第04讲 二次根式（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习课件聚焦二次根式核心考点，覆盖概念、性质、运算三大模块，严格对接中考要求，分析得出性质化简和混合运算为高频考点，归纳9大常考题型，如二次根式有意义的条件、最简二次根式等，助力精准备考。 课件以“考情剖析-知识梳理-真题精练-重难突破”为特色，融入2025年中考真题，如利用二次根式性质化简的典例4，通过“平方比较法”解析比较大小题型，培养学生运算能力和推理意识，提供复合二次根式配方法等突破技巧，帮助学生掌握答题规律，教师可直接用于专题复习，提升冲刺效率。

第04讲 二次根式 第一章 数与式 3大考点 3大重难突破 3大中考命题点 9题型探究 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 二次根式的有关概念 理解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件（被开方数非负）. 常考查二次根式有意义的自变量取值范围，多为选择题 / 填空题（如 2025・河南卷、2025・福建卷）. 二次根式的性质 掌握二次根式的非负性、化简等性质. 考查二次根式的化简或非负性应用，多为选择题 / 填空题（如 2025・湖南卷、2025・四川凉山卷）。 二次根式的运算 掌握二次根式的加减、乘除及混合运算法则，能进行简单运算。 直接考查运算，常与实数运算结合，题型为选择题 / 计算题（如 2025・河北卷、2025・天津卷、2025・陕西卷）. 命题预测 命题趋势：二次根式部分是中考数学的基础内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题为主，难度适中。其中，二次根式的混合运算和与其他考点的综合应用是重点，着重考查学生对运算规则、化简方法的熟练掌握程度，同时也会涉及到与分式、数轴、实数等知识的综合应用，考查学生的知识迁移能力和基础运算能力。 备考建议： 夯实核心概念：重点掌握 “被开方数非负” 的应用场景（如求自变量取值范围），以及()等性质的化简规则，确保基础题不丢分。 强化运算规范：针对加减（先化简再合并同类二次根式）、乘除（法则应用）、混合运算（顺序+符号），多练典型题，避免计算错误。 训练数形结合：结合数轴分析二次根式相关的实数大小、位置问题，提升图形与代数的转化能力。 关注综合题型：练习与分式、实数运算结合的题目，熟悉多考点融合的解题思路 知识导航•网络构建 知识 • 核心梳理 考点一 二次根式的有关概念 1.二次根式的有关概念 二次根式 一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 最简二次根式 同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 知识 • 核心梳理 考点一 二次根式的有关概念 2.二次根式有意义 在二次根式中，要求被开方数a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的， 所以当a≥0时，有意义，当a＜0时，无意义. 常见类型： 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b≥0； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 真题 • 实战精炼 考点一 二次根式的有关概念 1．（2025·江苏南通·中考真题） 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 解：由题意得： ，∴； 2．（2025·广东广州·中考真题） 要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 且 解：依题意， 且， 解得：且， 真题 • 实战精炼 本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式， 由， ， 从而可得答案． 解析 考点一 二次根式的有关概念 3．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 知识 • 核心梳理 考点二 二次根式的性质 性质 文字语言 应用 一个非负数的算术平方根是非负数 若则a=b=0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 正用公式： 逆用公式：   一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值 正用公式： 逆用公式： 真题 • 实战精炼 考点二 二次根式的性质 1．（2025·湖南·中考真题）化简 ． 解：， 2．（2025·全国·一模）若，则实数的取值范围是 ． 解：∵， ∴，∴， 3．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 解：． 知识 • 核心梳理 考点三 二次根式的运算 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即 . 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 真题 • 实战精炼 本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 解析 考点三 二次根式的运算 1．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C ． D． A 解：A．与不是同类二次根式， 不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 真题 • 实战精炼 考点三 二次根式的运算 2．（2025·福建·中考真题）计算： 解： ． 3．（2025·甘肃·中考真题）计算：． 解：原式． 二次根式的有关概念 命题点一 ►题型01 二次根式有意义的条件 ►题型02 最简二次根式 ►题型03 同类二次根式 ►题型01 二次根式有意义的条件 1）二次根式：被开方数为非负数； 2）分式：分母不等于0； 3）“复合型”式子：取使各部分都有意义的字母的取值范围的公共部分. 本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 解析 ►题型01 二次根式有意义的条件 【典例1】（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（    ） A． B． C． D． B 解：当时，， ， 故、和没有意义，不符合题意， 有意义，符合题意； 本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定𝒙的取值范围，从而求出𝒙和y的值，再计算𝒙𝒚的值，最后求其平方根，即可作答． 解析 ►题型01 二次根式有意义的条件 【变式1-2】（2025·广东·模拟预测）已知 ，则的平方根为 ． 解：∵， ∴ 故， ∴， ∴， ∴4的平方根为， 本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数非负、分式分母不为是解题的关键．要使等式 成立，需根据二次根式有意义的条件，分别分析被开方数的取值范围． 解析 ►题型01 二次根式有意义的条件 【变式1-3】（2025·四川凉山·模拟预测）若 ，则实数的取值范围是 ． 解：要使二次根式有意义，则， 同时对于分式，分母不能为． 对于，需 ； 对于，因为被开方数 （二次根式结果非负且分式分母不为）， 所以 ． 解，得； 解，得． ∴． ►题型02 最简二次根式 判断一个二次根式是否是最简二次根式，应从以下三个方面进行: (1)被开方数中不含分母; (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式; (3)若被开方数是和或差的形式，则先尝试把被开方数写成积的形式，若无法写成积的形式则为最简二次根式，反之不是最简二次根式. 此题考查了简单概率的计算．熟练掌握概率的意义和计算方法是解题的关键．概率是随机事件发生可能性大小的数值，计算方法是在n次等可能结果的一次试验中事件A包含其中的m种结果， A事件发生的概率为 ． 在5个二次根式中，，是最简二次根式，再由概率公式求解即可． 解析 ►题型02 最简二次根式 【典例2】（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ． 解：在，，，，这5个二次根式中， ，是最简二次根式，有2个， ∴随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是： ， 本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案． 熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键． 解析 ►题型02 最简二次根式 【变式2-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， ►题型02 最简二次根式 【变式2-2】（2025·河北石家庄·二模） 若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 3 解：∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是3． ►题型03 同类二次根式 判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，若它们的被开方数相同，则它们是同类二次根式，否则它们不是同类二次根式. 注意：1）同类二次根式与根号外的因式无关． 本题考查了二次根式的加减法，实数，根据二次根式的加减法、无理数的定义判断即可． 解析 ►题型03 同类二次根式 【典例3】（2025·河北唐山·三模）下列各数中，与的差为有理数的是（   ） A． B． C． D． B 解：A、是无理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项符合题意； C、是无理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项不符合题意； 根据最简二次根式与可以合并，判定二式是同类二次根式， 得到， 解答即可． 本题考查了最简二次根式，同类二次根式，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键． 解析 ►题型03 同类二次根式 【变式3-1】（2025·四川凉山·一模）若最简二次根式与可以合并，则 ． 解：∵最简二次根式与可以合并 ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴． 本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，能得出关于x的一元二次方程是解此题的关键． 解析 ►题型03 同类二次根式 【变式3-2】（2025天津模拟）最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A．4或 B．2 C． D．2或 C 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 当时，与无意义， 所以舍去， 二次根式的性质 命题点二 ►题型01 利用二次根式的性质化简 ►题型02 二次根式与数轴 ►题型01 利用二次根式的性质化简 1）在实数范围内，式子(a≥0)表示非负数a的算术平方根，它具有双重非负性. 2）“若几个非负数的和等于0，则表示这几个非负数都等于0”可以解决一些与算术平方根有关的问题. 本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式， 然后再根据去绝对值即可． 解析 ►题型01 利用二次根式的性质化简 【典例4】（2024·四川乐山·中考真题） 已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． B 解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ►题型01 利用二次根式的性质化简 【变式4-1】（2025·江苏南通·中考真题） 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积． 若，则的值为 ． 解：将，，代入： ►题型02 二次根式与数轴 【典例5】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 解∶由数轴知∶ ，， ∴， ∴ A ►题型02 二次根式与数轴 【变式5-1】（2025内蒙古模拟）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（     ） A． B． C． D．4 解：由图可知：， ∴， ∴ ； D ►题型02 二次根式与数轴 【变式5-2】（2025·福建三明·一模）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，，点表示的是位于这两点之间的整数，则这个整数为（     ） A． B．5 C． D． 解：，， ∵，， ∴，， ∴，， 即，， ∴， ∵点表示的是位于这两点之间的整数，∴这个整数为， D 二次根式的运算 命题点三 ►题型01 二次根式加减运算 ►题型02 二次根式乘除运算 ►题型03 二次根式混合运算 ►题型04 二次根式的化简求值问题 ►题型01 二次根式加减运算 1）合并同类二次根式与合并同类项类似，即只把“系数”相加减，而根号部分不变. [注意]“系数”的结果若不是整数，则应写成假分数的形式，不能写成带分数形式，也不能写成小数形式. 2）二次根式加减运算的实质：合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． ►题型01 二次根式加减运算 【典例6】（2025·青海·中考真题）计算： 解： ． 【变式6-1】（2025·上海·模拟预测）记，则 ． 解：∵， ∴，， ∴， ►题型01 二次根式加减运算 【变式6-2】（2025·河北沧州·模拟预测）若，则正整数的值是 ． 4 解：， ， ， 【变式6-3】（2025·广东深圳·模拟预测）计算：． 解：原式 ． ， ，∴正整数的值4． ►题型02 二次根式乘除运算 1）只有当a≥0，b≥0时，才成立. 2）只有当a≥0，b＞0时，才成立. 3）若被开方数是带分数的，则要先将其化为假分数. 4）二次根式运算时的注意事项： ①结果要化为最简二次根式或整式； ②如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. ►题型02 二次根式乘除运算 【典例7】（2025·青海玉树·模拟预测）计算： ． 解：． 【变式7-1】（2025·河北邯郸·二模）计算： ． 6 解： ． 本题考查了二次根式的化简，首先根据二次根式的除法法则把二次根式整理可得：，再把等式两边同时平方即可求出结果． 解析 ►题型02 二次根式乘除运算 【变式7-2】（2025·河北·一模），则的值为（　　） A． B． C． D． C 解：， 根据二次根式的除法法则可得： 化简得：， 两边同时乘以可得：， 两边同时平方可得：． ►题型03 二次根式混合运算 二次根式混合运算的“四注意” 1）确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的； 2）灵活运用运算律. 3）正确使用乘法公式. 4）有些运算中约分可使运算简便. ►题型03 二次根式混合运算 【典例8】（2025·陕西·中考真题）计算：． 解： ． 【变式8-1】（2025·山西临汾·二模）计算： ． 解： ， 本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先根据二次根式的乘法法则可得，再估算出，即可得解， 熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解析 ►题型03 二次根式混合运算 【变式8-2】（2025·云南丽江·模拟预测） 估计的值应在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 解：， ∵， ∴，即， ∴， 故估计的值应在1到2之间， A ►题型04 二次根式的化简求值问题 对于复杂的代数式求值，一般不宜直接代入已知数求值，而是先将代数式化简，然后代入求值. 本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 解析 ►题型04 二次根式的化简求值问题 【典例9】（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 解： ， 当时， 原式． 本题考查了分式的化简求值和二次根式化简的运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 根据分式的运算法则进行化简，再将𝒎的值代入求出答案． 解析 ►题型04 二次根式的化简求值问题 【变式9-1】（2025·福建南平·三模）先化简，再求值：，其中． 解：， ， 当时， 原式． 本题考查分式化简求值、零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值和分式的运算法则是解题的关键． 解析 ►题型04 二次根式的化简求值问题 【变式9-2】（2025·甘肃武威·模拟预测） 先化简，再求值：   其中 解：原式 ， 又 ， 将代入式子得： 原式． ►突破一 比较二次根式的大小 【典例1】（2025·湖南常德·二模） 若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 解析 解：∵， ， ， ，， ►突破一 比较二次根式的大小 【变式1-1】（2025遵义市四模）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． D 解：， ， ， ， ，即. ►突破一 比较二次根式的大小 【变式1-2】 （2025·山东临沂·模拟预测）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． 比较大小： （填“”或“”或“”） 解：，， ∵， ∴，即． ►突破一 比较二次根式的大小 【变式1-3】（2025·浙江·模拟预测） 设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a为正整数，b在0和1之间， ∴，， ∴， ►突破二 复合二次根式的化简 【典例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值： 解： ． ►突破二 复合二次根式的化简 【变式2-1】（2025·浙江宁波·模拟预测） ． 2 解： ． ►突破三 分母有理化 【典例3】（2025年天津市西青区中考数学二模自编练习试卷）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 解： ， ►突破三 分母有理化 【变式3-1】（2025·四川眉山·模拟预测） 计算： 解： ． 感谢聆听! $