专题01 期末真题百练通关18个常考题型（期末复习专项训练）高二数学上学期湘教版选修第一册

专题01 期末真题百练通关（18个常考题型） 常考题型 题型一 递推数列问题 题型十 椭圆方程及其几何性质 题型二 等差数列基本量的运算 题型十一 直线与椭圆位置关系问题 题型三 等比数列基本量的运算 题型十二 双曲线方程及其几何性质 题型四 等差数列的求和问题 题型十三 直线与双曲线位置关系问题 题型五 等比数列的求和问题 题型十四 抛物线及方程其几何性质 题型六 数列的求和问题 题型十五 直线与抛物线位置关系问题 题型七 直线问题 题型十六 排列、组合计数问题 题型八 直线与圆位置关系问题 题型十七 二项式定理及其应用 题型九 圆与圆的位置关系问题 题型十八 二项式系数及其性质 题型一 递推数列问题（共2题） 1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）已知数列满足：，，，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据数列的递推公式，得出，则数列是以6为周期的周期数列，然后计算即可. 【详解】， ， 即， ，即， 是以6为周期的周期数列， ， ， . 故选：C 2．（多选）（25-26高二上·山东烟台·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列四个结论正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用、数列新定义 【分析】根据斐波那契数列的性质，结合周期性逐一判断选项. 【详解】由题可知斐波那契数列定义为：， 令，即除以4的余数. 计算的周期性： 前几项为： 观察得是以为周期的周期数列， 一个周期为：，周期和. 选项：计算，则，正确； 选项：利用斐波那契数列性质可知， 求和：， 因为，所以。 取：，错误； C选项：完整周期数：，个完整周期的和， 余下项为， ，，C正确； 选项：， 利用恒等式（当）：, 则平方和： ， 取：，正确. 故选：ACD 题型二 等差数列基本量的运算（共4题） 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）等差数列中，已知，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质可求得结果. 【详解】因为为等差数列，所以有，所以． 故选：C. 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）在等差数列中，若，则（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用已知条件，由求出，从而由可求出. 【详解】设等差数列的公差为d， 则， ∴． 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知是等差数列，，，则的前10项和为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据已知条件求出的公差和首项，代入前项和公式可得答案. 【详解】设的公差为， 因为，， 所以，解得， 则的前10项和为. 故选：D. 4．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）等差数列的前项和为，写出一个满足条件的的通项公式 . 【答案】（满足公差为即可） 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、由Sn求通项公式 【分析】利用等差数列的前n项和公式与通项公式写出一个公差为的通项公式即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由得：，即. 由以上等式可知，写出一个公差为的通项公式即可. 若，则. 故答案为：（满足公差为即可）. 题型三 等比数列基本量的运算（共4题） 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知等比数列满足，则（    ） A．9 B．36 C．54 D．72 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设出等比数列的公比，利用等比数列的通项公式化简等式，可得答案. 【详解】因为数列为等比数列，设等比数列的公比为， 因为， 则，可得，解得， 所以. 故选：B. 2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、利用等差数列的性质计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】先应用等差数列及等比数列的项的性质结合已知得出，再结合特殊角的余弦计算求解. 【详解】因为数列是等比数列，数列是等差数列，且 ， 则 ， 所以， 则 . 故选：A. 3．（25-26高二上·广东·期末）已知等比数列的前3项积为8，，，则等于（    ） A．4 B． C．16 D．2 【答案】A 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设等比数列公比为，由题可得，结合等比数列通项公式可得答案. 【详解】设等比数列公比为，则. 由题可得，则. 故选：A 4．（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】根据已知及等比数列的通项公式列方程求基本量，进而求项. 【详解】设数列的公比为，则， 由题意得：，，且， 所以，，则， 整理得，解得，舍去）， 所以，则. 故选：B 题型四 等差数列的求和问题（共4题） 1．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【详解】因为数列为等差数列， 因为 所以 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 2．（多选）（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．均是的最大值 C． D．公差 【答案】ABD 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列的单调性、求等差数列前n项和的最值 【分析】A：根据，结合等差数列与下标和有关的性质即可判断；BD：判断等差数列公差的正负，从而判断该数列的增减性，结合，，即可求其前n项和的最值；C：结合等差数列前n项和公式及等差数列与下标和有关的性质即可判断． 【详解】选项A：由，得，∴，故A正确； 选项D：由，且，得，故D正确； 选项B：由、，知等差数列是递减数列： ∵，故前8项（到）均为正数，第9项为0，第10项及以后为负数； 是前8项正数的和，，因此是的最大值，故B正确； 选项C：，故C错误； 故选：ABD． 3．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知数列满足，，则 ． 【答案】70 【知识点】累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和 【分析】利用累加法，结合等差数列求和即可得到通项，从而可求解. 【详解】因为，所以， 累加可得： ， 则． 故答案为：70 4．（25-26高二上·江苏·期末）记为等差数列的前项和，已知，则 ． 【答案】24 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由等差数列下标和的性质，以及前项求和公式，即可得到答案. 【详解】因为，所以． 故答案为：24． 题型五 等比数列的求和问题（共4题） 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）如图1，四边形是一边长为的正方形．依次将，分成的两部分，得到正方形，依循相同的规律，依次将，分成的两部分，得到正方形．不断重复这个步骤，得到正方形．一只蚂蚁从出发，沿路径爬行，如图2所示，则该蚂蚁所爬行的总距离最接近于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无穷等比数列各项的和、求等比数列前n项和 【分析】根据所给比例关系及勾股定理计算，根据比例关系可以求出，同理可以得到，再根据等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】依题意，则， 所以，而， 所以，同理可得，依次递推可得到， 令，则是以3为首项，为公比的等比数列， 其前项和， 当时，则，所以最接近的值为. 故选： 2．（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知等差数列的前项和为.正项等比数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．不可能是等差数列 B．若，则 C．是等差数列 D．若单调递减，则单调递增 【答案】BC 【知识点】等比数列的单调性、正项等比数列的对数成等差数列的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】通过举反例的方法判断A、D；在等差数列中，由得，再利用等差数列通项的性质可判断B；利用等差数列的定义结合等差数列的前项和公式及等比数列的定义即可判断C. 【详解】对于A，当等比数列的公比时，，是等差数列.故A不正确. 对于B，在等差数列中中，由得， ∴，即，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 则为常数. 所以是等差数列；故C正确； 对于D，令，显然单调递减，单调递减，故D不正确. 故选：BC. 3．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列的求和公式，即可利用比例求解. 【详解】由可知公比， 若,则公比,此时,这与条件矛盾，因此不等于0，因此，因此， 进而，解得或（舍去）， 又，故， 故答案为：4 4．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）已知数列满足，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等式构造数列相邻两项，并求得其比值，即可证明； （2）由（1）求得数列的通项公式，即可求得的通项公式； （3）由（2）中的通项公式，通过等比数列的前项和公式求得结果. 【详解】（1）∵，∴，即， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）可知， ∴ （3） . 题型六 数列的求和问题（共5题） 1．（24-25高二上·广东河源·期末）已知数列满足且，其前n项和为，则满足不等式的最小整数n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和 【分析】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得，利用分组求和法可求得，然后解不等式即可. 【详解】因为，所以，且， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 则，所以. 所以， 由，即， 所以，因为， 所以满足不等式的最小整数n为9. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和 【分析】利用已知条件构造是等比数列，即可求出通项公式，再由错位相减法进行求和即可. 【详解】，可得，又， 是首项为，公比为的等比数列，，， ，① 则，② ①②可得， . 故选：D. 4．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）已知等比数列的各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据已知求出基本量，然后可得通项公式； （2）根据裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，所以， 则. 因为等比数列的各项均为正数，所以. 又因为，所以，解得. 所以. 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以， ， 所以， 故数列的前项和. 5．（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）当时，当时，结合，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求出数列的前项和. 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 题型七 直线问题（共6题） 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知直线：，：若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．3或 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的性质列出等式，求解出的值，再进行验证即可. 【详解】因为，所以，整理得，解得或. 当时，为，为，此时两直线平行； 当时，为，即，为，即，此时两直线重合，应舍去. 故选：B. 2．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设，则“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】求出平行时参数a的值，再由充分不必要条件定义即可得解. 【详解】由题直线的斜率为，在y轴上截距为2， 若直线与直线平行， 则或， 所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件. 故选：A 3．（25-26高二上·广东·期末）已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 【答案】A 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直列出方程，求解即可. 【详解】若直线与直线垂直， 则，即，解得或0． 故选：A． 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由两条直线平行求方程、求直线交点坐标 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】联立，可得，所以与的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为， 代入得，所以， 所以直线的方程为，满足题设. 故选：A 5．（多选）（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）下列关于直线的说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行 【答案】BCD 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线平行、直线的斜截式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】对于A：将直线方程化为斜截式即可判断斜率；对于B：根据倾斜角的定义即可判断；对于C：过与x轴垂直的直线方程为；对于D：斜率相等，纵截距不相等，两直线平行． 【详解】对于选项A：，斜率为，并非，故A错误； 对于选项B：直线是垂直于轴的直线，根据倾斜角定义，其倾斜角为，故B正确； 对于选项C：过点且与轴垂直的直线方程为，故C正确； 对于选项D：直线与的斜率均为3，且纵截距（1和）不相等，故它们平行，故D正确． 故选：BCD． 6．（多选）（25-26高二上·甘肃白银·期末）（多选题）已知直线，，若，则与间的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先根据直线平行，求出的值，再求两平行线间的距离得解. 【详解】由，得，解得或. 当时，的方程为，即，，则与间的距离为； 当时，，，则与间的距离为. 故选：BD. 题型八 直线与圆位置关系问题（共4题） 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【详解】圆的标准方程为，故圆心为，半径， 圆心到直线的距离：， 由弦长公式，弦长为. 故选：B 3．（25-26高二上·安徽合肥·期末）过点的直线与圆：交于，两点，当最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】利用当∠ACB最小时，CP和AB垂直，求出AB直线的斜率，用点斜式求得直线l的方程． 【详解】圆：的圆心为， 当最小时，和垂直， 所以直线的斜率等于， 则直线的斜率， 用点斜式写出直线的方程为，即， 故选：A． 4．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】曲线表示的上半部分，且含端点，由图象可得，当与半圆左上部相切时，根据点到直线距离公式，可得k值，分析即可得答案. 【详解】由得，表示圆的上半部分，且含端点， 由直线恒过定点，一般方程为， 作出图象： 由图知，当与半圆左上部相切时， 可得且，解得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D. 题型九 圆与圆的位置关系问题（共2题） 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 【答案】相交 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【详解】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心，半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆相交. 故答案为：相交. 2．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）已知圆和圆相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为，即，且，，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】圆，即为，圆心为，半径； 圆，即为，圆心为，半径； 则，即，可知圆和圆相交， 两圆方程作差可得，即两圆的公共弦所在直线方程为， 由题意可得，即，且，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型十 椭圆方程及其几何性质（共5题） 1．（25-26高二上·江苏·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【详解】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B 2．（25-26高二上·江苏·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】由椭圆方程性质，可得，求解即可. 【详解】由题意可得：，解得：. 故选：B. 3．（25-26高二上·广东·期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆定义及焦点三角形为直角三角形求解即可. 【详解】设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 4．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为， 则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D. 5．（25-26高二上·江苏·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类讨论，求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得答案. 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点， 因为，所以椭圆的焦点在x轴上，所以， 所以椭圆的标准方程为． 题型十一 直线与椭圆位置关系问题（共7题） 1．（25-26高二上·山西·期末）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系、直线过定点问题 【分析】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【详解】依题意，由，消去得，, ，解得， 设，则，则点， 由直线的斜率小于，得， 由，，得，椭圆焦点在轴上， 所以椭圆离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线和椭圆，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的的一个值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】由题意将直线与椭圆方程联立，令，求出的范围即可得解. 【详解】由题意联立直线与椭圆方程有，即， 消去化简并整理得，， 由题意若直线与椭圆有两个公共点， 则当且仅当，解得或. 故答案为：3（答案不唯一）. 4．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知以，为焦点的椭圆与直线有且只有一个公共点，则这个椭圆的方程是 . 【答案】 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】由题可设椭圆方程为，联立直线方程与椭圆方程，根据题意可得，即可求解椭圆方程. 【详解】由题可设椭圆方程为， 联立方程组，消去并整理得. 因为椭圆与直线有且只有一个公共点， 所以，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】运用点差法联立方程组，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】设，代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：(*)， 又的中点坐标为，所以，， 由(*)式可得， 又直线的斜率即直线的斜率，， 所以，而， 联立解得，，故椭圆的方程为：. 故选：A． 6．（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】/ 【知识点】求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为，整理得， 联立，得，则， 所以， 故答案为：. 7．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于两点，的周长为16，离心率．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据题意建立等式求得，代入即可求解； （2）根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，得到，再结合和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由已知可得，所以， 则，所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）知焦点坐标为， 设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去，得， 则由韦达定理得， 故， 所以的面积为. 题型十二 双曲线方程及其几何性质（共9题） 1．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知是双曲线的一条渐近线，则的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线方程求解渐近线方程，进而求解倾斜角即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为，则的倾斜角为或. 故选：D 2．（25-26高二上·全国·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合代入法进行求解即可. 【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：， 则，即， 则双曲线方程可化为：， 由双曲线过点，得， 解得：，， 所以双曲线方程为：． 故选：C 3．（25-26高二上·全国·期末）双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的顶点坐标 【分析】根据给定条件，利用双曲线的几何性质求解即得. 【详解】由双曲线方程，得该双曲线焦点在轴上，实半轴长， 所以双曲线的顶点坐标为. 故选：B 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线的方程及a，b，c的关系，可得a和c表达式，代入离心率公式，即可求得答案. 【详解】由双曲线的方程，可知其焦点在轴上，， 所以，，则， 所以，解得，符合题意． 故选：A. 5．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据题目信息可求出，，即可求出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线经过点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又因为离心率为， 即，解得， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 6．（25-26高二上·江苏·期末）若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】先根据双曲线的离心率公式求出的值，再利用双曲线渐近线方程的公式得出渐近线方程. 【详解】已知离心率，由离心率公式可得， 所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 7．（24-25高二上·四川广安·期末）已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】首先求出、，再根据双曲线的定义计算可得. 【详解】双曲线，则，，所以， 又，，解得或， 又，所以. 故选：B 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得． 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件， 故选：B． 9．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，再写出方程即可. （2）利用双曲线的性质求解目标元素即可. 【详解】（1）因为双曲线的两个焦点在轴上， 所以设双曲线方程为， 因为双曲线的两个焦点分别为，， 所以，由题意得双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6， 故，由双曲线的定义得，解得， 因为,所以,即， 得到，故双曲线的标准方程为. （2）对于双曲线，其实轴长为，虚轴长为， 焦距为，离心率为, 渐近线方程为，顶点为. 题型十三 直线与双曲线位置关系问题（共3题） 1．（25-26高二上·江苏·期末）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式作差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 2．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出的取值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，由于双曲线的渐近线为，故直线与双曲线的渐近线不平行，则当直线与双曲线相切时， ， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1)焦点坐标为，渐近线方程为，离心率 (2) 【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）方程化为双曲线标准方程，得到即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得弦长，再由点到直线距离得高，即可求出面积. 【详解】（1）由题意，知双曲线的标准方程为， 所以，故， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，离心率. （2）联立双曲线与直线的方程，化简得. 设，则， 利用弦长公式，得. 因为点到直线的距离为， 所以. 题型十四 抛物线及方程其几何性质（共4题） 1．（25-26高二上·江苏·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】化为标准方程，根据准线方程的定义求解． 【详解】抛物线的方程为， 则其焦点坐标为，准线方程为． 故选： 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线的定义，及焦半径的求法，分析即可得答案. 【详解】由题意，抛物线的准线方程为， 因为抛物线上点到直线的距离为5， 所以点到直线的距离为4， 由定义得，抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等，所以， 故选：B. 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 【答案】A 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为，所以点A到抛物线焦点的距离为. 故选：A 4．（25-26高二上·山东烟台·期末）抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据题意得出该抛物线的焦点坐标，即可得出该抛物线的标准方程. 【详解】因为抛物线的准线方程是，则该抛物线的焦点坐标为， 可设该抛物线的标准方程为，则，解得， 故该抛物线的标准方程为. 故选：B. 5．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，由条件，求出的值，即可得答案. 【详解】由题意，抛物线标准方程形如，焦点坐标为， 所以，解得，故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 6．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线的焦半径公式 【分析】根据题意，由抛物线的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可知的坐标为的准线的方程为， 由抛物线的定义可知|MF|等于到的距离， 所以的最小值为到的距离，即最小值为. 故选：D 7．（25-26高二上·江苏·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据抛物线的焦半径公式可求得结果. 【详解】因为为抛物线上一点，， 所以，解得. 故答案为：2. 8．（24-25高二下·河北·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    【答案】 【知识点】求实际问题中的抛物线方程 【分析】设抛物线的方程为，代入点即可求解. 【详解】设抛物线的方程为，抛物线过点，所以， 则这条抛物线的方程为，即． 故答案为：. 题型十五 直线与抛物线位置关系问题（共3题） 1．（25-26高二上·江苏·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知点F是抛物线的焦点，经过F的两条直线分别交抛物线于A、B和C、D，其中B、C两点在x轴上方，若，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】设直线CD的方程为，将直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、关于的表达式，利用基本不等式求最小值. 【详解】设直线CD的方程为，设点、， 联立，可得，，所以， 所以，同理得， 所以，四边形的面积为， 当且仅当时，等号成立，所以四边形面积的最小值为. 故选：D 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则 . 【答案】（或12.5）. 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先利用“抛物线的焦点到准线的距离为”这一性质，确定抛物线方程、焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义转化距离问题，联立直线与抛物线方程后，再次利用定义结合韦达定理求弦长即可. 【详解】由题知：，则抛物线方程为， 所以焦点的坐标为，准线方程为， 设，则，解得， 将代入抛物线方程，得，即，故或， 因为直线过和，则斜率（取 为例，符号不影响结果）， 所以直线方程为，即， 联立直线与抛物线方程得， 代入得 ，化简为 ， 由韦达定理得， 因为，则， 根据抛物线定义，， 因此（或12.5）， 故答案为：（或12.5）. 题型十六 排列、组合计数问题（共8题） 1．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）某羽毛球比赛结束，1名教练和3名学员站成一排拍照留念，其中教练不站在两边的排法种数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】求出4人随机站成一排的全排列数，然后求教练站两边的排列数，两数相减即可. 【详解】1名教练和3名学员站成一排，有种站法， 其中教练站两边有种站法，所以教练不站在两边的排法种数为. 故选：B 2．（24-25高二下·新疆·期末）某节目要从三名男演员和六名女演员中选出两人，并安排一人做领唱，另一人做领舞，且领唱者或领舞者至少有一人是女性，则不同的安排方法种数为（    ） A．64 B．66 C．68 D．72 【答案】B 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】应用间接法求2人至少有一人是女性的不同选法数，再将2人全排列，并应用分步乘法求结果. 【详解】从9人任选2人有种，若所选2人都是男性有种，故2人至少有一人是女性有种， 所以不同的安排方法种数为. 故选：B 3．（24-25高二下·四川绵阳·期末）用数字0，2，3，4，5组成没有重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．30 B．24 C．18 D．12 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、数字排列问题、分类加法计数原理 【分析】个位从和中选择一个，百位不能选0，根据含不含0的情况分类讨论即可求解. 【详解】根据题意：个位从和中选择一个，百位不能选0， 若不含0，则有，若含0，则有， 根据分类加法计数原理有：. 故选：C. 4．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分组分配问题 【分析】确定三组书的数量，结合组合计数原理以及部分平均分组思想可求得结果. 【详解】将本不同的杂志分成组，每组至少本，则三组书的数量分别为、、， 所以，不同的分组方法种数为. 故选：B. 5．（24-25高二下·天津·期末）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【知识点】实际问题中的组合计数问题、元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理，先排最后一关，然后再排第二、三关即可. 【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡， 所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有种， 然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种， 所以，满足条件的参赛方案有种. 故选：B 6．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C．4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有（   ） A．72种 B．36种 C．24种 D．64种 【答案】B 【知识点】分组分配问题 【分析】先把4人分成3组，再把3组分到3个不同的社会实践服务点即可. 【详解】先从4名学生中选出2人组成一个小组，有种方法； 再将这个两人小组与其余2名学生安排到3个不同的服务点，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 故选：B 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）第二十七届哈尔滨冰雪大世界主塔名为“冰灯启梦”．景观以雪花托举的“山”字为意象，是对冰雪童话世界的诗意呼应，更是借山之坚韧与巍峨，隐喻生态与发展共生共荣的永恒力量．冰雪大世界现招募志愿者，从哈三中的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（   ） A．102种 B．105种 C．210种 D．288种 【答案】C 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】先算从8名志愿者中任意选出3名的方法数，再减去甲乙丙3人有一人负责语言服务工作的方法数，即可求得结果. 【详解】先从8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作， 共有种. 其中甲乙丙3人有一人负责语言服务工作，有种， 故符合条件的选法共有种. 故选：C. 8．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）兰大附中计划开展“学长经验分享会”，要将6名优秀毕业生分配到高一、高二、高三3个年级进行经验宣讲，要求每个年级至少有1名，至多有3名，则不同的分配方案共有（   ） A．360种 B．450种 C．540种 D．900种 【答案】B 【知识点】分组分配问题、实际问题中的计数问题 【分析】利用先分组再分配原则解决即可. 【详解】6名毕业生分配到3个年级，每个年级至少有1名，至多有3名，可分为两类： ①各年级人数分别为1，2，3： 先将6人分为三组（1人，2人，3人），再分配到3个年级，方法数为种； ②各年级人数均为2： 先将6人平均分为三组，再分配到3个年级，方法数为种， 所以所求方案共有种方法． 故选：B 题型十七 二项式定理及其应用（共5题） 1．（24-25高二下·广东湛江·期末）在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出通项公式，然后代值计算即可. 【详解】由题意可得，的通项 ， ， 令，得， 所以的系数为， 故选：A. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可． 【详解】由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． 3．（24-25高二下·新疆·期末）在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 【答案】B 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据题意结合二项式展开式的性质可得，从而可求出的值. 【详解】根据题意可得， 所以n＝2＋12＝14． 故选：B 4．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整除和余数问题 【分析】分析可知能被整除，可得出，结合二项式定理可知能被整除，即可得出合适的选项. 【详解】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D. 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（   ） A．12 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【知识点】二项式的系数和、求二项展开式的第k项 【分析】利用公式二项式系数和为得到，解得的值，求出，整理后设的次数为，求出，从而计算出常数项. 【详解】的展开式中二项式系数和为，，， 设为常数项，则， 故，解得，则. 故选：C. 题型十八 二项式系数及其性质（共4题） 1．（多选）（24-25高二上·辽宁锦州·期末）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有项 B．展开式的各二项式系数的和为 C．展开式中的系数为 D．展开式中二项式系数最大的项是第项 【答案】BD 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和、二项式系数的增减性和最值、二项展开式的应用 【分析】利用展开式项数与指数的关系可判断A选项；利用展开式二项式系数和可判断B选项；利用二项展开式通项可判断C选项；利用二项式系数的最值可判断D选项. 【详解】对于A选项，的展开式共有项，A错； 对于B选项，展开式的各二项式系数的和为，B对； 对于C选项，展开式通项为， 所以展开式中的系数为，C错； 对于D选项，展开式中二项式系数最大的项是第项，D对. 故选：BD. 2．（多选）（24-25高二下·福建福州·期末）的展开式中，则（ ） A．的系数为10 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数和为32 D．所有项的系数和为32 【答案】BC 【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的系数、二项式的系数和、求指定项的二项式系数 【分析】写出展开式的通项公式，求出的系数判断A；求出第3项和第4项的二项式系数判断B；求出所有项的二项式系数和判断C；利用赋值法求出所有项的系数和判断D. 【详解】对于A，展开式的通项公式，则的系数为，A错误； 对于B，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相等，B正确； 对于C，展开式的所有项的二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得展开式的所有项的系数和为，D错误. 故选：BC 3.（多选）（24-25高二下·河南漯河·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】简单复合函数的导数、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】对于A：借助二项式的展开式的通项计算即可得；对于B：借助赋值法令，计算即可；对于C：借助二项式的展开式的通项，令计算即可；对于D：对等式两边求导，再令即可. 【详解】二项式的通项， 令，得，选项A错误； 令，得，令，得， 所以，选项B正确； 令，得， 所以，选项C正确； ，两边对x求导得： ， 再令，得，选D正确． 故选：BCD． 4．（24-25高二下·浙江杭州·期末）在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 【答案】(1)，常数项的值为 (2) 【知识点】求二项展开式的第k项、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，结合条件，得到，可得，即可求解； （2）通过赋值，令，即可求解. 【详解】（1）因为的展开式的通项公式为， 由题知时，，得到，解得， 所以常数项的值为. （2）由（1）知，令，得到， 所以展开式中所有项的系数之和为. 1.．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的渐近线的性质，结合双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，即，由， 得，整理得，所以， 因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是. 故选：B 2．（24-25高二下·广东广州·期末）在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（    ） A．56 B．64 C．72 D．120 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】利用分类计数原理和分步计数原理结合组合列式计算即可. 【详解】根据题意，抽出的3件产品中至少有1件是次品包含1件次品、2件正品和2件次品、1件正品两个事件， 当抽取的为1件次品、2件正品时，抽法有种， 当抽取的为2件次品、1件正品时，抽法有种， 所以抽出的3件产品中至少有1件是次品共有种. 故选：B. 3．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知方程：（且），则下列结论正确的有（   ） A．若方程表示椭圆，则 B．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，方程表示的曲线的离心率为 D．“”是“方程表示双曲线”的充要条件 【答案】ABC 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、判断方程是否表示双曲线、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据圆锥曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】方程：（且）， 若方程表示椭圆，则，解得且， 因为当且成立时，一定成立， 所以“若方程表示椭圆，则”是真命题， A选项正确； 若，方程：，表示焦点在轴上的双曲线，B选项正确； 时，方程：，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为，C选项正确； 方程表示双曲线，则有，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，D选项错误. 故选：ABC 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）二项式展开式中的第3项为 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】由二项式展开式通项可得答案. 【详解】二项式展开式的第r+1项为：. 则展开式中的第3项为：． 故答案为：. 5．（25-26高二上·全国·期末）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】轨迹问题——圆、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）设动点，代入距离条件，再整理为圆的标准方程即可. （2）设直线，利用弦长公式求圆心到直线的距离，代入点到直线距离公式，解方程得参数即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则有， 整理可得，即， 所以动点的轨迹的方程为. （2）由（1）可知：曲线是圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 6．（24-25高二下·广东湛江·期末）已知为各项均为正数的数列，其前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和记为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用的关系，得出数列是等差数列，进而可求得通项公式； （2）利用裂项相消求和法可求得，进而可证得结论. 【详解】（1）当时，，得， ∵，∴， 当时，， 两式作差可得：， 即， ∴， 又∵，∴，且， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴. （2）∵，∴，∴， ∴. 则 . ∵，∴，∴， 又∵为递增数列，所以， ∴. 7．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点及的直线交椭圆于A，B两点，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据离心率和焦距求得，进而求得，即可求解椭圆标准方程； （2）先求出直线AB的方程，然后与椭圆方程联立，韦达定理，求得，代入面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，， 所以，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为点及，所以， 所以直线AB的方程为即， 设，，由得， 所以，， 所以， 所以.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末真题百练通关（18个常考题型） 常考题型 题型一 递推数列问题 题型十 椭圆方程及其几何性质 题型二 等差数列基本量的运算 题型十一 直线与椭圆位置关系问题 题型三 等比数列基本量的运算 题型十二 双曲线方程及其几何性质 题型四 等差数列的求和问题 题型十三 直线与双曲线位置关系问题 题型五 等比数列的求和问题 题型十四 抛物线及方程其几何性质 题型六 数列的求和问题 题型十五 直线与抛物线位置关系问题 题型七 直线问题 题型十六 排列、组合计数问题 题型八 直线与圆位置关系问题 题型十七 二项式定理及其应用 题型九 圆与圆的位置关系问题 题型十八 二项式系数及其性质 题型一 递推数列问题（共2题） 1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）已知数列满足：，，，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（多选）（25-26高二上·山东烟台·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列四个结论正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 题型二 等差数列基本量的运算（共4题） 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）等差数列中，已知，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）在等差数列中，若，则（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知是等差数列，，，则的前10项和为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 4．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）等差数列的前项和为，写出一个满足条件的的通项公式 . 题型三 等比数列基本量的运算（共4题） 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知等比数列满足，则（    ） A．9 B．36 C．54 D．72 2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若 则 的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东·期末）已知等比数列的前3项积为8，，，则等于（    ） A．4 B． C．16 D．2 4．（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 题型四 等差数列的求和问题（共4题） 1．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．均是的最大值 C． D．公差 3．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知数列满足，，则 ． 4．（25-26高二上·江苏·期末）记为等差数列的前项和，已知，则 ． 题型五 等比数列的求和问题（共4题） 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）如图1，四边形是一边长为的正方形．依次将，分成的两部分，得到正方形，依循相同的规律，依次将，分成的两部分，得到正方形．不断重复这个步骤，得到正方形．一只蚂蚁从出发，沿路径爬行，如图2所示，则该蚂蚁所爬行的总距离最接近于（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知等差数列的前项和为.正项等比数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．不可能是等差数列 B．若，则 C．是等差数列 D．若单调递减，则单调递增 3．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 4．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）已知数列满足，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 题型六 数列的求和问题（共5题） 1．（24-25高二上·广东河源·期末）已知数列满足且，其前n项和为，则满足不等式的最小整数n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）已知等比数列的各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和. 5．（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 题型七 直线问题（共6题） 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知直线：，：若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．3或 2．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设，则“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·广东·期末）已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）下列关于直线的说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行 6．（多选）（25-26高二上·甘肃白银·期末）（多选题）已知直线，，若，则与间的距离可能为（    ） A． B． C． D． 题型八 直线与圆位置关系问题（共4题） 1．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二上·安徽合肥·期末）过点的直线与圆：交于，两点，当最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九 圆与圆的位置关系问题（共2题） 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 2．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）已知圆和圆相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为 ． 题型十 椭圆方程及其几何性质（共5题） 1．（25-26高二上·江苏·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东·期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 5．（25-26高二上·江苏·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 题型十一 直线与椭圆位置关系问题（共7题） 1．（25-26高二上·山西·期末）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线和椭圆，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的的一个值为 ． 4．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知以，为焦点的椭圆与直线有且只有一个公共点，则这个椭圆的方程是 . 5．（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 7．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于两点，的周长为16，离心率．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 题型十二 双曲线方程及其几何性质（共9题） 1．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知是双曲线的一条渐近线，则的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·期末）双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏·期末）若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·四川广安·期末）已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 题型十三 直线与双曲线位置关系问题（共3题） 1．（25-26高二上·江苏·期末）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 题型十四 抛物线及方程其几何性质（共4题） 1．（25-26高二上·江苏·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 4．（25-26高二上·山东烟台·期末）抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．（25-26高二上·江苏·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 ． 8．（24-25高二下·河北·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    题型十五 直线与抛物线位置关系问题（共3题） 1．（25-26高二上·江苏·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知点F是抛物线的焦点，经过F的两条直线分别交抛物线于A、B和C、D，其中B、C两点在x轴上方，若，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则 . 题型十六 排列、组合计数问题（共8题） 1．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）某羽毛球比赛结束，1名教练和3名学员站成一排拍照留念，其中教练不站在两边的排法种数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 2．（24-25高二下·新疆·期末）某节目要从三名男演员和六名女演员中选出两人，并安排一人做领唱，另一人做领舞，且领唱者或领舞者至少有一人是女性，则不同的安排方法种数为（    ） A．64 B．66 C．68 D．72 3．（24-25高二下·四川绵阳·期末）用数字0，2，3，4，5组成没有重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．30 B．24 C．18 D．12 4．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·天津·期末）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 6．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C．4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有（   ） A．72种 B．36种 C．24种 D．64种 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）第二十七届哈尔滨冰雪大世界主塔名为“冰灯启梦”．景观以雪花托举的“山”字为意象，是对冰雪童话世界的诗意呼应，更是借山之坚韧与巍峨，隐喻生态与发展共生共荣的永恒力量．冰雪大世界现招募志愿者，从哈三中的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（   ） A．102种 B．105种 C．210种 D．288种 8．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）兰大附中计划开展“学长经验分享会”，要将6名优秀毕业生分配到高一、高二、高三3个年级进行经验宣讲，要求每个年级至少有1名，至多有3名，则不同的分配方案共有（   ） A．360种 B．450种 C．540种 D．900种 题型十七 二项式定理及其应用（共5题） 1．（24-25高二下·广东湛江·期末）在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 3．（24-25高二下·新疆·期末）在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 4．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（   ） A．12 B．15 C．20 D．30 题型十八 二项式系数及其性质（共4题） 1．（多选）（24-25高二上·辽宁锦州·期末）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有项 B．展开式的各二项式系数的和为 C．展开式中的系数为 D．展开式中二项式系数最大的项是第项 2．（多选）（24-25高二下·福建福州·期末）的展开式中，则（ ） A．的系数为10 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数和为32 D．所有项的系数和为32 3.（多选）（24-25高二下·河南漯河·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江杭州·期末）在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 1.．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东广州·期末）在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（    ） A．56 B．64 C．72 D．120 3．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知方程：（且），则下列结论正确的有（   ） A．若方程表示椭圆，则 B．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，方程表示的曲线的离心率为 D．“”是“方程表示双曲线”的充要条件 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）二项式展开式中的第3项为 ． 5．（25-26高二上·全国·期末）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程. 6．（24-25高二下·广东湛江·期末）已知为各项均为正数的数列，其前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和记为，证明：. 7．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点及的直线交椭圆于A，B两点，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $