专题1.1 幂的运算（3大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

本讲义聚焦幂的运算核心知识点，系统梳理同底数幂乘法（a^m·a^n=a^(m+n)）、幂的乘方（(a^m)^n=a^(mn)）、积的乘方（(ab)^n=a^n b^n）法则，构建从法则推导（特殊到一般）到正用逆用的完整学习支架。 资料以“知识点+即学即练+题型分类”为设计特色，通过典例（如比较2^100与3^75大小）和变式训练，培养学生推理能力（特殊—一般—特殊）与运算能力（复杂算式法则选择），课中助教师分层教学，课后练习题覆盖基础到综合，有效帮学生查漏补缺。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.1幂的运算 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点同底数幂相乘 知识点2幂的乘方 知识清单 知识点3积的乘方 题型1同底数幂的乘法及其逆用 幂的运算 题型2夏的乘方及其逆用 题型3积的乘方及其逆用 题型4利用幂的运算比较大小 题型精讲 题型5利用厚的运算求字母或代数式的值 题型6利用幂的运算求幂的值 题型7利用厚的运算确定字母之间的关系 强化训训练 教学目标、教学重难点 1.知识与技能：理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，能用代数式 和文字语言准确表述，能熟练运用法则进行正整数幂的运算。 2.过程与方法：经历法则的探索过程，掌握“特殊一一般一特殊”的推理方法，提升 教学目标 观察、猜想、归纳和推理能力。 3.情感态度：感受数学思想的魅力，通过合作探究激发学习热情，体验成功的喜悦， 培养严谨的运算习惯。 1.重点 (l)掌握同底数幂的乘法(am·an=a+n)、幂的乘方(am)n=amn)、积的乘方((ab) 教学重难点 =α%”)的核心法则，理解法则的本质内涵。 (2能运用运算法则解决基础运算问题，准确处理运算中的底数统一和符号问题，为整 式乘法奠定基础。 1/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.难点 (1)区分幂的乘方与积的乘方法则的适用场景，避免混淆运算逻辑，尤其在复杂算式 中难以准确选择对应法则 (2)法则的灵活运用与逆用，包括多个同底数幂相乘、底数互为相反数的幂运算，以 及结合实际问题抽象出幂的运算模型并求解。 知识清单 知识点01同底数幂相乘 同底数幂的乘法 (1)同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. am…a=a+n(m,n是正整数) (2)推广：ama”aP=a+p(m,n,p都是正整数) 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，(x-y)2与(x-y)3等；②a可 以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加， (3)概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在运用时要抓住 “同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂。 【即学即练1】1.(25-26八年级上四川凉山月考)计算(-x2-x）的结果是() A.-x B.x C.-x6 D.x5 2.(24-25七年级下陕西咸阳期末)若a"=4,am+"=64,则a"的值为_ 知识点02幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘. (am)n=amn(m,n是正整数) 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这 里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别. 【即学即练2】1.(25-26八年级上贵州毕节·月考)己知a=24,b=27,c=9,则a,b,c的大小关 系是() A.a>b>c B.b>c>a C.a<b<c D.b<c<a 2.(2025七年级下全国专题练习)若2,2=5，则22+2+= 知识点03积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 (ab)n=a%n(n是正整数) 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 算出最后的结果。 【即学即练3】1.(25-26七年级上·上海期中)下列计算正确的() A.x2+x2=x5B.（-a)÷-a3=aC.(2x2)'=6x D.（-y}2=y 2.(23-24八年级上重庆永川期中)计算：①(-2x2)= ②(-0.25)2022×42023= 题型精讲 题型01同底数的乘法及其逆用 【典例1】(25-26八年级上山西·月考)计算a2.a的结果为() A.as B.2d C.a2 D.2a5 【变式1】(25-26八年级上·河南洛阳·月考)己知3=2,3=5，则3+y=() A.7 B.8 C.9 D.10 【变式2】(25-26八年级上福建泉州月考)计算：a3a4=- 【变式3】(25-26八年级上：内蒙古鄂尔多斯期中)若10=5,10'=2，则10+y= 题型02幂的乘法及其逆用 【典例2】(24-25七年级下·全国课后作业)下列各式中，计算结果不是x8的是() A.(x2)16 B.(x2)9 C.(x3) D.x.x 【变式1】(25-26八年级上·甘肃天水期末)己知x3=m,x3=n,则x“用含m、的式子可表示为() A.3mn B.m3+n C.m'n D.(mn)3 【变式2】(25-26八年级上·安徽阜阳·月考)若a3=2,则(a2)°= 【变式3】(24-25七年级下·全国·课后作业)已知(am)”=5,则(a”)m=」 题型03积的乘方及其逆用 【典例3】(25-26八年级上陕西延安·月考)化简(-3x),2x=（) A.-18x3 B.-12x C.18x2 D.12x 【变式1】(25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考)下列整式运算正确的是() A.3a+2b=5ab B.a2.a3=a c.(-abj2=ab2】 .a2b3÷a=a3 202 【变式2】(23-24七年级下·湖南邵阳·期中)计算： ×82024= 【变式3】(25-26八年级上：福建厦门期中)若a"=a”(a>0且a≠1，m、n是正整数)，则m=n,利用 上面的结论解决下面的问题： (1)如果3×9×27=326，求x的值； 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)已知m=63,n=54,用含m,n的式子表示3036. 题型04利用幂的运算比较大小 【典例4】(24-25八年级上·江苏连云港·月考)电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位，其中 1GB=21MB,1MB=2KB,1KB=20B.某视频文件的大小约为IGB,1GB等于() A.80B B.230B C.8×10B D.2×100B 【变式1】(25-26八年级上山东临沂·月考)已知a=2,b=34,c=533,那么a,b,c的大小顺序是() A.a<c<bB.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 【变式2】(25-26八年级上湖南郴州期中)比较大小：5225.（填“>”或“=”或“<”) 【变式3】(23-24八年级上·辽宁大连·期末)“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题， 七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大”进而得 出“正数大于零大于一切负数”.本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两个代数式作差和0 比较或者作商和1比较.更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了大小比较，例如：比 较22和3的大小。 我们是这么做的：22=(22”=4，：4>3：4">3：22>31”问题得以解决，请同学们完成下面3个小 题： (1)试比较28和8的大小： (2)若a3=2,b=3,试比较a,b的大小： (3)若a>0,b>0且a≠b,试比较a3+b与ab+ab2的大小. 题型05利用幂的运算求字母或代数式的值 【典例5】(24-25七年级下.全国课后作业)若ab2=-2,则-b2.(2a3b)2的值为（) A.-16 B.-8 C.-4 D.8 【变式1】(2025七年级下全国专题练习)若xm=2,y=3,则(x2my")= 【变式2】(24-25八年级上四川巴中.月考)已知3”=4,3”=10，则32m+3”=， 【变式3】(25-26八年级上湖北期中)求值： (1)已知2+3x3+3=36+,求x的值； (2)已知n是正整数，且x3m=2,求(3x3m)3+(-2x2")3的值. 题型06利用幂的运算求幂的值 【典例6】(2025八年级上·全国专题练习)明朝徐光启在翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释 幂.若(-2a2)=-8a,则k的值是() A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1】(25-26八年级上·河南南阳·月考)若3+1.5*1=1524，则x= 【变式2】(25-26七年级上河南郑州期中)已知2=100,5=100，则*+的值为一 y 4/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(23-24八年级上重庆万州月考)尝试解决下列有关幂的问题： (1)若3×27m÷9m=36,求m的值； (2)若2=a2=4,求a+b值； (3)若n为正整数，且x2m=4,求(3x3)2-4x2)2"的值. 题型07利用幂的运算确定字母之间的关系 【典例7】(24-25七年级下·甘肃张掖·月考)已知2=5,2=10,2=50，那么a、b、c之间满足的等量 关系是() A.a+b=c B.ab=c C.a-b=c D.不能确定 【变式1】(24-25七年级下·安徽安庆期末)已知3=4,3”=25,3=10，则x、y、z三者之间关系正确 的是() A.xy=2z B.xy=22 C.x+y=z2 D.x+y=2z 【变式2】(24-25七年级下·陕西西安·期中)已知2=3,2=5,2=45，那么a、b、c之间满足的等量关系 是 【变式3】(25-26八年级上北京朝阳期中)如果a°=b,那么我们规定a,b)=c,例如：因为23=8，所以 2,8=3. (1)根据上述规定填空：（-2，-8)=，(3,81)= (2)记3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.判断a、b、c之间的等量关系，并说明理由. 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上·天津·月考)若3=a,3=b,则32+y等于（) A.-ab B.a'b C.2ab D.a2+b 2.(25-26八年级上全国·期末)计算(-2a2b的结果是() A.-8ab3 B.8a'b C.-6ab D.6a'b 3.(25-26九年级上·湖南长沙·月考)下列运算正确的是() A.(ab)2=ab2 B.as+a=a c.(a2）=a D.2ab3.3a=6a'b3 4.(25-26八年级上：广东江门月考)若3x+4y-3=0,则8.16的值为(). A B.1 C.8 D.64 5.(25-26八年级上·河南新乡·月考)在比较3和40的大小时，老师给出了如下的方法： 3500=35100=(35)10=243100；440=4410=(44)00=2560.243100<25600，.350<440. 请你根据上面所提供的信息，判断34和25的大小关系为() 5/7 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.34<25 B.34>255 C.34=255 D.无法比较 二、填空题 5.(24-25七年级下.全国·课后作业)计算： 6.(23-24八年级上云南红河期末)计算：5x-3x)'= 7.(25-26八年级上·甘肃天水期末)已知am=4,a”=3,则a2m+"=_ 8.(25-26八年级上四川宜宾·期中)若3+2.7+2=212a-4,则a= 10.（24-25七年级下·全国·课后作业)计算(-4×10)2×(-2×103)3的结果为 三、解答题 11.(25-26八年级上·天津南开·月考)计算： (-3a2b)(-a2cy° (2)m+2)(2m-3) 12.(25-26八年级上山东临沂期中)计算： f (2-2x2+-3x2）-x2x4 13.(25-26七年级上广东深圳月考)(1)已知a=3,aa'=12,则求a+a的值； (2)若80=2,8=3，求830+2b的值 14.（25-26八年级上广东东莞期中)阅读下列各式：（y)=x2y2,（xy)°=x3y,（xy)4=xy4… (①)根据积的乘方得出规律：（xy)”=一，(z)”=; (②)应用规律： ①填空：5100×0.2100= ②计算：82023×-0.25)204×0.52025 15.(吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学)逆向思维的重要性在于它能 够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义，在数学领域中， 逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题.我们知道，一般的数学公式、 法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用.对于“同底数幂的乘法“幂的乘方“积的乘方”这几个法则的逆 向运用表现为am*"=a”·a”,amm=(a")”=(a")",am.bm=(ab)”(m,n都是正整数).请你运用这个思路 和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：(2ab2)3.2ab2= 6/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)32×36=33×3),34=()”,2×36=()°. (3)己知a+3b-6=0,求2“×8的值. (4)已知a=25,b=34,c=533,请把a,b,C用“<”连接起来： 7/7 专题1.1 幂的运算 教学目标 1. 知识与技能：理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，能用代数式和文字语言准确表述，能熟练运用法则进行正整数幂的运算。 2. 过程与方法：经历法则的探索过程，掌握“特殊—一般—特殊”的推理方法，提升观察、猜想、归纳和推理能力。 3. 情感态度：感受数学思想的魅力，通过合作探究激发学习热情，体验成功的喜悦，培养严谨的运算习惯。 教学重难点 1.重点 （1）掌握同底数幂的乘法（am•an＝am+n）、幂的乘方（（am）n＝amn）、积的乘方（(（ab）n＝anbn）的核心法则，理解法则的本质内涵。 （2能运用运算法则解决基础运算问题，准确处理运算中的底数统一和符号问题，为整式乘法奠定基础。 2.难点 （1）区分幂的乘方与积的乘方法则的适用场景，避免混淆运算逻辑，尤其在复杂算式中难以准确选择对应法则。 （2）法则的灵活运用与逆用，包括多个同底数幂相乘、底数互为相反数的幂运算，以及结合实际问题抽象出幂的运算模型并求解。 知识点01 同底数幂相乘 同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 【即学即练1】1．（25-26八年级上·四川凉山·月考）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂相乘，底数不变指数相加．直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 根据指数运算法则，将分解为，再代入已知数值求解即可． 【详解】由题意得，， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：16． 知识点02 幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 【即学即练2】1．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及幂的大小比较，熟练掌握“将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过指数（或底数）比较大小”是解题的关键．将、转化为同底数幂的形式，再通过比较幂的底数和指数大小，确定、、的关系． 【详解】解：∵ ，，，底数，指数均为14 ∴ ，即 ∵ 底数均为3，指数， ∴ ，即， ∴ 故选：. 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法法则，掌握幂的乘方、同底数幂的乘法是解题的关键． 利用指数法则将所求表达式用已知量表示并计算． 【详解】解：由，得； 由，得， 所以． 故答案为 ：． 知识点03 积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 【即学即练3】1．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、和 不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·重庆永川·期中）计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键．对于，应用积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可；对于，利用积的乘方运算的逆用进行运算即可． 【详解】解： ； ． 故答案为：；． 题型01 同底数的乘法及其逆用 【典例1】（25-26八年级上·山西·月考）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键．依据同底数幂的乘法法则计算，得出结果后匹配选项． 【详解】解：． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·月考）已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂相乘的逆用，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，利用这一法则计算即可． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ ． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）若，，则 ； 【答案】10 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用． 逆用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：． 故答案为：10． 题型02 幂的乘法及其逆用 【典例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数运算法则，需熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘的法则． 通过指数运算法则计算各选项，找出结果不为的项． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）已知，则用含、的式子可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法逆用，利用已知条件，将分解为 ，再应用指数法则转化为含和的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了幂的乘方和幂的乘方的逆运算，根据可得，而，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【答案】 5 25 【分析】本题考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘这一法则是解题的关键． 根据指数运算规则，由已知条件 推导出 ，进而求解 和 ． 【详解】解：∵ ， ∴， 且 ． 故答案为 ：，． 题型03 积的乘方及其逆用 【典例3】（25-26八年级上·陕西延安·月考）化简（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘以单项式运算，熟记整式相关运算法则是解决问题的关键． 先由积的乘方运算法则计算平方部分，再与剩余部分相乘，利用单项式乘以单项式运算法则计算即可得到答案，在运算过程中注意符号处理． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）下列整式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式运算的法则，包括合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方等，需逐一验证各选项是否符合初中数学教材中的运算法则． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误，不符合题意； B、，∴B错误，不符合题意； C、，∴C正确，符合题意； D、，∴D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了积的乘方逆运算．利用积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：1 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 题型04 利用幂的运算比较大小 【典例4】（24-25八年级上·江苏连云港·月考）电子文件的大小常用等作为单位，其中．某视频文件的大小约为，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．根据题意及幂的运算法则即可求解． 【详解】解：依题意得 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·月考）已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较底数大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）比较大小： ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较幂的大小，熟记幂的乘方运算的逆运算是解决问题的关键． 通过幂的乘方的逆运算，将两个幂化为同指数形式，比较底数大小即可判断． 【详解】解：，， 根据指数相同时，由底数大小确定幂的大小，可知当时，， 即 ， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题．七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大”进而得出“正数大于零大于一切负数”．本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两个代数式作差和0比较或者作商和1比较．更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了大小比较，例如：比较和的大小． 我们是这么做的“∵，∵∴∴”问题得以解决，请同学们完成下面3个小题： (1)试比较和的大小； (2)若，，试比较a，b的大小； (3)若，且，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键． （1）可以将指数都化为2再进行比较； （2）可以将指数都化为15再进行比较． （3）根据整式的混合运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）解： ∵，， ∴ ∴ 题型05 利用幂的运算求字母或代数式的值 【典例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，整体思想，正确计算是解题的关键． 先利用积的乘方，单项式乘单项式法则简化表达式后，再利用整体思想将已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵ , 又 ∵ , ∴ , ∴ . 故选：A． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方的性质，熟记性质并转化成已知条件的形式是解题的关键． 利用已知条件 和 ，通过指数法则化简表达式 ，逐步计算得到结果。 【详解】解：由 ，得 ； 由 ，得 ； 因此，； 则 ． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·四川巴中·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及同底数幂的乘法运算的逆运算、幂的乘方的逆运算等知识． 先由同底数幂的乘法运算的逆运算、幂的乘方的逆运算将恒等变形为，再将代入计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得； （2）解：， ， 原式． 题型06 利用幂的运算求幂的值 【典例6】（2025八年级上·全国·专题练习）明朝徐光启在翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释幂．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方的逆运算，根据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·月考）若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方的逆运算，解一元一次方程， 将方程左边利用积的乘方的逆运算法则化为同底数幂的形式，再根据底数相同指数相等列方程求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和同底数幂的乘法运算，根据，，得到，进而得到，推出，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·重庆万州·月考）尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求m的值； (2)若，求值； (3)若为正整数，且，求的值． 【答案】(1)15 (2)11或 (3)512 【分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘、除法法则，幂的乘方进行计算即可； （2）根据幂的乘法法则进行计算即可； （3）根据幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴或； （3）解：∵， ∴ ． 题型07 利用幂的运算确定字母之间的关系 【典例7】（24-25七年级下·甘肃张掖·月考）已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到a、b、c之间的关系． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知，，，则x、y、z三者之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知，那么之间满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，根据幂的乘方计算法则得到，再由题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：_____，_____； (2)记，，．判断、、之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)3，4 (2)，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算和同底数幂的乘法运算； （1）直接利用有理数乘方运算法则计算得出答案； （2）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：∵， ； ， ． 故答案为：3，4； （2）解：，理由如下， ∵， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·天津·月考）若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方的逆运算，整理得，再把，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期末）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算． 根据积的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、单项式的乘法、幂的乘方和积的乘方，准确的计算是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法、单项式的乘法、幂的乘方和积的乘方逐项计算即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意； 故选D． 4．（25-26八年级上·广东江门·月考）若，则的值为（   ）． A． B．1 C．8 D．64 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的运算，幂的乘方，代数式求值，掌握幂运算的运算法则是解题关键． 将 转化为以 2 为底的指数形式，利用已知条件进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·河南新乡·月考）在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：；．，． 请你根据上面所提供的信息，判断和的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用，将不同指数的幂转化为相同指数的幂，再通过比较底数大小判断幂的大小是解题的关键． 仿照题干中的方法，将指数化为相同后比较底数即可． 【详解】解：∵ ，， 又 ∵ ， ∴ ，即 ． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 观察指数相同，利用幂的运算性质将原式化为积的乘方形式，计算底数乘积后得到的偶数次幂，结果为． 【详解】解：原式= = = 1， 故答案为：1． 6．（23-24八年级上·云南红河·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法． 先计算积的乘方，同底数幂的乘法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）已知，，则 ． 【答案】 48 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用， 幂的乘方的逆用． 将分解为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：48． 8．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）若，则 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程两边化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ， 解得：． 故答案为：6． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法的整理，掌握积的乘方、幂的乘方的运算法则是解题的关键． 应用积的乘方法则和幂的乘方法则分别计算两个部分的幂，再根据有理数乘法法则计算乘积． 【详解】解：计算：根据积的乘方法则得：， 计算：同理，， 计算乘积：， 写成科学计数法：， 故答案为： ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·天津南开·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 对于（1），先根据积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算； 对于（2），根据多项式乘以多项式法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·山东临沂·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算进行计算即可； （2）先根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则将各项化简，在合并即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 13．（25-26七年级上·广东深圳·月考）（1）已知，，则求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）72 【分析】本题考查求代数式的值，以及同底数幂的乘方、乘法计算，熟练掌握对应公式是解题的关键． （1）将代入，可求得的值，最后求出的值； （2）由变形成，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； 解：（2）∵， ∵，， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·广东东莞·期中）阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 15．（吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学）逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 【答案】(1) (2)5，81，6 (3)64 (4) 【分析】本题主要考查的幂的运算法则的逆向运用，解题关键是正确运用公式，将所求的式子变形． （1）把看作一个整体，先用同底数幂的运算法则，在运用积的乘方法则计算即可； （2）依次用同底数幂的运算法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，计算即可； （3）由，得，根据，即可求解； （4）先变形，，，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ， ． 故答案为：5，81，6． （3）解：， ． ． （4）解：， ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $