第03讲 分式（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习课件聚焦分式核心考点，覆盖分式的概念、基本性质及运算三大模块，严格对接中考说明，结合2025年云南、四川等多地真题分析考情，明确分式有意义条件、化简求值等高频考点权重，归纳选择、填空、计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点解析+真题精练+思维进阶”模式，通过2025年山东威海卷分式约分题、河南卷异分母加减题等真题，示范符号法则应用与运算顺序技巧，培养学生运算能力与推理意识。针对分式值为0的条件、混合运算符号等易错点，设计对比训练，助力学生掌握得分技巧，教师可依托此资料系统规划复习，提升中考冲刺效率。

第03讲 分式 第一章 数与式 3大考点 4大重难突破 3大中考命题点 10题型探究 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 分式的基础 理解分式的概念，掌握分式有意义的条件（分母不为零）。 考查确定分式有意义的自变量取值范围，常结合二次根式、零指数幂等条件综合考查（如 2025 云南卷、2025 黑龙江齐齐哈尔卷）。 题型为选择 / 填空，注重 “分母不为零” 的条件判断。 分式的性质 掌握分式的基本性质，能利用性质进行分式的变形、约分、通分。 考查分式的符号法则、约分 / 通分（如 2025 山东威海卷）。 题型为选择 / 填空，注重性质中 “同乘 / 除非 0 整式” 的细节。 分式的运算 掌握分式的乘除、加减、混合运算法则，能进行简单的分式运算。 ①乘除：考查分式乘除运算（如 2025 内蒙古卷）， 题型为选择 / 计算； ②加减：考查通分 / 异分母加减（如 2025 河南卷）， 题型为选择 / 填空； ③混合：考查运算顺序与化简（如 2025 黑龙江绥化卷）， 题型为计算，注重点运算顺序。 考情剖析•命题前瞻 命题预测 命题趋势：分式是中考数学代数部分的基础考点，考查覆盖面集中于分式的概念、性质与运算，题型以选择题、填空题、解答题（化简求值）为主，难度适中。其中，分式的化简求值是核心考查题型，分式基本性质的灵活应用、分式混合运算的符号与顺序是高频考查细节；部分地区会涉及分式与整式的综合化简、分式的新定义运算，着重考查学生对分式运算规则的熟练程度，以及对 “约分彻底性、通分准确性” 等细节的把控能力。 备考建议： 吃透基础概念：精准掌握分式的定义、分式有意义 / 无意义 / 值为 0 的条件，通过 “辨析题”强化概念区分（如区分 “分式值为 0” 与 “分式有意义” 的条件），确保基础题零失分。 深化性质应用：围绕分式的基本性质（同乘 / 除非 0 整式，分式值不变），练习 “分式变形、符号调整” 类题目，牢记 “同时、相同、非 0” 三个关键条件，避免性质误用。 强化运算熟练度： 1）针对约分、通分：练熟 “找公因式、定最简公分母” 的方法（如系数取最小公倍数、字母取最高次幂），重点避免 “约分不彻底、通分漏字母 / 指数” 的错误； 2）针对四则运算：分层次练习同分母 / 异分母分式加减、分式乘除、混合运算，严格遵循 “先乘方→再乘除→最后加减” 的顺序，刻意训练符号处理（如负号的传递）。 聚焦化简求值题型：多练 “分式化简 + 代入求值” 的解答题，注意 “代入值需使原分式有意义” 的细节（即代入前验证分母不为 0），同时积累 “整体代入”的技巧，提升解题效率。 知识 • 核心梳理 考点一 分式的基础 分式的概念 ①形如的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母 分式有意义的条件 分母不等于零，即B≠0 分式有意义的条件是x≠-5， x的取值范围为x≥0 分式值为0的条件 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0 使值为0的条件为x=1 分式无意义的条件 分母等于零，即B=0   真题 • 实战精炼 考点一 分式的基础 1．（2025·广西·中考真题）写出一个使分式有意义的的值，可以是 ． 本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母的值不等于𝟎，求出𝒙的取值范围，进而写出符合条件的一个𝒙的值即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 解析 解：要使分式有意义，则， ∴， ∴的值可以是， （答案不唯一） 真题 • 实战精炼 考点一 分式的基础 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 解析 2．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 真题 • 实战精炼 考点一 分式的基础 本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 解析 3．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（   ） A．2 B．0 C． D．-3 解：由题意，得： 且， 解得：； A 知识 • 核心梳理 考点二 分式的性质 分式的性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 分式符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 约分 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 2．（2025·吉林长春·一模）分式和的最简公分母为 ． 考点二 分式的性质 真题 • 实战精炼 1．（2025·湖南·中考真题）约分： ； 解：， 解：∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1， ∴分式与的最简公分母为． 考点二 分式的性质 真题 • 实战精炼 3．（2025·安徽宣城·一模）下列化简运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，逐一分析各选项，即可得到答案． 解析 B 解：， 故项计算正确，不符合题意； ， 故B项计算错误，符合题意； 故项计算正确，不符合题意； ， 故项计算正确，不符合题意； 知识 • 核心梳理 考点二 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 2．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 考点二 分式的运算 真题 • 实战精炼 1．（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． B 解：； 解： 当时，原式 B 考点二 分式的运算 真题 • 实战精炼 本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 解析 3．（2025·四川·中考真题）化简：． 解： ． 实数的分类 命题点一 ►题型01 分式有意义、无意义及分式值为0的条件 ►题型02 分式的值 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0； ②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误. ►题型01 分式有意义、无意义及分式值为0的条件 ►题型01 分式有意义、无意义及分式值为0的条件 本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 解析 【典例1】（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 D 解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， ►题型01 分式有意义、无意义及分式值为0的条件 本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 解析 【变式1-1】（2025·甘肃甘南·中考真题） 若分式的值为0，则x的值为 ． 解：分式的值为， ， 解得：， ►题型01 分式有意义、无意义及分式值为0的条件 本题主要考查了分式有无意义，及分式的值为0， 根据分式的分子等于0时，分式的值为0，可得分式的分子，再根据分式的分母等于0时，分式无意义得出分母即可. 解析 【变式1-2】（2025·山东泰安·一模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … 解：当时，， 可知分式的分子中含有因式； 当时，分式无意义， 可知分式的分母中含有因式， ∴y代表的分式可能是. B ►题型02 分式的值 【典例2】（2025·山东滨州·中考真题） 已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． （1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵，∴． ►题型02 分式的值 本题考查了求不等式组的解集．由题意得到或，再分别求解即可． 解析 【变式2-1】（2025·四川达州·二模）不等式的解为（   ） A． B． C． D． B 解：∵， ∴或， 对于，解得； 对于，解得，无解； ►题型02 分式的值 【变式2-2】（2025·吉林·模拟预测） 若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 或 解：，该分式为正整数，也为正整数，且， ∴当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，的值为或， 分式的运算 命题点二 ►题型01 分式的基本性质 ►题型02 最简分式与最简公分母的识别 ►题型03 约分与通分 ►题型01 分式的基本性质 利用分式的基本性质，可以做到既改变分子，又改变分母，但不改变分式的值.由此可以将一个形式复杂的分式整理得简洁一些，便于后续计算或应用. 运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0； ③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误. ►题型01 分式的基本性质 本题考查同底数幂的除法，掌握知识点是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则计算，即可解答． 解析 【典例3】（2025·浙江·模拟预测）地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级与距离震中处测得的最大振幅（单位：）之间的关系为（为常数）．若里氏震级提高2级，则距离震中处测得的最大振幅将增大到原来的（    ） A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍 A 解:由，得 ， 即． ►题型01 分式的基本性质 本题考查了分式的基本性质，将m和n替换为𝟐𝒎和𝟐𝒏，重新计算分式的值，比较即可得解， 熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 解析 【变式3-1】（2025·四川绵阳·一模）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 A 解： ， ∴分式的值变为原来的2倍， ►题型01 分式的基本性质 【变式3-2】（2025运城模拟）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 解：①代数式是整式，是分式， 本小题判断正确，分； ②当时，， 则分式有意义， 本小题判断正确，分； ③若分式的值为，则， 故本小题判断错误，不得分； ④式子从左到右变形错误， 故本小题判断错误，不得分； ⑤分式是最简分式， 本小题判断正确，分； 则他的得分应是分， A． B． C． D． B ►题型02 最简分式与最简公分母的识别 确定最简公分母的方法： ►题型02 最简分式与最简公分母的识别 【典例4-1】（2025益阳市三模）下列各式中最简分式是（     ） A． B． C． D． D 解：A. ，分子分母含有公因式2，不是最简分式，故不符合题意； B. ，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； C. 分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； D. 是最简分式，故符合题意； ►题型02 最简分式与最简公分母的识别 本题主要考查分式的最简公分母，掌握最简公分母的确定方法是解题的关键． 最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 解析 【典例4-2】（2025益阳市一模）分式 ，的最简公分母是 ． 解：， ∴最简公分母为：， ►题型02 最简分式与最简公分母的识别 此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可． 先将各选项因式分解，利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答． 解析 【变式4-1】（2025河南模拟）若分式是最简分式，则△表示的是（   ） A． B． C． D． D 解：因为， 且分式是最简分式， ∴中不含或， A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意； ►题型02 最简分式与最简公分母的识别 本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键． 根据最简公分母的定义即可得出答案． 解析 【变式4-2】（2025·浙江台州·模拟预测） 分式方程，各分母的最简公分母是 ． 解：分式方程， 各分母的最简公分母是， ►题型03 约分与通分 1）分式的约分是对分式的分子与分母同时进行的，分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式. 2）分式的通分是要使几个分式化为同分母的形式，所以确定公分母是关键，确定公分母时需要先分解因式. ►题型02 约分与通分 本题主要考查了分式的约分，的化简结果为整数，那么约分后的结果不含x和其他字母，那么M一定只含有字母x，且x的指数为2，据此可得答案． 解析 【典例5】（2025·河南信阳·三模）若M是一个式子，且的化简结果为整数，请写出一个满足条件的M所代表的式子： ． 解：∵M是一个式子，且的化简结果为整数， ∴M中一定只含有字母x，且x的指数为2， ∴符合题意的M可以为， （答案不唯一） ►题型02 约分与通分 本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 解析 【变式5-1】（2025广东模拟）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． A 解：分式与的公分母是， 则分式的分子应变为． ►题型02 约分与通分 【变式5-2】（2025·河南漯河·二模） 下列分式的值与的值相等的是（    ） A． B． C． D． D 解： ， A、， 不符合题意， B、， 不符合题意； C、， 不符合题题意； D、，符合题意； ►题型02 约分与通分 本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握的基本性质，是解题的关键． 先将分式化简为，然后再根据，求出结果即可． 解析 【变式5-3】（2025·北京西城·二模）已知，求代数式的值． 解： ． ∵， ∴． ∴原式 分式的运算 命题点三 ►题型01 分式的加减运算 ►题型02 分式的乘除运算 ►题型03 分式的乘方运算 ►题型04 分式的混合运算 ►题型05 分式的化简求值问题 ►题型01 分式的加减运算 在进行分式的加减运算时，要先观察各分式的分母是否相同，若不相同，先通分，再加减;若相同分母不变，分子直接相加减.最后的结果要化为最简分式或整式.分式的加减运算是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用. 分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式，运算中要适当约分. ►题型01 分式的加减运算 本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键． 先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 解析 【典例6】（2025·河南·中考真题） 化简的结果是（    ） A． B． C． D． A 解： ， ►题型01 分式的加减运算 【变式6-1】（2025·河南驻马店·三模）如图，小正方形内分别填入了四个代数式，若使横向三个代数式之和与纵向三个代数式之和相等，则“？”位置填入的代数式为 ． 解：依题意， 则： 则： ►题型01 分式的加减运算 【变式6-2】（2025·河北沧州·模拟预测）嘉嘉和淇淇在学习分式时，老师布置了一道题“计算：”． 嘉嘉的解法 解： 淇淇的做法 解： ① ② ③ ④ (1)老师在批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们最先出错的是哪一步？ (2)请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． （1）解： 嘉嘉最先出错的是第①步，原因是直接去掉了分母； 淇淇最先出错的是第②步，原因是合并时分子减分子，符号错误． ►题型01 分式的加减运算 （2）解： ， 当时，原式． (2)请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 【变式6-2】（2025·河北沧州·模拟预测）嘉嘉和淇淇在学习分式时，老师布置了一道题“计算：”． ►题型02 分式的乘除运算 分式的乘除运算归根到底可以统一成乘法运算， 分式的乘法一般情况下是先约分再相乘; 当除式(或被除式)是整式时，可以将其分母看作1. ►题型02 分式的乘除运算 【典例7】（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 解： ． 【变式7-1】（2025·河北唐山·三模） 若分式运算结果为，则在“”中添加的代数式为（    ） A． B． C． D． A 解：∵， ∴， ∴“”中添加的代数式为． ►题型02 分式的乘除运算 本题考查分式化简求值，根据分式的性质将四个卡片上的式子分别化简，即可得出答案． 解析 【变式7-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图是4张卡片，卡片上式子的化简结果是x的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：， ， ， 综上可知，卡片上式子的化简结果是x的有3个， C ►题型02 分式的乘除运算 化除为乘，按照运算顺序计算解答即可． 本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键． 解析 【变式7-3】（2025·江西宜春·三模）下列代数式中计算的结果等于a的是（    ） A． B． C． D． 解：A. ，符合题意； B. ， 不符合题意；     C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； A ►题型03 分式的乘方运算 分式乘方的“三注意” 1）要把分式加上括号，分式中分子、分母的系数也要乘方； 2）分式乘方时，分式本身的符号，也要同时乘方； 3）注意分子、分母乘方后的符号. ►题型03 分式的乘方运算 【典例8】（2025·上海·二模）化简： ． 解：， 【变式8-1】（2025·河北邢台·模拟预测）化简，正确的是（     ） A． B． C． D． D 解 ； ►题型04 分式的混合运算 按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式. ►题型04 分式的混合运算 本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 解析 【典例9】（2025·陕西·中考真题） 化简：． 解： ． ►题型04 分式的混合运算 本题考查分式的混合运算，除法变乘法，约分化简后，进行同分母的分式的加法运算即可． 熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 解析 【变式9-1】（2025·甘肃·中考真题） 化简：． 解：原式 ． ►题型04 分式的混合运算 本题考查了分式的混合运算，解题的关键在于分式运算中的通分与因式分解．首先括号内通分后合并，然后进行除法运算即可． 解析 【变式9-2】（2025·广东汕头·一模） 化简：． 解：原式 ， ． ►题型04 分式的混合运算 【变式9-3】（2025·江西吉安·二模）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是________， 小红解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． （1）解: 小明解法的依据是分式的基本性质， 小红解法的依据是乘法分配律， ② ③ 原式 （2）解：选择小明： ►题型04 分式的混合运算 【变式9-3】（2025·江西吉安·二模）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是________， 小红解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． （1）解: 小明解法的依据是分式的基本性质， 小红解法的依据是乘法分配律， ② ③ （2）解：选择小红： 原式 ►题型05 分式的化简求值问题 分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. ►题型05 分式的化简求值问题 本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出𝒂的值，最后代入化简后的式子求值． 解析 【典例10】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题） 先化简，再求代数式的值， 其中． 解： ． ∵ ， ∴原式． ►题型05 分式的化简求值问题 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则，正确化简是解题的关键． 先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，然后再代入求值即可． 解析 【变式10-1】（2025·江苏宿迁·中考真题） 先化简，再求值：，其中． 解： ， 当时，原式． ►题型05 分式的化简求值问题 【变式10-2】（2025·青海·中考真题）先化简， 再从，，中选一个合适的数代入求值． 解： ∵， ∴ 把代入 原式； 把代入 原式． ►题型05 分式的化简求值问题 本题考查分式的化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则，进行化简， 根据绝对值的意义，零指数幂求出𝒙的值，再把𝒙的值代入化简后的式子中进行计算即可． 解析 【变式10-3】（2025·重庆·中考真题）先化简，再求值：， 其中． 解：原式 ； ∵， ∴原式． ►突破一 分式的规律探索 【典例1】（2025·安徽淮南·三模） 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第个等式 （用含的式子表示），并证明． （1）解：由前4个等式可得规律： 左边第一个分数： 分子为，分母为，即； 左边第二个分数： 分母为，即； 右边第一个分数： 分子为，分母为，即； 右边第二个分数： 分母为，即； ∴第5个等式为：； ►突破一 分式的规律探索 【典例1】（2025·安徽淮南·三模） 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第个等式 （用含的式子表示），并证明． （2）解：第个等式为 ，证明如下： 等式左边： ， 等式右边： ， ∴左边右边， ∴原等式成立． ►突破一 分式的规律探索 【变式1-1】（2025·湖北恩施·一模）类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】观察下列等式：． （1）根据上述特征，计算： ． 【尝试类比】 （2）已知一次函数（m为正整数）与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，设的面积为． ① ；②求的值． 解：（1） ►突破一 分式的规律探索 【变式1-1】（2025·湖北恩施·一模）类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】观察下列等式：． （1）根据上述特征，计算： ． 【尝试类比】 （2）已知一次函数（m为正整数）与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，设的面积为． ① ；②求的值． （2）当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ①∴ ►突破一 分式的规律探索 【变式1-1】（2025·湖北恩施·一模）类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】观察下列等式：． （1）根据上述特征，计算： ． 【尝试类比】 （2）已知一次函数（m为正整数）与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，设的面积为． ① ；②求的值． （2）， ② ►突破一 分式的规律探索 【变式1-2】（2025·浙江宁波·模拟预测） 观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)请你猜想第n个等式 （用含n的式子表示），并证明． （2）解： ∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式： …… ∴第n个等式为 证明过程如下： ∴． ►突破二 分式的运算与新定义问题 【典例2】（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】对正实数，，定义运算“”，满足．例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ，， ．运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律 ？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． ►突破二 分式的运算与新定义问题 【典例2】（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】对正实数，，定义运算“”，满足．例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律 ？请说明理由； （1）解：由新定义得， ； ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律： ； （2）解：对正实数，，， 运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ►突破二 分式的运算与新定义问题 【典例2】（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】对正实数，，定义运算“”，满足．例如：当时，． 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． （3）由题意得，， ∴， ∵，， 且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴，∴， ∴ ， ∴（舍负）， ∴ ►突破二 分式的运算与新定义问题 【变式2-1】（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法： 设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． ►突破二 分式的运算与新定义问题 【变式2-1】（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； （1）解：分式是分式的“和美分式”，理由如下： ∵ ， ∴， ∴分式是分式的“和美分式”； ►突破二 分式的运算与新定义问题 【变式2-1】（2025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (2) 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． （2）设的“和美分式”为A，则， 整理得：， ∴ ， ∴的“和美分式”为． ►突破二 分式的运算与新定义问题 【变式2-2】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 解：（1）为整式，，是“和谐分式” （2）原式 ， 且， 且且， 若该分式的值为整数，则， 此时分式的值． ►突破三 整体思想的运用 【典例3】（2025无锡市模拟）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明： 左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． （1）解： ，， ． ►突破三 整体思想的运用 【典例3】（2025无锡市模拟）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明： 左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． （2）解： ， =1． ►突破三 整体思想的运用 【变式3-1】（2025湖北省模拟）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． ►突破三 整体思想的运用 【变式3-1】（2025湖北省模拟）请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． （1）解： ， （2）解：，且， ， ►突破三 整体思想的运用 【变式3-1】（2025湖北省模拟）请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． （3）解：设此长方形的边长为a，b，则， ，， ， 得：， 当且仅当时等号成立时， 所以周长的最小值为12 （4）解：∵正数a，b满足 当时，有最小值， 当且仅当时等号成立时， 则最小值为． ►突破三 整体思想的运用 【变式3-2】（2025安阳市模拟）阅读材料： 见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知，求的值． 解：原式 问题解决： (1)已知． ①代数式的值为 ． ②求证． (2)已知，，且，求的值． ►突破三 整体思想的运用 【变式3-2】（2025安阳市模拟）阅读材料： 问题解决： (1)已知． ①代数式的值为 ．②求证． （1）解：①∵， ∴ = = = =1； 1 ②证明：∵，∴， ∴ = = = = =1； ►突破三 整体思想的运用 【变式3-2】（2025安阳市模拟）阅读材料： 问题解决：(2)已知，，且，求的值． （2）解： ，且， ， ， 同理可得：，， ． ►突破四 分式的比较大小- 【典例4】（2025·云南·中考真题） 已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值；(2)若，，比较与的大小． （1）解：把，代入函数得， ， ∴的值为； （2）解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，； 当时，． ►突破四 分式的比较大小- 【变式4-1】（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，， 试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵ ， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题． (2)比较大小：__________． （填“”“”或“”） （1）解： ， ， ，； ►突破四 分式的比较大小- 【变式4-1】（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，， 试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵ ， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题． (2)比较大小：__________． （填“”“”或“”） （2）解： ， ． ►突破四 分式的比较大小- 【变式4-2】（2025·浙江·模拟预测）观察下面的等式： ，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． (3)请用以上规律比较与的大小． （1）解：第一个式子的左边分母为和，分子为和1， 第二个式子的左边分母为和，分子为和2， 第一个式子的左边分母为和，分子为和3，…； 左边分母之积等于右边分母，左边分子之差等于右边分子，右边分数的分子都为1， 第n个式子为； ►突破四 分式的比较大小- 【变式4-2】（2025·浙江·模拟预测）观察下面的等式： ，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． (3)请用以上规律比较与的大小． （2）解： 右边， ； ►突破四 分式的比较大小- 【变式4-2】（2025·浙江·模拟预测）观察下面的等式： ，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． (3)请用以上规律比较与的大小． （3）解：，， ， ， ． 感谢聆听! $