第02讲 整式与因式分解（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习课件聚焦“整式与因式分解”核心考点，严格对接课标要求与中考命题趋势，系统梳理代数式及求值、整式运算、因式分解等5大考点，通过考情剖析明确各考点权重，归纳19种常考题型，实现中考备考的精准定位。 课件亮点在于“真题实战+技巧突破”模式，融入抽象能力、推理意识培养，如通过2025年中考真题示范因式分解“一提二套三检查”步骤，结合几何图形解析整式运算意义，帮助学生构建解题模型。教师可依托资料设计分层训练，助力学生掌握得分技巧，高效冲刺中考。

第02讲 整式与因式分解 第一章 数与式 5大考点 4大重难突破 5大中考命题点 19题型探究 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 代数式及求值 理解用字母表示数的意义，能分析实际问题中的数量关系并用代数式表示；会求代数式的值，能根据特定问题运用整体思想、代入法等求值。 从实际问题抽象数量关系（如 2025 上海卷、2025 山西卷）； 整体代入法求代数式的值（如 2025 四川自贡卷、2025 吉林长春卷）。 题型以选择、填空为主。 整式的相关概念 理解整式（单项式、多项式）的概念，明确单项式的系数、次数，多项式的项、次数等。 考查整式概念的辨析（如 2025 辽宁卷）， 题型多为选择题。 合并同类项及去括号 掌握合并同类项法则、去括号法则，能正确进行同类项合并与去括号运算。 结合整式加减考查（如 2025 湖南长沙卷）， 常出现在计算类选择题或填空题中。 整式的运算 掌握整式的加减、乘除运算法则，能进行简单的整式运算；掌握幂的运算法则并正确运算；掌握整式混合运算顺序，能进行简单混合运算。 整式基础运算（如 2025 辽宁卷）； 幂的运算法则应用（如 2025 云南卷、2025 江苏常州卷）； 整式混合运算（如 2025 新疆卷、2025 广西卷）。 题型含选择、计算。 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 因式分解 理解因式分解的概念，掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）进行因式分解。 直接考查因式分解 （如 2025 广西卷、2025 北京卷）， 题型为选择或填空，注重分解的彻底性。 命题预测 命题趋势：代数式与因式分解是中考数学的基础核心内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题、简单解答题为主，难度适中。其中，“实际情境代数式”“整体代入求值”“因式分解的彻底性” 是高频考点；规律探索题、代数式与图形结合题是新热点，着重考查学生从实际 / 图形中抽象数量关系的能力，同时也会涉及与整式运算、分式化简等知识的综合应用，考查知识迁移与逻辑推理能力。 备考建议： 强化情境转化：重点练习以购物、工程、几何图形为背景的题目，熟练掌握 “文字描述→数量关系→代数式” 的转化方法，确保实际情境题不丢分。 掌握整体思想：总结“a+b与a²+b²”“a-b 与 b-a” 等常见整体形式，遇到代数式求值先观察“能否凑出已知条件的整体”，提升解题效率。 落实因式分解步骤：遵循 “先提公因式，再用公式法” 的原则，练习含系数、多字母的因式分解题，重点关注 “分解彻底性”，避免漏解。 训练规律探索：分类练习数字、图形类规律题，总结 “从特殊项推导一般式” 的方法，提升从变化中抽象代数式的能力。 知识导航•网络构建 知识导航•网络构建 知识导航•网络构建 知识 • 核心梳理 考点一 代数式及求值 代数式 用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 常用公式： 路程=速度×时间，利润=售价-成本，工作量=工作效率×工作时间 总价=数量×单价，售价=标价×折扣等. 求代数式的值 1.直接代入法:把已知字母的值直接代入计算； 2.整体代入法:利用提公因式法、平方差公式完全平方公式等对所求代数式进行恒等变形，把已知代数式看成一个整体代入变形后的代数式中求值. 真题 • 实战精炼 考点一 代数式及求值 1．（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． B 本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方， 即． 解析 解：A. ： 这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意； B. ： 表示先求差再平方，正确，符合题意； C. ： 仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意； D. ： 表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意； 真题 • 实战精炼 考点一 代数式及求值 本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 解析 2．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 解：由题意得， 山楂总个数用代数式表示为： ， 真题 • 实战精炼 考点一 代数式及求值 本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键． 先将变形为，然后将变形为，再整体代入求解即可． 解析 3．（2025·山东威海·中考真题）若，、 则 ． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 知识 • 核心梳理 考点二 整式的相关概念               整式       单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 【补充】一个单项式的次数是几次就叫做几次单项式，如中a，b的指数的和为7，则它是七次单项式.     多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项， 不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 【补充】一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 考点二 整式的相关概念 真题 • 实战精炼 本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数是解题的关键． 根据单项式系数的定义解答即可． 解析 1．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的系数是 ． 解：单项式的系数是． 考点二 整式的相关概念 真题 • 实战精炼 本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键． 分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 解析 2．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 考点二整式的相关概念 真题 • 实战精炼 3．（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 解： A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误； B 知识 • 核心梳理 考点三 合并同类项和去括号法则 1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 3.合并同类项法则： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，而字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 知识 • 核心梳理 考点三 合并同类项和去括号法则 4. 去括号法则 如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反； 5. 添括号法则 若所添括号前面是“+”号，则括到括号里的各项与原来的符号相同； 若所添括号前面是“-”号，则括到括号里的各项都要改变符号. 【总结】添（去）括号法则： 括号外是“+”，添(去)括号不变号； 括号外是“-”，添(去)括号都变号. 考点三 合并同类项和去括号法则 真题 • 实战精炼 1．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ． 解：单项式的一个同类项： 2．（2025·河北·中考真题）计算： ． 解：， （答案不唯一）， 考点三 合并同类项和去括号法则 真题 • 实战精炼 本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可． 解析 3．（2025·四川德阳·中考真题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 解：A：与的字母部分不同（与），不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误； B：，故本选项的计算错误； C：，故本选项的计算正确； D：，故本选项的计算错误． C 知识 • 核心梳理 考点四 整式运算 1.整式的加减运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.   法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即 （a≠0） 2.幂的运算 知识 • 核心梳理 考点四 整式运算 3.整式的乘法 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： 知识 • 核心梳理 考点四 整式运算 ① ② ③ ④ ⑤ 4.【解题技巧】完全平方公式常用的变式： 知识 • 核心梳理 考点四 整式运算 5.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 考点四 整式运算 真题 • 实战精炼 本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方， 根据相关运算法则逐一计算即可． 解析 1．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 解： A、与指数不同，不能直接相加， 原计算错误，不符合题意； B、， 原计算错误，不符合题意； C、， 原计算错误，不符合题意； D、， 原计算正确，符合题意； D 考点四 整式运算 真题 • 实战精炼 2．（2025·四川南充·中考真题）计算： ． 解： ， 3．（2025·天津·中考真题） 计算的结果为 ． 解： ， 60 知识 • 核心梳理 考点五 因式分解 1.定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 2.因式分解的基本方法： 1）提公因式法： 完全平方公式逆用： 平方差公式逆用： 2）公因式法： 3.因式分解的一般步骤： 知识 • 核心梳理 考点五 因式分解 观察是否有公因式 提公因式 有 没有 观察剩余项 观察多项式 平方差公式 完全平方公式 两项 三项 检查每个多项式是否都分解彻底 一提 二套 三检查 真题 • 实战精炼 考点五 因式分解 1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． C 解：. 2．（2025·广西·中考真题）因式分解：（    ） A． B． C． D． A 解：． 真题 • 实战精炼 考点五 因式分解 3．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足， 则 ． 解：∵， ∴ 命题点一 代数式及求值 命题点一 ►题型01 列代数式 ►题型02 求代数式的值 ►题型01 列代数式 1）辨析词语意义：列代数式前应认真审题，仔细辨析语言叙述中的关键词语(如“除”与“除以”、“平方差”与“差的平方”等)所代表的意义. 2）分清数量关系：要正确地列出代数式，还需分清语言叙述中各数量之间的和、差、倍、分关系，不要见多就加，见少就减，见倍就乘. 3）明确运算顺序：一般可按照“先读先写”的原则来进行确定，即哪部分内容在语言叙述中先读到，这一部分就先写，若题目要求的运算与四则运算的先后顺序不一致，则需适当地添加括号. ►题型01 列代数式 【典例1】（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元． 【变式1-1】（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 解：一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售， 则每件商品的售价是元， D 解：当机器人搭载m个机械手时， 总效率为每个机械手效率的累加， 即：总采摘数， ►题型01 列代数式 【变式1-2】（2025·吉林·二模）某停车场为小时营业，其收费方式如下表所示．已知某辆车某日进入该停车场，停了小时为正整数），若该辆车于当日间离场，则此次停车的费用为 元．（用含有的代数式表示）   停车时长 收费标准 不超过3小时的部分 5元/小时 超过3小时的部分 3元/小时 解：根据题意，某辆车某日进入该停车场， 停了小时为正整数），若该辆车于当日的间离场， 停车时长的范围是 （小时）， （小时）， 停了小时，超过了3小时，故收费为元， ►题型02 求代数式的值 有些题只给出代数式中几个字母之间的关系，并不直接给出各字母的值，对于这类题，一般是把所要求的代数式进行恒等变形，将其转化成用已知关系表示的形式，再代入计算. ►题型02 求代数式的值 【典例2】（2025·四川自贡·中考真题） 若，则的值为 ． 解：∵， ∴， ∴ ， ►题型02 求代数式的值 【变式2-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）若是方程的根， 则代数式的值是 ． 解： 是方程的根， ，即， ， ►题型02 求代数式的值 本题考查了平方与绝对值的非负性及程序图计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 根据有理数的非负性，程序计算解答即可． 解析 【变式2-2】（2025盐湖区模拟）按如图所示的程序计算，当输入的有理数m，n满足时，y的值为 ． 解：∵， ，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴． 整式的相关概念 命题点二 ►题型01 整式的相关概念 ►题型02 与单项式/多项式有关的规律探索问题 ►题型03 与整式有关的开放性问题 ►题型01 整式的相关概念 1）单项式中不能含有加减运算，多项式中一定含有加减运算. 2）单项式与多项式中都可以有除法运算，但是要写成分数的形式且分母中不能含有字母.3）一个整式不是单项式就是多项式，判断一个式子是不是整式的关键是看分母中是否含有字母. ►题型01 整式的相关概念 本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 解析 【典例3】（2024·山东泰安·中考真题） 单项式的次数是 ． 解：单项式中， 的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． ►题型01 整式的相关概念 【变式3-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）代数式中项的系数是 ． 解： ∴项的系数是 ►题型01 整式的相关概念 【变式3-2】（2025·四川绵阳·二模）化简代数式（m，n是正整数）可得一个关于x，y的三次二项式，则的值为 ． 解：根据题意，得 ， 解得， ∴是三次二项式， ∴． ►题型02 与单项式/多项式有关的规律探索问题 1）把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键. 2) 把一个多项式分解成若干单项式，分别找出每组单项式的规律是解决此类问题的关键. 本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 解析 ►题型02 与单项式/多项式有关的规律探索问题 【典例4】（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． A 解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 本题考查单项式规律探索，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．观察所给代数式发现，分子的底数都是𝒙，而指数是从𝟏开始的奇数；分母是底数从𝟏开始的自然数的平方． 解析 ►题型02 与单项式/多项式有关的规律探索问题 【变式4-1】（2025·青海西宁·二模）一组按照规律排列的式子：，，其中第个式子是 ，第个式 子是 为正整数 解：，， 其因此第个式子是：， 第个式子是：． 本题考查了多项式项式的变化规律，根据题目所给多项式，总结出第𝒏个多项式中各项的系数与次数，即可解答，正确理解多项式中各项的系数与次数的规律是解题的关键． 解析 ►题型02 与单项式/多项式有关的规律探索问题 【变式4-2】（2025·云南楚雄·三模）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 解：∵， ， ， ， ， ， ∴第个多项式是， ►题型03 与整式有关的开放性问题 要解决这类只含特定字母的整式开放性问题，核心思路是明确单项式/多项式的相关概念，再结合要求构造项. ►题型03 与整式有关的开放性问题 【典例5】（2025·河南郑州·三模） 写出一个次数为，系数为的单项式： ． 【变式5-1】（2025·吉林长春·模拟预测）某多项式按字母的降幂排列为： ，则整数的值可能为 ．（写出一个即可） 解：某多项式按字母的降幂排列为： ， ∴m的整数值可能为3或2． 2（或3） 解：单项式中数字因数叫做单项式的系数， 所有字母的指数和叫做这个单项式的次数， 所以符合条件的单项式可以是， （答案不唯一） 本题考查了多项式的概念，多项式的次数、项数的概念，按某字母降幂排列，熟记多项式的次数，项数概念是解题的关键． 根据多项式次数，项数的定义，降幂排列求解即可． 解析 ►题型03 与整式有关的开放性问题 【变式5-2】（2025·河南郑州·一模）写出一个同时满足下列条件的二次三项式： . 只含有字母和； 每一项的次数都是； 按字母的降幂排列． 解：∵二次三项式满足： 只含有字母和； 每一项的次数都是； 按字母的降幂排列， ∴这个多项式可以为：， （答案不唯一）． 合并同类项和去括号法则 命题点三 ►题型01 同类项 ►题型02 合并同类项 ►题型02 添（去）括号法则 ►题型01 同类项 同类项的“两相同”和“两无关”： 1）“两相同”:一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要分别相同.这“两相同”同时也是判断同类项的标准，二者缺一不可； 2）“两无关”:一是与系数的大小无关，二是与所含字母的顺序无关. ►题型01 同类项 【典例6】（2025·吉林长春·中考真题）写出的一个同类项： ． 【变式6-1】（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模） 已知，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 A 解：是的一个同类项， 解：∵， ∴是同类项； ∴，， ∴，∴ （答案不唯一） ►题型01 同类项 本题考查关于原点对称的点的特征，以及点的象限特征，同类项的性质．熟练掌握关于原点对称的点的特征，以及点的象限特征是解题的关键． 根据题意得出 ， 确定点即为， 再由关于原点对称的点的特点得出关于原点的对称点为，即可得出结果． 解析 【变式6-2】（2025·广东汕头·二模）若与是同类项，则点关于原点的对称点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 解：∵与是同类项， ∴， 解得， ∴点即为， 关于原点的对称点为， ∴点为在第四象限， ►题型02 合并同类项 1）系数相加(减)，所得的结果作为系数，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； 2）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0； 3）合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. ►题型02 合并同类项 【典例7】（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【变式7-1】（2025·陕西西安·模拟预测）下列各式计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 解： ； 解： 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； ►题型03 添（去）括号法则 添（去）括号法则： 括号外是“+”，添(去)括号不变号； 括号外是“-”，添(去)括号都变号. ►题型03 添（去）括号法则 本题考查了整式的加减运算，注意去括号时变号即可； 解析 【典例8】（2025·上海·模拟预测）化简： = ． 解：原式 ， ►题型03 添（去）括号法则 【变式8-1】（2025侯马市二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． D 解： A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，计算正确，该选项符合题意； ►题型03 添（去）括号法则 【变式8-2】（2025·浙江台州·二模）如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（    ） A．2 B． C．8 D． A 解：∵代数式的值为3， ∴， ∴， ∴， 实数的相关概念及其性质 命题点四 ►题型01 幂的运算 ►题型02 整式的乘法 ►题型03 整式的除法 ►题型04 乘法公式 ►题型05 整式的混合运算 ►题型06 与整式运算有关的新定义问题 ►题型07 整式的化简求值问题 ►题型01 幂的运算 在幂的混合运算中，先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. ►题型01 幂的运算 【典例9-1】（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 解：、与不是同类项，不可以合并，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 【典例9-2】（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（     ） A． B． C． D． D 解： , 【变式9-3】（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． ►题型01 幂的运算 【变式9-1】（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（    ） A． B． C． D． A D 解： ， 【变式9-2】（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 解：∵，∴， ∴， 解：． ， ►题型02 整式的乘法 1）计算过程要注意符号； 2）最后有同类项时，必须合并， 从而得到最简结果. ►题型02 整式的乘法 本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算； 将 和 代入公式 进行计算． 解析 【典例10】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 解：由题意得， ； ►题型02 整式的乘法 【变式10-1】（2025·四川广元·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 解：A、，故错误； B、，故正确； C、，故错误； D、，故错误； 【变式10-2】（2025·湖北·模拟预测）计算的正确结果是（     ） A． B． C． D． B D 解：原式， ►题型3 整式的除法 【典例11】（2025·辽宁大连·模拟预测）计算： ． 解：原式． 【变式11-1】（2025·宁夏银川·三模） 已知单项式满足，则 ． 解：∵ ∴ ∴ ►题型3 整式的除法 本题考查单项式乘以单项式及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题关键． 利用幂的乘方运算，以及单项式除以单项式运算法则先化简，得出密码与指数的关系即可得答案． 解析 【变式11-2】（2025·江苏宿迁·一模）科技馆“数理世界”展厅的的密码被设计成如表所示的数学问题．小聪在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 账号∶ shuǐ ishì jie 密码 2043 解：∵   ， ∴密码为x、y、z的指数， ∴ ， ∴密码为：2043， ►题型04 乘法公式 应用乘法公式进行计算首先要掌握好乘法公式，熟悉公式特征，同时注意灵活运用公式，既能正用，又能逆用，而且还能结合整体思想以及乘法运算律对算式进行适当的变形或重组，综合应用公式 ►题型04 乘法公式 本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 解析 【典例12-1】（2025·天津·中考真题） 计算的结果为 ． 60 解： ， ►题型04 乘法公式 本题考查了完全平方式的性质，解题的关键是熟记完全平方式的结构，明确中间项与首尾两项的关系，进而列方程求解． 先确定完全平方式的首尾项：首项和尾项的底数；再根据中间项等于首项底数x尾项底数，列出关于的方程；最后解方程得到的两个值． 解析 【典例12-2】（2025·陕西延安·一模）若是一个完全平方式，则a的值为 ． 解：∵是完全平方式， ∴中间项， 即． 当时， ，，解得； 当时，，，解得． 或 ►题型04 乘法公式 本题主要考查了完全平方式的应用，拼成大正方形时，总面积需为完全平方式，现有面积为𝒂^𝟐+𝟒𝒂𝒃，需添加𝒌张𝒃^𝟐纸片，使 𝒂^𝟐+𝟒𝒂𝒃+𝒌𝒃^𝟐为完全平方式，据此求解即可． 解析 【变式12-1】（2025·甘肃张掖·三模）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 解：∵为完全平方式， 且， ∴还需要抽取面积为的正方形纸片 4 张， B ►题型04 乘法公式 先根据完全平方公式得出 ，再求出答案即可． 本题考查了完全平方公式，注意：完全平方公式为：，． 解析 【变式12-2】（2025·山东·模拟预测） 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． B 解：， ， ►题型04 乘法公式 本题考查整式的乘法，利用多项式乘以多项式，完全平方公式，进行计算后，求出𝒃,𝒅的值，进而求出代数式的值即可． 解析 【变式12-3】（2025·四川南充·二模）已知，则的值为 ． 解：∵ ， 又∵， ∴， ∴； ►题型05 整式的混合运算 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. ►题型5 整式的混合运算 【典例13】（（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 【变式13-1】（2025·陕西榆林·三模）化简：． 解： ． 解：原式 ． ►题型5 整式的混合运算 本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可； （2）先根据多项式乘以多项式的运算法则展开，最后合并同类项即可． 解析 【变式13-2】（2025·湖南张家界·一模）计算： (1)； (2)． （1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． ►题型06 与整式运算有关的新定义问题 【典例14】（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 解：理解定义： ∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 不是 ►题型06 与整式运算有关的新定义问题 【典例14】（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． ►题型06 与整式运算有关的新定义问题 本题考查有理数的运算、科学记数法、幂的乘方、合并同类项，理解题中新定义是解答的关键． （1）根据题中定义列算式，利用有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据题中定义列算式，再利用幂的乘方、合并同类项运算法则求解，最后用科学记数法正确表示计算结果． 解析 【变式14-1】（2025·河北邯郸·模拟预测）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有． (1)求的值； (2)若，求的值（结果用科学记数法表示）． （1）解：由题意，得 ； （2）解： ． ►题型06 与整式运算有关的新定义问题 【变式14-2】（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． ∵，∴； ∵，∴； ∵，∴； ∵，∴； (1) ； ______； (2)由题目给出的运算，猜想： __________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究， 直接写出__________． （1）解： ∵，， ∴，， ∴ ， ， ， ►题型06 与整式运算有关的新定义问题 【变式14-2】（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． ∵，∴； ∵，∴； ∵，∴； ∵，∴； (1) ； ______； (2)由题目给出的运算，猜想： __________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究， 直接写出__________． （2）解： ， 验证： 设， 则， ， ， ， ►题型06 与整式运算有关的新定义问题 【变式14-2】（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． ∵，∴； ∵，∴； ∵，∴； ∵，∴； (1) ； ______； (2)由题目给出的运算，猜想： __________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究， 直接写出__________． （3）解： 根据之前的探究，可得 ． 验证： 设， 则， ， ， ， ►题型06 与整式运算有关的新定义问题 【变式14-3】（2025·河北秦皇岛·一模）对于任意数a，b，规定：，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算．例： (1)求的值 (2)嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由． （1）解： ； （2）解：嘉嘉说的对，理由： ∵ ∴无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关． ►题型07 整式的化简求值问题 整式化简求值一般分两步，先化简，然后代入求值，其中化简是解决问题的关键.整式的化简应遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序，能运用乘法公式的运用公式.未直接给出字母的取值时，考虑整体代入. ►题型07 整式的化简求值问题 本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 解析 【典例15】（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 解：原式 ； 当时， 原式． ►题型07 整式的化简求值问题 本题考查了完全平方公式，平方差公式，绝对值的非负性． 利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解𝒙，𝒚的值，然后代入求解即可． 解析 【变式15-1】（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：， 其中x，y满足． 解： ∵， 即， ∴，， 解得，， 将，， 代入原式． ►题型07 整式的化简求值问题 本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练的进行计算是解题的关键． 先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 解析 【变式15-2】（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中，． 解： ， 当，时， 原式． 因式分解 命题点五 ►题型01 提公因式法分解因式 ►题型02 公式法分解因式 ►题型03 综合提公因式和公式法分解因式 ►题型04 因式分解的应用 ►题型01 提公因式法分解因式 1）提取公因式后，括号内的各项是用这个多项式的各项除以公因式得到的商，特别注意不要漏项 2）公因式要提“全”、提“净”，使系数不含公约数，字母不含公因式. 3）当多项式的首项系数为负数时，要把“-”提出来，使括号内的首项系数变为正数. ►题型01 提公因式法分解因式 【典例16】（2025·广东·中考真题）因式分解： ． 解：a2b+ab2=． 【变式16-】（2025·四川自贡·中考真题）分解因式： ． 解：， 【变式16-2】（2025·浙江舟山·一模） 用提公因式法分解因式时，提取的公因式是 . 解：． ∴提取的公因式是． ►题型02 公式法分解因式 1）要熟练掌握公式的结构特征并牢记这些公式. 2）看项数选公式：“二项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式， 3）在运用公式前要先判断一个多项式是否符合公式的特点. 若符合，则把多项式写成公式的结构，再去套公式，否则不能套公式. ►题型02 公式法分解因式 【典例17】（2025·山西·中考真题）因式分解： ． 解：； 【变式17-1】（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， （答案不唯一） ►题型02 公式法分解因式 本题考查因式分解，原多项式分解因式得到 ，进而可得结论． 解析 【变式17-2】（2025·河南周口·三模）对于任意整数m，多项式都能被 整除．（填符合题意的最大整数） 8 解： ， ∵能被8整除， ∴多项式都能被8整除， 【变式18-1】（2025·山东东营·中考真题）分解因式： ． ►题型03 综合提公因式和公式法分解因式 【典例18】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题） 把多项式分解因式的结果是 ． 解： ． 解：， ►题型03 综合提公因式和公式法分解因式 先将式子中的进行变形，使其与有相同的形式，再提取公因式，最后利用平方差公式进行因式分解． 本题主要考查了提取公因式法和公式法（平方差公式）的综合运用来进行因式分解． 熟练掌握提取公因式的方法以及平方差公式的结构特征，并能灵活运用它们对多项式进行因式分解是解题的关键． 解析 【变式18-2】（2025·云南丽江·模拟预测）因式分解 ． 解： ►题型03 综合提公因式和公式法分解因式 本题考查因式分解，先分组，再提公因式，进而利用十字相乘法和平方差公式分解因式即可． 解析 【变式18-3】（2025·广西来宾·三模）因式分解 ： ． 解：原式 ． ►题型04 因式分解的应用 【典例19】（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 解：∵， ∴ 逐步整体代入计算 ►题型04 因式分解的应用 【变式19-1】（2025·河北唐山·三模）有一个数学游戏，如图．、、均为含的整式．且的系数均为正整数．若“”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填 ． 解：∵， ， ∵、、均为含的整式 且的系数均为正整数． ∴，，， ∴． ►题型04 因式分解的应用 本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系及因式分解，合理利用因式分解进行计算是解决本题的关键． ， 通过分组因式分解进行形式变形，再根据三角形中的三边关系，即可求解． 解析 【变式19-2】（2025·河北邯郸·三模）已知的三条边的长度依次为a，b，c，且满足，则一定是 三角形． 等腰 解：∵ ∴， ∴①， 又∵a，b，c是的三边， ∴， ∴①式中只能，即， ∴一定是等腰三角形． ►题型04 因式分解的应用 【变式19-3】（2025·福建泉州·二模） 设是一个四位数，下列说法正确的是（    ） A．若， 则这个数是11的倍数 B．若，则这个数是11的倍数 C．若，则这个数是11的倍数 D．若，则这个数是11的倍数 解：由题意可知： ， 当这个数是11的倍数时， 可得是11的倍数， 当时， 是11的倍数，故A符合题意； 当时， 不是11的倍数，故B不符合题意； 当时， 不是11的倍数，故C不符合题意； 当时， 不是11的倍数，故D不符合题意； A ►突破一 代数推理问题 【典例1】（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） ►突破一 代数推理问题 推广延伸 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． ►突破一 代数推理问题 【典例1】（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． (1)解决问题1； （1）解： 小明的猜想不正确． 反例：． (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； （2）证明 ①，∴， 所以，与（*）矛盾， 不合题意； ②，所以， 又， 所以， 由（*）知， 所以． ►突破一 代数推理问题 【典例1】（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (3)解决问题2． 解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明：由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有，此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， ►突破一 代数推理问题 【变式1-1】（2025·河北石家庄·三模） 定义：一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数．其中a，b两部分数位相同，计算正好为剩下的中间数，满足以上条件叫其平衡数，例如：468满足，233241满足． (1)判断357____________平衡数； 314567____________平衡数； （均选填“是”或“不是”） (2)琪琪认为任意一个三位平衡数都能被3整除．你同意琪琪的看法吗？请说明理由． （1）解：，357是平衡数； ，314567不是平衡数； （2）解：同意．理由： 设这个三位平衡数为： ， ， 一定能被3整除， 即任意一个三位平衡数一定能被3整除． 是 不是 ►突破一 代数推理问题 【变式1-2】（2025·江苏南京·三模） 定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． （1）解： 不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b， 使得，则： ， 因数分解可能为或， 或， 解得：或非整数，矛盾， 不是“树人数”， ， 是“树人数”； ►突破一 代数推理问题 【变式1-2】（2025·江苏南京·三模） 定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． (1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由． (2)下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． （2）①设奇数， 令，， 则： ， 故①正确， ②由（1）中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k， 令，， 则： ，故③正确， ④设被4除余2的数是， 若存在a，b使得， ∴若a，b同奇偶， 则为偶数但被4整除，矛盾； 若a，b一奇一偶， 则为奇数，矛盾，故④错误， ①③ ►突破一 代数推理问题 【变式1-2】（2025·江苏南京·三模） 定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． (3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． （3）证明：，b是“树人数”．设，是整数 ，n，p，q是整数． ，，，都是整数． 能写成两个整数的平方差的形式．是“树人数”． 或 ►突破一 代数推理问题 【变式1-3】（2025·江苏盐城·二模）我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除．例如，三位数108，，可以被整除， 就能被整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的倍所得的差为．若能被整除，则三位数就能被整除． 【验证】如，对于三位数，，可以被整除， 就能被整除． （1）用上述方法判断能否被整除？并说明你的理由； 【探究】（2）请用含，，的代数式表示___________； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是___________（填序号） ①在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ②在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ③在四位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ►突破一 代数推理问题 【变式1-3】（2025·江苏盐城·二模）我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除．例如，三位数108，，可以被整除， 就能被整除．【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的倍所得的差为．若能被整除，则三位数就能被整除． 【验证】如，对于三位数，，可以被整除， 就能被整除． （1）用上述方法判断能否被整除？并说明你的理由； 解：（1）能被整除，理由如下： ，能够被整除， 能被整除； 【探究】（2）请用含，，的代数式表示_ ； （2）由题意可得：， ►突破一 代数推理问题 【变式1-3】（2025·江苏盐城·二模）我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除．例如，三位数108，，可以被整除， 就能被整除． 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． （3）由（2）可得， 能被7整除， （为整数）， ， ， 三位数能被整除； ►突破一 代数推理问题 【变式1-3】（2025·江苏盐城·二模）我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除．例如，三位数108，，可以被整除， 就能被整除． 【迁移】（4）下列结论正确的是___________（填序号） ①在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ②在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ③在四位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； （4）①， 是的倍数， （为整数）， ， ， 是的倍数，故①正确； ②， 是的倍数， （为整数）， ， ， 不一定是的倍数，故②错误； ►突破一 代数推理问题 【变式1-3】（2025·江苏盐城·二模）我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除．例如，三位数108，，可以被整除， 就能被整除． 【迁移】（4）下列结论正确的是___________（填序号） ①在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ②在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ③在四位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ③， 是的倍数， （为整数）， ， ，不一定是的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①， ① ►突破二 整式运算的几何意义 【典例2】（吉林省磐石市四校联考2024~2025学年下学期九年级数学模拟测试卷）分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 解：图① 整体长方形的长为，宽为， 因此面积为， 整体长方形由三个长方形构成的， 这三个长方形的面积和为、、， 所以有：， 因此图①符合题意； ►突破二 整式运算的几何意义 【典例2】（吉林省磐石市四校联考2024~2025学年下学期九年级数学模拟测试卷）分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 图②， 整体长方形的长为，宽为， 因此面积为， 整体长方形由四个长方形构成的， 这四个长方形的面积和为， 所以有： ， 因此图②符合题意； ►突破二 整式运算的几何意义 【典例2】（吉林省磐石市四校联考2024~2025学年下学期九年级数学模拟测试卷）分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 图③，整体正方形的边长为， 因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的， 这四个部分的面积和为， 所以有：， 因此图③符合题意； ►突破二 整式运算的几何意义 【典例2】（吉林省磐石市四校联考2024~2025学年下学期九年级数学模拟测试卷）分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 图④ 整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的， 其中较大的正方形的边长为， 因此面积为， 较小正方形的边长为，因此面积为， 另外两个长方形的长为，宽为， 则面积为， 所以有， 即， 因此图④符合题意；四个表示都是相符合的， ①②③④ ►突破二 整式运算的几何意义 【变式2-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）有一个边长为的小正方形和一个边长为的大正方形．将小正方形按图1的方式放入大正方形中，设图中阴影部分的面积为；再将小正方形按图2的方式放入大正方形中，取的中点，设图中三角形（阴影部分）的面积为． (1) （用含，的式子表示）； (2)求的大小（结果用含，的式子表示）； (3)若，请你直接写出的值，不用说明理由． （1）解：由题意知，阴影部分是上底为a、下底为b，高为的梯形， ∴ ， ►突破二 整式运算的几何意义 【变式2-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）有一个边长为的小正方形和一个边长为的大正方形．将小正方形按图1的方式放入大正方形中，设图中阴影部分的面积为；再将小正方形按图2的方式放入大正方形中，取的中点，设图中三角形（阴影部分）的面积为． (1) （用含，的式子表示）； (2)求的大小（结果用含，的式子表示）； (3)若，请你直接写出的值，不用说明理由． （2）解：∵M是的中点， ∴． ∴， 又 ∴ （3）解：由题意知：， ∴． ►突破二 整式运算的几何意义 【变式2-2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图1，现有两类正方形卡片A、B若干张，其边长分别为a，，还有一类长为b，宽为a的长方形卡片C若干张，同学们通过拼接来计算图形的面积． (1)珍珍要拼一个长为，宽为的长方形，需要A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，求的值； (2)将一张A卡片放在B卡片的内部得到如图2所示的图形；将A、B卡片并列放置后构造成如图3所示的新的正方形．若图2中阴影部分的面积为5，一张C卡片的面积为6，求图3中阴影部分的面积； (3)轩轩和淇淇各用4张卡片拼成了如图4所示的正方形和图5所示的一个长方形，记轩轩所拼正方形的面积为，淇淇所拼长方形的面积为，要比较的大小，轩轩认为必须告诉a，b的值；淇淇认为不用告诉a，b的值，你认为谁的看法正确？请说明理由． ►突破二 整式运算的几何意义 【变式2-2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图1，现有两类正方形卡片A、B若干张，其边长分别为a，，还有一类长为b，宽为a的长方形卡片C若干张，同学们通过拼接来计算图形的面积． (1)珍珍要拼一个长为，宽为的长方形，需要A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，求的值； （1）解： ， ∴要拼一个长为， 宽为的长方形， 需要A卡片2张，B卡片1张，C卡片3张， ∴， ∴； ►突破二 整式运算的几何意义 【变式2-2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图1，现有两类正方形卡片A、B若干张，其边长分别为a，，还有一类长为b，宽为a的长方形卡片C若干张，同学们通过拼接来计算图形的面积． (2)将一张A卡片放在B卡片的内部得到如图2所示的图形；将A、B卡片并列放置后构造成如图3所示的新的正方形．若图2中阴影部分的面积为5，一张C卡片的面积为6，求图3中阴影部分的面积； （2）解：∵图2中阴影部分面积为5， ∴， ∵一张C卡片的面积为6， ∴，∴图3中阴影部分面积 ►突破二 整式运算的几何意义 【变式2-2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图1，现有两类正方形卡片A、B若干张，其边长分别为a，，还有一类长为b，宽为a的长方形卡片C若干张，同学们通过拼接来计算图形的面积． (3)轩轩和淇淇各用4张卡片拼成了如图4所示的正方形和图5所示的一个长方形，记轩轩所拼正方形的面积为，淇淇所拼长方形的面积为，要比较的大小，轩轩认为必须告诉a，b的值；淇淇认为不用告诉a，b的值，你认为谁的看法正确？请说明理由． （3）解；淇淇的看法正确，理由如下： 由题意得，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴淇淇的看法正确． ►突破二 整式运算的几何意义 【变式2-3】（2025·宁夏吴忠·二模）综合与实际 问题背景：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． 问题探究： （1）请根据图1写出一个等式：________； （2）如图2，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 拓展应用：如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，为边上任意一点（不与端点重合），过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为． （1）若为边的中点，则的值为________； （2）若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． ►突破二 整式运算的几何意义 【变式2-3】（2025·宁夏吴忠·二模）综合与实际 问题探究： （1）请根据图1写出一个等式： ； （2）如图2，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 解：（1）大正方形的面积可表示为：或， ； （2）设，， ， ，， 即，， ； 答：阴影部分的面积为17． ►突破二 整式运算的几何意义 【变式2-3】（2025·宁夏吴忠·二模）综合与实际 拓展应用：如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，为边上任意一点（不与端点重合），过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为． （1）若为边的中点，则的值为________； （1）在等腰直角三角形中，，为的中点， ， 是等腰直角三角形， 于点，作于点， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， 图中的所有三角形都是等腰直角三角形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， 又点为边的中点，， 是等腰直角三角形， ， ，， 是的中位线， ，， 矩形是正方形， 设，则 ， ， ， 2 ， ， ， ►突破二 整式运算的几何意义 【变式2-3】（2025·宁夏吴忠·二模）综合与实际 拓展应用：如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，为边上任意一点（不与端点重合），过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为． （1）若为边的中点，则的值为________； （2）若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 2 （2）仍成立，理由如下： 设，，依题意得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ． ►突破三 数式类规律探索 【典例3】（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ……根据上述规律， 写出第⑤组勾股数为 ． 解：由题意， 第⑤组勾股数的第1个数为11， 设第2个数为， 则第3个数为， 由勾股定理，得： ， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； ►突破三 数式类规律探索 【变式3-1】（2025·云南·模拟预测）根据规律，x的值为（ ） 解：由题意可知：， ， ， ， …… ∴，，， ∴，． A．135 B．153 C．169 D．170 D ►突破三 数式类规律探索 【变式3-2】（2025·安徽·模拟预测） 观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：，， (1)写出第个式子： ． (2)按照以上规律，第个等式为 ， 写出证明过程． （1）解： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ►突破三 数式类规律探索 【变式3-2】（2025·安徽·模拟预测） 观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：，， (1)写出第个式子： ． (2)按照以上规律，第个等式为 ， 写出证明过程． （2）解：由（）的规律可得， 第个等式为： ． 证明：∵ ， ， ∴， ►突破三 数式类规律探索 【变式3-3】（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 解：第一行的最后一个数是1， 第二行最后一个数是， 第三行最后一个数是， 第四行最后一个数是 ， 第五行最后一个数是 ． 第行最后一个数是 ． ， 第63行的最后一个数是2016． 2025在第64行从左到右第9个数的位置． 正整数2025可以用有序数对来表示． ►突破四 图形类规律探索 【典例4】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， C ►突破四 图形类规律探索 【变式4-1】（2025·山东·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；…… 解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； …… 画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； ∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块， ∴，即， 又∵，， ∴至少要画的直线条数是条， 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是 ． ►突破四 图形类规律探索 【变式4-2】（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， ►突破四 图形类规律探索 【变式4-3】（2025•四川乐山•中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中 代表碳原子， 代表氧原子， 代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） 解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． B 感谢聆听! $