2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题（范围：人教A版选择性必修第一册+选择性必修第二册）

高二第一学期数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：选择性必修第一册+选择性必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．4 2．经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．在等差数列中，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（   ） A． B．7 C． D．9 7．已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 10．已知圆的圆心为，抛物线的焦点为，准线为，动点满足，则（ ） A．曲线与有两个不同的公共点 B．点的轨迹为椭圆 C．的最大值为 D．当点在上时， 11．在计算数学中可用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列.若函数且，记数列的前项和为，则（   ）    A． B．数列是等比数列 C．数列是递减数列 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 . 13．过作直线与圆交于，两点，则的最小值为 . 14．在棱长为2的正方体中，点在正方形及其内部上运动，若点到的距离是到距离的两倍，则点的轨迹长度为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 16．（15分） 已知圆经过点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)设，若圆上存在点，使得，求实数的取值范围； (3)若为圆上的动点，求的取值范围. 17．（15分） 如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知直线与轨迹交于两点． ①求的取值范围； ②已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知函数． (1)若，求证：关于x的方程有且只有一个实数根； (2)记，试讨论的单调性； (3)证明：对任意正整数n，不等式恒成立. 第2页，共5页 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一学期数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：选择性必修第一册+选择性必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】根据题意点在坐标平面内的射影为，所以. 故选：C. 2．经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 解得，所以所求直线的方程为：. 故选：B. 3．已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 故，解得. 故选：A. 4．在等差数列中，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】在等差数列中，，解得. 故选：C. 5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线的离心率为，且. 所以，得，所以渐近线方程为. 故选：B 6．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（   ） A． B．7 C． D．9 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为二面角为，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：C. 7．已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以， 设，则，所以 若，则，则，与矛盾，所以， 故， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 则数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故，所以数列为递减数列， 解不等式，得，可得， 因为，所以当，且时，， 当，且时，，与条件矛盾， 且若时有无意义， 所以的取值范围是， 故选：A. 8．如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知 方法一：因为， 则， 即，可得，所以椭圆的离心率. 方法二：由在以为直径的圆上可设，则， 易知，则， 所以，即，可得，所以椭圆的离心率. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 【答案】AD 【解析】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. 10．已知圆的圆心为，抛物线的焦点为，准线为，动点满足，则（ ） A．曲线与有两个不同的公共点 B．点的轨迹为椭圆 C．的最大值为 D．当点在上时， 【答案】BC 【解析】圆的圆心为，半径为， 抛物线的焦点为，准线为， 对于A，曲线与联立方程组，消得， 解得或（舍），所以曲线与有一个公共点，A错误； 对于B，动点满足， 根据椭圆的定义可知点的轨迹为焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，B正确； 对于C，点的轨迹为焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆， 记焦距为，长轴长为，所以， 所以的最大值为，C正确； 对于D，点的轨迹为焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆， 即点的轨迹方程为，点在上时， 则点的坐标为或， 因为，所以，D错误. 故选：BC. 11．在计算数学中可用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列.若函数且，记数列的前项和为，则（   ）    A． B．数列是等比数列 C．数列是递减数列 D． 【答案】ABD 【解析】，所以在点处的切线方程为， 因为，所以，令，得，故A正确； 因为，， 故，即，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故C错误，B正确； 所以，D正确， 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【解析】曲线，则， 所以在处的切线斜率为， 切点为，则该曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13．过作直线与圆交于，两点，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由于，故点在圆内， 设圆心到直线的距离为d，则， 当时，d取最大值，此时， 则的最小值为， 故答案为：2 14．在棱长为2的正方体中，点在正方形及其内部上运动，若点到的距离是到距离的两倍，则点的轨迹长度为 . 【答案】/ 【解析】易知平面，平面， 因为点到的距离是到距离的两倍，所以. 以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，则，设， 由，得，整理得，点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆在正方形内部的圆弧.射线：交圆于点，，， ，则，即圆弧所对的圆心角为，弧长为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 16．（15分） 已知圆经过点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)设，若圆上存在点，使得，求实数的取值范围； (3)若为圆上的动点，求的取值范围. 【解析】（1）设圆心的坐标为， 由，得，解得， 所以圆心，半径为5， 故圆的标准方程为. （2）如图： 由，知点在以线段为直径的圆上， 由，知圆心，圆的半径为1，且圆与圆有交点， 故，解得或， 所以实数的取值范围为. （3）设点的坐标为，则，整理得， 所以 ， 令，则直线与圆有公共点，即，解得， 则，所以的取值范围为. 17．（15分） 如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，. （2）以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （3）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（2）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 18．（17分） 已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知直线与轨迹交于两点． ①求的取值范围； ②已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题得：，两边平方并化简得， 所以，轨迹的方程为. （2）①设，， 由，得， 由直线与轨迹交于两点，得， 所以或. ②存在点使得四边形为平行四边形，理由如下： 因为在椭圆上，所以易知， 设直线的方程为， 令，得，同理， 又由①知，所以， 所以 ， 所以线段的中点坐标为， 连接，若四边形为平行四边形，则线段的中点坐标也为， 由于，可得得， 所以点的坐标为. 19．（17分） 已知函数． (1)若，求证：关于x的方程有且只有一个实数根； (2)记，试讨论的单调性； (3)证明：对任意正整数n，不等式恒成立. 【解析】（1）当时，方程为，即， 令，，则， 当且仅当时，，故在上单调递减， 又，则仅有一个零点，即方程有且只有一个实根. （2），，则， 令，， 当时，易得，即，故在上单调递增； 当时，对应方程的， 若，即时，，即，故在上单调递减； 若，即时，方程的两根为，，且， 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 当时，，即，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减. （3）由（1），当时，，即，所以， 令， ， 又 ， 所以，得证. 第2页，共15页 第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $