精品解析：河南省南阳市桐柏县思源教育集团2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025年秋育英学校第三次学情调研八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有且只有1个正确选项）． 1. 如图，在中，，长为2，长为1，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式①；②；③；④；⑤，运算正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 能说明命题“”是假命题的一个反例是（ ） A. B. C. D. 4. 已知多项式与的乘积中不含项，则常数a的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ） A. AB平分∠CAD B. CD平分∠ACB C. AB⊥CD D. AB=CD 6. 如图，已知每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7 7. 如图，平分于，点是上的动点，若，则的长可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 9. 已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为，若，则的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 30 二、填空题（每小题3分，共15分）． 11. 在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是________（写出一个即可） 12. 约分：=__________． 13. 小军做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是 _____ ． 14. 如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 15. 如图，已知等边三角形，点在上，点在的延长线上，于点于点交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是____．（填序号） 三、解答题（共8小题，共75分）． 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长． 18. 已知、满足，，求下列各式的值 （1） （2） 19. 现有三个村庄A，B，C，位置如图所示，线段AB，BC，AC分别是连通两个村庄之间的公路．现要修一个水站P，使水站不仅到村庄A，C的距离相等，并且到公路AB，AC的距离也相等，请在图中作出水站P的位置．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） 20. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 21. 如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 22. 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五；后人概括为“勾三、股四、弦五”；观察：3，4，5；5、12，13；7，24，25；9，40，41；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦：当勾时，股，弦： （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： （2）若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么用含的代数式来表示这些勾股数的勾_______、股_______、弦_______，并写出股和弦的一个关系并加以证明． 23. 探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图1，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由； （2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上； （3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋育英学校第三次学情调研八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有且只有1个正确选项）． 1. 如图，在中，，长为2，长为1，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可求出的长，则可得到该点到原点的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，长为2，长为1， ∴， ∵以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点， ∴这个点表示的实数是， 故选：B． 2. 下列各式①；②；③；④；⑤，运算正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂乘法和积的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解：①，原式计算错误； ②，原式计算错误； ③，原式计算正确； ④，原式计算错误； ⑤，原式计算错误； 故选：A． 3. 能说明命题“”是假命题的一个反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了举例判断命题真假，求一个数的算术平方根，根据当时，可得到答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴能说明命题“”是假命题的一个反例是， 故选：C． 4. 已知多项式与的乘积中不含项，则常数a的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于0列式求解即可． 【详解】解：（x-a）（x2+2x-1）=x3+（2-a）x2-（2a+1）x+a， ∵不含x2项， ∴2-a=0， 解得a=2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查单项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键． 5. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ） A. AB平分∠CAD B. CD平分∠ACB C. AB⊥CD D. AB=CD 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案 【详解】解：由作图知AC=AD=BC=BD， ∴四边形ACBD是菱形， ∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD， 不能判断AB=CD， 故选：D． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 6. 如图，已知每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】以AB为腰，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个； 使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有6个． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 7. 如图，平分于，点是上的动点，若，则的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，过点P作于点H，连接，由角平分线的性质得到，由垂线段最短可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点H，连接， ∵平分，， ∴， 由垂线段最短可得， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 8. 如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握面积代换是解题的关键． 连接，证明和全等，，然后根据三角形的面积即可求出和，最后利用勾股定理即可求出结论． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在等腰三角形中，， ∴， ∵D为边上中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去） 故选：B． 9. 已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可． 【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac ＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac ＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a） 当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2 ＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2 ＝3． 故选D． 【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目． 10. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为，若，则的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，根据题意， ，结合已知化简计算即可． 【详解】设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，根据题意， ， 因为， 所以， 解得， 即的值是20， 故选C． 【点睛】本题考查了赵爽弦图的应用，完全平方公式，正方形的性质，熟练掌握公式是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分）． 11. 在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是________（写出一个即可） 【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD） 【解析】 【分析】证明ABD≌ACD，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案． 【详解】解： 要使 则可以添加：∠BAD=∠CAD， 此时利用边角边判定： 或可以添加： 此时利用边边边判定： 故答案为：∠BAD=∠CAD或（） 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 12. 约分：=__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式以及分式的性质求解即可． 【详解】解：原式= 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的约分，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 13. 小军做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是 _____ ． 【答案】与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上 【解析】 【分析】 【详解】解：其中蕴含的道理是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 故答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 14. 如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ∵，， ∴， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 15. 如图，已知等边三角形，点在上，点在的延长线上，于点于点交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是____．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，可以证，进而得出，据此可判断①，证明，，可知，可得，据此可判断②④；根据现有条件无法证明，则可判断③． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， , ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴． ∵ ∴，即．故④正确． 根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：①②④． 三、解答题（共8小题，共75分）． 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，整式的化简求值，正确计算是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再计算加减法即可得到答案； （2）先根据平方差公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 17. 如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长． 【答案】（1）证明：∵ ∴ 在△ABC和△DCE中 ∴△ABC≌△DCE （2）13 【解析】 【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）可得BC=CE=5 在直角三角形ACE中 【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键． 18. 已知、满足，，求下列各式的值 （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由，，可得：再利用：，从而可得答案； （2）由，结合的值，利用平方根的含义可得答案． 【详解】解：（1）， ， （2）由 【点睛】本题考查的是利用因式分解，完全平方公式的变形，求解代数式的值，同时考查利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键． 19. 现有三个村庄A，B，C，位置如图所示，线段AB，BC，AC分别是连通两个村庄之间的公路．现要修一个水站P，使水站不仅到村庄A，C的距离相等，并且到公路AB，AC的距离也相等，请在图中作出水站P的位置．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】直接作出线段AC的垂直平分线以及作∠BAC的平分线进而得出其交点即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 【点睛】作图—应用与设计作图, 角平分线的性质,线段垂直平分线的性质. 20. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出，由折叠的性质可推出，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在直角三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 22. 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五；后人概括为“勾三、股四、弦五”；观察：3，4，5；5、12，13；7，24，25；9，40，41；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦：当勾时，股，弦： （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： （2）若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么用含的代数式来表示这些勾股数的勾_______、股_______、弦_______，并写出股和弦的一个关系并加以证明． 【答案】（1）11，60，61 （2）勾：，股：，弦：；关系式为弦股 ，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数问题，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可得股等于勾的平方与1的差的一半，弦等于勾的平方与1的和的一半，再由勾为11，可求出答案； （2）观察可得股等于勾的平方与1的差的一半，弦等于勾的平方与1的和的一半，据此可得股、弦，进而猜想关系证明即可． 【小问1详解】 解：当勾时，股，弦， ∴下一组勾股数为11，60，61； 【小问2详解】 解：当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，， 股和弦的关系式为弦股，证明如下： 弦股 ． 23. 探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图1，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由； （2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上； （3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）CE∥AB，理由见解析；（2）见解析；（3）BE＝AE+EC．理由见解析． 【解析】 【分析】（1）结论：CE∥AB．证明△BAD≌△CAE（SAS）可得结论． （2）利用全等三角形的性质证明∠ADB＝∠AEC＝120°，证明∠ADB+∠ADE＝180°即可解决问题． （3）结论：BE＝AE+EC．在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．利用全等三角形的性质证明△AEH是等边三角形即可． 【详解】（1）解：结论：CE∥AB． 理由：如图1中， ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE＝60°， ∴AB∥CE． （2）证明：如图2中， 由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝∠ADE＝60°， ∵∠BEC＝60°， ∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°， ∴∠ADB＝∠AEC＝120°， ∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°， ∴B，D，E共线． （3）解：结论：BE＝AE+EC． 理由：在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠BAC＝60°， ∵∠BEC＝60°， ∴∠BAO＝∠OEC＝60°， ∵∠AOB＝∠EOC， ∴∠ABH＝∠ACE， ∵BA＝CA，BH＝CE， ∴△ABH≌△ACE（SAS）， ∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE， ∴∠HAE＝∠BAC＝60°， ∴△AEH是等边三角形， ∴AE＝EH， ∴BE＝BH+EH＝EC+AE， 即BE＝AE+EC． 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定及等边三角形，熟练掌握判定方法及性质是解题的关键，注意平时常用的辅助线作法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $