知直线与间的距离为：. 故选：B. 3．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 4．已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】因为，解得， 所以公差． 故选：C． 5．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，当直线关于对称时，线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，圆心，连接， 因为直线关于直线对称， 所以垂直于直线， 故，而， 则. 故选：D 6．在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．与t有关 【答案】A 【解析】因为向量在面上的投影向量为，则. 因为在向量上的投影向量为， 则，所以. 而，可得向量的夹角为. 故选：A. 7．若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即为，表示双曲线的上支， ，表示过且斜率为的直线， 由题意知与的图象恰有两个不同的交点， 即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时， 由，得， 令，解得， 当时，切点为在轴下方，舍去； 当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点， 所以当直线与双曲线有两个交点且都在轴上方时，实数的取值范围是． 故选：A. 8．在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 由，，…，， 累加得， 故， 因为为单调递增数列，所以恒成立， 则， ，， 因为，所以，解得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的有（　　） A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．直线必过定点 C．直线与直线的距离为 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】对于A，当斜率为时，倾斜角为， 当斜率为时，倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线，化为， 则，解得， 即直线必过定点，故B正确； 对于C，将直线化为， 则这两平行直线间的距离为，故C正确； 对于D，当直线过原点时，也满足在轴，轴上的截距相等， 此时直线的斜率为，则直线方程为，故D错误. 故选：BC． 10．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 【答案】AC 【解析】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当时，2是极大值点，则 D．当在R上单调时， 【答案】BC 【解析】对于A，当时，，， 若时，，则在定义域内单调递增，无极值点，故A错误； 对于B，当时，，， 则，所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于C项，当时，， ，因为2是的极大值点，所以， 解得或，若，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以2是的极小值点，不符合题意； 故，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以2是的极大值点，符合题意； 所以，，所以，故C正确； 对于D项，若在定义域R上是单调函数， 则恒成立， 所以，解得，所以D错误， 故选：BC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知三棱锥中，点平面ABC，若，则 . 【答案】3 【解析】由题意得，则， 因为A，B，C，D四点共面，所以，解得. 故答案为：3 13．近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为 . 【答案】0.047 【解析】设表示收益，则存款量是，贷款收益为， 则收益， ， ∴当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在单调递减， 即收益在时取得极大值，亦即最大值. 所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047， 故答案为：0.047. 14．已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍，则直线的斜率为 ；过点且垂直于的直线与椭圆交于D，E两点，，则的周长是 . 【答案】 13 【解析】因为短轴长是长轴长的倍，故，即； 因为 ，即 ， 上顶点 ，焦点， 则直线的斜率为 ； 设直线的倾斜角为，所以，所以 ， 所以 , 又因为 ,所以 为等边三角形， 因为过点且垂直于的直线与椭圆交于D，E两点， 所以是的垂直平分线， 所以 所以的周长等于的周长   ， 所以的周长为， 因为且，所以, 所以直线的方程为； 联立，得到 又因为，所以 设，所以 故 解得，故； 所以的周长为， 则的周长是13. 故答案为：， . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程. 【解析】（1）联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16．（15分） 如图，在三棱锥中，是边长2的等边三角形， . (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 【解析】（1）证明：取AB中点O，连接PO，CO，如图所示， 因为是边长为2 的等边三角形，O为AB中点， 所以，且， 因为，O为AB中点， 所以，且， 因为，所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以平面，所以平面平面. （2）由（1）得两两垂直，则以O为原点，所在直线为x，y，z轴建系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，即， 所以点到平面的距离 （3）设平面PBC的法向量， 所以，即， 令，则，即， 由（2）得平面的法向量， 所以， 所以，即二面角的正弦值 17．（15分） 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）设的公差为， 由题知，解得或（舍去）， 所以， 即数列的通项公式为； （2）由（1）知， . 18．（17分） 在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点， （i）当直线的倾斜角为时，求的面积； （ii）直线分别与直线，交于点，，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，请说明理由. 【解析】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为， 根据抛物线的定义，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）（i）由题意，直线的方程为：， 联立方程组，得， 设，，则，， . （ii）以为直径的圆过定点，定点坐标为或， 依题意可设直线， 联立，消得，恒成立， 则，， 又，， 令，则，即，同理可得， 设圆上任意一点为，因为为直径，所以， 所以，即， 整理可得，， 令，可得或， 所以以为直径的圆过定点，定点坐标为或. 19．（17分） 已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若（为的导函数），求函数在区间上的最大值； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【解析】（1）当时，， 的定义域为． 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为，即切线方程为：． （2）因为，， ①当时，因为，所以， 所以函数在上单调递增，则； ②当，即时，，， 所以函数在上单调递增，则； ③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则； ④当，即时，，，函数在上单调递减，则． 综上，当时，； 当时，； 当时，. （3）要证，只需证：， 若有两个极值点，即函数有两个零点，又， 所以是方程的两个不同实根， 即，解得， 另一方面，由，得， 从而可得， 于是． 不妨设，设，则． 因此，． 要证，即证：， 即当时，有， 设函数，则， 所以为上的增函数． ，因此，． 于是，当时，有． 所以成立，． 第10页，共15页 第9页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $