浙江省杭州市高桥初中教育集团2025-2026学年八年级上学期月考数学试卷（1月份）

2025-2026学年浙江省杭州市高桥初中教育集团八年级（上）月考数学试卷（1月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.不等式的解集表示在数轴上正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列长度的三条线段能构成三角形的是(    ) A. 3，4，8 B. 3，4，7 C. 5，6，10 D. 5，6，11 4.若，下列运用不等式基本性质变形正确的是(    ) A. B. C. D. 5.下列命题是真命题的是(    ) A. 如果，那么 B. 有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等 C. 两个锐角之和一定是钝角 D. 三个内角都相等的三角形是等边三角形 6.如图，D为内一点，CD平分，，垂足为点D，交AC于点E，，若，，则BD的长为(    ) A. 5 B. 3 C. 4 D. 2 7.下列尺规作图中，一定能得到的是(    ) A. B. C. D. 8.已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9.学校组织甲、乙两队预备共青团员步行前往距离学校6km的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交通拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发.已知乙队始终以的速度匀速前进，甲队匀速前进后速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆.甲、乙两队前进的路程单位：与甲队出发时间单位：的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是(    ) A. 乙队比甲队晚出发 B. 甲队减速后前进的路程y与甲队出发时间x的函数表达式为 C. 甲队开始减速时，乙队前进的路程为1km D. 甲队某同学在某个时间掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了 10.如图，在中，，以AB，AC为边作正方形，点E落在FG上.记正方形ABDE的面积为，的面积为，设，若，则下列代数式的值不变的是(    ) A. B. C. xy D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是        . 12.在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是          . 13.要说明命题“若，则”是假命题，反例m的值可以是        写出一个即可 14.如图，在中，AO平分，且于点O，AB：：3，若的面积为18，则的面积是      . 15.一次函数与为常数，，的图象如图所示，若，则        . 16.如图，在等腰中，，，D是射线BC上一点，连结AD，过点A作，，连结CE与直线AB交于点F，若，则BD的长是        . 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 解下列不等式组： ； 解不等式组 18.本小题6分 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为，， 将点A、B、C的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，得到点、、，请在图中作出，则与关于______轴对称； 在y轴的负半轴上找一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为______. 19.本小题8分 如图，，，点E和点F在线段BC上， 求证： 若，，求BE的长. 20.本小题8分 已知y是x的一次函数，且当时，；当时， 求这个一次函数的解析式； 当时，求函数y的值； 求当时，自变量x的取值范围. 21.本小题10分 某水果商购进A、B两种水果进行销售，A种水果以5元/千克的成本价购进，并以8元/千克的价格出售种水果以30元/千克的成本价购进，并以35元/千克的价格出售.请结合题意回答下列问题： 该商店购进A、B两种水果共200千克，花费4000元，则购进A、B两种水果各多少千克？ 该水果商店两天售完所有A、B两种水果后，决定再购进共300千克的A、B两种水果所购进B种水果重量不高于A种水果重量的2倍，则当该水果商店购进多少千克A种水果时，才能使第二次购进水果的利润w最大？最大利润是多少？ 22.本小题10分 如图，AD是的高线，E为AB上一点，连结CE，交AD于点F， 求证：是等腰三角形； 若点F是CE的中点，，，求AF的长. 23.本小题12分 在直角坐标系中，点在函数的图象上. 若，求a的值； 函数的图象恒过定点，请直接写出该定点坐标； 若，设函数，当，时，求x的取值范围. 24.本小题12分 综合与实践 【建立模型】 如图，为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE，连接BE，AD交于点求证： 【应用模型】 ①如图，在中，AD平分，且，点E在AD的延长线上，且，连接BE，CE，求证： ②如图，和都是等腰三角形，，点C恰好在ED延长线上，连接若，，求的面积. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：在四个选项中，只有选项D中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以选项D是轴对称图形， 故选： 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的特点是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：， ， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 故选： 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【解答】 解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A中，，不能组成三角形； B中，，不能组成三角形； C中，，能够组成三角形； D中，，不能组成三角形． 故选 4.【答案】D  【解析】解：若，则，此选项不等式的变形错误，故此选项不符合题意； B.若，则，，此选项不等式的变形错误，故此选项不符合题意； C.若，则，此选项不等式的变形错误，故此选项不符合题意； D.若，则，此选项不等式的变形正确，故此选项符合题意； 故选： A.根据不等式的性质2，不等式两边同时乘5，不等号方向不变，进行判断即可； B.先根据不等式的性质2，不等式两边同时乘，不等号方向改变，再利用不等式性质1，不等式两边同时加4，不等号方向不变，进行判断即可； C.根据不等式的性质2，不等式两边同时乘4，不等号方向不变，进行判断即可； D.根据不等式性质1，不等式两边同时减3，不等号方向不变，进行判断即可； 本题主要考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握利用不等式的基本性质把不等式变形． 5.【答案】D  【解析】解：A、如果，那么x有可能小于0，故A不符合题意； B、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故B不符合题意； C、两个锐角之和不一定是钝角，故C不符合题意； D、三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确，故D符合题意． 故选： 由任意一个数的偶次方都是非负数，三角形内角和定理，全等三角形的判定方法，等边三角形的判定方法，即可判断． 本题考查命题与定理，非负数的性质：偶次方，三角形内角和定理，全等三角形的判定，等边三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， 所以BD的长为 故选： 根据全等三角形的判定和性质，得到≌，得到，；根据等角对等边，则，即可求解． 本题考查三角形的角平分线、中线和高，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是相关性质的熟练掌握． 7.【答案】C  【解析】解：选项C中，由作图可知， ， 故选： 由，，推出，由此判断即可． 本题考查作图-复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 8.【答案】A  【解析】解：直线的， 随x的增大而增大， ， 当时，，即， 故选： 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质是关键． 9.【答案】D  【解析】解：由图象可得， 乙队所用的时间为：， 故乙队比甲队晚出发，故选项A正确，不符合题意； 设甲队减速后前进的路程y与甲队出发时间x的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即甲队减速后前进的路程y与甲队出发时间x的函数表达式为，故选项B正确，不符合题意； 甲队开始减速时，乙队前进的路程为：，故选项C正确，不符合题意； 当甲队前进时，前进的路程为：， 乙队前进用的时间为：， 即甲队某同学在某个时间掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了，故选项D错误，符合题意； 故选： 根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10.【答案】D  【解析】解：设， ， ， 四边形ACFG是正方形， ，， ， 四边形ABDE为正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理得：， 将代入，得：， 整理得：， ，， ， ， 代数式的值不变． 故选： 设，则，，证明和全等得，则，由此得，则，根据勾股定理及正方形的面积公式得，则，整理得，将代入，得：，整理得：，进而得，据此即可得出答案． 此题主要考查了勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理，三角形和正方形的面积列出代数式是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】解：点A关于y轴对称的点B的横坐标是2，纵坐标不变，仍为1， 故点， 故答案为： 根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可解答． 本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 12.【答案】第二象限  【解析】解：，，， 一次函数的图象不经过的象限是第二象限， 故答案为：第二象限． 根据一次函数的解析式可得，，即可求解． 本题考查了一次函数与系数的关系：由于与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．当，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限． 13.【答案】答案不唯一  【解析】解：当时，若，则，即， 说明命题“若，则”是假命题， 故答案为：答案不唯一 根据不等式的基本性质、假命题的概念解答即可． 本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 14.【答案】3  【解析】解：如图，延长BO交AC于点D， 平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ：：3， ：：3， 的面积为18， ， ， 故答案为： 延长BO交AC于点D，利用ASA证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求得，据此求解即可． 此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：两个的图象交点的横坐标为4， ， ， ， ， 故答案为： 根据当时，，即可求得，从而得出 本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 16.【答案】15  【解析】解：过点E作于H， ，， ， ， ， ， ≌， ，， ，， ， ， 又，， ≌， ， 故答案为： 由AAS可证≌，可得，，由AAS可证≌，可得即可求解． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 17.【答案】    【解析】， 移项，合并同类项，得， 解得， 在数轴上的表示如图所示： ； 解不等式①，得 解不等式②，得 在数轴上表示不等式①②的解集，如图所示： ， 原不等式组的解集为： 去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式或不等式组的解集，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键． 18.【答案】如图，即为所求，与关于y轴对称；    【解析】解：如图，即为所求，与关于y轴对称； 故答案为：y； 设， 则有， 解得， 故答案为： 根据题目要求作出三角形即可，再利用轴对称性质判断即可； 设，构建方程求解． 本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 19.【答案】证明： ， ， 在与中， ， ≌， ≌， ， 又， ，   【解析】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS， 根据平行线性质求出，根据ASA推出≌，根据全等三角形的性质即可得到结论． 根据全等三角形的性质和等式的性质即可得到结论． 20.【答案】解：由题知， 令一次函数的解析式为， 则， 解得， 所以一次函数的解析式为 将代入得， ， 所以当时，y的值为 将时， ， 解得 当时， ， 解得， 所以当时，自变量x的取值范围是：  【解析】利用待定系数法即可解决问题． 将代入中所求函数解析式即可解决问题． 利用一次函数的性质即可解决问题． 本题主要考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 21.【答案】购进A种水果80千克，B种水果120千克  当该水果商店购进100千克A种水果时，利润w最大，最大利润是1300元  【解析】解：设购进A种水果x千克，B种水果y千克， 答：购进A种水果80千克，B种水果120千克； 设购进m千克A种水果，则购进B种水果千克，全部售出后获得的利润为w元， 根据题意得：， 即， 购进B种水果重量不高于A种水果重量的2倍， ， 解得：， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为元 答：当该水果商店购进100千克A种水果时，利润w最大，最大利润是1300元． 设购进A种水果x千克，B种水果y千克，利用总价=单价数量，结合“该商店购进A、B两种水果共200千克，花费4000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设购进A种水果，则B种水果千克，全部售出后获得的利润为w元，利用总利润=每千克A种水果的销售利润购进A种水果的质量+每千克B种水果的销售利润购进B种水果的质量，可找出w关于m的函数关系式，由所购进B种水果重量不高于A种水果重量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 22.【答案】证明：， ， 是的高线， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形； 解：过点E作于点G，如图所示： ，点F是CE的中点， ， 是的高线， 在中，，， 由勾股定理得：， ，AD是的高线， ， 在和中， ， ≌， ， 是等腰三角形， 即， 又， ，   【解析】先根据得，再根据AD是的高线得，，则，由此可得出结论； 过点E作于点G，先求出，再证明和全等得，再根据是等腰三角形的性质得，由此可得AF的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 23.【答案】  该定点坐标为    【解析】解：点在函数的图象上， ， ， ， ； 由题意得，， 又函数的图象恒过定点， 当时，即时， 该定点坐标为； 由题意，结合可得，直线过点，如图， ， 当时，y随x的增大而减小， 直线也经过点，且y随x的增大而增大， 当时，x的取值范围是 代入点A的坐标即可求得； 分别求得和时的a的值，结合图象即可求得； 证得两直线都经过点，结合一次函数的增减性即可判断． 本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 24.【答案】证明：如图1，和是等边三角形， ，，， ， ≌，   ①证明：平分， ， ，， ≌， ， ，，， ， ， ， ， ；②6  【解析】证明：如图1，和是等边三角形， ，，， ， ≌， ； ①证明：平分， ， ，， ≌， ， ，，， ， ， ， ， ； ②解：如图3，设， 是等腰三角形，，， ， 由①同理得：≌， ，， ， ， ， ， ， 如图1，先根据SAS证明≌，即可解答； ①证明≌，得，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答； ②设，由①同理得：≌，根据勾股定理和三角形的面积即可解答． 本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，等边三角形的性质，三角形的面积等知识；熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $