第1章 整式的乘法（高效培优单元测试·强化卷）数学新教材湘教版七年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章整式的乘法（高效培优单元测试·强化卷) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.计算(a+1)2的结果是() A.a2+2a+1B.a2+1 C.a2-2a+1 D.a2-1 2.已知32m+2=81,则的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 3.若2m-n=2,2m+n=3,则4m2-n2的值为（) A.-6 B.6 C.-18 D.18 4.为了应用平方差公式计算a+b-c(a-b+c,下列变形正确的是() A.a2-(b+c2 B.(a+b)2-c2 C.(a-b2-c2 D.a2-(b-c2 5.设P=(x-1)(x-4),Q=(x-2)(x-3),则P与0的关系为() A.P>O B.P<O C. D.无法确定 6.己知(x+3)(x+m=x2+nx-24,则m-n的值为() A.-3 B.3 C.-13 D.13 7.若关于x的多项式x-m与x+3的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为() A.-3 B.0 C.2 D.3 8.下列运算正确的是() A.x2+x2=2x B.(a')-a' C.3x+2y=5xy D.a'.a2=a 9.如图，大正方形ABCH与小正方形EBDY的面积之差是48，连接AC,AD,ED,CE,点A,E,B 在同一条直线上，点C,B,D在同一条直线上，则阴影部分的面积是() 1/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.12 B.18 C.24 D.30 10.我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式 中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”.请你利用杨辉三角，计算（α+b)的展开式中，含 b项的系数是() (a+b)°= 1…………… (a+b)'= a+b…11 (a+b)2= a2+2ab+b2…121 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…1331 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.…14641 A.15 B.10 C.9 D.6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.计算：（-2a2）(-b2)°=一 12.己知am=7,a”=4,则a2m+"= 13.已知x-y=2,y=a+3,x2+y2=34,则a的值__ 14.计算(2x+3y)(2x-3y)=· 15.如图，点B,E,C在同一条直线上，正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a,b,且 a2-b2=10,则阴影部分面积为 F B E C 16.如图1是一个长为4a,宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长 方形拼成如图2的正方形. 2/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 b f a a aa a b a 图1 图2 (1)图2中的阴影正方形边长为（用含a,b的式子表示） (2)由图2可以直接写出(a+b)2,(b-a2,ab之间的一个等量关系是 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.已知3=6,3=2计算： (1)3x+y; (2)33. 18.先化简，再求值：x+3)x-3+x1-x,其中x=-2. 19.计算： (1)(2x2)3-x2.x4 (2)(x+2y)(x-3y) 20.小区绿化是一个集生态、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合性系统工程，是衡量一个社区品 质和宜居程度的重要标尺.如图，在小区内有一块长为(4a+b)米，宽为(a+b)米的长方形地块，现将阴影 部分进行绿化，中间预留部分是边长为(a-b)米的正方形区域. 4a+b a+b a-b (1)计算：1.442+1.44×0.56= (②)求绿化的面积S;(用含α，b的式子表示，并化简) (3)若a=5.5,b=0.5,绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？ 21.探究规律： 观察下列等式： 第1个等式：(x-1)(x+1=x2-1 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2个等式：(x-1)(x2+x+1=x3-1 第3个等式：(x-1)x3+x2+x+1=x4-1 (1)写出第4个等式：（x-1)(x4+x3+x2+x+1=; (2)根据上述规律，猜想：（x-1)(x”+x-+.+x+1=(n为正整数)； (3)利用（2)中的猜想，计算：22025+22024+四2+1. 22.定义：一个多项式A乘另一个多项式B,化简得到新的多项式C.若C的项数比A多不超过1项，则称 B是A的“友好多项式”.特别地，当C的项数和A相同时，则称B是A的特别友好多项式”. (I)若A=x-2,B=x+3,则B是不是A的“友好多项式”？请说明理由， (2)若A=x-2,B是A的“特别友好多项式” ①请写出一个符合条件的二项式：B= ②若B是三项式，请写出一个符合条件的B,并说明理由. 23.通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式. a b 图① 图② (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的 两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式· 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想（) A.数形结合思想B.分类讨论思想C.类比思想D.转化思想 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 (2)若xy=4,x+y=6,则x2+y2= 【类比应用】 (3)若(2024-x)2+x-2023=2025,求2(2024-x)x-2023的值： 4/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识迁移】 (4)如图②，在线段CE上取一点D,分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG,连接BG、CG、EG.若 阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为_， 24.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例.如果将(a+b)”(n为非负整数) 的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： (a+b)°=1，它只有一项，系数为1； (a+b)=a+b,它有两项，系数分别为1,1； (a+b)=a2+2ab+b2,它有三项，系数分别为1,2,1： (a+b)3=a3+3ab+3ab2+b3,它有四项，系数分别为1,3,3,1； 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： …(a+b0 …(a+b) …(a+b …(a+b)3 (1)计算：(a+b)°= ·(a+b≠0) (2)若((a+b)=a4+ma3b+na2b2+4ab3+b4(m,n是常数)，则n= I= (3)若(a+b)°=a3+xa4b+10a3b2+ya2b3+5ab4+b5(x,y是常数)，则x= (4)如果把(a+b)'的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是 (⑤)直接写出式子5-5×74×5+10×73×52+10×72×(-125)+5×7×(-5)4-5的值. 25.对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方 向来思考这个问题 ()小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长 方形的面积：5×5=25,6×4=24,7×3=21,8×2=16,9×1=9. 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足 关系时，长方形的面积最大.请你利用所学的数学 知识帮助小华解释上面发现的结论. 5/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x,则相邻一边的长是(10-x). ①当0<x<5时，将原长方形沿直线1剪成长方形A和长方形B(如图1、图2)，再将长方形B割补到长方 形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为5-x, 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x(10-x),25, (5-x)满足的等量关系为 X 0-X 图1 图2 图3 ②当5<x<10时，进行类似上述过程的割补（图4图6，由图，可得出的等量关系为 -x 10-x -x 图4 图5 图6 ③当x=5时，该长方形即为正方形，其面积为25. 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是 (3)当-4<x<10时，仿照(2)中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式 -102r+2的最小值。 6/6 第一章 整式的乘法（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，牢记并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的性质．， 根据已知可得，即可得的值． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 故选：B． 3．若，，则的值为（   ） A． B．6 C． D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，利用平方差公式将所求代数式分解为已知条件的乘积形式，然后代入计算． 【详解】解：∵ 又∵，， ∴ 故选B． 4．为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式：，熟记公式结构是解题的关键． 将原式变形为，从而应用平方差公式． 【详解】解： ， 故选D． 5．设，则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的乘法运算与代数式的大小比较，解题关键是通过展开多项式并作差来比较 P 与 Q 的大小． 通过展开 P 和 Q 的表达式，计算 P − Q 的值，根据差值判断大小关系即可． 【详解】， ， ， ． 故选B． 6．已知，则的值为 （    ） A． B．3 C． D．13 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法，求代数式的值，掌握乘法法则是关键；通过展开左边多项式，并比较等式两边对应项的系数，得到关于m和n的方程，求解后计算． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴对应系数相等， 即，， 由得：， 代入，得， ∴． 故选：A． 7．若关于x的多项式与的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式的法则，可表示为，根据乘积中不含x的一次项计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， ∵与的乘积中不含x的一次项， 故选：D． 8．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则． 利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂相乘，逐一判断即可． 【详解】解：A．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．无法合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 9．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，连接，，，，点A，E，B在同一条直线上，点C，B，D在同一条直线上，则阴影部分的面积是（  ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，设，，则，，再利用三角形面积公式分别用代数式表示两个阴影三角形的面积和，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：设，，则，， 所以 ． 故选：C． 10．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二项式的乘方展开式中的系数规律，由特殊到一般的探究发现是解题的关键．根据题目中给定系数的排列发现，每一个数等于上方两个数的和，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两个数的和， 的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1， 的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1， 又的指数从左向右逐渐变小，的指数由左向右逐渐变大， 的展开式中，含项的系数是6． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则． 根据幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解： 故答案为：． 12．已知，则 ： 【答案】 196 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键；根据指数运算法则，将分解为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：由已知，，则， 所以． 故答案为196． 13．已知，，，则的值 ． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．根据，然后将代入求解即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用． 直接根据平方差公式计算即可． 【详解】原式 ． 故答案为：． 15．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 16．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． （1）图2中的阴影正方形边长为 （用含的式子表示） （2）由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形结合完全平方公式得到对应的结论，并能进行相关的应用． （1）由题意可得此题结果是； （2）由图2面积的不同表示方法可得； 【详解】解：（1）由图2可得，阴影正方形边长为， （2）由图2面积的不同表示可得：， 故答案为：；； 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)216 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握计算公式． （1）根据逆用同底数幂的乘法得到，再代入即可求解； （2）根据逆用幂的乘方得到，再代入即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，利用平方差公式，单项式乘以多项式的法则，进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式； 当时， 原式． 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式运算，重点考查幂的运算相关法则和多项式与多项式相乘的运算法则． （）先根据积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项得到结果； （）运用多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化简． 【详解】（1） ． （2） ． 20．小区绿化是一个集生态、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合性系统工程，是衡量一个社区品质和宜居程度的重要标尺．如图，在小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，现将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形区域． (1)计算：______； (2)求绿化的面积S；（用含a，b的式子表示，并化简） (3)若，，绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)完成绿化共需要6600元 【分析】本题考查了整式的乘法运算，代数式求值． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）根据正方形面积公式，长方形面积公式，结合整式的乘法运算法则计算即可； （3）将，代入（2）中结果求出绿化的面积，再乘以费用即可． 【详解】（1）解： ． 故答案为：； （2）解：； （3）解：当，时， ， （元）， 答：完成绿化共需要6600元． 21．探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目已给出的式子的规律写出答案即可； （2）根据题目已给出的式子判断出规律得到第n个等式即可； （3）根据（2）中规律可得根据规律求解即可． 【详解】（1）解：根据规律； （2）解：根据规律：； （3）解：原式． 22．定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)①；②，理由见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断； （2）①根据“特别友好多项式”的定义解答； ②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可； 【详解】（1）解：是的“友好多项式”，理由如下： ， ∵的项数比多不超过项， ∴是的“友好多项式”； （2）解：①， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”， 故答案为：； ②， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”． 23．通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的 两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ． 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想（    ） A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．类比思想   D．转化思想 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为 ． 【答案】（1）；A；（2）28；（3）；（4）6 【分析】本题考查完全平方公式，灵活运用完全平方公式变形计算是解题的关键． （1）从“整体”和“部分”分别用代数式表示图形的面积即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）设，，再用计算即可． （4）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：如图①大正方形的边长为，因此面积为，拼成大正方形的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：，A； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：28； 设，， 则，， ∵， 即， ∴． （4）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵阴影部分的面积和为9，的面积为3， ∴，， 即，， ∴， 即， ∴（取正值）， 即． 故答案为：6． 24．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…… 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： (1)计算：________．（） (2)若（（，是常数），则________，________． (3)若（x，y是常数），则________，_______． (4)如果把的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是________． (5)直接写出式子的值． 【答案】(1)1 (2)    (3)    (4) (5) 【分析】本题主要考查了“杨辉三角”的规律以及二项式展开式的应用．充分理解“杨辉三角”的规律与二项式展开式之间的联系是解题的关键． （1）由任何非零数的0次幂均为1可得答案； （2）（3）通过观察前面给出展开式的项数和系数的规律知与的展开式的相关情况 ； （4）由“杨辉三角”的规律继续向下可写出按照a的降幂排列展开式，进而可知第三项的系数是36； （5）根据前面的规律将给定的式子转化为的形式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，任何非零数的0次幂均为1， ∴1； （2）解：由“杨辉三角”的规律及表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1，即，故，； （3）解：由“杨辉三角”的规律可知有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1，即，故，； （4）由“杨辉三角”的规律可知有十项，按照a的降幂排列展开式为，故展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是36； （5）解：原式 ． 25．对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 【答案】(1)相等 (2)①；②；③25 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的运用，完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由小华计算数据即可判断； （2）①根据图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差可得答案； ②计算出的结果即可得到答案； ③根据，，可得，据此可得答案； （3）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值，再根据，即可求解最小值． 【详解】（1）解：通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足相等关系时，长方形的面积最大， 故答案为：相等； （2）解：①∵长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积大正方形面积小正方形面积， ∴， 故答案为：； ②当时，阴影部分是边长为的正方形， ， 故答案为：； ③当时，该长方形即为正方形，其面积为； ∵，， ∴ ∴周长是20的长方形的面积的最大值是25， 故答案为：25； （3）解：， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， ∴， ∴代数式的最小值． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $