专题1.2 整式的乘法（3大考点+12大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

本初中数学讲义聚焦整式的乘法，系统梳理单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，以“转化”思想为脉络，从单项式相乘逐步过渡到多项式相乘，构建递进式学习支架，帮助学生夯实基础。 资料通过分层题型设计（典例+变式）、实际应用问题（如长方形面积计算）及规律探究（杨辉三角），培养运算能力与推理意识，提升用数学语言表达现实世界的能力。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题1.2整式的乘法 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点引单项式乘单项式 知识点2单项式乘多项式 知识清单 知识点3多项式乘多项式 题型1计算单项式乘单项式 题型2利用单项式乘单项式求字母或代数式的值 题型了计算单项式乘多项式及求值 题型4单项式乘多项式的应用 整式的乘法 题型5利用单项式乘多项式求字母的值或代数式的值 题型6计算多项式乘多项式 题型精讲 题型7利用多项式乘多项式求字母的值或代数式的值 题型8已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型9多项式乘多项式一化简求值 题型I0多项式乘多项式与图形面积 题型I1多项式乘法混合运算 题型I2多项式乘法中的规律问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.知识与技能：掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则， 能熟练进行整式乘法运算，理解整式乘法与幂的运算的关联。 2.过程与方法：经历法则推导的探究过程，体会“转化”数学思想，提升运算准确性 教学目标 和逻辑推理能力。 3.情感态度：在合作运算练习中增强自信心，养成认真审题、规范书写的习惯，感受 整式乘法的实际应用价值。 教学重难点 1.重点 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)理解并熟记单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的核心法则，明 确各运算步骤的依据，掌握整式乘法的基本运算流程。 (2)能准确运用法则进行整式乘法计算，处理好运算中的符号、系数和同底数幂相乘 问题，确保运算结果正确且格式规范。 2.难点 (1)多项式乘多项式运算中，准确把握每一项的相乘规律，避免漏乘、错乘，同时正 确合并同类项，处理好复杂算式的运算顺序。 (2)整式乘法法则的灵活运用，能结合幂的运算进行混合运算，将实际问题转化为整 式乘法模型并求解，突破符号易错点。 知识清单 知识点01单项式乘单项式 单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一个因式 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉 只在一个单项式里含有的字母因式：④此性质对于多个单项式相乘仍然成立. 【即学即练1】1.计算(3x2y)(-2xy)的结果是() A.-6x2y3 B.-6x3y4 C.6xy4 D.-5xy 2.己知(mx3)(4x)=-8x2,则m= 知识点02单项式乘多项式 单项式乘多项式 (1)单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所 得的积相加 (2)单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘： ③注意确定积的符号. 【即学即练2】1.计算：-x(x+y+2x2=（) A.3x2+xy B.3x2-xy C.x2+xy D.x2-xy 2.若a2-2a-1=0,则a4-2a3-2a+1= 知识点03多项式乘多项式 多项式乘多项式 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加. (2)运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项 之前，积的项数应等于原多项式的项数之积， 【即学即练3】1.己知(x+2)(x-3)=x2+mx-6,则m的值为() A.5 B.-1 C.-5 D.1 2.计算： (1)(7x+5y)(3x-2y): (2)-2a3.a3+4a3-(-a2）. 题型精讲 题型01 计算单项式乘单项式 【典例1】(25-26八年级上云南昭通·月考)计算(2x2)-3x)的结果是() A.-6x3 B C.-6x9 D.6x6 【变式1】(25-26八年级上江西南昌·月考)计算(-6ab)2·(3a2b)的结果是() A.18a4b3 B.-36a'b C.-108ab D.108a'b' 【变式212526八年级上夫津和平月考)计第：。(0 【变式3】(25-26八年级上福建厦门月考)计算： ()m2.3m4.(m2)3; 2-aj°(by+(2ab2)3. 题型02利用单项式乘单项式求字母或代数式的值 【典例2】(24-25八年级上内蒙古呼伦贝尔月考)若am+bm+2a2m-b2"=ab,则m+n的值为（) A.4 B.2 C.3 D.-3 【变式1】(23-24八年级上·云南玉溪·期末)已知单项式6am+b+1与-4a2m-b-的积与7ab是同类项，则 m的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 【变式2】(25-26八年级上四川巴中·月考)如果x”y4与2xy"相乘的结果是2xy’,那么m=_,N=一， 4m+5n=_ 【变式3】(24-25八年级下·安徽滁州期中)若x2y3=-2,则6xy 的值为■ 3/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型03计算单项式乘多项式及求值 【典例3】(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期中)计算：（6ab2-4ab)3ab的结果是() A.18a2b3-12a3b2 B.18ab3-12a3b2 C.18a2b3-12a2b2 D.18a2b2-12a3b2 【变式1】(25-26八年级上·全国期末)计算：2a2(3a2-5b)= 【变式2】(24-25七年级下.全国课后作业)已知x2+x=3,则7+x(x+1= 【变式3】(2025山东菏泽·二模)已知x2+2x-1=0,则代数式4x(x+1-2x2-3的值为() A.1 B.-1 C.5 D.-5 题型04单项式乘多项式的应用 【典例4】(25-26八年级上·辽宁抚顺·期中)一个长方形的长和宽分别是3a,2a+1,则这个长方形的面积是 () A.6a2+3 B.6a2+3a C.6a+3 D.6a2 【变式1】(25-26七年级上江苏徐州期中)有10张如图1的小长方形，长为m,宽为n,按照如图2的 方式不重叠地放在大长方形ABCD内.大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为S,右下 角的面积为S2.AB的长变化时，S2-S,的值与AB的长无关，m与n的数量关系为() D S m An 图1 图2 A.m=n B.m=2n C.2m=3n D.m=3n 【变式2】(25-26八年级上·全国单元测试)下图是变压器中的L型硅钢片，其面积为 2a+b 2a-b 【变式3】(25-26八年级上：广东广州期中)如果规定 表示单项式-3x)z, 表示多项式 b d m ad-bc,则计算 的结果是」 2 题型O5利用单项式乘多项式求字母或代数式的值 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例5】(24-25八年级上河南周口·月考)若xx+2)=ax2+bx,则a+b=() A.3 B.2 C.1 D.0 【变式1】(24-25八年级上·全国期末)若(x2+ax+(-6x)的展开式中不含x4项，则a=() A.-6 B.0 C.I D.-1 6 【变式2】(25-26七年级上·上海浦东新·期中)关于x的整式心x与3x+b(b≠0)的乘积中所有项的系数恰巧 都是1，则a+b=」 【变式3】(25-26八年级上·全国·周测)一个多项式4xy-M因式分解得到的结果是4xyx2-y2+xy),则 M表示的式子是」 题型06计算多项式乘多项式 【典例6】(25-26八年级上四川眉山期中)下列计算结果为x2-5x-6是() A.（x+6(x-1 B.(x-6x+ C.x+3)x-2 D.x-3)x+2 【变式1】(22-23七年级下湖南永州期中)计算：（x-1)x2+x+1= 【变式2】(25-26八年级上·云南昭通·月考)计算：(2a-b)(3a+2b)= 【变式3】(25-26八年级上河北期末)计算： (1)（-2x2y)+-x)(-y)2y (2)(x+2y)(y-2)+(2y-4x)(y+1 题型07利用多项式乘多项式求字母或代数式的值 【典例7】(25-26八年级上·湖北荆门月考)若多项式(-x+1)(x-3)=-x2+ax+b,则a,b的值分别是() A.a=4,b=3 B.a=4,b=-3 C.a=-2,b=-3 D.a=2,b=-3 【变式1】(25-26八年级上河南周口月考)己知a2-5a-1=0,代数式(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)的值是() A.24 B.30 C.35 D.36 【变式2】(2023福建模拟预测)已知x2+2x=-1,则代数式5+3x+x(x-1的值为 【变式3】(25-26八年级上·广西崇左·月考)计算： (1)已知mn=m+n+2024,则(m-1)(n-1= (2)若x2+mx+n=(x-2)(x-1,则n"=」 题型08己知多项式乘乘积不含某项求字母的值 【典例8】(25-26八年级上·内蒙古乌海期中)若(y2+ay+2)(2y-4)的结果中不含y2项，则a的值为(). A.0 B.1 C.2 D.3 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26八年级上·云南怒江·月考)将(x-k)x2-2x+5展开，若整理后不含x的二次项，则k的 值为() A.2 B.0 C.-2 D.-1 【变式2】(2025八年级上·全国，专题练习)已知关于x的多项式x-n与2x2-3x+4的乘积结果中不含x的 二次项，且常数项为-6，则m+n的值为」 【变式3】(25-26八年级上四川眉山期中)若x2+px+q)(x2-2x-3展开后不含x2和x2项，求p9的值. 题型09多项式乘多项式-化简求值 【典例9】(25-26八年级上新疆乌鲁木齐-期中)先化简后求值：（(a+2b)(a+b)-3a(a+b),其中 a=1,b=-1. 【变式1】(25-26八年级上广东惠州期中)先化简，再求值：(x+2)(x-3)-xx-3),其中x=2. 【变式2】(24-25七年级下广西梧州期中)先化简，再求值(x-2)(x2-6x)-xx2-2x-8),其中x=-1。 【变式3】(25-26八年级上山东德州月考)化简求值：2x2+y)(x-3y)-x2x2+y-3y),其中x=-1, y=1. 题型10多项式乘多项式与图形的面积 【典例10】(25-26八年级上山西晋城月考)如图，把一块原长为m,宽为bm的长方形草坪，加长了pm ,加宽了9m,则扩大后的草坪面积为() b Q A.(ab+pb+pq)m" B.（ab+ag+pb+pg)m2 C.(ab+pq)m D.(ag+pq+bpm' 【变式1】(25-26八年级上·天津滨海新·月考)通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的式 子是() a 图1 图2 A.a(b-x)=ab-ax B.b(a-x)=ab-bx C.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx D.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上山东德州月考)计算图中阴影部分的面积是 2b+1 2a+3b 2b+3a 【变式3】(25-26七年级上·吉林长春·期末)如图，长方形ABCD可以分为S,S2,S,S4四个部分，根据图 中的相关标示，完成下面的问题： 3 A D S S2 2 S S B C (I)S4部分的周长是 (②)长方形ABCD的周长用代数式可表示为 (3)长方形ABCD的面积用代数式可表示为 4)若x,求长方形ABCD的面积 题型11多项式乘法的混合运算 【典例11】(24-25七年级下河南平顶山期中)计算(a+b)(a2-ab+b2)= 【变式1】(25-26七年级上上海期中)计算：（-3a2b)°+-2ab)23b 【变式2】(25-26八年级上全国期中)计算： (1)-3y)4x2y-2xy): (2)ta+2)a+3+2a5÷a4; 【变式3】(25-26八年级上·全国单元测试)计算： 1)(x2y3)4+(-x)8.(-2y4)月 (2)(a+3)(a-2)-(a3+a2)÷a 题型12多项式乘法中的规律问题 【典例12】(25-26八年级上·山东临沂·月考)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之 为“杨辉三角”.这个三角形给出了(a+b)”(n=1,2,3,4,…)的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的 顺序)： 11(a+b)=a+b 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 121(a+b2=a2+2ab+b 1331（a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 14641（a+b)4=a+4ab+6a2b2+4ab3+b 请根据上述规律，则(x+1)202展开式中含x22项的系数是() A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 【变式1】(2025七年级上·广东广州·专题练习)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (α+b)”(n为自然数)展开式的各项的次数和系数规律，后人也将此称为“杨辉三角”.如图，请你仔细观 2024 察这两个规律， 写出x-2 展开式中的第二项」 (a+b)°=1 (a+b)'=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 4 6 【变式2】(25-26八年级上，安微合肥月考)观察下列各式： (x-1(x+1=x2-1, (x-1(x2+x+=x3-1, (x-1x3+x2+x+1=x4-1, 请根据你发现的规律完成下列各题， (1)(x-1x-1+…+x+1= (其中n为正整数)： (2)（-2)2025+(-2）2024+(-2)2023+…+(-2)+1= 【变式3】(25-26八年级上新疆和田·月考)探索题：（x-1)(x+1)=x2-1;（x-1(x2+x+1=x3-1; (x-1(x3+x2+x+1=x4-1;（x-1x4+x3+x2+x+1=x3-1… 根据前面的规律，回答下列问题： ()x-10(x+x-1+x-2++x23+x2+x+l= (2)已知x4+x3+x2+x+1=1,求x2025的值， (3)计算：25+24+29+…+22+2+1+1. 强化训练 一、单选题 8/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26七年级上·上海假期作业)下列算式计算结果为x2-x-12的是() A.x-3x+4B.（x+6)x-2 C.（x+3)(x-4) D.x-6)x+2 2.(25-26八年级上河南许昌月考)若(x+2)(x-3)=x2+mx+n,则m、n的值分别是() A.m=1,n=6 B.m=-1,n=-6 C.m=5,n=-6 D.m=-5,n=6 3.(25-26八年级上·全国单元测试)若x+y=1且y=-2,则式子1-x)1-y)的值等于() A.-2 B.0 C.1 D.2 4.(2025七年级上河北邯郸·专题练习)下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是() 3 A.x2+5x B.x(x+3)+6 C.3x+2)+x2 D.(x+3)(x+2)-2x 5.（25-26八年级上湖北襄阳·月考)（a+b)”(n为非负整数)当n=0,1,2,3,…时的展开情况如下所示： (a+b)°-1 (a+b)'=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 1 2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 1331 (a+b)4=a+4a%+6a2b2+4ab3+b4 14641 (a+b)5=a+5ab+10ab2+10a2b3+5ab4+b15101051 观察左边这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解 九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（α+b)”展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”.根 据图，你认为(a+b)展开式中所有项系数的和应该是() A.128 B.256 C.512 D.1024 二、填空题 6。(223七年级上海南省直密县级单位期末)空与号互为创数，则m1=一 7.(25-26八年级上·天津津南月考)计算2ab-3b)= 8.(24-25七年级下…重庆期中)若a2-3a-2=0,则a2(a-3)-(a+1(a-2)=一 9.(25-26八年级上天津蓟州月考)若代数式(x2+x)x2-2x+m)展开后不含2项，求m的值是 10.(24-25七年级下江苏常州月考)如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若a=2,b=5, 则图中阴影部分的面积为一 9/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B a D 图中阴影部分的面积为： C a b S格形AEDe-SAEB-S,BCD =-bla+a+b)--a _a(a+b) -ab+ib-1ab+1d-1q-1o 02ab+a2 2 b=5, .图中阴影部分的面积为： 25 故答案为： 25 2 三、解答题 11.(25-26八年级上西藏昌都期末)计算. (1)x-1)(x+2)-3(x-1 (2)-2a2)3ab2-5ab） 12.(25-26八年级上广东惠州月考)先化简，再求值：xx2+2x+1)-(x+2)(x-5),其中x=-5. 13.(25-26八年级上四川眉山期中)己知代数式A=x2+mx-3,B=2x+n. (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为-6，求m、n的值： (2)在(1)的条件下，求(m+n)(m2-mn+n2)的值 14.(25-26八年级上安徽合肥月考)如图，某校园内有一块长为3a+2bm,宽为2a+b)m的长方形活 动场地，计划在场地中间开辟一个长为2a-b)m,宽为bm的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影 部分将铺设塑胶跑道供学生活动. 10/11 专题1.2 整式的乘法 教学目标 1. 知识与技能：掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，能熟练进行整式乘法运算，理解整式乘法与幂的运算的关联。 2. 过程与方法：经历法则推导的探究过程，体会“转化”数学思想，提升运算准确性和逻辑推理能力。 3. 情感态度：在合作运算练习中增强自信心，养成认真审题、规范书写的习惯，感受整式乘法的实际应用价值。 教学重难点 1.重点 （1）理解并熟记单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的核心法则，明确各运算步骤的依据，掌握整式乘法的基本运算流程。 （2）能准确运用法则进行整式乘法计算，处理好运算中的符号、系数和同底数幂相乘问题，确保运算结果正确且格式规范。 2.难点 （1）多项式乘多项式运算中，准确把握每一项的相乘规律，避免漏乘、错乘，同时正确合并同类项，处理好复杂算式的运算顺序。 （2）整式乘法法则的灵活运用，能结合幂的运算进行混合运算，将实际问题转化为整式乘法模型并求解，突破符号易错点。 知识点01 单项式乘单项式 单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 【即学即练1】1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式乘以单项式，需将系数相乘，同底数幂相乘时，底数不变指数相加，据此写出答案即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．已知，则 ， ． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 知识点02 单项式乘多项式 单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 【即学即练2】1．计算： （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，通过分配律展开表达式，然后合并同类项即可简化． 【详解】解： 故选D 2．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式的计算，根据题意可得，则可求出，则，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点03 多项式乘多项式 多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 【即学即练3】1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式求得，再根据多项式相等的条件求出的值即可掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 比较一次项系数，得， 即， 故选：． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据多项式乘以多项式的法则进行展开，再合并同类项即可； （2）先计算同底数幂相乘、积的乘方和幂的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型01 计算单项式乘单项式 【典例1】（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的乘法运算，根据系数相乘、同底数幂相乘的法则计算即可． 【详解】解：， 故选A． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确把握单项式乘以单项式法则是解题关键．首先利用积的乘方进行化简，进而利用单项式乘以单项式法则求出即可． 【详解】解： 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·天津和平·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，原式根据单项式乘以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型02 利用单项式乘单项式求字母或代数式的值 【典例2】（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘单项式，找到关键信息：等式两边的同底数幂相等，且底数分别为和，需保证对应底数的指数相等；以及通过指数相等建立方程的等量关系思想． 根据单项式乘法法则将所给式子的左边化简，进而结合右边建立方程组，解方程组即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 【变式3】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 题型03 计算单项式乘多项式及求值 【典例3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式运算法则，是解题的关键．应用分配律将单项式与多项式相乘即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了单项式乘多项式，整体代入思想，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键． 将代数式 展开为 ，然后利用已知条件 代入计算即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴ ． 故答案为：10． 【变式3】（2025·山东菏泽·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，掌握整体代入的方法是解题的关键． 先把所给条件变形为，再将代数式计算乘法，合并同类项得，变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 题型04 单项式乘多项式的应用 【典例4】（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）一个长方形的长和宽分别是，则这个长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】解：∵面积=长×宽 ∴这个长方形的面积是 故选B． 【变式1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）下图是变压器中的L型硅钢片，其面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式的应用，将图形分割成两部分，然后列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母、、代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故答案为：． 题型05 利用单项式乘多项式求字母或代数式的值 【典例5】（24-25八年级上·河南周口·月考）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则展开式子，进而由展开式中不含项，得到项的系数为，据此解答即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则 ． 【答案】 【分析】根据整式乘法法则，计算乘积后，令所有项的系数为1，建立方程求解即可；本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 题型06 计算多项式乘多项式 【典例6】（25-26八年级上·四川眉山·期中）下列计算结果为是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式相乘的运算法则． 根据多项式相乘的运算法则逐项进行验证即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（22-23七年级下·湖南永州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法：前一个多项式的每一项与后一个多项式的每一项相乘，最后相加减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法的运算，根据分配律展开两个二项式的乘积，并合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河北·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式展开计算即可； 【详解】（1）； （2） ． 题型07 利用多项式乘多项式求字母或代数式的值 【典例7】（25-26八年级上·湖北荆门·月考）若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法运算：展开左边多项式，比较系数得出a和b的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴比较系数，得． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·月考）已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 【变式2】（2023·福建·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题的关键． 先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可． 【详解】， 由题意知，， 原式． 代数式的值为4． 故答案为：4． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)已知，则 ． (2)若，则 ． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，计算多项式乘多项式，型多项式乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先将待求式子展开，再整体代入求值； （2）先将已知式子中等号右边的式子展开，与左边比较后得出m，n的值，再代入待求式子求值． 【详解】（1）解：， 整理得①， 又②， 将①代入②可得， 故答案为∶． （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为∶． 题型08 已知多项式乘乘积不含某项求字母的值 【典例8】（25-26八年级上·内蒙古乌海·期中）若的结果中不含项，则的值为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据结果中不含项，得出，进而即可求解． 【详解】解： ∵结果中不含项， ∴ 解得． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·云南怒江·月考）将展开，若整理后不含x的二次项，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的乘法及合并同类项，解题的关键是根据特定项系数为零求解参数的值．将两个多项式相乘展开，合并同类项后，令项的系数为零，解出的值． 【详解】解：， ∵整理后不含x的二次项， ∴，解得， 故选C． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式中的无关型问题，代数求值，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 先展开两个多项式的乘积，根据不含二次项和常数项的条件列出方程，求解和的值，再计算． 【详解】解：， ∵乘积中不含的二次项，且常数项为， ∴且， 解得, ， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期中）若展开后不含和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算不含某项求参数，熟记多项式乘以多项式运算法则是解决问题的关键． 先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，再由展开后不含和项，列方程组求解即可得到答案． 【详解】解： 展开后不含和项， ， 解得． 题型09 多项式乘多项式--化简求值 【典例9】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）先化简后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先将题目中的式子化简，然后将的值代入化简后的式子计算即可，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·广东惠州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握单项式乘多项式法则和合并同类项法则．先根据提取公因式，再合并同类项即可化简原式，继而将的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】（24-25七年级下·广西梧州·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算中的化简求值，掌握“多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】 ， ∵ ∴原式． 【变式3】（25-26八年级上·山东德州·月考）化简求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，合并同类项，先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式运算法则分别计算，然后合并同类项进行化简，最后把，代入计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 题型10 多项式乘多项式与图形的面积 【典例10】（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形面积的计算及代数式的应用，先分别求出长和宽变化后的长度，再根据长方形面积公式计算扩大后的草坪面积． 【详解】解：原来长方形草坪长为，加长了，则扩大后草坪的长为， 原来长方形草坪宽为，加宽了，则扩大后草坪的宽为， ∴扩大后的草坪面积为， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·天津滨海新·月考）通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a宽是x的长方形的面积减去长是b宽是x的长方形的面积加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为：， 图2中，阴影部分的面积为： 大长方形的面积减去长是a宽是x的长方形的面积减去长是b宽是x的长方形的面积加上边长是x的正方形的面积， ∴图2中阴影部分的面积为：， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·月考）计算图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，阴影部分的面积等于一个长为，宽为的长方形面积减去一个长为，宽为的长方形面积，据此列式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图， 长方形可以分为四个部分，根据图中的相关标示，完成下面的问题： (1)部分的周长是_______； (2)长方形的周长用代数式可表示为_______； (3)长方形的面积用代数式可表示为_______； (4)若 求长方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查长方形的面积计算，关键是掌握长方形的面积计算公式及整式的混合运算法则； （）先从图中确定是长为、宽为的长方形，再直接套用长方形周长公式(长宽)计算即可； （）先根据图中的分段标识，确定长方形的长为、宽为，再代入长方形周长公式，通过整式的加减运算化简得到周长的代数式； （）利用长方形面积公式长宽，通过多项式乘多项式的运算法则展开并整理，得到面积的代数式； （）把代入第()题得到的面积代数式中，按照分数的乘方、乘法和加法运算法则逐步计算，得出最终的面积值． 【详解】（1）解：由图可知，是长为、宽为的长方形， ∴的周长为； 故答案为：； （2）解：∵长方形的长为、宽为， ∴， 故答案为：； （3）解：∵长方形面积公式长宽， ∴； 故答案为：； （4）解：长方形的面积： ． 题型11 多项式乘法的混合运算 【典例11】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法计算．根据题意利用多项式得乘法将式子分别乘开，再合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方、单项式乘单项式以及合并同类项的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，然后合并同类项（本题无同类项合并，但格式上需明确运算步骤）． （2）根据多项式乘多项式法则以及同底数幂的除法法则分别计算乘法与除法部分，再将所得结果相加． 本题主要考查了整式的乘法运算，包括单项式乘多项式、多项式乘多项式以及同底数幂的除法．熟练掌握乘法分配律以及同底数幂的除法法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式的运算法则求解，再合并同类项即可求解； （2）先利用多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则求解，再合并同类项求解即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ． 题型12 多项式乘法中的规律问题 【典例12】（25-26八年级上·山东临沂·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 11     121     1331     14641     请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法中规律探究，根据杨辉三角的规律， 展开式的第二项系数为 ，因此 展开式中含 的项是第二项，系数为 ． 【详解】解：由杨辉三角规律可得 展开式的第二项系数为 ， ∴ 展开式中含 的项是第二项，系数为 ． 故选：C． 【变式1】（2025七年级上·广东广州·专题练习）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为自然数）展开式的各项的次数和系数规律，后人也将此称为“杨辉三角”．如图，请你仔细观察这两个规律，写出展开式中的第二项 ． 【答案】 【分析】本题考查整式规律题，正确发现规律是解题的关键． 根据观察所给的两个规律发现，的第二项展开式为，据此解答即可． 【详解】解：根据观察所给的两个规律发现，的第二项展开式为， 则展开式的第二项为， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）观察下列各式： ， …… 请根据你发现的规律完成下列各题． （1） （其中为正整数）； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）观察所给式子的规律，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，直接写出结果； （2）利用第（1）问的规律公式计算． 【详解】解：（1）根据已知规律，， 故答案为：； （2）由已知规律，可得： ， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·新疆和田·月考）探索题：；；；… 根据前面的规律，回答下列问题： (1)______． (2)已知，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2) 0或 (3) 65536 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究及应用，解题的关键是通过已知等式总结出与多项式相乘的规律，并利用规律解题． （1）观察已知等式，总结出与到的和相乘的结果规律； （2）利用规律将与相乘，结合已知条件求出的值，再计算的值即可； （3）利用规律先计算，再加上即可． 【详解】（1）解：由已知规律可得． 故答案为：． （2）解：由规律得： ， ，即， 解得：或， 当时，则，与题干矛盾， 当或时，则，符号题意， 或． （3）解：由规律得：， ． 则原式． 一、单选题 1．（25-26七年级上·上海·假期作业）下列算式计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法，利用多项式乘以多项式法则计算各选项，即可得出结论． 【详解】解：A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南许昌·月考）若，则m、n的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法：通过展开左边多项式并比较系数，求出m和n的值． 【详解】解：∵， 又∵， 比较系数得：． 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式化简求值，先将式子 展开，再把已知条件代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴原式， 故选：． 4．（2025七年级上·河北邯郸·专题练习）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法与阴影面积问题． 求出图中阴影部分的面积，逐一判断即可． 【详解】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：， A．； B．； C．； D．； 故选A． 5．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）（为非负整数）当时的展开情况如下所示： 观察左边这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，杨辉三角的有关知识，由特殊情况，可以总结出一般规律． 【详解】解：当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 故选：B． 二、填空题 6．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期末）与互为倒数，则= ． 【答案】6 【分析】本题考查了倒数的性质，互为倒数的两数乘积为，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴ 故答案为：． 7．（25-26八年级上·天津津南·月考）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则，是解题的关键．根据单项式的乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）若，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若代数式展开后不含项，求的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘多项式，将多项式展开后，合并同类项，令项的系数为零，解方程求． 【详解】解：： ， 展开后不含项， ， 解得， 故答案为：2． 10．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，熟练掌握计算公式是解题的关键；图中阴影部分的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可得答案． 【详解】解：去掉，补上，则剩余部分为一个直角梯形， 图中阴影部分的面积为： ∵， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为： 三、解答题 11．（25-26八年级上·西藏昌都·期末）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项，即可作答． （2）根据单项式乘多项式的运算法则展开，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级上·广东惠州·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 13．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 14．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】(1) (2)20130元 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式即可求解； （2）代入的值求出铺设塑胶跑道区域的面积，再乘以110元，即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 答：铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积为； （2）解：当，时， ， （元）． 答：铺设塑胶跑道共需20130元． 15．（25-26八年级上·山东临沂·月考）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如． (1)请你写出和的展开式： (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期______． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； 【答案】(1)； (2)三 (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，是解决问题的关键． （1）由题中所给杨辉三角形，由各项系数的有关规律即可得到和的展开式； （2）由（1）可得的展开式，则，从而得到除以7余1，即可得到答案； （3）由题中令，则，从而令，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：由杨辉三角规律，可得： ；； （2）解：同（1）可得， ∴ ， ∴除以7余1， ∵今天是星期二， 再过天是星期三； （3）解：由题意可知，令，则， 令，则， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $